La ecuación de las hamburguesas

Ecuación diferencial parcial

Soluciones de la ecuación de Burgers a partir de una condición inicial gaussiana . ${\displaystyle u(x,0)=e^{-x^{2}/2}}$

Soluciones tipo onda N de la ecuación de Burgers, partiendo de la condición inicial . ${\displaystyle u(x,0)=e^{-(x-1)^{2}/2}-e^{-(x+1)^{2}/2}}$

La ecuación de Burgers o ecuación de Bateman-Burgers es una ecuación diferencial parcial fundamental y una ecuación de convección-difusión ^[1] que ocurre en diversas áreas de las matemáticas aplicadas , como la mecánica de fluidos , ^[2] la acústica no lineal , ^[3] la dinámica de los gases y el flujo de tráfico. . ^[4] La ecuación fue introducida por primera vez por Harry Bateman en 1915 ^{[5] [6]} y posteriormente estudiada por Johannes Martinus Burgers en 1948. ^[7] Para un campo y coeficiente de difusión dados (o viscosidad cinemática , como en la mecánica de fluidos original contexto) , la forma general de la ecuación de Burgers (también conocida como ecuación de Burgers viscosa ) en una dimensión espacial es el sistema disipativo : ${\displaystyle u(x,t)}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

El término también puede reescribirse como . Cuando el término de difusión está ausente (es decir ), la ecuación de Burgers se convierte en la ecuación invisible de Burgers : ${\displaystyle u\partial u/\partial x}$ ${\displaystyle \partial (u^{2}/2)/\partial x}$ ${\displaystyle \nu =0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,}$

que es un prototipo de ecuaciones de conservación que pueden desarrollar discontinuidades ( ondas de choque ).

La razón de la formación de gradientes pronunciados para valores pequeños de se vuelve intuitivamente clara cuando se examina el lado izquierdo de la ecuación. El término es evidentemente un operador de onda que describe una onda que se propaga en dirección positiva con una velocidad . Dado que la velocidad de la onda es , las regiones que exhiben valores grandes de se propagarán hacia la derecha más rápidamente que las regiones que exhiben valores más pequeños de ; en otras palabras, si inicialmente está disminuyendo en la dirección -, entonces los más grandes que se encuentran en la parte posterior alcanzarán a los más pequeños que están en el frente. La función del término difusivo del lado derecho es esencialmente evitar que el gradiente se vuelva infinito. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \partial /\partial t+u\partial /\partial x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

La ecuación de Inviscid Burgers

La ecuación invisible de Burgers es una ecuación de conservación , más generalmente una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden . La solución de la ecuación y junto con la condición inicial.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0,\quad u(x,0)=f(x)}$

puede construirse mediante el método de las características . Sea el parámetro que caracteriza cualquier característica dada en el plano - , entonces las ecuaciones características están dadas por ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=u,\quad {\frac {du}{dt}}=0.}$

La integración de la segunda ecuación nos dice que es constante a lo largo de la característica y la integración de la primera ecuación muestra que las características son líneas rectas, es decir, ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u=c,\quad x=ut+\xi }$

¿Dónde está el punto (o parámetro) en el eje x ( t  = 0) del plano x - t desde el cual se dibuja la curva característica? Dado que en el eje se conoce la condición inicial y el hecho de que no cambia a medida que avanzamos a lo largo de la característica que emana de cada punto , escribimos en cada característica. Por lo tanto, la familia de trayectorias de características parametrizadas por es ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=\xi }$ ${\displaystyle u=c=f(\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle x=f(\xi )t+\xi .}$

Así, la solución viene dada por

${\displaystyle u(x,t)=f(\xi )=f(x-ut),\quad \xi =x-f(\xi )t.}$

Ésta es una relación implícita que determina la solución de la ecuación invisible de Burgers siempre que las características no se crucen. Si las características se cruzan, entonces no existe una solución clásica para la PDE y conduce a la formación de una onda de choque . El hecho de que las características puedan cruzarse o no depende de la condición inicial. De hecho, el tiempo de ruptura antes de que se pueda formar una onda de choque viene dado por ^{[8] [9]}

${\displaystyle t_{b}={\frac {-1}{\inf _{x}\left(f^{\prime }(x)\right)}}.}$

Integral completa de la ecuación de Burgers invisible

La solución implícita descrita anteriormente que contiene una función arbitraria se llama integral general. Sin embargo, la ecuación invisible de Burgers, al ser una ecuación diferencial parcial de primer orden , también tiene una integral completa que contiene dos constantes arbitrarias (para las dos variables independientes). ^{[10] [ se necesita mejor fuente ]} Subrahmanyan Chandrasekhar proporcionó la integral completa en 1943, ^[11] que viene dada por ${\displaystyle f}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {ax+b}{at+1}}.}$

donde y son constantes arbitrarias. La integral completa satisface una condición inicial lineal, es decir, . También se puede construir la integral general utilizando la integral completa anterior. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=ax+b}$

Ecuación de las hamburguesas viscosas

La ecuación viscosa de Burgers se puede convertir en una ecuación lineal mediante la transformación de Cole-Hopf , ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \varphi (x,t),}$

lo que lo convierte en la ecuación

${\displaystyle 2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\left[{\frac {1}{\varphi }}\left({\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}\right)\right]=0,}$

que se puede integrar con respecto a para obtener ${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}-\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}=\varphi {\frac {df(t)}{dt}},}$

donde es una función arbitraria del tiempo. Introduciendo la transformación (que no afecta a la función ), la ecuación requerida se reduce a la de la ecuación del calor ^[15] ${\displaystyle df/dt}$ ${\displaystyle \varphi \to \varphi e^{f}}$ ${\displaystyle u(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=\nu {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial x^{2}}}.}$

La ecuación de difusión se puede resolver . Es decir, si , entonces ${\displaystyle \varphi (x,0)=\varphi _{0}(x)}$

${\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{0}(x')\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}\right]dx'.}$

La función inicial está relacionada con la función inicial por ${\displaystyle \varphi _{0}(x)}$ ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$

${\displaystyle \ln \varphi _{0}(x)=-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x}f(x')dx',}$

donde el límite inferior se elige arbitrariamente. Invirtiendo la transformación de Cole-Hopf, tenemos

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{{\frac {1}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}}$

lo que simplifica, al deshacerse del prefactor dependiente del tiempo en el argumento de los logarhim, a

${\displaystyle u(x,t)=-2\nu {\frac {\partial }{\partial x}}\ln \left\{\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{\frac {(x-x')^{2}}{4\nu t}}-{\frac {1}{2\nu }}\int _{0}^{x'}f(x'')dx''\right]dx'\right\}.}$

Esta solución se deriva de la solución de la ecuación del calor que decae a cero cuando ; Se pueden obtener otras soluciones a partir de soluciones de que satisfagan diferentes condiciones de contorno. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle x\to \pm \infty }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \varphi }$

Algunas soluciones explícitas de la ecuación viscosa de Burgers

Se encuentran disponibles expresiones explícitas para la ecuación de Burgers viscosa. Algunas de las soluciones físicamente relevantes se dan a continuación: ^[16]

Onda viajera que se propaga constantemente

Si es tal que y y , entonces tenemos una solución de onda viajera (con velocidad constante ) dada por ${\displaystyle u(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle f(-\infty )=f^{+}}$ ${\displaystyle f(+\infty )=f^{-}}$ ${\displaystyle f'(x)<0}$ ${\displaystyle c=(f^{+}+f^{-})/2}$

${\displaystyle u(x,t)=c-{\frac {f^{+}-f^{-}}{2}}\tanh \left[{\frac {f^{+}-f^{-}}{4\nu }}(x-ct)\right].}$

Esta solución, originalmente derivada por Harry Bateman en 1915, ^[5] se utiliza para describir la variación de la presión a través de una onda de choque débil ^[15] . cuando y para ${\displaystyle f^{+}=2}$ ${\displaystyle f^{-}=0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2}{1+e^{\frac {x-t}{\nu }}}}}$

con . ${\displaystyle c=1}$

Función delta como condición inicial

Si , donde (digamos, el número de Reynolds ) es una constante, entonces tenemos ^[17] ${\displaystyle u(x,0)=2\nu Re\delta (x)}$ ${\displaystyle Re}$

${\displaystyle u(x,t)={\sqrt {\frac {\nu }{\pi t}}}\left[{\frac {(e^{Re}-1)e^{-x^{2}/4\nu t}}{1+(e^{Re}-1)\mathrm {erfc} (x/{\sqrt {4\nu t}})/{\sqrt {2}}}}\right].}$

En el límite , el comportamiento limitante es una dispersión difusional de una fuente y por lo tanto viene dado por ${\displaystyle Re\to 0}$

${\displaystyle u(x,t)={\frac {2\nu Re}{\sqrt {4\pi \nu t}}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{4\nu t}}\right).}$

Por otro lado, en el límite , la solución se acerca a la de la solución de onda de choque de Chandrasekhar de la ecuación invisible de Burgers antes mencionada y está dada por ${\displaystyle Re\to \infty }$

${\displaystyle u(x,t)={\begin{cases}{\frac {x}{t}},\quad 0<x<{\sqrt {2\nu Re\,t}},\\0,\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

La ubicación de la onda de choque y su velocidad están dadas por y ${\displaystyle x={\sqrt {2\nu Re\,t}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\nu Re/t}}.}$

Solución de onda N

La solución de onda N comprende una onda de compresión seguida de una onda de rarafacción. Una solución de este tipo viene dada por

${\displaystyle u(x,t)={\frac {x}{t}}\left[1+{\frac {1}{e^{Re_{0}-1}}}{\sqrt {\frac {t}{t_{0}}}}\exp \left(-{\frac {Re(t)x^{2}}{4\nu Re_{0}t}}\right)\right]^{-1}}$

donde puede considerarse como un número de Reynolds inicial en el tiempo y con , puede considerarse como el número de Reynold variable en el tiempo. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$ ${\displaystyle Re(t)=(1/2\nu )\int _{0}^{\infty }udx=\ln(1+{\sqrt {\tau /t}})}$ ${\displaystyle \tau =t_{0}{\sqrt {e^{Re_{0}}-1}}}$

Otras formas

Ecuación de hamburguesas multidimensional

En dos o más dimensiones, la ecuación de Burgers se convierte en

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\cdot \nabla u=\nu \nabla ^{2}u.}$

También se puede ampliar la ecuación para el campo vectorial , aunque no es muy útil, como en ${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} .}$

Ecuación de Burgers generalizada

La ecuación generalizada de Burgers extiende la convectiva cuasilineal a una forma más generalizada, es decir,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+c(u){\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$

¿Dónde está cualquier función arbitraria de u? La ecuación invisible sigue siendo una ecuación hiperbólica cuasilineal y su solución se puede construir utilizando el método de características como antes. ^[18] ${\displaystyle c(u)}$ ${\displaystyle \nu =0}$ ${\displaystyle c(u)>0}$

Ecuación de hamburguesas estocásticas

El ruido espacio-temporal agregado , donde es un proceso de Wiener , forma una ecuación estocástica de Burgers ^[19] ${\displaystyle \eta (x,t)={\dot {W}}(x,t)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-\lambda {\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$

Esta PDE estocástica es la versión unidimensional de la ecuación de Kardar-Parisi-Zhang en un campo al sustituir . ${\displaystyle h(x,t)}$ ${\displaystyle u(x,t)=-\lambda \partial h/\partial x}$

Ver también

• La ecuación de Chaplygin
• Ecuación de conservación
• Ecuación de Euler-Tricomi
• Ecuación de Fokker-Planck
• Ecuación de KdV-Burgers

Referencias

1. Misra, Souren; Raghurama Rao, SV; Bobba, Manoj Kumar (1 de septiembre de 2010). "Modelado a escala de subred basado en sistemas de relajación para simulación de grandes remolinos de la ecuación de Burgers". Revista internacional de dinámica de fluidos computacional . 24 (8): 303–315. Código Bib : 2010IJCFD..24..303M. doi :10.1080/10618562.2010.523518. ISSN  1061-8562. S2CID  123001189.
2. Se relaciona con la ecuación de impulso de Navier-Stokes sin el término de presión. Ecuación de Burgers (PDF): aquí la variable es la velocidad del flujo y = u
3. Surge de la ecuación de Westervelt con el supuesto de ondas que se propagan estrictamente hacia adelante y el uso de una transformación de coordenadas a un marco de tiempo retardado: aquí la variable es la presión.
4. Musha, Toshimitsu; Higuchi, Hideyo (1 de mayo de 1978). "Fluctuación de la corriente de tráfico y la ecuación de las hamburguesas". Revista Japonesa de Física Aplicada . 17 (5): 811. Código bibliográfico : 1978JaJAP..17..811M. doi :10.1143/JJAP.17.811. ISSN  1347-4065. S2CID  121252757.
5. Bateman, H. (1915). "Algunas investigaciones recientes sobre el movimiento de fluidos". Revisión meteorológica mensual . 43 (4): 163-170. Código bibliográfico : 1915MWRv...43..163B. doi : 10.1175/1520-0493(1915)43<163:SRROTM>2.0.CO;2 .
6. Whitham, GB (2011). Ondas lineales y no lineales (Vol. 42). John Wiley e hijos.
7. Hamburguesas, JM (1948). "Un modelo matemático que ilustra la teoría de la turbulencia". Avances en Mecánica Aplicada . 1 : 171–199. doi :10.1016/S0065-2156(08)70100-5. ISBN 9780123745798.
8. Olver, Peter J. (2013). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales. Textos de Pregrado en Matemáticas. En línea: Springer. pag. 37. doi :10.1007/978-3-319-02099-0. ISBN 978-3-319-02098-3. S2CID  220617008.
9. Cameron, María (29 de febrero de 2024). "Notas sobre la ecuación de Burger" (PDF) . Departamento de Matemáticas de la Universidad de Maryland, sitio web personal de Maria Cameron . Consultado el 29 de febrero de 2024 .
10. Forsyth, AR (1903). Tratado sobre ecuaciones diferenciales . Londres: Macmillan.
11. Chandrasekhar, S. (1943). Sobre la desintegración de las ondas de choque aéreas (Informe). Laboratorios de investigación balística. Informe No. 423.
12. Cole, Julián (1951). "Sobre una ecuación parabólica cuasi lineal que ocurre en aerodinámica". Trimestral de Matemática Aplicada . 9 (3): 225–236. doi : 10.1090/qam/42889 . JSTOR  43633894.
13. Eberhard Hopf (septiembre de 1950). "La ecuación diferencial parcial u _t + uu _x = μu _xx ". Comunicaciones sobre Matemática Pura y Aplicada . 3 (3): 201–230. doi :10.1002/cpa.3160030302.
14. Kevorkian, J. (1990). Ecuaciones diferenciales parciales: técnicas de solución analítica . Belmont: Wadsworth. págs. 31–35. ISBN 0-534-12216-7.
15. Landau, LD y Lifshitz, EM (2013). Mecánica de fluidos: Landau y Lifshitz: curso de física teórica, Volumen 6 (Vol. 6). Elsevier. Página 352-354.
16. Salih, A. "Ecuación de las hamburguesas". Instituto Indio de Ciencia y Tecnología Espaciales, Thiruvananthapuram (2016).
17. Whitham, Gerald Beresford. Ondas lineales y no lineales. John Wiley e hijos, 2011.
18. Courant, R. y Hilbert, D. Métodos de física matemática. vol. II.
19. Wang, W.; Roberts, AJ (2015). "Aproximación de difusión para la autosimilitud de la advección estocástica en la ecuación de Burgers". Comunicaciones en Física Matemática . 333 (3): 1287-1316. arXiv : 1203.0463 . Código Bib : 2015CMaPh.333.1287W. doi :10.1007/s00220-014-2117-7. S2CID  119650369.

enlaces externos

• Ecuación de Burgers en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación de Burgers en NEQwiki, la enciclopedia de ecuaciones no lineales.