La disciplina del origami o plegado de papel ha recibido una considerable cantidad de estudios matemáticos . Los campos de interés incluyen la capacidad de plegarse en forma plana de un modelo de papel determinado (si el modelo se puede aplanar sin dañarlo) y el uso de pliegues de papel para resolver ecuaciones matemáticas que incluyen ecuaciones cúbicas . [1]
El origami computacional es una rama reciente de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos que resuelven problemas de plegado de papel. El campo del origami computacional también ha crecido significativamente desde su inicio en la década de 1990 con el algoritmo TreeMaker de Robert Lang para ayudar en el plegado preciso de bases. [2] Los resultados del origami computacional abordan el diseño de origami o la capacidad de plegado de origami. [3] En los problemas de diseño de origami, el objetivo es diseñar un objeto que se pueda plegar a partir de papel dada una configuración objetivo específica. En los problemas de capacidad de plegado de origami, el objetivo es doblar algo utilizando los pliegues de una configuración inicial. Los resultados en los problemas de diseño de origami han sido más accesibles que en los problemas de capacidad de plegado de origami. [3]
En 1893, el funcionario indio T. Sundara Row publicó Ejercicios geométricos de plegado de papel , en los que utilizaba el plegado de papel para demostrar pruebas de construcciones geométricas. Esta obra se inspiró en el uso del origami en el sistema de jardín de infancia . Row demostró una trisección aproximada de ángulos y dio a entender que la construcción de una raíz cúbica era imposible. [4]
En 1922, Harry Houdini publicó "Houdini's Paper Magic", que describía técnicas de origami que se basaban informalmente en enfoques matemáticos que luego se formalizaron. [5]
En 1936 Margharita P. Beloch demostró que el uso del « pliegue de Beloch », utilizado posteriormente en el sexto de los axiomas de Huzita-Hatori , permitía resolver la ecuación cúbica general utilizando origami. [1]
En 1949, el libro de RC Yeates "Métodos geométricos" describió tres construcciones permitidas correspondientes al primero, segundo y quinto de los axiomas de Huzita-Hatori. [6] [7]
El sistema de instrucción mediante diagramas de Yoshizawa-Randlett se introdujo en 1961. [8]
En 1980 se informó de una construcción que permitía trisecar un ángulo. Las trisecciones son imposibles según las reglas euclidianas. [9]
También en 1980, Kōryō Miura y Masamori Sakamaki demostraron una novedosa técnica de plegado de mapas mediante la cual los pliegues se realizan en un patrón de paralelogramo prescrito, lo que permite que el mapa se pueda expandir sin ningún pliegue en ángulo recto de la manera convencional. Su patrón permite que las líneas de plegado sean interdependientes y, por lo tanto, el mapa se puede descomprimir en un solo movimiento tirando de sus extremos opuestos, y también doblar juntando los dos extremos. No se requieren series de movimientos excesivamente complicadas, y el Miura-ori plegado se puede empaquetar en una forma muy compacta. [10] En 1985, Miura informó sobre un método de empaquetado y despliegue de grandes membranas en el espacio exterior, [11] y ya en 2012 esta técnica se había aplicado a paneles solares en naves espaciales . [12] [13]
En 1986, Messer informó sobre una construcción mediante la cual se podía duplicar el cubo , lo que es imposible con las construcciones euclidianas. [14]
El primer enunciado completo de los siete axiomas del origami fue escrito por el matemático y papiroflexia francés Jacques Justin en 1986, pero se pasó por alto hasta que Humiaki Huzita redescubrió los primeros seis en 1989. [15] La primera Reunión Internacional de Ciencia y Tecnología del Origami (ahora conocida como la Conferencia Internacional sobre Origami en Ciencia, Matemáticas y Educación) se celebró en 1989 en Ferrara, Italia. En esta reunión, Scimemi presentó una construcción para el heptágono regular . [16]
Alrededor de 1990, Robert J. Lang y otros intentaron por primera vez escribir un código informático que pudiera resolver problemas de origami. [17]
En 1996, Marshall Bern y Barry Hayes demostraron que el problema de asignar un patrón de pliegues de montaña y valle para producir una estructura de origami plana a partir de una hoja de papel plana es NP-completo . [18]
En 1999, un teorema de Haga proporcionó construcciones utilizadas para dividir el lado de un cuadrado en fracciones racionales. [19] [20]
A finales de 2001 y principios de 2002, Britney Gallivan demostró la longitud mínima de papel necesaria para doblarlo por la mitad un cierto número de veces y dobló un trozo de papel higiénico de 1200 m de largo doce veces. [21] [22]
En 2002, Sarah-Marie Belcastro y Tom Hull trajeron al origami teórico el lenguaje de las transformaciones afines , con una extensión de 2 a 3 sólo en el caso de construcción de un solo vértice. [23]
En 2002, Alperin resolvió el problema de Alhazen sobre óptica esférica. [24] En el mismo artículo, Alperin mostró una construcción para un heptágono regular. [24] En 2004, se demostró algorítmicamente el patrón de pliegues para un heptágono regular. [25] Alperin utilizó bisecciones y trisecciones en 2005 para la misma construcción. [26]
En 2003, Jeremy Gibbons, un investigador de la Universidad de Oxford, describió un estilo de programación funcional en términos de origami. A este paradigma lo denominó "programación origami". Caracteriza los pliegues y desdoblamientos como patrones naturales de computación sobre tipos de datos recursivos que pueden enmarcarse en el contexto del origami. [27]
En 2005, se aplicaron principios y conceptos del origami matemático y computacional para resolver Countdown , un juego popularizado en la televisión británica en el que los competidores usaban una lista de números de origen para construir una expresión aritmética lo más cercana posible al número objetivo. [28]
En 2009, Alperin y Lang extendieron el origami teórico a ecuaciones racionales de grado arbitrario, con el concepto de pliegues de variedades. [29] [30] Este trabajo fue una extensión formal de la demostración inédita de Lang de 2004 de la quintisección angular. [30] [31]
La construcción de modelos de origami se muestra a veces como patrones de pliegues. La pregunta principal sobre estos patrones de pliegues es si un patrón de pliegues dado se puede doblar para formar un modelo plano y, de ser así, cómo doblarlos; este es un problema NP-completo . [32] Los problemas relacionados cuando los pliegues son ortogonales se denominan problemas de plegado de mapas . Hay tres reglas matemáticas para producir patrones de pliegues de origami que se puedan doblar en forma plana : [33]
El papel presenta una curvatura gaussiana cero en todos los puntos de su superficie y solo se pliega de forma natural siguiendo líneas de curvatura cero. Las superficies curvas que no se pueden aplanar se pueden crear mediante un pliegue sin doblar en el papel, como se hace fácilmente con papel húmedo o con una uña.
Marshall Bern y Barry Hayes han demostrado que la asignación de un patrón de pliegues de montaña y de valle para producir un modelo plano es NP-completo . [18] Se analizan más referencias y resultados técnicos en la Parte II de Algoritmos de plegado geométrico . [34]
Se ha demostrado que algunos problemas clásicos de construcción de geometría (como la trisección de un ángulo arbitrario o la duplicación del cubo ) no se pueden resolver con compás y regla , pero sí con unos pocos pliegues de papel. [35] Se pueden construir tiras de pliegues de papel para resolver ecuaciones de hasta grado 4. Los axiomas de Huzita-Justin o Huzita-Hatori son una importante contribución a este campo de estudio. Estos describen lo que se puede construir utilizando una secuencia de pliegues con, como máximo, dos alineaciones de puntos o líneas a la vez. En Geometric Origami se analizan en detalle métodos completos para resolver todas las ecuaciones de hasta grado 4 aplicando métodos que satisfacen estos axiomas . [36]
Como resultado del estudio del origami mediante la aplicación de principios geométricos, métodos como el teorema de Haga han permitido a los dobladores de papel doblar con precisión el lado de un cuadrado en tercios, quintos, séptimos y novenos. Otros teoremas y métodos han permitido a los dobladores de papel obtener otras formas de un cuadrado, como triángulos equiláteros , pentágonos , hexágonos y rectángulos especiales como el rectángulo áureo y el rectángulo plateado . Se han desarrollado métodos para doblar la mayoría de los polígonos regulares hasta el 19-gono regular incluido. [36] Un n -gono regular se puede construir mediante el plegado de papel si y solo si n es un producto de distintos primos de Pierpont , potencias de dos y potencias de tres .
El lado de un cuadrado se puede dividir en una fracción racional arbitraria de varias maneras. Los teoremas de Haga dicen que se puede usar un conjunto particular de construcciones para tales divisiones. [19] [20] Sorprendentemente, se necesitan pocos pliegues para generar fracciones impares grandes. Por ejemplo, 1 ⁄ 5 se puede generar con tres pliegues; primero se divide un lado por la mitad, luego se usa el teorema de Haga dos veces para producir primero 2 ⁄ 3 y luego 1 ⁄ 5 .
El diagrama adjunto muestra el primer teorema de Haga:
La función que cambia la longitud AP por QC es inversa a sí misma . Sea x AP , entonces otras longitudes también son funciones racionales de x . Por ejemplo:
Los teoremas de Haga se generalizan de la siguiente manera:
Por lo tanto, BQ:CQ=k:1 implica AP:BP=k:2 para un número real positivo k. [37]
El problema clásico de doblar el cubo se puede resolver con origami. Esta construcción se debe a Peter Messer: [38] Primero se dobla un cuadrado de papel en tres tiras iguales como se muestra en el diagrama. Luego, el borde inferior se coloca de manera que el punto de la esquina P esté en el borde superior y la marca de pliegue en el borde se encuentre con la otra marca de pliegue Q. La longitud PB será entonces la raíz cúbica de 2 veces la longitud de AP. [14]
El borde con la marca de pliegue se considera una regla marcada, algo que no está permitido en construcciones con compás y regla . El uso de una regla marcada de esta manera se denomina construcción neusis en geometría.
La trisección de un ángulo es otro de los problemas clásicos que no se pueden resolver con un compás y una regla sin marcar, pero que se pueden resolver con origami. [39] Esta construcción, que se informó en 1980, se debe a Hisashi Abe. [38] [9] El ángulo CAB se triseca haciendo pliegues PP' y QQ' paralelos a la base con QQ' a mitad de camino entre ellos. Luego, el punto P se dobla para que quede sobre la línea AC y, al mismo tiempo, el punto A se hace que quede sobre la línea QQ' en A'. El ángulo A'AB es un tercio del ángulo original CAB. Esto se debe a que PAQ, A'AQ y A'AR son tres triángulos congruentes . Alinear los dos puntos en las dos líneas es otra construcción de neusis como en la solución para duplicar el cubo. [40] [9]
El problema del origami rígido , que consiste en tratar los pliegues como bisagras que unen dos superficies planas y rígidas, como una chapa metálica , tiene una gran importancia práctica. Por ejemplo, el pliegue del mapa de Miura es un pliegue rígido que se ha utilizado para desplegar grandes conjuntos de paneles solares para satélites espaciales.
El problema del plegado de servilletas es el problema de si un cuadrado o rectángulo de papel se puede doblar de modo que el perímetro de la figura plana sea mayor que el del cuadrado original.
La colocación de un punto en un pliegue curvo del patrón puede requerir la solución de integrales elípticas. El origami curvo permite que el papel forme superficies desarrollables que no son planas. [41] El origami de plegado húmedo es una técnica desarrollada por Yoshizawa que permite que los pliegues curvos creen una gama aún mayor de formas de mayor complejidad.
Se ha obtenido el número máximo de veces que se puede doblar un material incompresible. Con cada pliegue se pierde una cierta cantidad de papel por posible plegado. La función de pérdida para doblar papel por la mitad en una sola dirección se dio como , donde L es la longitud mínima del papel (u otro material), t es el grosor del material y n es el número de pliegues posibles. [42] Las distancias L y t deben expresarse en las mismas unidades, como pulgadas. Este resultado fue obtenido por Britney Gallivan, una estudiante de secundaria de California , en diciembre de 2001. En enero de 2002, dobló un trozo de papel higiénico de 4000 pies de largo (1200 m) doce veces en la misma dirección, desacreditando un mito de larga data de que el papel no se puede doblar por la mitad más de ocho veces. [21] [22]
El problema del plegado y corte plantea qué formas se pueden obtener al doblar un trozo de papel y realizar un único corte recto completo. La solución, conocida como el teorema del plegado y corte, establece que se puede obtener cualquier forma con lados rectos.
Un problema práctico es cómo doblar un mapa de modo que pueda manipularse con un mínimo esfuerzo o movimientos. El pliegue de Miura es una solución al problema, y se han propuesto varios otros. [43]
El origami computacional es una rama de la informática que se ocupa del estudio de algoritmos para resolver problemas de plegado de papel. A principios de la década de 1990, los origamistas participaron en una serie de concursos de origami llamados Bug Wars en los que los artistas intentaron superar a sus pares añadiendo complejidad a sus insectos de origami. La mayoría de los competidores en el concurso pertenecían a los Detectives del Origami, un grupo de aclamados artistas japoneses. [44] Robert Lang , un científico investigador de la Universidad de Stanford y el Instituto de Tecnología de California , también participó en el concurso. El concurso ayudó a iniciar un interés colectivo en el desarrollo de modelos y herramientas universales para ayudar en el diseño y la capacidad de plegado del origami. [44]
Los problemas de plegado de papel se clasifican como problemas de diseño de origami o problemas de plegamiento de origami. En la actualidad, predominan tres categorías de investigación computacional sobre origami: resultados de universalidad, algoritmos de decisión eficientes y resultados de intratabilidad computacional . [45] Un resultado de universalidad define los límites de posibilidad dado un modelo particular de plegado. Por ejemplo, un trozo de papel lo suficientemente grande se puede doblar en cualquier base de origami con forma de árbol, silueta poligonal y superficie poliédrica. [46] Cuando no se pueden obtener resultados de universalidad, se pueden utilizar algoritmos de decisión eficientes para probar si un objeto es plegable en tiempo polinomial. [45] Ciertos problemas de plegado de papel no tienen algoritmos eficientes. Los resultados de intratabilidad computacional muestran que actualmente no existen algoritmos de tiempo polinomial para resolver ciertos problemas de plegado. Por ejemplo, es NP-difícil evaluar si un patrón de pliegue dado se pliega en cualquier origami plano. [47]
En 2017, Erik Demaine, del Instituto Tecnológico de Massachusetts, y Tomohiro Tachi, de la Universidad de Tokio, publicaron un nuevo algoritmo universal que genera patrones prácticos de plegado de papel para producir cualquier estructura tridimensional. El nuevo algoritmo se basó en el trabajo que presentaron en su artículo de 1999, en el que se introdujo por primera vez un algoritmo universal para doblar formas de origami que garantiza un número mínimo de costuras. El algoritmo se incluirá en Origamizer, un software gratuito para generar patrones de pliegues de origami que Tachi lanzó por primera vez en 2008. [48]
Existen varias herramientas de diseño de software que se utilizan para el diseño de origami. Los usuarios especifican la forma o funcionalidad deseada y la herramienta de software construye el patrón de pliegue y/o el modelo 2D o 3D del resultado. Los investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts , Georgia Tech , la Universidad de California Irvine , la Universidad de Tsukuba y la Universidad de Tokio han desarrollado y publicado herramientas disponibles públicamente en origami computacional. TreeMaker, ReferenceFinder, OrigamiDraw y Origamizer se encuentran entre las herramientas que se han utilizado en el diseño de origami. [50]
Existen otras soluciones de software asociadas con la construcción de modelos de origami computacionales utilizando materiales no basados en papel, como Cadnano en origami de ADN . [51]
El origami computacional ha contribuido a aplicaciones en robótica, ingeniería, biotecnología y medicina, y diseño industrial. [52] También se han desarrollado aplicaciones para el origami en el estudio de lenguajes de programación y paradigmas de programación, en particular en el contexto de la programación funcional. [53]
Robert Lang participó en un proyecto con investigadores de EASi Engineering en Alemania para desarrollar diseños plegables de airbags automotrices. [54] A mediados de la década de 2000, Lang trabajó con investigadores del Laboratorio Nacional Lawrence Livermore para desarrollar una solución para el Telescopio Espacial James Webb , particularmente sus grandes espejos, para que encajaran en un cohete utilizando principios y algoritmos de origami computacional. [55]
En 2014, investigadores del Instituto Tecnológico de Massachusetts, la Universidad de Harvard y el Instituto Wyss de Ingeniería Inspirada en la Biología publicaron un método para construir máquinas que se pliegan solas y atribuyeron el éxito del proyecto a los avances en origami computacional. Se informó que su robot inspirado en el origami se plegaba en 4 minutos y se alejaba caminando sin intervención humana, lo que demostró el potencial del ensamblaje autónomo y autocontrolado en robótica. [56]
Otras aplicaciones incluyen el origami de ADN y el origami de ARN , el plegado de instrumentos de fabricación y la cirugía mediante pequeños robots de origami. [57]
Varias compañías de producción y comerciales han presentado aplicaciones del origami computacional. Lang trabajó con Toyota Avalon para presentar una secuencia animada de origami, Mitsubishi Endeavor para crear un mundo completamente a partir de figuras de origami y McDonald's para formar numerosas figuras de origami a partir de envoltorios de hamburguesas con queso. [58]
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