El tensor de tensión viscosa es un tensor utilizado en mecánica de medios continuos para modelar la parte de la tensión en un punto dentro de algún material que puede atribuirse a la tasa de deformación , la velocidad a la que se deforma alrededor de ese punto.
El tensor de tensión viscosa es formalmente similar al tensor de tensión elástica (tensor de Cauchy) que describe las fuerzas internas en un material elástico debido a su deformación. Ambos tensores asignan el vector normal de un elemento de superficie a la densidad y dirección de la tensión que actúa sobre ese elemento de superficie. Sin embargo, la tensión elástica se debe a la cantidad de deformación ( deformación ), mientras que la tensión viscosa se debe a la tasa de cambio de la deformación a lo largo del tiempo (tasa de deformación). En materiales viscoelásticos , cuyo comportamiento es intermedio entre el de los líquidos y los sólidos, el tensor de tensión total comprende componentes tanto viscosos como elásticos ("estáticos"). Para un material completamente fluido, el término elástico se reduce a la presión hidrostática .
En un sistema de coordenadas arbitrario, la tensión viscosa ε y la velocidad de deformación E en un punto y tiempo específicos se pueden representar mediante matrices de 3 × 3 de números reales. En muchas situaciones existe una relación aproximadamente lineal entre esas matrices; es decir, un tensor de viscosidad de cuarto orden μ tal que ε = μE . El tensor μ tiene cuatro índices y consta de 3 × 3 × 3 × 3 números reales (de los cuales solo 21 son independientes). En un fluido newtoniano , por definición, la relación entre ε y E es perfectamente lineal, y el tensor de viscosidad μ es independiente del estado de movimiento o tensión en el fluido. Si el fluido es isótropo además de newtoniano, el tensor de viscosidad μ tendrá solo tres parámetros reales independientes: un coeficiente de viscosidad volumétrica , que define la resistencia del medio a una compresión uniforme gradual; un coeficiente de viscosidad dinámico que expresa su resistencia al cizallamiento gradual, y un coeficiente de viscosidad rotacional que resulta de un acoplamiento entre el flujo de fluido y la rotación de las partículas individuales. [1] : 304 En ausencia de tal acoplamiento, el tensor de tensión viscoso tendrá solo dos parámetros independientes y será simétrico. En fluidos no newtonianos , por otro lado, la relación entre ε y E puede ser extremadamente no lineal, y ε puede incluso depender de otras características del flujo además de E .
Las tensiones mecánicas internas en un medio continuo generalmente están relacionadas con la deformación del material desde un estado "relajado" (sin tensión). Estas tensiones generalmente incluyen un componente de tensión elástica ("estática") , que está relacionada con la cantidad actual de deformación y actúa para restaurar el material a su estado de reposo; y un componente de tensión viscosa , que depende de la velocidad a la que cambia la deformación con el tiempo y se opone a ese cambio.
Al igual que las tensiones totales y elásticas, la tensión viscosa alrededor de un punto determinado del material, en cualquier momento, se puede modelar mediante un tensor de tensión, una relación lineal entre el vector de dirección normal de un plano ideal a través del punto y la densidad de tensión local en ese plano en ese punto.
En cualquier sistema de coordenadas elegido con ejes numerados 1, 2, 3, este tensor de tensión viscosa se puede representar como una matriz 3 × 3 de números reales:
Tenga en cuenta que estos números suelen cambiar con el punto p y el tiempo t .
Consideremos un elemento de superficie plana infinitesimal centrado en el punto p , representado por un vector dA cuya longitud es el área del elemento y cuya dirección es perpendicular a él. Sea dF la fuerza infinitesimal debida a la tensión viscosa que se aplica a través de ese elemento de superficie al material del lado opuesto a dA . Los componentes de dF a lo largo de cada eje de coordenadas están dados por
En cualquier material, el tensor de tensión total σ es la suma de este tensor de tensión viscosa ε , el tensor de tensión elástica τ y la presión hidrostática p . En un material perfectamente fluido, que por definición no puede tener tensión cortante estática, el tensor de tensión elástica es cero:
donde δ ij es el tensor unitario , tal que δ ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j .
Si bien las tensiones viscosas son generadas por fenómenos físicos que dependen en gran medida de la naturaleza del medio, el tensor de tensión viscosa ε es solo una descripción de las fuerzas momentáneas locales entre parcelas adyacentes del material, y no una propiedad del material.
Ignorando el torque en un elemento debido al flujo (torque "extrínseco"), el torque "intrínseco" viscoso por unidad de volumen en un elemento de fluido se escribe (como un tensor antisimétrico) como
y representa la tasa de cambio de la densidad de momento angular intrínseco con el tiempo. Si las partículas tienen grados de libertad rotacionales, esto implicará un momento angular intrínseco y si este momento angular puede cambiar por colisiones, es posible que este momento angular intrínseco pueda cambiar en el tiempo, resultando en un torque intrínseco que no es cero, lo que implicará que el tensor de tensión viscosa tendrá un componente antisimétrico con un coeficiente de viscosidad rotacional correspondiente . [1] Si las partículas de fluido tienen un momento angular despreciable o si su momento angular no está apreciablemente acoplado al momento angular externo, o si el tiempo de equilibrio entre los grados de libertad externos e internos es prácticamente cero, el torque será cero y el tensor de tensión viscosa será simétrico. Las fuerzas externas pueden resultar en un componente asimétrico para el tensor de tensión (por ejemplo, fluidos ferromagnéticos que pueden sufrir torque por campos magnéticos externos ).
En un material sólido, el componente elástico de la tensión puede atribuirse a la deformación de los enlaces entre los átomos y las moléculas del material, y puede incluir tensiones de corte . En un fluido, la tensión elástica puede atribuirse al aumento o disminución del espaciamiento medio de las partículas, que afecta a su tasa de colisión o interacción y, por lo tanto, a la transferencia de momento a través del fluido; por lo tanto, está relacionada con el componente aleatorio térmico microscópico del movimiento de las partículas y se manifiesta como una tensión de presión hidrostática isotrópica .
El componente viscoso de la tensión, por otra parte, surge de la velocidad media macroscópica de las partículas y puede atribuirse a la fricción o difusión de partículas entre partes adyacentes del medio que tienen diferentes velocidades medias.
En un flujo uniforme, la velocidad a la que cambia la deformación local del medio a lo largo del tiempo (la velocidad de deformación) se puede aproximar mediante un tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) , que suele ser una función del punto p y del tiempo t . Con respecto a cualquier sistema de coordenadas, se puede expresar mediante una matriz de 3 × 3.
El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) se puede definir como la derivada del tensor de deformación e ( p , t ) con respecto al tiempo o, equivalentemente, como la parte simétrica del gradiente (derivada con respecto al espacio) del vector de velocidad de flujo v ( p , t ) :
donde ∇ v denota el gradiente de velocidad. En coordenadas cartesianas, ∇ v es la matriz jacobiana ,
y por lo tanto
De cualquier manera, el tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) expresa la velocidad a la que cambia la velocidad media en el medio a medida que uno se aleja del punto p –excepto los cambios debidos a la rotación del medio alrededor de p como un cuerpo rígido, que no cambian las distancias relativas de las partículas y solo contribuyen a la parte rotacional de la tensión viscosa a través de la rotación de las partículas individuales mismas. (Estos cambios comprenden la vorticidad del flujo, que es el rizo (rotacional) ∇ × v de la velocidad; que es también la parte antisimétrica del gradiente de velocidad ∇ v .)
El tensor de tensión viscosa es sólo una aproximación lineal de las tensiones alrededor de un punto p y no tiene en cuenta los términos de orden superior de su serie de Taylor . Sin embargo, en casi todas las situaciones prácticas, estos términos pueden ignorarse, ya que se vuelven insignificantes en las escalas de tamaño donde se genera la tensión viscosa y afecta el movimiento del medio. Lo mismo puede decirse del tensor de velocidad de deformación E como representación del patrón de velocidad alrededor de p .
Así, los modelos lineales representados por los tensores E y ε son casi siempre suficientes para describir la tensión viscosa y la tasa de deformación alrededor de un punto, con el fin de modelar su dinámica . En particular, la tasa de deformación local E ( p , t ) es la única propiedad del flujo de velocidad que afecta directamente a la tensión viscosa ε ( p , t ) en un punto dado.
Por otra parte, la relación entre E y ε puede ser bastante complicada y depende en gran medida de la composición, el estado físico y la estructura microscópica del material. También suele ser muy no lineal y puede depender de las tensiones y deformaciones que experimentó previamente el material que ahora se encuentra alrededor del punto en cuestión.
Se dice que un medio es newtoniano si la tensión viscosa ε ( p , t ) es una función lineal de la velocidad de deformación E ( p , t ) , y esta función no depende de las tensiones y el movimiento del fluido alrededor de p . Ningún fluido real es perfectamente newtoniano, pero se puede suponer que muchos fluidos importantes, incluidos los gases y el agua, lo son, siempre que las tensiones de flujo y las velocidades de deformación no sean demasiado altas.
En general, una relación lineal entre dos tensores de segundo orden es un tensor de cuarto orden. En un medio newtoniano, en concreto, la tensión viscosa y la velocidad de deformación están relacionadas por el tensor de viscosidad μ :
El coeficiente de viscosidad μ es una propiedad de un material newtoniano que, por definición, no depende de v o σ .
El tensor de velocidad de deformación E ( p , t ) es simétrico por definición, por lo que solo tiene seis elementos linealmente independientes. Por lo tanto, el tensor de viscosidad μ tiene solo 6 × 9 = 54 grados de libertad en lugar de 81. En la mayoría de los fluidos, el tensor de tensión viscosa también es simétrico, lo que reduce aún más el número de parámetros de viscosidad a 6 × 6 = 36.
En ausencia de efectos rotacionales, el tensor de tensión viscosa será simétrico. Como sucede con cualquier tensor simétrico, el tensor de tensión viscosa ε se puede expresar como la suma de un tensor simétrico sin traza ε s y un múltiplo escalar ε v del tensor identidad. En forma de coordenadas,
Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas y, por lo tanto, es físicamente significativa. La parte constante ε v del tensor de tensión viscosa se manifiesta como una especie de presión, o tensión volumétrica, que actúa de manera igual y perpendicular sobre cualquier superficie independientemente de su orientación. A diferencia de la presión hidrostática ordinaria, puede aparecer solo mientras la deformación está cambiando, actuando para oponerse al cambio; y puede ser negativa.
En un medio newtoniano que es isótropo (es decir, cuyas propiedades son las mismas en todas las direcciones), cada parte del tensor de tensión está relacionada con una parte correspondiente del tensor de velocidad de deformación.
donde E v y E s son las partes isotrópicas escalares y de traza cero del tensor de velocidad de deformación E , y μ v y μ s son dos números reales. [2] Por lo tanto, en este caso el tensor de viscosidad μ tiene solo dos parámetros independientes.
La parte de traza cero E s de E es un tensor simétrico 3 × 3 que describe la velocidad a la que el medio se deforma por cizallamiento, ignorando cualquier cambio en su volumen. Por lo tanto, la parte de traza cero ε s de ε es la conocida tensión de cizallamiento viscosa que se asocia a la deformación por cizallamiento progresiva . Es la tensión viscosa que se produce en el fluido que se mueve a través de un tubo con sección transversal uniforme (un flujo de Poiseuille ) o entre dos placas móviles paralelas (un flujo de Couette ), y resiste esos movimientos.
La parte E v de E actúa como un multiplicador escalar (como ε v ), la tasa de expansión promedio del medio alrededor del punto en cuestión. (Se representa en cualquier sistema de coordenadas mediante una matriz diagonal de 3 × 3 con valores iguales a lo largo de la diagonal). Es numéricamente igual a 1/3 de la divergencia de la velocidad
que a su vez es la tasa relativa de cambio del volumen del fluido debido al flujo.
Por lo tanto, la parte escalar ε v de ε es una tensión que se puede observar cuando el material se comprime o se expande a la misma velocidad en todas las direcciones. Se manifiesta como una presión adicional que aparece solo mientras el material se comprime, pero (a diferencia de la verdadera presión hidrostática) es proporcional a la velocidad de cambio de la compresión en lugar de a la cantidad de compresión, y desaparece tan pronto como el volumen deja de cambiar.
Esta parte de la tensión viscosa, normalmente denominada viscosidad volumétrica, suele ser importante en materiales viscoelásticos y es responsable de la atenuación de las ondas de presión en el medio. La viscosidad volumétrica puede despreciarse cuando el material puede considerarse incompresible (por ejemplo, al modelar el flujo de agua en un canal).
El coeficiente μ v , a menudo denotado por η , se denomina coeficiente de viscosidad en masa (o "segunda viscosidad"); mientras que μ s es el coeficiente de viscosidad común (de corte).
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&=\varepsilon _{ij}^{\text{v}}+\varepsilon _{ij}^{\text{s}}\\[3pt ]\varepsilon _{ij}^{\text{v}}&={\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\\\varepsilon _ {ij}^{\text{s}}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {1}{3}}\delta _{ij}\sum _{k}\varepsilon _{kk}\, .\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d329a1b04269e3ebb07ade6ea534734f145da774)
