Serie de potencias formales con coeficientes que tienden a 0.
En álgebra , el anillo de series de potencias restringidas es el subanillo de un anillo de series de potencias formal que consta de series de potencias cuyos coeficientes se acercan a cero cuando el grado tiende al infinito. [1] Sobre un campo completo que no es de Arquímedes , el anillo también se llama álgebra de Tate . Los anillos cocientes del anillo se utilizan en el estudio de un espacio algebraico formal así como en el análisis rígido , este último sobre campos completos no arquimedianos.
Sobre un anillo topológico discreto , el anillo de series de potencias restringidas coincide con un anillo polinómico ; así, en este sentido, la noción de "serie de potencias restringidas" es una generalización de un polinomio .
Definición
Sea A un anillo topogizado linealmente , separado y completo y el sistema fundamental de ideales abiertos. Entonces el anillo de series de potencias restringidas se define como el límite proyectivo de los anillos polinomiales sobre :![{\displaystyle \{I_{\lambda}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A/I_{\lambda }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [2] [3]
En otras palabras, es la compleción del anillo polinomial con respecto a la filtración . A veces, este anillo de series de potencias restringidas también se denota por .![{\displaystyle A[x_{1},\dots,x_{n}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{I_{\lambda }[x_{1},\dots,x_{n}]\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\{x_{1},\dots,x_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Claramente, el anillo se puede identificar con el subanillo del anillo formal de series de potencias que consta de series con coeficientes ; es decir, cada uno contiene todos los coeficientes excepto un número finito . Además, el anillo satisface (y de hecho se caracteriza por) la propiedad universal : [4] para (1) cada homomorfismo de anillo continuo a un anillo topogizado linealmente , separado y completo y (2) cada elemento en , existe un anillo continuo único. homomorfismo de anillo![{\displaystyle A\langle x_{1},\dots,x_{n}\rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A[[x_{1},\dots,x_{n}]]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum c_{\alpha }x^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{\alpha}\a 0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle I _ {\ lambda}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle b_ {1}, \ puntos, b_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
extendiendo .![{\displaystyle A\a B}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
álgebra de tate
En análisis rígido , cuando el anillo base A es el anillo de valoración de un campo completo no de Arquímedes , el anillo de series de potencias restringidas tensorizadas con ,![{\displaystyle (K,|\cdot |)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \oveces _{A}K}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se llama álgebra de Tate, llamada así por John Tate . [5] Es equivalentemente el subanillo de una serie de potencias formal que consta de series convergentes en , donde está el anillo de valoración en el cierre algebraico .![{\displaystyle k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\overline {k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El espectro máximo de es entonces un espacio analítico rígido que modela un espacio afín en geometría rígida .![{\displaystyle T_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Defina la norma de Gauss de in por![{\displaystyle f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto crea un álgebra de Banach sobre k ; es decir, un álgebra normada que es completa como espacio métrico . Con esta norma , cualquier ideal de es cerrado [6] y, por lo tanto, si I es radical, el cociente también es un álgebra de Banach (reducida) llamada álgebra afinoide .
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{n}/I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Algunos resultados clave son:
- (División de Weierstrass) Sea una serie distinguida de orden s ; es decir, donde , es un elemento unitario y para . [7] Entonces, para cada , existe un único y único polinomio de grado tal que
![{\ Displaystyle g \ en T_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \xi _{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle g _ {\ nu} \ en T_ {n-1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle g_ {s}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle |g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \nu >s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle f \ en T_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle q \ en T_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle <s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
[8]
- ( Preparación de Weierstrass ) Como arriba, sea una serie distinguida de orden s . Entonces existe un polinomio mónico único de grado y un elemento unitario tal que . [9]
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\in T_{n-1}[\xi _{n}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle u \ en T_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g=fu}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- (Normalización de Noether) Si es un ideal, entonces hay un homomorfismo finito . [10]
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset T_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como consecuencia de la división, los teoremas de preparación y la normalización de Noether, existe un dominio de factorización único noetheriano de dimensión de Krull n . [11] Un análogo del Nullstellensatz de Hilbert es válido: el radical de un ideal es la intersección de todos los ideales máximos que contienen el ideal (decimos que el anillo es Jacobson). [12]
Resultados
Los resultados para anillos polinomiales como el lema de Hensel , los algoritmos de división (o la teoría de las bases de Gröbner ) también son válidos para el anillo de series de potencias restringidas. A lo largo de la sección, sea A un anillo topogizado linealmente, separado y completo.
- (Hensel) Sea un ideal máximo y el mapa del cociente. Dado a in , si para algún polinomio mónico y una serie de potencias restringidas tales que generan el ideal unitario de , entonces existen in y in tales que
![{\displaystyle {\mathfrak {m}}\subconjunto A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle F}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\langle \xi \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \varphi (F)=gh}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g\in k[\xi ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle h\in k\langle \xi \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g,h}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k\langle \xi \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle G}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A[\xi]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle H}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle A\langle \xi \rangle }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
. [13]
Notas
- ^ Proyecto de pilas, etiqueta 0AKZ.
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. 0, § 7.5.1.
- ^ Bourbaki 2006, cap. III, § 4. Definición 2 y Proposición 3.
- ^ Grothendieck y Dieudonné 1960, cap. 0, § 7.5.3.
- ^ Fujiwara & Kato 2018, capítulo 0, justo después de la Proposición 9.3.
- ^ Bosch 2014, § 2.3. Corolario 8
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Definición 6.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Teorema 8.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Corolario 9.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Corolario 11.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Proposición 14, Proposición 15, Proposición 17.
- ^ Bosch 2014, § 2.2. Proposición 16.
- ^ Bourbaki 2006, cap. III, § 4. Teorema 1.
Referencias
- Bourbaki, N. (2006). Algèbre conmutativo: Capítulos 1 a 4 . Springer Berlín Heidelberg. ISBN 9783540339373.
- Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 4 . doi :10.1007/bf02684778. SEÑOR 0217083.
- Bosch, Sigfrido; Güntzer, Ulrich; Remmert, Reinhold (1984), "Capítulo 5", Análisis no arquimediano , Springer
- Bosch, Siegfried (2014), Conferencias sobre geometría formal y rígida, ISBN 9783319044170
- Fujiwara, Kazuhiro; Kato, Fumiharu (2018), Fundamentos de la geometría rígida I
Ver también
enlaces externos
- https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
- http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
- https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf