Integral de Barnes

Integral de contorno que involucra un producto de funciones gamma

En matemáticas, una integral de Barnes o integral de Mellin -Barnes es una integral de contorno que involucra un producto de funciones gamma . Fueron introducidas por Ernest William Barnes  (1908, 1910). Están estrechamente relacionadas con las series hipergeométricas generalizadas .

La integral se toma generalmente a lo largo de un contorno que es una deformación del eje imaginario que pasa a la derecha de todos los polos de los factores de la forma Γ( a  +  s ) y a la izquierda de todos los polos de los factores de la forma Γ( a  −  s ).

Serie hipergeométrica

La función hipergeométrica se da como una integral de Barnes (Barnes 1908) por

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {\Gamma (c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds,}$

Véase también (Andrews, Askey y Roy 1999, Teorema 2.4.1). Esta igualdad se puede obtener moviendo el contorno hacia la derecha mientras se toman los residuos en s = 0, 1, 2, ... . para , y por continuación analítica en otros lugares. Dadas las condiciones de convergencia adecuadas, se pueden relacionar las integrales de Barnes más generales y las funciones hipergeométricas generalizadas _p F _q de una manera similar (Slater 1966). ${\displaystyle z\ll 1}$

Lemas de Barnes

El primer lema de Barnes (Barnes 1908) establece

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c-s)\Gamma (d-s)ds={\frac {\Gamma (a+c)\Gamma (a+d)\Gamma (b+c)\Gamma (b+d)}{\Gamma (a+b+c+d)}}.}$

Esta es una analogía de la fórmula de suma 2 F 1 de Gauss y también una extensión de la integral beta de Euler . La integral que contiene a veces se denomina integral beta de Barnes .

El segundo lema de Barnes (Barnes 1910) establece

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (c+s)\Gamma (1-d-s)\Gamma (-s)}{\Gamma (e+s)}}ds}$

${\displaystyle ={\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)\Gamma (c)\Gamma (1-d+a)\Gamma (1-d+b)\Gamma (1-d+c)}{\Gamma (e-a)\Gamma (e-b)\Gamma (e-c)}}}$

donde e = a  +  b  +  c  −  d  + 1. Este es un análogo de la fórmula de suma de Saalschütz.

Integrales q-Barnes

Existen análogos de las integrales de Barnes para series hipergeométricas básicas , y muchos de los otros resultados también pueden extenderse a este caso (Gasper y Rahman 2004, capítulo 4).

Referencias

• Andrews, GE ; Askey, R.; Roy, R. (1999). Funciones especiales . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 71. Cambridge University Press . ISBN. 0-521-62321-9.Señor 1688958  .
• Barnes, EW (1908). "Un nuevo desarrollo de la teoría de las funciones hipergeométricas". Proc. London Math. Soc . s2-6 : 141–177. doi : 10.1112/plms/s2-6.1.141 . JFM  39.0506.01.
• Barnes, EW (1910). "Una transformación de series hipergeométricas generalizadas". Quarterly Journal of Mathematics . 41 : 136–140. JFM  41.0503.01.
• Gasper, George; Rahman, Mizan (2004). Series hipergeométricas básicas . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 96 (2.ª ed.). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-83357-8.Sr. 2128719  .
• Slater, Lucy Joan (1966). Funciones hipergeométricas generalizadas . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-06483-X.MR  0201688.Zbl 0135.28101  .​(Existe una edición de bolsillo de 2008 con ISBN 978-0-521-09061-2 )