Ecuación de Hagen-Poiseuille

Ley que describe la caída de presión en un fluido incompresible y newtoniano

En dinámica de fluidos no ideal , la ecuación de Hagen-Poiseuille , también conocida como ley de Hagen-Poiseuille , ley de Poiseuille o ecuación de Poiseuille , es una ley física que da la caída de presión en un fluido incompresible y newtoniano en flujo laminar que fluye a través de un tubo cilíndrico largo de sección transversal constante. Puede aplicarse con éxito al flujo de aire en los alvéolos pulmonares , o al flujo a través de una pajita para beber o a través de una aguja hipodérmica . Fue derivada experimentalmente de forma independiente por Jean Léonard Marie Poiseuille en 1838 ^[1] y Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen , ^[2] y publicada por Hagen en 1839 ^[1] y luego por Poiseuille en 1840-41 y 1846. ^[1] La justificación teórica de la ley de Poiseuille fue dada por George Stokes en 1845. ^[3]

Los supuestos de la ecuación son que el fluido es incompresible y newtoniano ; el flujo es laminar a través de una tubería de sección transversal circular constante que es sustancialmente más larga que su diámetro; y no hay aceleración del fluido en la tubería. Para velocidades y diámetros de tubería superiores a un umbral, el flujo real del fluido no es laminar sino turbulento , lo que genera mayores caídas de presión que las calculadas por la ecuación de Hagen-Poiseuille.

La ecuación de Poiseuille describe la caída de presión debido a la viscosidad del fluido; otros tipos de caídas de presión aún pueden ocurrir en un fluido (vea una demostración aquí). ^[4] Por ejemplo, la presión necesaria para impulsar un fluido viscoso contra la gravedad contendría tanto la necesaria en la ley de Poiseuille más la necesaria en la ecuación de Bernoulli , de modo que cualquier punto en el flujo tendría una presión mayor que cero (de lo contrario, no habría flujo).

Otro ejemplo es cuando la sangre fluye hacia una constricción más estrecha , su velocidad será mayor que en un diámetro mayor (debido a la continuidad del caudal volumétrico ) y su presión será menor que en un diámetro mayor ^[4] (debido a la ecuación de Bernoulli). Sin embargo, la viscosidad de la sangre provocará una caída de presión adicional a lo largo de la dirección del flujo, que es proporcional a la longitud recorrida ^[4] (según la ley de Poiseuille). Ambos efectos contribuyen a la caída de presión real .

Ecuación

En notación de cinética de fluidos estándar: ^{[5] [6] [7]}

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},}$

dónde

Δ p es la diferencia de presión entre los dos extremos,

L es la longitud de la tubería,

μ es la viscosidad dinámica ,

Q es el caudal volumétrico ,

R es el radio de la tubería,

A es el área de la sección transversal de la tubería.

La ecuación no se cumple cerca de la entrada de la tubería. ^{[8] : 3}

La ecuación falla en el límite de baja viscosidad, tubería ancha y/o corta. Una baja viscosidad o una tubería ancha pueden dar como resultado un flujo turbulento, lo que hace necesario utilizar modelos más complejos, como la ecuación de Darcy-Weisbach . La relación entre la longitud y el radio de una tubería debe ser mayor que 1/48 del número de Reynolds para que la ley de Hagen-Poiseuille sea válida. ^[9] Si la tubería es demasiado corta, la ecuación de Hagen-Poiseuille puede dar como resultado caudales no físicamente altos; el flujo está limitado por el principio de Bernoulli , en condiciones menos restrictivas, por

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta p={\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&={\frac {1}{2}}\rho \left({\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}}$

porque es imposible tener presión negativa (absoluta) (que no debe confundirse con presión manométrica ) en un flujo incompresible.

Relación con la ecuación de Darcy-Weisbach

Normalmente, el flujo de Hagen-Poiseuille implica no solo la relación para la caída de presión, antes mencionada, sino también la solución completa para el perfil de flujo laminar, que es parabólico. Sin embargo, el resultado para la caída de presión se puede extender al flujo turbulento infiriendo una viscosidad turbulenta efectiva en el caso del flujo turbulento, aunque el perfil de flujo en el flujo turbulento, estrictamente hablando, no es realmente parabólico. En ambos casos, laminar o turbulento, la caída de presión está relacionada con la tensión en la pared, que determina el llamado factor de fricción. La tensión de la pared se puede determinar fenomenológicamente mediante la ecuación de Darcy-Weisbach en el campo de la hidráulica , dada una relación para el factor de fricción en términos del número de Reynolds. En el caso del flujo laminar, para una sección transversal circular:

${\displaystyle \Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},}$

donde Re es el número de Reynolds , ρ es la densidad del fluido y v es la velocidad media del flujo, que es la mitad de la velocidad máxima del flujo en el caso del flujo laminar. Resulta más útil definir el número de Reynolds en términos de la velocidad media del flujo porque esta cantidad permanece bien definida incluso en el caso del flujo turbulento, mientras que la velocidad máxima del flujo puede no estarlo, o en cualquier caso, puede ser difícil de inferir. En esta forma, la ley se aproxima al factor de fricción de Darcy , el factor de pérdida de energía (carga) , el factor de pérdida de fricción o el factor (fricción) de Darcy Λ en el flujo laminar a velocidades muy bajas en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de una forma ligeramente diferente de la ley fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero que llamó a esta ley ley de Poiseuille.

La ley también es muy importante en hemorreología y hemodinámica , ambos campos de la fisiología . ^[10]

La ley de Poiseuille fue extendida más tarde, en 1891, al flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basándose en el trabajo de Hagenbach.

Derivación

La ecuación de Hagen-Poiseuille se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes . El flujo laminar a través de una tubería de sección transversal uniforme (circular) se conoce como flujo de Hagen-Poiseuille. Las ecuaciones que rigen el flujo de Hagen-Poiseuille se pueden derivar directamente de las ecuaciones de momento de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas 3D ( r , θ , x ) haciendo el siguiente conjunto de suposiciones:

1. El flujo es constante ( ⁠∂.../∂​⁠ = 0 ).
2. Los componentes radial y azimutal de la velocidad del fluido son cero ( u _r = u _θ = 0 ).
3. El flujo es axisimétrico ( ⁠∂.../∂ θ⁠ = 0 ).
4. El flujo está completamente desarrollado ( ⁠∂ u _x/∂ x⁠ = 0 ). Sin embargo, aquí esto se puede demostrar mediante la conservación de la masa y las suposiciones anteriores.

Entonces, la ecuación angular en las ecuaciones de momento y la ecuación de continuidad se satisfacen de manera idéntica. La ecuación de momento radial se reduce a ⁠∂ p/∂ r⁠ = 0 , es decir, la presión p es una función de la coordenada axial x únicamente. Para abreviar, utilice u en lugar de. La ecuación del momento axial se reduce a ${\displaystyle u_{x}}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}}$

donde μ es la viscosidad dinámica del fluido. En la ecuación anterior, el lado izquierdo es solo una función de r y el término del lado derecho es solo una función de x , lo que implica que ambos términos deben ser la misma constante. Evaluar esta constante es sencillo. Si tomamos la longitud de la tubería como L y denotamos la diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería por Δ p (alta presión menos baja presión), entonces la constante es simplemente

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G}$

definida de manera que G sea positiva. La solución es

${\displaystyle u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}}$

Dado que u debe ser finito en r = 0 , c ₁ = 0. La condición de contorno sin deslizamiento en la pared de la tubería requiere que u = 0 en r = R (radio de la tubería), lo que produce c ₂ = ⁠GR ²/4 micrones⁠ . Así que finalmente tenemos el siguienteperfil de velocidad parabólica :

${\displaystyle u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).}$

La velocidad máxima se produce en la línea central de la tubería ( r = 0 ), u _máx = ⁠GR ²/4 micrones⁠ . La velocidad media se puede obtener integrando sobre la sección transversal de la tubería ,

${\displaystyle {u}_{\mathrm {avg} }={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u}_{\mathrm {max} }.}$

La cantidad que se puede medir fácilmente en los experimentos es el caudal volumétrico Q = π R ² u _avg . La reordenación de esta ecuación da como resultado la ecuación de Hagen-Poiseuille

${\displaystyle \Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.}$

Elaborar una derivación que comience directamente desde los primeros principios

Aunque es más extenso que utilizar directamente las ecuaciones de Navier-Stokes , un método alternativo para derivar la ecuación de Hagen-Poiseuille es el siguiente.

Flujo de líquido a través de una tubería

a) Un tubo que muestra la lámina imaginaria. b) Una sección transversal del tubo muestra la lámina moviéndose a diferentes velocidades. Las que están más cerca del borde del tubo se mueven lentamente, mientras que las que están cerca del centro se mueven rápidamente.

Supongamos que el líquido presenta un flujo laminar . El flujo laminar en un tubo redondo implica que hay un conjunto de capas circulares (láminas) de líquido, cada una de las cuales tiene una velocidad determinada únicamente por su distancia radial desde el centro del tubo. Supongamos también que el centro se mueve más rápido mientras que el líquido que toca las paredes del tubo está estacionario (debido a la condición de no deslizamiento ).

Para determinar el movimiento del líquido se deben conocer todas las fuerzas que actúan sobre cada lámina:

1. La fuerza de presión que empuja el líquido a través del tubo es el cambio de presión multiplicado por el área: F = − A Δ p . Esta fuerza está en la dirección del movimiento del líquido. El signo negativo proviene de la forma convencional en que definimos Δ p = p _end − p _top < 0 .
2. Los efectos de viscosidad atraerán desde la lámina más rápida que se encuentra inmediatamente más cerca del centro del tubo.
3. Los efectos de viscosidad se arrastrarán desde la lámina más lenta inmediatamente más cerca de las paredes del tubo.

Viscosidad

Dos fluidos se mueven uno junto al otro en la dirección x . El líquido de arriba se mueve más rápido y será atraído en la dirección negativa por el líquido de abajo, mientras que el líquido de abajo será atraído en la dirección positiva por el líquido de arriba.

Cuando dos capas de líquido en contacto entre sí se mueven a diferentes velocidades, habrá una fuerza de corte entre ellas. Esta fuerza es proporcional al área de contacto A , el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección del flujo ⁠Δvx​_​/Δ y⁠ , y una constante de proporcionalidad (viscosidad) y viene dada por

${\displaystyle F_{\text{viscosity, top}}=-\mu A{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}.}$

El signo negativo está ahí porque nos interesa el líquido que se mueve más rápido (arriba en la figura), que se está frenando por el líquido más lento (abajo en la figura). Según la tercera ley del movimiento de Newton , la fuerza sobre el líquido más lento es igual y opuesta (sin signo negativo) a la fuerza sobre el líquido más rápido. Esta ecuación supone que el área de contacto es tan grande que podemos ignorar cualquier efecto de los bordes y que los fluidos se comportan como fluidos newtonianos .

Lámina más rápida

Supongamos que estamos calculando la fuerza sobre la lámina con radio r . A partir de la ecuación anterior, necesitamos saber el área de contacto y el gradiente de velocidad . Piense en la lámina como un anillo de radio r , espesor dr y longitud Δ x . El área de contacto entre la lámina y la más rápida es simplemente el área de superficie del cilindro: A = 2π r Δ x . Todavía no conocemos la forma exacta de la velocidad del líquido dentro del tubo, pero sí sabemos (a partir de nuestra suposición anterior) que depende del radio. Por lo tanto, el gradiente de velocidad es el cambio de la velocidad con respecto al cambio en el radio en la intersección de estas dos láminas. Esa intersección está en un radio de r . Entonces, considerando que esta fuerza será positiva con respecto al movimiento del líquido (pero la derivada de la velocidad es negativa), la forma final de la ecuación se convierte en

${\displaystyle F_{\text{viscosity, fast}}=-2\pi r\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}}$

donde la barra vertical y el subíndice r que sigue a la derivada indican que debe tomarse en un radio de r .

Lámina más lenta

A continuación, hallemos la fuerza de arrastre de la lámina más lenta. Necesitamos calcular los mismos valores que hicimos para la fuerza de la lámina más rápida. En este caso, el área de contacto está en r + d r en lugar de r . Además, debemos recordar que esta fuerza se opone a la dirección del movimiento del líquido y, por lo tanto, será negativa (y que la derivada de la velocidad es negativa).

${\displaystyle F_{\text{viscosity, slow}}=2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}}$

Poniéndolo todo junto

Para encontrar la solución para el flujo de una capa laminar a través de un tubo, necesitamos hacer una última suposición. No hay aceleración del líquido en la tubería y, según la primera ley de Newton , no hay fuerza neta. Si no hay fuerza neta, podemos sumar todas las fuerzas para obtener cero.

${\displaystyle 0=F_{\text{pressure}}+F_{\text{viscosity, fast}}+F_{\text{viscosity, slow}}}$

o

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r-2\pi r\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right\vert _{r+\mathrm {d} r}.}$

Primero, para que todo suceda en el mismo punto, utilice los dos primeros términos de una expansión en serie de Taylor del gradiente de velocidad:

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}=\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}\right|_{r}\,\mathrm {d} r.}$

La expresión es válida para todas las láminas. Agrupando los términos iguales y eliminando la barra vertical, ya que se supone que todas las derivadas están en el radio r ,

${\displaystyle 0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r+2\pi \mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}+2\pi r\mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+2\pi \mu (\mathrm {d} r)^{2}\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}.}$

Finalmente, ponga esta expresión en forma de ecuación diferencial , eliminando el término cuadrático en dr .

${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {\Delta p}{\Delta x}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}}$

La ecuación anterior es la misma que la obtenida a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes y la derivación a partir de aquí sigue como antes.

Puesta en marcha del flujo de Poiseuille en una tubería

Cuando un gradiente de presión constante G = − ⁠dp​/dx​⁠ se aplica entre dos extremos de una tubería larga, el flujo no obtendrá inmediatamente el perfil de Poiseuille, sino que se desarrollará con el tiempo y alcanzará el perfil de Poiseuille en estado estacionario. Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)}$

con condiciones iniciales y de borde,

${\displaystyle u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.}$

La distribución de velocidad está dada por

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0}$

donde J ₀ ( ⁠λnr_​​/R⁠ ) ​​es la función de Bessel de primera clase de orden cero y λ _n son las raíces positivas de esta función y J ₁ ( λ _n ) es la función de Bessel de primera clase de orden uno. Cuando t → ∞ , se recupera la solución de Poiseuille. ^[11]

Flujo de Poiseuille en una sección anular

Flujo de Poiseuille en sección anular

Si R ₁ es el radio del cilindro interior y R ₂ es el radio del cilindro exterior, con un gradiente de presión constante aplicado entre los dos extremos G = − ⁠dp​/dx​⁠ , la distribución de velocidad y el flujo de volumen a través del tubo anular son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln r/R_{1}}{\ln R_{2}/R_{1}}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln R_{2}/R_{1}}}\right].\end{aligned}}}$

Cuando R ₂ = R , R ₁ = 0 , se recupera el problema original. ^[12]

Flujo de Poiseuille en una tubería con un gradiente de presión oscilante

El flujo a través de tuberías con un gradiente de presión oscilante encuentra aplicaciones en el flujo sanguíneo a través de grandes arterias. ^{[13] [14] [15] [16]} El gradiente de presión impuesto viene dado por

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t}$

donde G , α y β son constantes y ω es la frecuencia. El campo de velocidad está dado por

${\displaystyle u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}}$

donde ber y bei son las funciones Kelvin y k ² = ⁠ρω/micras⁠ .

Flujo plano de Poiseuille

Flujo plano de Poiseuille

El flujo plano de Poiseuille es un flujo creado entre dos placas paralelas infinitamente largas, separadas por una distancia h con un gradiente de presión constante G = − ⁠dp​/dx​⁠ se aplica en la dirección del flujo. El flujo es esencialmente unidireccional debido a la longitud infinita. Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}}$

Con condición antideslizante en ambas paredes.

${\displaystyle u(0)=0,\quad u(h)=0}$

Por lo tanto, la distribución de velocidad y el caudal volumétrico por unidad de longitud son

${\displaystyle u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.}$

Flujo de Poiseuille a través de algunas secciones transversales no circulares

Joseph Boussinesq derivó el perfil de velocidad y el caudal volumétrico en 1868 para canales rectangulares y tubos de sección transversal triangular equilátera y para sección transversal elíptica. ^[17] Joseph Proudman derivó lo mismo para triángulos isósceles en 1914. ^[18] Sea G = − ⁠dp​/dx​⁠ sea el gradiente de presión constante que actúa en dirección paralela al movimiento.

La velocidad y el caudal volumétrico en un canal rectangular de altura 0 ≤ y ≤ h y ancho 0 ≤ z ≤ l son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}}$

La velocidad y el caudal volumétrico de un tubo con sección transversal triangular equilátera de longitud lateral ⁠2 horas/√ 3⁠ son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}}$

La velocidad y el caudal volumétrico en el triángulo isósceles rectángulo y = π , y ± z = 0 son

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}}$

La distribución de velocidades para tubos de sección transversal elíptica con semiejes a y b es ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}}$

Aquí, cuando a = b , se recupera el flujo de Poiseuille para una tubería circular y cuando a → ∞ , se recupera el flujo de Poiseuille plano . También están disponibles soluciones más explícitas con secciones transversales como secciones en forma de caracol, secciones que tienen la forma de un círculo de muesca que sigue un semicírculo, secciones anulares entre elipses homofocales, secciones anulares entre círculos no concéntricos, como lo revisó Ratip Berker  [tr; de] . ^{[19] [20]}

Flujo de Poiseuille a través de una sección transversal arbitraria

El flujo a través de una sección transversal arbitraria u ( y , z ) satisface la condición de que u = 0 en las paredes. La ecuación que rige se reduce a ^[21]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.}$

Si introducimos una nueva variable dependiente como

${\displaystyle U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),}$

Entonces es fácil ver que el problema se reduce a integrar una ecuación de Laplace.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0}$

satisfaciendo la condición

${\displaystyle U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)}$

En la pared.

Ecuación de Poiseuille para un gas isotérmico ideal

Para un fluido compresible en un tubo, el caudal volumétrico Q ( x ) y la velocidad axial no son constantes a lo largo del tubo; pero el caudal másico es constante a lo largo de la longitud del tubo. El caudal volumétrico se expresa habitualmente a la presión de salida. A medida que el fluido se comprime o se expande, se realiza trabajo y el fluido se calienta o se enfría. Esto significa que el caudal depende de la transferencia de calor hacia y desde el fluido. Para un gas ideal en el caso isotérmico , donde se permite que la temperatura del fluido se equilibre con sus alrededores, se puede derivar una relación aproximada para la caída de presión. ^[22] Utilizando la ecuación de estado del gas ideal para el proceso de temperatura constante (es decir, es constante) y la conservación del caudal másico (es decir, es constante), se puede obtener la relación Qp = Q ₁ p ₁ = Q ₂ p _2. En una sección corta de la tubería, se puede suponer que el gas que fluye a través de la tubería es incompresible, de modo que se puede utilizar localmente la ley de Poiseuille, ${\displaystyle p/\rho }$ ${\displaystyle {\dot {m}}=\rho Q}$

${\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

Aquí asumimos que el gradiente de presión local no es demasiado grande como para tener efectos de compresibilidad. Aunque a nivel local ignoramos los efectos de la variación de presión debido a la variación de densidad, en distancias largas estos efectos se tienen en cuenta. Dado que μ es independiente de la presión, la ecuación anterior se puede integrar sobre la longitud L para obtener

${\displaystyle p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.}$

Por lo tanto, el caudal volumétrico en la salida de la tubería viene dado por

${\displaystyle Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.}$

Esta ecuación puede verse como la ley de Poiseuille con un factor de corrección adicional .pág. ₁ + pág. ₂/2 pág. ₂⁠ expresando la presión media relativa a la presión de salida.

Analogía de circuitos eléctricos

Originalmente, se pensaba que la electricidad era un tipo de fluido. Esta analogía hidráulica sigue siendo conceptualmente útil para comprender los circuitos. Esta analogía también se utiliza para estudiar la respuesta de frecuencia de redes fluido-mecánicas utilizando herramientas de circuitos, en cuyo caso la red de fluidos se denomina circuito hidráulico . La ley de Poiseuille corresponde a la ley de Ohm para circuitos eléctricos, V = IR . Dado que la fuerza neta que actúa sobre el fluido es igual a Δ F = S Δ p , donde S = π r ² , es decir Δ F = π r ² Δ ​​P , entonces de la ley de Poiseuille se deduce que

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}}$.

Para circuitos eléctricos, sea n la concentración de partículas cargadas libres (en m ⁻³ ) y sea q * la carga de cada partícula (en culombios ). (Para electrones, q * = e =1,6 × 10 ⁻¹⁹  C .) Entonces nQ es el número de partículas en el volumen Q , y nQq * es su carga total. Esta es la carga que fluye a través de la sección transversal por unidad de tiempo, es decir, la corriente I . Por lo tanto, I = nQq * . En consecuencia, Q = ⁠I/no *⁠ , y

${\displaystyle \Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.}$

Pero Δ F = Eq , donde q es la carga total en el volumen del tubo. El volumen del tubo es igual a π r ² L , por lo que el número de partículas cargadas en este volumen es igual a n π r ² L , y su carga total es q = n π r ² Lq * . Como el voltaje V = EL , se deduce entonces

${\displaystyle V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.}$

Esta es exactamente la ley de Ohm, donde la resistencia R = ⁠V/I⁠ se describe mediante la fórmula

${\displaystyle R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}}$.

De ello se deduce que la resistencia R es proporcional a la longitud L del resistor, lo cual es cierto. Sin embargo, también se deduce que la resistencia R es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio r , es decir, la resistencia R es inversamente proporcional a la segunda potencia del área de la sección transversal S = π r ² del resistor, lo cual es diferente de la fórmula eléctrica. La relación eléctrica para la resistencia es

${\displaystyle R={\frac {\rho L}{S}},}$

donde ρ es la resistividad; es decir, la resistencia R es inversamente proporcional al área de la sección transversal S del resistor. ^[23] La razón por la que la ley de Poiseuille conduce a una fórmula diferente para la resistencia R es la diferencia entre el flujo de fluido y la corriente eléctrica. El gas de electrones no es viscoso , por lo que su velocidad no depende de la distancia a las paredes del conductor. La resistencia se debe a la interacción entre los electrones que fluyen y los átomos del conductor. Por lo tanto, la ley de Poiseuille y la analogía hidráulica son útiles solo dentro de ciertos límites cuando se aplican a la electricidad. Tanto la ley de Ohm como la ley de Poiseuille ilustran fenómenos de transporte .

Aplicaciones médicas: acceso intravenoso y administración de fluidos

La ecuación de Hagen-Poiseuille es útil para determinar la resistencia vascular y, por lo tanto, el caudal de los líquidos intravenosos (IV) que se pueden lograr utilizando varios tamaños de cánulas periféricas y centrales . La ecuación establece que el caudal es proporcional al radio a la cuarta potencia, lo que significa que un pequeño aumento en el diámetro interno de la cánula produce un aumento significativo en el caudal de los líquidos IV. El radio de las cánulas IV se mide típicamente en "calibre", que es inversamente proporcional al radio. Las cánulas IV periféricas generalmente están disponibles como (de grande a pequeño) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Como ejemplo, suponiendo que las longitudes de las cánulas son iguales, el flujo de una cánula 14G es 1,73 veces el de una cánula 16G y 4,16 veces el de una cánula 20G. También establece que el flujo es inversamente proporcional a la longitud, lo que significa que las líneas más largas tienen caudales más bajos. Es importante recordar esto, ya que en una emergencia, muchos médicos prefieren catéteres más cortos y grandes en comparación con catéteres más largos y estrechos. Si bien tiene menos importancia clínica, un mayor cambio en la presión ( ∆ p ), como al presurizar la bolsa de líquido, apretar la bolsa o colgar la bolsa más alto (en relación con el nivel de la cánula), se puede utilizar para acelerar la velocidad de flujo. También es útil comprender que los líquidos viscosos fluirán más lentamente (por ejemplo, en la transfusión de sangre ).

Véase también

• Flujo de Couette
• Ley de Darcy
• Legumbres
• Ola
• Circuito hidráulico

Referencias citadas

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Referencias

• Sutera, SP; Skalak, R. (1993). "La historia de la ley de Poiseuille". Revista Anual de Mecánica de Fluidos . 25 : 1–19. Bibcode :1993AnRFM..25....1S. doi :10.1146/annurev.fl.25.010193.000245..
• Pfitzner, J (1976). "Poiseuille y su ley". Anaesthesia . Vol. 31, no. 2 (publicado en marzo de 1976). págs. 273–5. doi :10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x. PMID  779509..
• Bennett, CO; Myers, JE (1962). Transferencia de momento, calor y masa . McGraw-Hill..

Enlaces externos

• Ley de Poiseuille para fluidos no newtonianos de ley de potencia
• Ley de Poiseuille en un tubo ligeramente cónico
• Calculadora de la ecuación de Hagen-Poiseuille