Fluido newtoniano

Tipo de fluido

Un fluido newtoniano es un fluido en el que las tensiones viscosas que surgen de su flujo están en cada punto correlacionadas linealmente con la tasa de deformación local , la tasa de cambio de su deformación a lo largo del tiempo. ^{[1] [2] [3] [4]} Las tensiones son proporcionales a la tasa de cambio del vector de velocidad del fluido .

Un fluido es newtoniano únicamente si los tensores que describen la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionados por un tensor de viscosidad constante que no depende del estado de tensión ni de la velocidad del flujo. Si el fluido también es isotrópico (es decir, sus propiedades mecánicas son las mismas en cualquier dirección), el tensor de viscosidad se reduce a dos coeficientes reales, que describen la resistencia del fluido a la deformación por cizallamiento continuo y a la compresión o expansión continua, respectivamente.

Los fluidos newtonianos son los modelos matemáticos más sencillos de fluidos que tienen en cuenta la viscosidad. Si bien ningún fluido real se ajusta perfectamente a la definición, se puede suponer que muchos líquidos y gases comunes, como el agua y el aire, son newtonianos para realizar cálculos prácticos en condiciones ordinarias. Sin embargo, los fluidos no newtonianos son relativamente comunes e incluyen el oobleck (que se vuelve más rígido cuando se corta vigorosamente) y la pintura antigoteo (que se vuelve más fina cuando se corta ). Otros ejemplos incluyen muchas soluciones de polímeros (que exhiben el efecto Weissenberg ), polímeros fundidos, muchas suspensiones sólidas, sangre y la mayoría de los fluidos altamente viscosos.

Los fluidos newtonianos reciben su nombre de Isaac Newton , quien utilizó por primera vez la ecuación diferencial para postular la relación entre la tasa de deformación cortante y la tensión cortante para dichos fluidos.

Definición

Un elemento de un líquido o gas en movimiento soportará fuerzas del fluido circundante, incluidas fuerzas de tensión viscosa que hacen que se deforme gradualmente con el tiempo. Estas fuerzas se pueden aproximar matemáticamente en primer orden mediante un tensor de tensión viscosa , que normalmente se denota por . ${\displaystyle \tau }$

La deformación de un elemento de fluido, en relación con un estado anterior, puede aproximarse en primer orden mediante un tensor de deformación que cambia con el tiempo. La derivada temporal de ese tensor es el tensor de velocidad de deformación , que expresa cómo cambia la deformación del elemento con el tiempo; y también es el gradiente del campo del vector de velocidad en ese punto, a menudo denotado como . ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \nabla v}$

Los tensores y pueden expresarse mediante matrices de 3×3 , relativas a cualquier sistema de coordenadas elegido . Se dice que el fluido es newtoniano si estas matrices están relacionadas por la ecuación donde es un tensor fijo de cuarto orden de 3×3×3×3 que no depende de la velocidad o el estado de tensión del fluido. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \nabla v}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\mu }}(\nabla v)}$ ${\displaystyle \mu }$

Caso isotrópico incompresible

Para un fluido newtoniano incompresible e isótropo en flujo laminar solo en la dirección x (es decir, donde la viscosidad es isótropa en el fluido), la tensión cortante está relacionada con la velocidad de deformación mediante la simple ecuación constitutiva donde $${\displaystyle \tau =\mu {\frac {du}{dy}}}$$

• ${\displaystyle \tau }$es la tensión cortante (" arrastre córneo ") en el fluido,
• ${\displaystyle \mu }$es una constante escalar de proporcionalidad, la viscosidad dinámica del fluido
• ${\displaystyle {\frac {du}{dy}}}$es la derivada en la dirección y, normal a x, del componente de velocidad de flujo u que está orientado a lo largo de la dirección x.

En el caso de un flujo incompresible general 2D en el plano x, y, la ecuación constitutiva de Newton se convierte en:

$${\displaystyle \tau _{xy}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)}$$dónde:

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$es la tensión cortante (" arrastre córneo ") en el fluido,
• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}}$es la derivada parcial en la dirección y del componente de velocidad de flujo u que está orientado a lo largo de la dirección x.
• ${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}}$es la derivada parcial en la dirección x del componente de velocidad de flujo v que está orientado a lo largo de la dirección y.

Ahora podemos generalizar al caso de un flujo incompresible con una dirección general en el espacio 3D, la ecuación constitutiva anterior se convierte en donde $${\displaystyle \tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$

• ${\displaystyle x_{j}}$es la coordenada espacial ${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle v_{i}}$es la velocidad del fluido en la dirección del eje ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \tau _{ij}}$es el componente -ésimo de la tensión que actúa sobre las caras del elemento fluido perpendicular al eje . Es el componente ij-ésimo del tensor de tensión cortante ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$

o escrito en notación tensorial más compacta donde es el gradiente de velocidad del flujo. $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$ ${\displaystyle \nabla \mathbf {u} }$

Una forma alternativa de enunciar esta ecuación constitutiva es:

Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para sólidos elásticos incompresibles)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

donde es el tensor de velocidad de deformación . Por lo tanto, esta descomposición se puede hacer explícita como: ^[5] $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

Ecuación constitutiva de la tensión de Stokes (expresión utilizada para fluidos viscosos incompresibles)

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

Esta ecuación constitutiva también se llama ley newtoniana de viscosidad .

El tensor de tensión total siempre se puede descomponer como la suma del tensor de tensión isótropo y el tensor de tensión desviador ( ): ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} +{\boldsymbol {\sigma }}'}$

En el caso incompresible, la tensión isotrópica es simplemente proporcional a la presión termodinámica : ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}Tr({\boldsymbol {\sigma }})=-{\frac {1}{3}}\sum _{k}\sigma _{kk}}$$

y la tensión desviadora es coincidente con el tensor de tensión cortante : ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$

La ecuación constitutiva del estrés se convierte entonces en o escrita en una notación tensorial más compacta, donde es el tensor identidad. $${\displaystyle \sigma _{ij}=-p\delta _{ij}+\mu \left({\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{T}\right)}$$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Caja compresible general

La ley constitutiva de Newton para un flujo compresible resulta de las siguientes suposiciones sobre el tensor de tensión de Cauchy: ^[5]

• La tensión es invariante galileana : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Por lo tanto, la variable de la tensión es el gradiente tensorial o, más simplemente, el tensor de velocidad de deformación : ${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$ ${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• La tensión desviadora es lineal en esta variable: , donde es independiente del tensor de velocidad de deformación, es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamada tensor de viscosidad o elasticidad , y : es el producto escalar doble . ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle \mathbf {C} }$
• Se supone que el fluido es isótropo , como los gases y los líquidos simples, y en consecuencia es un tensor isótropo; además, dado que el tensor de tensión desviatorio es simétrico, por descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros escalares de Lamé , la segunda viscosidad y la viscosidad dinámica , como es habitual en la elasticidad lineal : ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  Ecuación constitutiva de la tensión lineal (expresión similar a la del sólido elástico)

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  donde es el tensor identidad y es la traza del tensor de velocidad de deformación. Por lo tanto, esta descomposición se puede definir explícitamente como: ${\textstyle \mathbf {I} }$ ${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

Dado que la traza del tensor de velocidad de deformación en tres dimensiones es la divergencia (es decir, la velocidad de expansión) del flujo: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Dada esta relación, y dado que la traza del tensor identidad en tres dimensiones es tres: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

La traza del tensor de tensión en tres dimensiones se convierte en: $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

Así, al descomponer alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviatorias , como es habitual en dinámica de fluidos: ^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p+\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

Introduciendo la viscosidad a granel , ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

Llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma habitualmente empleada en termohidráulica : ^[5]

Ecuación constitutiva de la tensión lineal (expresión utilizada para fluidos)

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-[p-\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )]\mathbf {I} +\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

que también se puede organizar en la otra forma habitual: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

Obsérvese que en el caso compresible la presión ya no es proporcional al término de tensión isótropa , ya que existe el término de viscosidad volumétrica adicional: ${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

y el tensor de tensión desviatoria sigue coincidiendo con el tensor de tensión cortante (es decir, la tensión desviatoria en un fluido newtoniano no tiene componentes de tensión normales), y tiene un término de compresibilidad además del caso incompresible, que es proporcional a la viscosidad cortante: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

Nótese que el caso incompresible corresponde al supuesto de que la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos del fluido es constante: flujo isocórico que resulta en un campo de velocidad solenoidal con . ^[8] Por lo tanto, uno regresa a las expresiones para la presión y el estrés desviador vistas en el párrafo anterior. ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

Tanto la viscosidad volumétrica como la viscosidad dinámica no necesitan ser constantes; en general, dependen de dos variables termodinámicas si el fluido contiene una sola especie química, por ejemplo, la presión y la temperatura. Cualquier ecuación que haga explícito uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se denomina ecuación de estado . ^[9] ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \mu }$

Aparte de su dependencia de la presión y la temperatura, el segundo coeficiente de viscosidad también depende del proceso, es decir, el segundo coeficiente de viscosidad no es solo una propiedad material. Ejemplo: en el caso de una onda de sonido con una frecuencia definitiva que alternativamente comprime y expande un elemento fluido, el segundo coeficiente de viscosidad depende de la frecuencia de la onda. Esta dependencia se llama dispersión . En algunos casos, se puede suponer que la segunda viscosidad es constante, en cuyo caso, el efecto de la viscosidad volumétrica es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : ^[10] como se demuestra a continuación. Sin embargo, esta diferencia generalmente se descuida la mayor parte del tiempo (es decir, siempre que no estemos tratando con procesos como la absorción y atenuación del sonido de las ondas de choque, ^[11] donde el segundo coeficiente de viscosidad se vuelve importante) al suponer explícitamente . La suposición de ajuste se llama hipótesis de Stokes . ^[12] La validez de la hipótesis de Stokes se puede demostrar para el gas monoatómico tanto experimentalmente como a partir de la teoría cinética; ^[13] para otros gases y líquidos, la hipótesis de Stokes es generalmente incorrecta. ${\textstyle \zeta }$ ${\textstyle \zeta }$ $${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$ $${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$ ${\textstyle \zeta =0}$ ${\textstyle \zeta =0}$

Por último, cabe señalar que la hipótesis de Stokes es menos restrictiva que la del flujo incompresible. De hecho, en el flujo incompresible desaparecen tanto el término de viscosidad volumétrica como el de viscosidad de corte en la divergencia del término de velocidad de flujo, mientras que en la hipótesis de Stokes desaparece también el primer término, pero el segundo permanece.

Para fluidos anisotrópicos

De manera más general, en un fluido newtoniano no isotrópico, el coeficiente que relaciona las tensiones de fricción interna con las derivadas espaciales del campo de velocidad se reemplaza por un tensor de tensión viscosa de nueve elementos . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Existe una fórmula general para la fuerza de fricción en un líquido: La diferencial vectorial de la fuerza de fricción es igual al tensor de viscosidad incrementado por el producto vectorial de la diferencial del vector de área de las capas adyacentes de un líquido y el rotor de velocidad: donde es el tensor de viscosidad . Los componentes diagonales del tensor de viscosidad son la viscosidad molecular de un líquido, y no los componentes diagonales: la viscosidad de remolino de turbulencia. ^[14] $${\displaystyle d\mathbf {F} =\mu _{ij}\,d\mathbf {S} \times \mathrm {rot} \,\mathbf {u} }$$ ${\displaystyle \mu _{ij}}$

Ley de viscosidad de Newton

La siguiente ecuación ilustra la relación entre la velocidad de corte y el esfuerzo cortante para un fluido con flujo laminar solo en la dirección x : donde: $${\displaystyle \tau _{xy}=\mu {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}},}$$

• ${\displaystyle \tau _{xy}}$es la tensión cortante en los componentes x e y, es decir, el componente de fuerza en la dirección x por unidad de superficie que es normal a la dirección y (por lo que es paralela a la dirección x)
• ${\displaystyle \mu }$es la viscosidad, y
• ${\textstyle {\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} y}}}$es el gradiente de velocidad de flujo a lo largo de la dirección y, que es normal a la velocidad del flujo . ${\displaystyle v_{x}}$

Si la viscosidad es constante el fluido es newtoniano.

Modelo de ley de potencia

En azul un fluido newtoniano comparado con el dilatante y el pseudoplástico, el ángulo depende de la viscosidad.

El modelo de ley de potencia se utiliza para mostrar el comportamiento de fluidos newtonianos y no newtonianos y mide la tensión cortante en función de la velocidad de deformación.

La relación entre el esfuerzo cortante, la tasa de deformación y el gradiente de velocidad para el modelo de ley de potencia son: donde $${\displaystyle \tau _{xy}=-m\left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}{\frac {dv_{x}}{dy}},}$$

• ${\displaystyle \left|{\dot {\gamma }}\right|^{n-1}}$es el valor absoluto de la tasa de deformación elevada a la potencia ( n −1);
• ${\textstyle {\frac {dv_{x}}{dy}}}$es el gradiente de velocidad;
• n es el índice de la ley de potencia.

Si

• n < 1 entonces el fluido es un pseudoplásico.
• n = 1 entonces el fluido es un fluido newtoniano.
• n > 1 entonces el fluido es un dilatante.

Modelo de fluido

La relación entre la tensión de corte y la velocidad de corte en un modelo de fluido Casson se define de la siguiente manera: donde τ ₀ es la tensión de fluencia y donde α depende de la composición de la proteína y H es el número de hematocrito . $${\displaystyle {\sqrt {\tau }}={\sqrt {\tau _{0}}}+S{\sqrt {dV \over dy}}}$$ $${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\mu }{(1-H)^{\alpha }}}},}$$

Ejemplos

El agua , el aire , el alcohol , el glicerol y el aceite de motor fino son ejemplos de fluidos newtonianos en el rango de tensiones de corte y velocidades de corte que encontramos en la vida cotidiana. Los fluidos monofásicos compuestos de moléculas pequeñas son generalmente (aunque no exclusivamente) newtonianos.

Véase también

• Mecánica de fluidos
• Fluido no newtoniano
• Tensor de velocidad de deformación
• Viscosidad
• Tensor de tensión viscosa

Referencias

1. Panton, Ronald L. (2013). Flujo incompresible (cuarta edición). Hoboken: John Wiley & Sons. pág. 114. ISBN 978-1-118-01343-4.
2. Batchelor, GK (2000) [1967]. Introducción a la dinámica de fluidos. Serie Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-66396-0.
3. Kundu, P.; Cohen, I. Mecánica de fluidos . p. (página necesaria).
4. Kirby, BJ (2010). Mecánica de fluidos a escala micro y nanométrica: transporte en dispositivos microfluídicos. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-11903-0– vía kirbyresearch.com.
5. Batchelor (1967) págs. 137 y 142.
6. Chorin, Alexandre E.; Marsden, Jerrold E. (1993). Una introducción matemática a la mecánica de fluidos . pág. 33.
7. Bird, Stewart, Lightfoot, Fenómenos de transporte, 1.ª ed., 1960, ecuación (3.2-11a)
8. Batchellor (1967) pág. 75.
9. Batchellor (1967) pág. 165.
10. Landau y Lifshitz (1987) págs. 44-45, 196
11. Blanco (2006) pág. 67.
12. Stokes, GG (2007). Sobre las teorías de la fricción interna de fluidos en movimiento y del equilibrio y movimiento de sólidos elásticos.
13. Vincenti, WG, Kruger Jr., CH (1975). Introducción a la dinámica física de los gases. Introducción a la dinámica física de los gases/Huntington.
14. Volobuev, AN (2012). Bases de la hidromecánica no simétrica . Nueva York: Nova Science Publishers, Inc. ISBN  978-1-61942-696-2.