Flujo en canal abierto

Tipo de flujo de líquido dentro de un conducto.

En mecánica de fluidos e hidráulica , el flujo en canal abierto es un tipo de flujo de líquido dentro de un conducto con una superficie libre , conocido como canal . ^{[1] [2]} El otro tipo de flujo dentro de un conducto es el flujo de tubería . Estos dos tipos de flujo son similares en muchos aspectos, pero difieren en un aspecto importante: el flujo en canal abierto tiene una superficie libre, mientras que el flujo en tubería no la tiene, lo que resulta en un flujo dominado por la gravedad pero no por la presión hidráulica .

Canal del Proyecto de Arizona Central .

Clasificaciones de flujo

El flujo en canales abiertos se puede clasificar y describir de varias maneras según el cambio en la profundidad del flujo con respecto al tiempo y el espacio. ^[3] Los tipos fundamentales de flujo que se tratan en la hidráulica de canal abierto son:

• El tiempo como criterio
  • Flujo constante
    • La profundidad del flujo no cambia con el tiempo, o si se puede suponer que es constante durante el intervalo de tiempo considerado.
  • flujo inestable
    • La profundidad del flujo cambia con el tiempo.
• El espacio como criterio
  • Flujo uniforme
    • La profundidad del flujo es la misma en cada sección del canal. El flujo uniforme puede ser estable o inestable, dependiendo de si la profundidad cambia o no con el tiempo (aunque el flujo uniforme inestable es raro).
  • Flujo variado
    • La profundidad del flujo cambia a lo largo del canal. Técnicamente, el flujo variado puede ser estable o inestable. El flujo variado se puede clasificar además como de variación rápida o gradual:
      • Flujo rápidamente variado
        • La profundidad cambia bruscamente en una distancia comparativamente corta. El flujo rápidamente variado se conoce como un fenómeno local. Ejemplos de ello son el salto hidráulico y la caída hidráulica .
      • Flujo gradualmente variado
        • La profundidad cambia a gran distancia.
  • Flujo continuo
    • El caudal es constante en todo el alcance del canal considerado. Este suele ser el caso con un flujo constante. Este flujo se considera continuo y, por lo tanto, se puede describir utilizando la ecuación de continuidad para flujo estable continuo.
  • Flujo espacialmente variado
    • La descarga de un flujo constante no es uniforme a lo largo de un canal. Esto sucede cuando el agua entra y/o sale del canal a lo largo del curso del flujo. Un ejemplo de flujo que ingresa a un canal sería una cuneta al lado de una carretera. Un ejemplo de flujo que sale de un canal sería un canal de riego. Este flujo se puede describir utilizando la ecuación de continuidad para flujo continuo inestable, requiere la consideración del efecto del tiempo e incluye un elemento de tiempo como variable.

Estados de flujo

El comportamiento del flujo en canales abiertos se rige por los efectos de la viscosidad y la gravedad en relación con las fuerzas de inercia del flujo. La tensión superficial tiene una contribución menor, pero en la mayoría de las circunstancias no juega un papel lo suficientemente significativo como para ser un factor determinante. Debido a la presencia de una superficie libre, la gravedad es generalmente el impulsor más importante del flujo en canales abiertos; por lo tanto, la relación entre las fuerzas de inercia y las de gravedad es el parámetro adimensional más importante. ^[4] El parámetro se conoce como número de Froude , y se define como: donde es la velocidad media, es la escala de longitud característica para la profundidad de un canal y es la aceleración gravitacional . Dependiendo del efecto de la viscosidad en relación con la inercia, representado por el número de Reynolds , el flujo puede ser laminar , turbulento o de transición . Sin embargo, en general es aceptable suponer que el número de Reynolds es lo suficientemente grande como para despreciar las fuerzas viscosas. ^[4] $${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle g}$

Formulación

Es posible formular ecuaciones que describan tres leyes de conservación para cantidades que son útiles en el flujo en canales abiertos: masa, momento y energía. Las ecuaciones gobernantes resultan de considerar la dinámica del campo vectorial de velocidad del flujo con componentes . En coordenadas cartesianas , estos componentes corresponden a la velocidad del flujo en los ejes x, y y z respectivamente. ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$

Para simplificar la forma final de las ecuaciones, es aceptable hacer varias suposiciones:

1. El flujo es incompresible (ésta no es una buena suposición para un flujo que varía rápidamente)
2. El número de Reynolds es lo suficientemente grande como para despreciar la difusión viscosa.
3. El flujo es unidimensional a través del eje x.

Ecuación de continuidad

La ecuación general de continuidad , que describe la conservación de la masa, toma la forma: donde es la densidad del fluido y es el operador de divergencia . Bajo el supuesto de flujo incompresible, con un volumen de control constante , esta ecuación tiene la expresión simple . Sin embargo, es posible que el área de la sección transversal cambie tanto con el tiempo como con el espacio en el canal. Si partimos de la forma integral de la ecuación de continuidad: es posible descomponer la integral de volumen en una sección transversal y una longitud, lo que lleva a la forma: Bajo el supuesto de flujo 1D incompresible, esta ecuación se convierte en: Al observar que y definiendo el caudal volumétrico , la ecuación se reduce a: Finalmente, esto conduce a la ecuación de continuidad para flujo de canal abierto 1D incompresible: $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla \cdot ()}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$ $${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$ ${\displaystyle \int _{A}dA=A}$ ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$ $${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

Ecuación de momento

La ecuación del momento para el flujo en canales abiertos se puede encontrar partiendo de las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes  : donde está la presión , es la viscosidad cinemática , es el operador de Laplace y es el potencial gravitacional . Al invocar el alto número de Reynolds y los supuestos de flujo 1D, tenemos las ecuaciones: La segunda ecuación implica una presión hidrostática , donde la profundidad del canal es la diferencia entre la elevación de la superficie libre y el fondo del canal . La sustitución en la primera ecuación da: donde la pendiente del lecho del canal . Para tener en cuenta el esfuerzo cortante a lo largo de las orillas del canal, podemos definir el término de fuerza como: donde es el esfuerzo cortante y es el radio hidráulico . Definir la pendiente de fricción , una forma de cuantificar las pérdidas por fricción, conduce a la forma final de la ecuación del momento: $${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Phi =gz}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle p=\rho g\zeta }$ ${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z_{b}}$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$ ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$ $${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

Ecuación de energía

Para derivar una ecuación de energía , tenga en cuenta que el término de aceleración advectiva se puede descomponer como: donde es la vorticidad del flujo y es la norma euclidiana . Esto lleva a una forma de ecuación de momento, ignorando el término de fuerzas externas, dada por: Tomar el producto escalar de con esta ecuación conduce a: Se llegó a esta ecuación usando el triple producto escalar . Definida como la densidad de energía : Observando que es independiente del tiempo, llegamos a la ecuación: Suponiendo que la densidad de energía es independiente del tiempo y el flujo es unidimensional, se llega a la simplificación: siendo una constante; esto es equivalente al principio de Bernoulli . De particular interés en el flujo en canales abiertos es la energía específica , que se utiliza para calcular la altura hidráulica que se define como: ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ $${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ $${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$ ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$ ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$ ${\displaystyle \Phi }$ $${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$ $${\displaystyle E+p=C}$$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle e=E/\rho g}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

siendo el peso específico . Sin embargo, los sistemas realistas requieren la adición de un término de pérdida de carga para tener en cuenta la disipación de energía debido a la fricción y la turbulencia que se ignoró al descontar el término de fuerzas externas en la ecuación del momento. ${\displaystyle \gamma =\rho g}$ ${\displaystyle h_{f}}$

Ver también

• HEC-RAS
• flujo de corriente
• Campos de estudio
  • Dinámica de fluidos computacional
  • Dinámica de fluidos
  • Hidráulica
  • Hidrología
• Tipos de flujo de fluido
  • Flujo laminar
  • Flujo de tubería
  • Flujo de transición
  • Flujo turbulento
• Propiedades del fluido
  • número froude
  • número de reynolds
  • Viscosidad
• Otros artículos relacionados
  • fórmula chezy
  • Ecuación de Darcy-Weisbach
  • Salto hidraulico
  • fórmula de dotación
  • Ecuaciones de Saint-Venant
  • Método de paso estándar

Referencias

1. Chow, Ven Te (2008). Hidráulica de canal abierto (PDF) . Caldwell, Nueva Jersey: The Blackburn Press. ISBN 978-1932846188.
2. Battjes, Jurjen A.; Labeur, Robert Jan (2017). Flujo inestable en canales abiertos. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 9781316576878.
3. Jobson, Harvey E.; Froehlich, David C. (1988). Principios hidráulicos básicos del flujo en canal abierto (PDF) . Reston, VA: Servicio Geológico de EE. UU.
4. Sturm, Terry W. (2001). Hidráulica de canal abierto (PDF) . Nueva York, Nueva York: McGraw-Hill. pag. 2.ISBN​ 9780073397870.

Otras lecturas

• Nezu, Iehisa; Nakagawa, Hiroji (1993). Turbulencia en flujos de canal abierto . Monografía del IADH. Róterdam, Países Bajos: AA Balkema. ISBN 9789054101185 . 
• Syzmkiewicz, Romuald (2010). Modelado Numérico en Hidráulica de Canal Abierto . Biblioteca de Ciencia y Tecnología del Agua. Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 9789048136735 . 

enlaces externos

• Notas de conferencias de Caltech :
  • Derivación de las ecuaciones de flujo en canal abierto
  • Perfiles de superficie para flujo constante en canales
• Flujo de canal abierto
• Conceptos de flujo de canal abierto
• ¿Qué es un salto hidráulico?
• Ejemplo de flujo de canal abierto
• Simulación de flujos turbulentos (p. 26-38)