número froude

Número adimensional; Relación entre la inercia del flujo de un fluido y el campo externo.

En mecánica continua , el número de Froude ( Fr , después de William Froude , / ˈfruːd / ^[1] ) es un número adimensional definido como la relación entre la inercia del flujo y el campo externo (este último en muchas aplicaciones simplemente debido a gravedad ). El número de Froude se basa en la relación velocidad-longitud que definió como: ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

u es la velocidad del flujogcampo externoLlongitud característicanúmero de Machdinámica de fluidoslas ecuaciones homogéneas de Eulerecuaciones de conservación

Sin embargo, en arquitectura naval , el número de Froude es una cifra importante que se utiliza para determinar la resistencia de un objeto parcialmente sumergido que se mueve en el agua.

Orígenes

En flujos de canales abiertos , Belanger 1828 introdujo por primera vez la relación entre la velocidad del flujo y la raíz cuadrada de la aceleración de la gravedad multiplicada por la profundidad del flujo. Cuando la relación era menor que la unidad, el flujo se comportaba como un movimiento fluvial (es decir, flujo subcrítico), y como un movimiento de flujo torrencial cuando la relación era mayor que la unidad. ^[4]

Los cascos de cisne (arriba) y cuervo (abajo). Froude construyó una secuencia de modelos a escala de 3, 6 y 12 pies (que se muestran en la imagen) y los utilizó en pruebas de remolque para establecer leyes de resistencia y escala.

La cuantificación de la resistencia de los objetos flotantes generalmente se atribuye a William Froude , quien utilizó una serie de modelos a escala para medir la resistencia que ofrecía cada modelo cuando era remolcado a una velocidad determinada. El constructor naval Frederic Reech había propuesto el concepto mucho antes, en 1852, para probar barcos y hélices, pero Froude no lo conocía. ^[5] La relación velocidad-longitud fue definida originalmente por Froude en su Ley de Comparación en 1868 en términos dimensionales como:

$${\displaystyle {\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$

• u = velocidad del flujo
• LWL = longitud de la línea de flotación

El término se convirtió en términos adimensionales y se le dio el nombre de Froude en reconocimiento al trabajo que realizó. En Francia, a veces se le llama número de Reech-Froude en honor a Frederic Reech. ^[6]

Definición y aplicación principal

Para mostrar cómo el número de Froude está vinculado a la mecánica general del continuo y no sólo a la hidrodinámica, partimos de la ecuación del momento de Cauchy en su forma adimensional (adimensional).

Ecuación del impulso de Cauchy

Para que las ecuaciones sean adimensionales, es necesario definir una longitud característica r ₀ y una velocidad característica u ₀ . Estos deben elegirse de manera que las variables adimensionales sean todas de orden uno. Se obtienen así las siguientes variables adimensionales:

$${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

Sustitución de estas relaciones inversas en las ecuaciones de momento de Euler y definición del número de Froude:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$

número de Euler

$${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

derivada material

Ecuación del momento de Cauchy ( forma convectiva adimensional )

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Las ecuaciones de tipo Cauchy en el límite alto de Froude Fr → ∞ (correspondiente a un campo externo despreciable) se denominan ecuaciones libres . Por otro lado, en el límite bajo de Euler Eu → 0 (correspondiente a una tensión despreciable), la ecuación general del momento de Cauchy se convierte en una ecuación de Burgers no homogénea (aquí hacemos explícita la derivada material ):

Ecuación de Burgers ( forma de conservación adimensional )

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Esta es una ecuación de advección pura no homogénea , tanto como la ecuación de Stokes es una ecuación de difusión pura .

Ecuación del momento de Euler

La ecuación del momento de Euler es una ecuación del momento de Cauchy siendo la ley de Pascal la relación constitutiva de la tensión:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Las ecuaciones libres de Euler son conservadoras. Por tanto, el límite de los números de Froude altos (campo externo bajo) es notable y puede estudiarse con la teoría de la perturbación .

Ecuación de impulso incompresible de Navier-Stokes

La ecuación de impulso incompresible de Navier-Stokes es una ecuación de impulso de Cauchy en la que la ley de Pascal y la ley de Stokes son las relaciones constitutivas de tensión:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$

^[7]

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Renúmero de Reynoldsdisipativas

Otras aplicaciones

Hidrodinámica del barco

Patrón de onda versus velocidad, que ilustra varios números de Froude.

En aplicaciones hidrodinámicas marinas, el número de Froude generalmente se hace referencia con la notación Fn y se define como: ^[8]

$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

ugaceleración debida a la gravedadLL _wlresistenciaresistencia a la formación de olas

En el caso de las embarcaciones de planeo, donde la longitud de la línea de flotación depende demasiado de la velocidad para ser significativa, el número de Froude se define mejor como número de Froude de desplazamiento y la longitud de referencia se toma como la raíz cúbica del desplazamiento volumétrico del casco:

$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

olas de aguas poco profundas

Para olas en aguas poco profundas, como tsunamis y saltos hidráulicos , la velocidad característica U es la velocidad promedio del flujo, promediada sobre la sección transversal perpendicular a la dirección del flujo. La velocidad de la onda, denominada celeridad c , es igual a la raíz cuadrada de la aceleración gravitacional g , multiplicada por el área de la sección transversal A , dividida por el ancho de la superficie libre B :

$${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$

d

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

Fr < 1flujo subcríticoFr > 1flujo supercríticoFr ≈ 1flujo crítico

Ingeniería eólica

Al considerar los efectos del viento en estructuras dinámicamente sensibles, como puentes colgantes, a veces es necesario simular el efecto combinado de la masa vibratoria de la estructura con la fuerza fluctuante del viento. En tales casos, se debe respetar el número de Froude. De manera similar, al simular columnas de humo caliente combinadas con viento natural, la escala del número de Froude es necesaria para mantener el equilibrio correcto entre las fuerzas de flotabilidad y el impulso del viento.

alometria

El número de Froude también se ha aplicado en alometría para estudiar la locomoción de animales terrestres, ^[9] incluidos antílopes ^[10] y dinosaurios. ^[11]

Número de Froude extendido

Los flujos de masa geofísicos, como avalanchas y flujos de escombros, tienen lugar en pendientes inclinadas que luego se fusionan en zonas de agotamiento suaves y planas. ^[12]

Así, estos flujos están asociados con la elevación de las pendientes topográficas que inducen la energía potencial de gravedad junto con la energía potencial de presión durante el flujo. Por lo tanto, el número de Froude clásico debería incluir este efecto adicional. Para tal situación, es necesario redefinir el número de Froude. El número de Froude extendido se define como la relación entre la energía cinética y la potencial:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$

uβ = gK cos ζKcoeficiente de presión del sueloζs _g = g sen ζxmi ${\displaystyle x_{d}}$_olla ^p
= βhE^g
_olla= s _g ( x _d − x )E^g
_ollaβhβh ≪ 1us _g ( x _d − x )βhFr

Tanques agitados

En el estudio de tanques agitados, el número de Froude gobierna la formación de vórtices superficiales. Dado que la velocidad de la punta del impulsor es ωr ( movimiento circular ), donde ω es la frecuencia del impulsor (generalmente en rpm ) y r es el radio del impulsor (en ingeniería, el diámetro se emplea con mucha más frecuencia), el número de Froude toma la siguiente forma:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

^[13].

Número densimétrico de Froude

Cuando se utiliza en el contexto de la aproximación de Boussinesq, el número densimétrico de Froude se define como

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$

g ′

$${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

Los modeladores que desean adimensionalizar una preferencia de velocidad suelen preferir el número densimétrico de Froude al número de Richardson , que se encuentra más comúnmente al considerar capas de corte estratificadas. Por ejemplo, el borde anterior de una corriente de gravedad se mueve con un número de Froude frontal de aproximadamente la unidad.

Número de Froude andante

El número de Froude puede utilizarse para estudiar tendencias en los patrones de marcha de los animales. En los análisis de la dinámica de la locomoción de las piernas, una extremidad que camina a menudo se modela como un péndulo invertido , donde el centro de masa pasa por un arco circular centrado en el pie. ^[14] El número de Froude es la relación entre la fuerza centrípeta alrededor del centro de movimiento, el pie y el peso del animal que camina:

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

mlgaceleración de la gravedadvvelocidadl^{[15][14] [16]}

El número de Froude también se puede calcular a partir de la frecuencia de zancada f de la siguiente manera: ^[15]

$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

Si se utiliza la longitud total de la pierna como longitud característica, entonces la velocidad máxima teórica al caminar tiene un número de Froude de 1,0, ya que cualquier valor más alto daría como resultado el despegue y el pie no tocaría el suelo. La velocidad de transición típica de caminar bípedo a correr ocurre con Fr ≈ 0,5 . ^[17] RM Alexander descubrió que animales de diferentes tamaños y masas que viajan a diferentes velocidades, pero con el mismo número de Froude, exhiben consistentemente andares similares. Este estudio encontró que los animales típicamente cambian de un paso deambulado a un paso de carrera simétrico (por ejemplo, un trote o ritmo) alrededor de un número de Froude de 1,0. Se observó una preferencia por el modo de andar asimétrico (p. ej., galope, galope transversal, galope giratorio, atado o inclinado) con números de Froude entre 2,0 y 3,0. ^[15]

Uso

El número de Froude se utiliza para comparar la resistencia a la formación de olas entre cuerpos de varios tamaños y formas.

En el flujo en superficie libre, la naturaleza del flujo ( supercrítico o subcrítico) depende de si el número de Froude es mayor o menor que la unidad.

Se puede ver fácilmente la línea de flujo "crítico" en el fregadero de una cocina o un baño. Déjalo desenchufado y deja correr el grifo. Cerca del lugar donde la corriente de agua llega al fregadero, el flujo es supercrítico. Se "abraza" a la superficie y se mueve rápidamente. En el borde exterior del patrón de flujo, el flujo es subcrítico. Este flujo es más espeso y se mueve más lentamente. El límite entre las dos áreas se llama "salto hidráulico". El salto comienza donde el flujo es crítico y el número de Froude es igual a 1,0.

El número de Froude se ha utilizado para estudiar las tendencias en la locomoción animal con el fin de comprender mejor por qué los animales utilizan diferentes patrones de marcha ^[15] , así como para formular hipótesis sobre la marcha de especies extintas. ^[dieciséis]

Además, el comportamiento del lecho de partículas se puede cuantificar mediante el número de Froude (Fr) para establecer la ventana operativa óptima. ^[18]

Ver también

• Velocidad del flujo  : campo vectorial que se utiliza para describir matemáticamente el movimiento de un continuo.
• Fuerza corporal  : fuerza que actúa en todo el volumen de un cuerpo.
• Ecuación del impulso de Cauchy
• Ecuación de Burgers  – Ecuación diferencial parcial
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)  : conjunto de ecuaciones hiperbólicas cuasilineales que gobiernan el flujo adiabático y no viscoso
• Número de Reynolds  : relación entre fuerzas inerciales y viscosas que actúan sobre un líquido

Notas

1. Merriam Webster Online (para el hermano James Anthony Froude ) [1]
2. Shih 2009, pág. 7.
3. Blanco 1999, pag. 294.
4. Chanson 2009, págs. 159-163.
5. Normandía 1888, págs. 257–261.
6. Chanson 2004, pag. xxvii.
7. Shih 2009.
8. Newman 1977, pag. 28.
9. Alejandro, R. McNeill (1 de octubre de 2013). "Capítulo 2. Soporte corporal, escalamiento y alometría". Morfología funcional de los vertebrados . Prensa de la Universidad de Harvard. págs. 26-37. doi :10.4159/harvard.9780674184404.c2. ISBN 978-0-674-18440-4.
10. Alejandro, R. McN. (1977). "Alometría de las extremidades de antílopes (Bovidae)". Revista de Zoología . 183 (1): 125-146. doi :10.1111/j.1469-7998.1977.tb04177.x. ISSN  0952-8369.
11. Alejandro, R. McNeill (1991). "Cómo corrían los dinosaurios". Científico americano . 264 (4): 130-137. Código Bib : 1991SciAm.264d.130A. doi : 10.1038/scientificamerican0491-130. ISSN  0036-8733. JSTOR  24936872.
12. Takahashi 2007, pag. 6.
13. "Mezcla de polvos - Diseño de mezcladores de polvos - Batidora de cinta, batidora de paletas, batidora de tambor, número de Froude". polvoprocess.net . y nd . Consultado el 31 de mayo de 2019 .
14. Vaughan y O'Malley 2005, págs. 350–362.
15. Alejandro 1984.
16. Vendedores y Manning 2007.
17. Alejandro 1989.
18. Jikar, Dhokey y Shinde 2021.

Referencias

• Alejandro, R. McN. (1984). "El andar de los animales bípedos y cuadrúpedos". La Revista Internacional de Investigación en Robótica . 3 (2): 49–59. doi :10.1177/027836498400300205. S2CID  120138903.
• Alejandro, RM (1989). "Optimización y marcha en la locomoción de vertebrados". Revisiones fisiológicas . 69 (4): 1199–227. doi :10.1152/physrev.1989.69.4.1199. PMID  2678167.
• Bélanger, Jean Baptiste (1828). Essai sur la Solution numerique de quelques problemes relatifs au mouvement permanente des eaux courantes [ Ensayo sobre la solución numérica de algunos problemas relativos al movimiento constante del agua corriente ] (en francés). París: Carilian-Goeury.
• Chanson, Hubert (2004). Hidráulica del flujo en canales abiertos: una introducción (2ª ed.). Butterworth-Heinemann. pag. 650.ISBN​ 978-0-7506-5978-9.
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• Newman, John Nicolás (1977). Hidrodinámica marina . Cambridge, Massachusetts: MIT Press . ISBN 978-0-262-14026-3.
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• Vendedores, William Irvin; Manning, Phillip Lars (2007). "Estimación de las velocidades máximas de carrera de los dinosaurios utilizando robótica evolutiva". Actas de la Royal Society B: Ciencias Biológicas . 274 (1626): 2711–6. doi :10.1098/rspb.2007.0846. JSTOR  25249388. PMC  2279215 . PMID  17711833.
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enlaces externos

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf