Tensor de velocidad de deformación

Concepto en física

Un flujo bidimensional que, en el punto resaltado, tiene solo un componente de velocidad de deformación, sin velocidad media ni componente rotacional.

En mecánica continua , el tensor de tasa de deformación o tensor de tasa de deformación es una cantidad física que describe la tasa de cambio de la deformación (es decir, la deformación relativa ) de un material en las proximidades de un determinado punto, en un determinado punto. momento del tiempo. Puede definirse como la derivada del tensor de deformación con respecto al tiempo, o como la componente simétrica de la matriz jacobiana (derivada con respecto a la posición) de la velocidad del flujo . En mecánica de fluidos también se puede describir como gradiente de velocidad , una medida de cómo cambia la velocidad de un fluido entre diferentes puntos dentro del fluido. ^[1] Aunque el término puede referirse a un perfil de velocidad (variación de la velocidad entre capas de flujo en una tubería), ^[2] a menudo se usa para referirse al gradiente de la velocidad de un flujo con respecto a sus coordenadas . ^[3] El concepto tiene implicaciones en una variedad de áreas de la física y la ingeniería , incluida la magnetohidrodinámica , la minería y el tratamiento de agua. ^{[4] [5] [6]}

El tensor de velocidad de deformación es un concepto puramente cinemático que describe el movimiento macroscópico del material. Por tanto, no depende de la naturaleza del material, ni de las fuerzas y tensiones que puedan estar actuando sobre él; y se aplica a cualquier medio continuo , ya sea sólido , líquido o gaseoso .

Por otro lado, para cualquier fluido excepto los superfluidos , cualquier cambio gradual en su deformación (es decir, un tensor de velocidad de deformación distinto de cero) da lugar a fuerzas viscosas en su interior, debido a la fricción entre elementos fluidos adyacentes , que tienden a oponerse a ese cambio. . En cualquier punto del fluido, estas tensiones pueden describirse mediante un tensor de tensiones viscosas que, casi siempre, está completamente determinado por el tensor de velocidad de deformación y por ciertas propiedades intrínsecas del fluido en ese punto. La tensión viscosa también ocurre en los sólidos, además de la tensión elástica que se observa en la deformación estática; cuando es demasiado grande para ignorarlo, se dice que el material es viscoelástico .

Análisis dimensional

Al realizar un análisis dimensional , se pueden determinar las dimensiones del gradiente de velocidad. Las dimensiones de la velocidad son y las dimensiones de la distancia son . Dado que el gradiente de velocidad se puede expresar como . Por lo tanto, el gradiente de velocidad tiene las mismas dimensiones que esta relación, es decir , ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}T^{-1}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {L^{1}}}}$ ${\displaystyle {\frac {\Delta {\text{velocity}}}{\Delta {\text{distance}}}}}$ ${\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}}$

En mecánica continua

En 3 dimensiones, el gradiente de la velocidad es un tensor de segundo orden que se puede expresar como la matriz : ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

$${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}&{{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\ }\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}&{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle \mathbf {L} }$matriz simétricamatriz simétrica ${\displaystyle {\textbf {E}}}$ ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} +\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\\\mathbf {W} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {L} -\mathbf {L} ^{\textsf {T}}\right)\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\textbf {E}}}$^[7] ${\displaystyle {\textbf {W}}}$

Relación entre el esfuerzo cortante y el campo de velocidades.

Sir Isaac Newton propuso que la tensión cortante es directamente proporcional al gradiente de velocidad: ^[8]

$${\displaystyle \tau =\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}.}$$

La constante de proporcionalidad , , se llama viscosidad dinámica . ${\displaystyle \mu }$

Definicion formal

Consideremos un cuerpo material, sólido o fluido, que fluye y/o se mueve en el espacio. Sea v el campo de velocidades dentro del cuerpo; es decir, una función suave de R ³ × R tal que v ( p , t ) es la velocidad macroscópica del material que pasa por el punto p en el tiempo t .

La velocidad v ( p + r , t ) en un punto desplazado de p por un pequeño vector r se puede escribir como una serie de Taylor :

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+(\nabla \mathbf {v} )(\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+{\text{higher order terms}},}$$

∇ vmapa linealr

El campo de velocidades v ( p + r , t ) de un flujo arbitrario alrededor de un punto p (punto rojo), en algún instante t , y los términos de su aproximación de Taylor de primer orden alrededor de p . Se supone que el tercer componente de la velocidad (fuera de la pantalla) es cero en todas partes.

En un sistema de referencia arbitrario , ∇ v está relacionado con la matriz jacobiana del campo, es decir, en 3 dimensiones es la matriz 3 × 3

$${\displaystyle \left(\nabla \mathbf {v} \right)^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}\partial _{1}v_{1}&\partial _{2}v_{1}&\partial _{3}v_{1}\\\partial _{1}v_{2}&\partial _{2}v_{2}&\partial _{3}v_{2}\\\partial _{1}v_{3}&\partial _{2}v_{3}&\partial _{3}v_{3}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} .}$$

v _iveje i∂ _j fderivada parcialfx _jJpt

En este sistema de coordenadas, la aproximación de Taylor para la velocidad cerca de p es

$${\displaystyle v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}J_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)r_{j};}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)=\mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {J} (\mathbf {p} ,t)\mathbf {r} }$$

si v y r se consideran matrices de 3 × 1.

Partes simétricas y antisimétricas.

Cualquier matriz se puede descomponer en la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica . Aplicando esto a la matriz jacobiana con componentes simétricas y antisimétricas E y R respectivamente:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} +\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)&\mathbf {R} &={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} -\mathbf {J} ^{\textsf {T}}\right)\\E_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}+\partial _{i}v_{j}\right)&R_{ij}&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{j}v_{i}-\partial _{i}v_{j}\right)\end{aligned}}}$$

Esta descomposición es independiente del sistema de coordenadas y, por tanto, tiene importancia física. Entonces el campo de velocidades puede aproximarse como

$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)\approx \mathbf {v} (\mathbf {p} ,t)+\mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ),}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i}(\mathbf {p} +\mathbf {r} ,t)&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\sum _{j}E_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}+\sum _{j}R_{ij}(\mathbf {p} ,t)r_{j}\\&=v_{i}(\mathbf {p} ,t)+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)+\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j}\left(\partial _{j}v_{i}(\mathbf {p} ,t)-\partial _{i}v_{j}(\mathbf {p} ,t)\right)r_{j}\end{aligned}}}$$

El término antisimétrico R representa una rotación rígida del fluido alrededor del punto p . Su velocidad angular es ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$

$${\displaystyle {\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\partial _{2}v_{3}-\partial _{3}v_{2}\\\partial _{3}v_{1}-\partial _{1}v_{3}\\\partial _{1}v_{2}-\partial _{2}v_{1}\end{bmatrix}}.}$$

El producto ∇ × v se llama vorticidad del campo vectorial. Una rotación rígida no cambia las posiciones relativas de los elementos fluidos, por lo que el término antisimétrico R del gradiente de velocidad no contribuye a la tasa de cambio de la deformación. Por lo tanto, la tasa de deformación real se describe mediante el término E simétrico , que es el tensor de tasa de deformación .

Tasa de corte y tasa de compresión.

El término simétrico E (el tensor de tasa de deformación) se puede descomponer aún más como la suma de un escalar multiplicado por el tensor unitario, que representa una expansión o contracción isotrópica gradual; y un tensor simétrico sin trazas que representa una deformación por corte gradual, sin cambio de volumen: ^[9]

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )=\mathbf {S} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} )+\mathbf {D} (\mathbf {p} ,t)(\mathbf {r} ).}$$

Eso es,

$${\displaystyle E_{ij}=\underbrace {{\frac {1}{3}}\left(\sum _{k}\partial _{k}v_{k}\right)\delta _{ij}} _{{\text{rate-of-expansion tensor }}S_{ij}}+\underbrace {\overbrace {{\frac {1}{2}}\left(\partial _{i}v_{j}+\partial _{j}v_{i}\right)} ^{E_{ij}}-S_{ij}} _{{\text{rate-of-shear tensor }}D_{ij}},}$$

Aquí δ es el tensor unitario , tal que δ _ij es 1 si i = j y 0 si i ≠ j . Esta descomposición es independiente de la elección del sistema de coordenadas y, por tanto, es físicamente significativa.

La traza del tensor de tasa de expansión es la divergencia del campo de velocidades:

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\partial _{1}v_{1}+\partial _{2}v_{2}+\partial _{3}v_{3};}$$

El tensor de velocidad de corte está representado por una matriz simétrica de 3 × 3 y describe un flujo que combina flujos de compresión y expansión a lo largo de tres ejes ortogonales, de modo que no hay cambio de volumen. Este tipo de flujo ocurre, por ejemplo, cuando una tira de goma se estira tirando de los extremos, o cuando la miel cae de una cuchara como un chorro suave e ininterrumpido.

Para un flujo bidimensional, la divergencia de v tiene sólo dos términos y cuantifica el cambio en área en lugar de volumen. El factor 1/3 en el término de la tasa de expansión debe reemplazarse por1/2en ese caso.

Ejemplos

El estudio de gradientes de velocidad es útil en el análisis de materiales dependientes de la trayectoria y en el estudio posterior de tensiones y deformaciones; por ejemplo, deformación plástica de metales . ^[3] El gradiente de velocidad cerca de la pared de los reactivos no quemados que fluyen desde un tubo es un parámetro clave para caracterizar la estabilidad de la llama. ^{[5] : 1–3} El gradiente de velocidad de un plasma puede definir las condiciones para las soluciones de las ecuaciones fundamentales en magnetohidrodinámica. ^[4]

Fluido en una tubería

Considere el campo de velocidades de un fluido que fluye a través de una tubería . La capa de fluido en contacto con la tubería tiende a estar en reposo con respecto a la tubería. Esto se llama condición de no deslizamiento . ^[10] Si la diferencia de velocidad entre las capas de fluido en el centro de la tubería y en los lados de la tubería es suficientemente pequeña, entonces el flujo de fluido se observa en forma de capas continuas. Este tipo de flujo se llama flujo laminar .

La diferencia de velocidad del flujo entre capas adyacentes se puede medir en términos de un gradiente de velocidad, dado por . ¿Dónde está la diferencia en la velocidad del flujo entre las dos capas y es la distancia entre las capas? ${\displaystyle \Delta u/\Delta y}$ ${\displaystyle \Delta u}$ ${\displaystyle \Delta y}$

Ver también

• Tensor de estrés (desambiguación)
• Teoría de deformaciones finitas § Derivada temporal del gradiente de deformación , el gradiente de velocidad espacial y material de la mecánica continua

Referencias

1. Carl Schaschke (2014). Diccionario de ingeniería química . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 9780199651450.
2. "Infoplease: Viscosidad: el gradiente de velocidad".
3. "Gradiente de velocidad en continuummechanics.org".
4. Zhang, Zujin (junio de 2017), "Sistema MHD generalizado con gradiente de velocidad en espacios de Besov de orden negativo", Acta Applicandae Mathematicae , 149 (1): 139–144, doi :10.1007/s10440-016-0091-0, ISSN  1572-9036, S2CID  207075598
5. Grumer, J.; Harris, YO; Rowe, VR (julio de 1956), Límites fundamentales de retroceso, soplado y punta amarilla de las mezclas de aire y gas combustible (PDF) , Oficina de Minas
6. Rojas, JC; Moreno, B.; Garralón, G.; Plaza, F.; Pérez, J.; Gómez, MA (2010), "Influencia del gradiente de velocidad en un floculador hidráulico en la eliminación de NOM mediante membranas de ultrafiltración aireadas en espiral (ASWUF)", Journal of Hazardous Materials , 178 (1): 535–540, doi :10.1016/j .jhazmat.2010.01.116, ISSN  0304-3894, PMID  20153578
7. González, O.; Estuardo, AM (2008). Un primer curso de mecánica continua . Textos de Cambridge en Matemáticas Aplicadas. Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 134-135.
8. Licenciado, GK (2000). Introducción a la dinámica de fluidos. Biblioteca de Matemáticas de Cambridge. Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 145.ISBN​ 9780521663960.
9. Landau, LD; Lifshitz, EM (1997). Mecánica de fluidos . Traducido por Sykes, JB; Reid, WH (2ª ed.). Butterworth Heinemann. ISBN 0-7506-2767-0.
10. Levicky, R. "Revisión de la terminología de la mecánica de fluidos" (PDF) .