Acústica no lineal

No linealidad en la propagación de ondas ultrasónicas a través del tejido en amplitudes mayores

La acústica no lineal (NLA) es una rama de la física y la acústica que se ocupa de ondas sonoras de amplitudes suficientemente grandes. Las grandes amplitudes requieren el uso de sistemas completos de ecuaciones rectoras de dinámica de fluidos (para ondas sonoras en líquidos y gases) y elasticidad (para ondas sonoras en sólidos). Estas ecuaciones son generalmente no lineales y su linealización tradicional ya no es posible. Las soluciones de estas ecuaciones muestran que, debido a los efectos de la no linealidad , las ondas sonoras se van distorsionando a medida que viajan.

Introducción

Una onda sonora se propaga a través de un material como un cambio de presión localizado . Al aumentar la presión de un gas o fluido, aumenta su temperatura local. La velocidad local del sonido en un material comprimible aumenta con la temperatura; como resultado, la onda viaja más rápido durante la fase de alta presión de la oscilación que durante la fase de baja presión. Esto afecta la estructura de frecuencia de la onda; por ejemplo, en una onda inicialmente sinusoidal simple de una sola frecuencia, los picos de la onda viajan más rápido que los valles, y el pulso se vuelve acumulativamente más parecido a una onda en dientes de sierra . En otras palabras, la onda se distorsiona. Al hacerlo se introducen otros componentes de frecuencia , que pueden describirse mediante la serie de Fourier. Este fenómeno es característico de un sistema no lineal , ya que un sistema acústico lineal responde sólo a la frecuencia de conducción. Esto siempre ocurre, pero los efectos de la dispersión geométrica y de la absorción generalmente superan la autodistorsión, por lo que generalmente prevalece el comportamiento lineal y la propagación acústica no lineal ocurre solo para amplitudes muy grandes y solo cerca de la fuente.

Además, ondas de diferentes amplitudes generarán diferentes gradientes de presión, lo que contribuirá al efecto no lineal.

análisis fisico

Los cambios de presión dentro de un medio hacen que la energía de las olas se transfiera a armónicos más altos. Dado que la atenuación generalmente aumenta con la frecuencia, existe un contraefecto que cambia la naturaleza del efecto no lineal a lo largo de la distancia. Para describir su nivel de no linealidad, a los materiales se les puede dar un parámetro de no linealidad, . Los valores de y son los coeficientes de los términos de primer y segundo orden de la expansión en serie de Taylor de la ecuación que relaciona la presión del material con su densidad. La serie de Taylor tiene más términos y, por tanto, más coeficientes (C, D, ...), pero rara vez se utilizan. En la siguiente tabla se muestran los valores típicos del parámetro de no linealidad en medios biológicos. ^[1] ${\displaystyle B/A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

En un líquido se suele utilizar un coeficiente modificado conocido como . ${\displaystyle \beta =1+{\frac {B}{2A}}}$

Modelo matemático

Ecuaciones rectoras para derivar la ecuación de Westervelt

Continuidad:

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\textbf {u}})=0}$

Conservación de momento:

${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial {\textbf {u}}}{\partial t}}+{\textbf {u}}\cdot \nabla {\textbf {u}}\right)+\nabla p=(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot {\textbf {u}})}$

con expansión de perturbación de Taylor sobre la densidad:

${\displaystyle \rho =\sum _{0}^{\infty }\varepsilon ^{i}\rho _{i}}$

donde ε es un parámetro pequeño, es decir, el parámetro de perturbación, la ecuación de estado se convierte en:

${\displaystyle p=\varepsilon \rho _{1}c_{0}^{2}\left(1+\varepsilon {\frac {B}{2!A}}{\frac {\rho _{1}}{\rho _{0}}}+O(\varepsilon ^{2})\right)}$

Si se elimina el segundo término de la expansión de presión de Taylor, se puede derivar la ecuación de onda viscosa. Si se mantiene, el término no lineal de presión aparece en la ecuación de Westervelt.

Ecuación de Westervelt

La ecuación de onda general que explica la no linealidad hasta el segundo orden viene dada por la ecuación de Westervelt ^[2]

${\displaystyle \,\nabla ^{2}p-{\frac {1}{c_{0}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}+{\frac {\delta }{c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial t^{3}}}=-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{4}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial t^{2}}}}$

donde es la presión del sonido, es la velocidad del sonido de la señal pequeña, es la difusividad del sonido, es el coeficiente de no linealidad y es la densidad ambiental. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{0}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$

La difusividad del sonido está dada por

${\displaystyle \,\delta ={\frac {1}{\rho _{0}}}\left({\frac {4}{3}}\mu +\mu _{B}\right)+{\frac {k}{\rho _{0}}}\left({\frac {1}{c_{v}}}-{\frac {1}{c_{p}}}\right)}$

donde está la viscosidad de corte, la viscosidad aparente, la conductividad térmica y el calor específico a volumen y presión constantes, respectivamente. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{B}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle c_{v}}$ ${\displaystyle c_{p}}$

La ecuación de las hamburguesas

La ecuación de Westervelt se puede simplificar para tomar una forma unidimensional con el supuesto de ondas que se propagan estrictamente hacia adelante y el uso de una transformación de coordenadas a un marco de tiempo retardado: ^[3]

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}-{\frac {\beta }{\rho _{0}c_{0}^{3}}}p{\frac {\partial p}{\partial \tau }}={\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial \tau ^{2}}}}$

¿Dónde está el tiempo retrasado ? Esto corresponde a una ecuación viscosa de Burgers: ${\displaystyle \tau =t-z/c_{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t'}}+y{\frac {\partial y}{\partial x}}=d{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}}$

en el campo de presión (y=p), con una "variable de tiempo" matemática:

${\displaystyle t'={\frac {z}{c_{0}}}}$

y con una "variable de espacio":

${\displaystyle x=-{\frac {\rho _{0}c_{0}^{2}}{\beta }}\tau }$

y un coeficiente de difusión negativo:

${\displaystyle d=-{\frac {\rho _{0}c_{0}}{2\beta ^{2}}}\delta }$.

La ecuación de Burgers es la ecuación más simple que describe los efectos combinados de la no linealidad y las pérdidas en la propagación de ondas progresivas.

ecuación KZK

La ecuación de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK), que lleva el nombre de Rem Khokhlov , Evgenia Zabolotskaya y VP Kuznetsov, describe un aumento de la ecuación de Burgers que tiene en cuenta los efectos combinados de la no linealidad, la difracción y la absorción en haces de sonido direccionales . ^[4] Las soluciones a esta ecuación se utilizan generalmente para modelar acústica no lineal.

Si el eje está en la dirección de la trayectoria del haz de sonido y el plano es perpendicular a él, la ecuación KZK se puede escribir ^[5] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle \,{\frac {\partial ^{2}p}{\partial z\partial \tau }}={\frac {c_{0}}{2}}\nabla _{\perp }^{2}p+{\frac {\delta }{2c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{3}p}{\partial \tau ^{3}}}+{\frac {\beta }{2\rho _{0}c_{0}^{3}}}{\frac {\partial ^{2}p^{2}}{\partial \tau ^{2}}}}$

La ecuación se puede resolver para un sistema particular usando un esquema de diferencias finitas . Estas soluciones muestran cómo el haz de sonido se distorsiona al pasar a través de un medio no lineal.

Ocurrencias comunes

estampido supersónico

El comportamiento no lineal de la atmósfera provoca un cambio en la forma de las ondas en un boom sónico . Generalmente, esto hace que el boom sea más "agudo" o repentino, a medida que el pico de alta amplitud se mueve hacia el frente de onda.

Levitación acústica

La levitación acústica no sería posible sin fenómenos acústicos no lineales. ^[6] Los efectos no lineales son particularmente evidentes debido a las ondas acústicas de alta potencia involucradas.

Ondas ultrasónicas

Debido a su relación amplitud - longitud de onda relativamente alta , las ondas ultrasónicas comúnmente muestran un comportamiento de propagación no lineal. Por ejemplo, la acústica no lineal es un campo de interés para la ultrasonografía médica porque puede aprovecharse para producir una mejor calidad de imagen.

Acústica musical

El comportamiento físico de la acústica musical es principalmente no lineal. Se intenta modelar su generación de sonido a partir de síntesis de modelado físico , emulando su sonido a partir de mediciones de su no linealidad. ^[7]

matrices paramétricas

Una matriz paramétrica es un mecanismo de transducción no lineal que genera haces de sonido de baja frecuencia estrechos y casi sin lóbulos laterales, mediante la mezcla y la interacción de ondas sonoras de alta frecuencia. Las aplicaciones son, por ejemplo, en acústica y audio subacuáticos.

Ver también

• Cavitación

Referencias

1. Pozos, PNT (1999). "Imágenes ultrasónicas del cuerpo humano". Informes sobre los avances en física . 62 (5): 671–722. Código Bib : 1999RPPh...62..671W. doi :10.1088/0034-4885/62/5/201. S2CID  250909449.
2. Hamilton, MF; Blackstock, DT (1998). Acústica no lineal . Prensa académica. pag. 55.ISBN​ 0-12-321860-8.
3. Hamilton, MF; Blackstock, DT (1998). Acústica no lineal . Prensa académica. pag. 57.ISBN​ 0-12-321860-8.
4. Anna Rozanova-Pierrat. "Análisis matemático de la ecuación de Khokhlov-Zabolotskaya-Kuznetsov (KZK)" (PDF) . HAL (archivo abierto) . Laboratoire Jacques-Louis Lions, Universidad Pierre y Marie Curie . Consultado el 10 de noviembre de 2008 .
5. VF Humphrey. "Propagación no lineal para imágenes médicas" (PDF) . Congreso Mundial de Ultrasonidos 2003 . Departamento de Física, Universidad de Bath, Bath, Reino Unido . Consultado el 11 de septiembre de 2020 .
6. "Cómo funciona la levitación acústica". Como funcionan las cosas . 6 de febrero de 2007.
7. Tronchin, Lamberto (2012). "La emulación de sistemas de audio no lineales invariantes en el tiempo con memoria mediante la serie Volterra". JAÉS . 60 (12): 984–996.