Ecuación cúbica

Ecuación polinómica de grado 3

Gráfica de una función cúbica con 3 raíces reales (donde la curva corta el eje horizontal en y = 0 ). El caso mostrado tiene dos puntos críticos . Aquí la función es y por lo tanto las tres raíces reales son 2, −1 y −4. ${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{4}}\left(x^{3}+3x^{2}-6x-8\right)\\&={\frac {1}{4}}(x-2)(x+1)(x+4)\end{aligned}}}$

En álgebra , una ecuación cúbica en una variable es una ecuación de la forma en la que a no es cero. $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

Las soluciones de esta ecuación se denominan raíces de la función cúbica definida por el lado izquierdo de la ecuación. Si todos los coeficientes a , b , c y d de la ecuación cúbica son números reales , entonces tiene al menos una raíz real (esto es cierto para todas las funciones polinómicas de grado impar ). Todas las raíces de la ecuación cúbica se pueden hallar por los siguientes medios:

• Algebraicamente : más precisamente, se pueden expresar mediante una fórmula cúbica que involucra los cuatro coeficientes, las cuatro operaciones aritméticas básicas , raíces cuadradas y raíces cúbicas . (Esto también es cierto para ecuaciones cuadráticas (de segundo grado) y cuárticas (de cuarto grado), pero no para ecuaciones de grado superior, por el teorema de Abel-Ruffini ).
• trigonométricamente
• Se pueden encontrar aproximaciones numéricas de las raíces utilizando algoritmos de búsqueda de raíces como el método de Newton .

Los coeficientes no necesitan ser números reales. Gran parte de lo que se explica a continuación es válido para coeficientes de cualquier campo con características distintas de 2 y 3. Las soluciones de la ecuación cúbica no necesariamente pertenecen al mismo campo que los coeficientes. Por ejemplo, algunas ecuaciones cúbicas con coeficientes racionales tienen raíces que son números complejos irracionales (e incluso no reales) .

Historia

Las ecuaciones cúbicas eran conocidas por los antiguos babilonios, griegos, chinos, indios y egipcios. ^{[1] [2] [3]} Se han encontrado tablillas cuneiformes babilónicas (siglos XX al XVI a. C.) con tablas para calcular cubos y raíces cúbicas. ^{[4] [5]} Los babilonios podrían haber usado las tablas para resolver ecuaciones cúbicas, pero no existe evidencia que confirme que lo hicieron. ^[6] El problema de duplicar el cubo involucra la ecuación cúbica más simple y antigua estudiada, y una para la cual los antiguos egipcios no creían que existiera una solución. ^[7] En el siglo V a. C., Hipócrates redujo este problema al de encontrar dos proporcionales medias entre una línea y otra del doble de su longitud, pero no pudo resolverlo con una construcción con compás y regla , ^[8] una tarea que ahora se sabe que es imposible. Los métodos para resolver ecuaciones cúbicas aparecen en Los nueve capítulos sobre el arte matemático , un texto matemático chino compilado alrededor del siglo II a. C. y comentado por Liu Hui en el siglo III. ^[2]

En el siglo III d. C., el matemático griego Diofanto encontró soluciones enteras o racionales para algunas ecuaciones cúbicas bivariadas ( ecuaciones diofánticas ). ^{[3] [9]} Se cree que Hipócrates, Menecmo y Arquímedes estuvieron cerca de resolver el problema de duplicar el cubo usando secciones cónicas intersecantes , ^[8] aunque historiadores como Reviel Netz discuten si los griegos estaban pensando en ecuaciones cúbicas o solo en problemas que pueden conducir a ecuaciones cúbicas. Algunos otros como TL Heath , que tradujo todas las obras de Arquímedes, no están de acuerdo y presentan evidencia de que Arquímedes realmente resolvió ecuaciones cúbicas usando intersecciones de dos cónicas , pero también discutió las condiciones donde las raíces son 0, 1 o 2. ^[10]

Gráfica de la función cúbica f ( x ) = 2 x ³  − 3 x ²  − 3 x  + 2 = ( x  + 1) (2 x  − 1) ( x  − 2)

En el siglo VII, el matemático y astrónomo de la dinastía Tang, Wang Xiaotong, en su tratado matemático titulado Jigu Suanjing, estableció y resolvió sistemáticamente numéricamente 25 ecuaciones cúbicas de la forma x ³ + px ² + qx = N , 23 de ellas con p , q ≠ 0 y dos de ellas con q = 0 . ^[11]

En el siglo XI, el poeta y matemático persa Omar Khayyam (1048-1131) hizo un progreso significativo en la teoría de ecuaciones cúbicas. En un artículo temprano, descubrió que una ecuación cúbica puede tener más de una solución y afirmó que no se puede resolver utilizando construcciones con regla y compás. También encontró una solución geométrica. ^{[12] [a]} En su trabajo posterior, el Tratado sobre la demostración de problemas de álgebra , escribió una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas generales encontradas por medio de secciones cónicas intersecantes . ^{[13] [14]} Khayyam intentó llegar a una fórmula algebraica para extraer raíces cúbicas. Escribió:

“Hemos intentado expresar estas raíces mediante el álgebra, pero hemos fracasado. Sin embargo, es posible que los hombres que vengan después de nosotros lo logren.” ^[15]

En el siglo XII, el matemático indio Bhaskara II intentó resolver ecuaciones cúbicas sin éxito general. Sin embargo, dio un ejemplo de ecuación cúbica: x ³ + 12 x = 6 x ² + 35 . ^[16] En el siglo XII, otro matemático persa , Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), escribió el Al-Muʿādalāt ( Tratado sobre ecuaciones ), que trataba ocho tipos de ecuaciones cúbicas con soluciones positivas y cinco tipos de ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. Utilizó lo que más tarde se conocería como el método de Horner-Ruffini para aproximar numéricamente la raíz de una ecuación cúbica. También utilizó los conceptos de máximos y mínimos de curvas para resolver ecuaciones cúbicas que pueden no tener soluciones positivas. ^[17] Comprendió la importancia del discriminante de la ecuación cúbica para encontrar soluciones algebraicas a ciertos tipos de ecuaciones cúbicas. ^[18]

En su libro Flos , Leonardo de Pisa, también conocido como Fibonacci (1170-1250), fue capaz de aproximar con precisión la solución positiva de la ecuación cúbica x ³ + 2 x ² + 10 x = 20 . Escribiendo en números babilónicos, dio el resultado como 1,22,7,42,33,4,40 (equivalente a 1 + 22/60 + 7/60 ²  + 42/60 ³  + 33/60 ⁴  + 4/60 ⁵  + 40/60 ⁶ ), que tiene un error relativo de aproximadamente 10 ⁻⁹ . ^[19]

A principios del siglo XVI, el matemático italiano Scipione del Ferro (1465-1526) descubrió un método para resolver una clase de ecuaciones cúbicas, a saber, las de la forma x ³ + mx = n . De hecho, todas las ecuaciones cúbicas pueden reducirse a esta forma si se permite que m y n sean negativos, pero los números negativos no eran conocidos por él en ese momento. Del Ferro mantuvo su logro en secreto hasta poco antes de su muerte, cuando se lo contó a su alumno Antonio Fior.

Nicolás Fontana Tartaglia

En 1535, Niccolò Tartaglia (1500-1557) recibió dos problemas de ecuaciones cúbicas de Zuanne da Coi y anunció que podía resolverlos. Pronto fue desafiado por Fior, lo que dio lugar a un famoso concurso entre los dos. Cada concursante tenía que poner una cierta cantidad de dinero y proponer una serie de problemas para que su rival los resolviera. El que resolviera más problemas en 30 días obtendría todo el dinero. Tartaglia recibió preguntas en la forma x ³ + mx = n , para las cuales había elaborado un método general. Fior recibió preguntas en la forma x ³ + mx ² = n , que resultaron ser demasiado difíciles para él, y Tartaglia ganó el concurso.

Más tarde, Gerolamo Cardano (1501-1576) convenció a Tartaglia para que revelara su secreto para resolver ecuaciones cúbicas. En 1539, Tartaglia lo hizo con la condición de que Cardano nunca lo revelara y que, si escribía un libro sobre ecuaciones cúbicas, le daría tiempo para publicarlo. Algunos años después, Cardano se enteró del trabajo previo de del Ferro y publicó el método de del Ferro en su libro Ars Magna en 1545, lo que significa que Cardano le dio a Tartaglia seis años para publicar sus resultados (y se le dio crédito por una solución independiente).

La promesa de Cardano a Tartaglia decía que no publicaría la obra de Tartaglia, y Cardano sintió que estaba publicando la de Del Ferro para eludir la promesa. Sin embargo, esto llevó a un desafío a Cardano por parte de Tartaglia, que Cardano rechazó. El desafío fue finalmente aceptado por el estudiante de Cardano, Lodovico Ferrari (1522-1565). Ferrari obtuvo mejores resultados que Tartaglia en la competencia, y Tartaglia perdió tanto su prestigio como sus ingresos. ^[20]

Cardano se dio cuenta de que el método de Tartaglia a veces requería que extrajera la raíz cuadrada de un número negativo. Incluso incluyó un cálculo con estos números complejos en Ars Magna , pero no lo entendió bien. Rafael Bombelli estudió esta cuestión en detalle ^[21] y por eso se le considera a menudo el descubridor de los números complejos.

François Viète (1540-1603) derivó independientemente la solución trigonométrica para la cúbica con tres raíces reales, y René Descartes (1596-1650) amplió el trabajo de Viète. ^[22]

Factorización

Si los coeficientes de una ecuación cúbica son números racionales , se puede obtener una ecuación equivalente con coeficientes enteros, multiplicando todos los coeficientes por un múltiplo común de sus denominadores. Se dice que una ecuación de este tipo con coeficientes enteros es reducible si el polinomio del lado izquierdo es el producto de polinomios de grados inferiores. Por el lema de Gauss , si la ecuación es reducible, se puede suponer que los factores tienen coeficientes enteros. $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,}$$

Encontrar las raíces de una ecuación cúbica reducible es más fácil que resolver el caso general. De hecho, si la ecuación es reducible, uno de los factores debe tener grado uno y, por lo tanto, tener la forma q y p son números enteros coprimos . La prueba de la raíz racional permite encontrar q y p examinando un número finito de casos (porque q debe ser un divisor de a y p debe ser un divisor de d ) . $${\displaystyle qx-p}$$

Por lo tanto, una raíz es y las otras raíces son las raíces del otro factor, que se puede encontrar mediante la división larga de polinomios . Este otro factor es (Los coeficientes no parecen ser números enteros, pero deben ser números enteros si p / q es una raíz). ${\displaystyle \textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},}$ $${\displaystyle {\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}}$$

Luego, las otras raíces son las raíces de este polinomio cuadrático y se pueden encontrar utilizando la fórmula cuadrática .

cúbico deprimido

Las cúbicas de la forma se denominan deprimidas. Son mucho más simples que las cúbicas generales, pero son fundamentales, porque el estudio de cualquier cúbica puede reducirse, mediante un simple cambio de variable, al de una cúbica deprimida. $${\displaystyle t^{3}+pt+q}$$

Sea una ecuación cúbica. El cambio de variable da una ecuación cúbica (en t ) que no tiene término en t ² . $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$ $${\displaystyle x=t-{\frac {b}{3a}}}$$

Después de dividir por uno se obtiene la ecuación cúbica deprimida con $${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}}$$

Las raíces de la ecuación original están relacionadas con las raíces de la ecuación deprimida por las relaciones para . ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2},t_{3}}$ $${\displaystyle x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},}$$ ${\displaystyle i=1,2,3}$

Discriminante y naturaleza de las raíces

La naturaleza (real o no, distinta o no) de las raíces de una cúbica se puede determinar sin calcularlas explícitamente, utilizando el discriminante .

Discriminante

El discriminante de un polinomio es una función de sus coeficientes que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple , o, si es divisible por el cuadrado de un polinomio no constante. En otras palabras, el discriminante es distinto de cero si y solo si el polinomio no tiene cuadrados .

Si r ₁ , r ₂ , r ₃ son las tres raíces (no necesariamente distintas ni reales ) de la cúbica entonces el discriminante es ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d,}$ $${\displaystyle a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.}$$

El discriminante de la cúbica deprimida es ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$ $${\displaystyle -\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).}$$

El discriminante de la cúbica general es Es el producto de y el discriminante de la cúbica deprimida correspondiente. Usando la fórmula que relaciona la cúbica general y la cúbica deprimida asociada, esto implica que el discriminante de la cúbica general se puede escribir como ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle 18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.}$$ ${\displaystyle a^{4}}$ $${\displaystyle {\frac {4(b^{2}-3ac)^{3}-(2b^{3}-9abc+27a^{2}d)^{2}}{27a^{2}}}.}$$

De ello se deduce que uno de estos dos discriminantes es cero si y sólo si el otro también es cero y, si los coeficientes son reales , los dos discriminantes tienen el mismo signo. En resumen, se puede deducir la misma información de cualquiera de estos dos discriminantes.

Para demostrar las fórmulas anteriores, se pueden utilizar las fórmulas de Vieta para expresar todo como polinomios en r ₁ , r ₂ , r ₃ y a . La prueba da como resultado la verificación de la igualdad de dos polinomios.

Naturaleza de las raíces

Si los coeficientes de un polinomio son números reales , y su discriminante no es cero, hay dos casos: ${\displaystyle \Delta }$

• Si la cúbica tiene tres raíces reales distintas ${\displaystyle \Delta >0,}$
• Si la cúbica tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas no reales . ${\displaystyle \Delta <0,}$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera. Primero, si r es una raíz de un polinomio con coeficientes reales, entonces su conjugado complejo también es una raíz. Por lo tanto, las raíces no reales, si las hay, ocurren como pares de raíces conjugadas complejas. Como un polinomio cúbico tiene tres raíces (no necesariamente distintas) por el teorema fundamental del álgebra , al menos una raíz debe ser real.

Como se indicó anteriormente, si r ₁ , r ₂ , r ₃ son las tres raíces de la ecuación cúbica , entonces el discriminante es ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle \Delta =a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}}$$

Si las tres raíces son reales y distintas, el discriminante es un producto de reales positivos, es decir ${\displaystyle \Delta >0.}$

Si sólo una raíz, digamos r ₁ , es real, entonces r ₂ y r ₃ son conjugados complejos, lo que implica que r ₂ – r ₃ es un número puramente imaginario y, por lo tanto, que ( r ₂ – r ₃ ) ² es real y negativo. Por otra parte, r ₁ – r ₂ y r ₁ – r ₃ son conjugados complejos, y su producto es real y positivo. ^[23] Por lo tanto, el discriminante es el producto de un solo número negativo y varios positivos. Es decir ${\displaystyle \Delta <0.}$

Raíz múltiple

Si el discriminante de una cúbica es cero, la cúbica tiene raíz múltiple . Si además sus coeficientes son reales, entonces todas sus raíces son reales.

El discriminante de la cúbica deprimida es cero si Si p también es cero, entonces p = q = 0 y 0 es una raíz triple de la cúbica. Si y p ≠ 0 , entonces la cúbica tiene una raíz simple ${\displaystyle t^{3}+pt+q}$ ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$ ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0,}$ $${\displaystyle t_{1}={\frac {3q}{p}}}$$

y una raíz doble $${\displaystyle t_{2}=t_{3}=-{\frac {3q}{2p}}.}$$

En otras palabras, $${\displaystyle t^{3}+pt+q=\left(t-{\frac {3q}{p}}\right)\left(t+{\frac {3q}{2p}}\right)^{2}.}$$

Este resultado se puede demostrar desarrollando el último producto o recuperar resolviendo el sistema bastante simple de ecuaciones que resulta de las fórmulas de Vieta .

Al utilizar la reducción de una cúbica deprimida, estos resultados se pueden extender a la cúbica general. Esto da: Si el discriminante de la cúbica es cero, entonces ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

• o bien, si la cúbica tiene raíz triple y ${\displaystyle b^{2}=3ac,}$ $${\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=-{\frac {b}{3a}},}$$ $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}}$$
• o, si la cúbica tiene una raíz doble y una raíz simple, y por lo tanto ${\displaystyle b^{2}\neq 3ac,}$ $${\displaystyle x_{2}=x_{3}={\frac {9ad-bc}{2(b^{2}-3ac)}},}$$ $${\displaystyle x_{1}={\frac {4abc-9a^{2}d-b^{3}}{a(b^{2}-3ac)}}.}$$ $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})^{2}.}$$

Característica 2 y 3

Los resultados anteriores son válidos cuando los coeficientes pertenecen a un campo de característica distinta de 2 o 3, pero deben modificarse para la característica 2 o 3, debido a las divisiones involucradas por 2 y 3.

La reducción a una cúbica deprimida funciona para la característica 2, pero no para la característica 3. Sin embargo, en ambos casos, es más sencillo establecer y enunciar los resultados para la cúbica general. La herramienta principal para ello es el hecho de que una raíz múltiple es una raíz común del polinomio y su derivada formal . En estas características, si la derivada no es una constante, es un polinomio lineal en la característica 3, y es el cuadrado de un polinomio lineal en la característica 2. Por lo tanto, tanto para la característica 2 como para la 3, la derivada tiene solo una raíz. Esto permite calcular la raíz múltiple, y la tercera raíz se puede deducir de la suma de las raíces, que se proporciona mediante las fórmulas de Vieta .

Una diferencia con otras características es que, en la característica 2, la fórmula para una raíz doble implica una raíz cuadrada y, en la característica 3, la fórmula para una raíz triple implica una raíz cúbica.

La fórmula de Cardano

A Gerolamo Cardano se le atribuye la publicación de la primera fórmula para resolver ecuaciones cúbicas, atribuyéndola a Scipione del Ferro y Niccolo Fontana Tartaglia . La fórmula se aplica a las cúbicas deprimidas, pero, como se muestra en el § Cúbica deprimida, permite resolver todas las ecuaciones cúbicas.

El resultado de Cardano es que si es una ecuación cúbica tal que p y q son números reales tales que es positivo (esto implica que el discriminante de la ecuación es negativo) entonces la ecuación tiene la raíz real donde y son los dos números y $${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$ ${\displaystyle {\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}$ $${\displaystyle {\sqrt[{3}]{u_{1}}}+{\sqrt[{3}]{u_{2}}},}$$ ${\displaystyle u_{1}}$ ${\displaystyle u_{2}}$ ${\displaystyle -{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}$ ${\displaystyle -{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$

Consulte § Derivación de las raíces, a continuación, para conocer varios métodos para obtener este resultado.

Como se muestra en § Naturaleza de las raíces, las otras dos raíces son números complejos conjugados no reales , en este caso. Más tarde se demostró (Cardano no conocía los números complejos ) que las otras dos raíces se obtienen multiplicando una de las raíces cúbicas por la raíz cúbica primitiva de la unidad y la otra raíz cúbica por la otra raíz cúbica primitiva de la unidad. Es decir, las otras raíces de la ecuación son y ^[24] ${\displaystyle \varepsilon _{1}={\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}=\varepsilon _{1}^{2}={\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}.}$ ${\displaystyle \varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{2}{\sqrt[{3}]{u_{1}}}+\varepsilon _{1}{\sqrt[{3}]{u_{2}}}.}$

Si hay tres raíces reales, pero la teoría de Galois permite demostrar que, si no hay raíz racional, las raíces no pueden expresarse mediante una expresión algebraica que involucre solo números reales. Por lo tanto, la ecuación no puede resolverse en este caso con los conocimientos de la época de Cardano. Este caso ha sido llamado casus irreducibilis , que significa caso irreducible en latín. ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$

En casus irreducibilis , la fórmula de Cardano todavía se puede usar, pero se necesita cierto cuidado en el uso de raíces cúbicas. Un primer método es definir los símbolos y como representando los valores principales de la función raíz (es decir, la raíz que tiene la parte real más grande). Con esta convención, la fórmula de Cardano para las tres raíces sigue siendo válida, pero no es puramente algebraica, ya que la definición de una parte principal no es puramente algebraica, ya que involucra desigualdades para comparar partes reales. Además, el uso de la raíz cúbica principal puede dar un resultado erróneo si los coeficientes son números complejos no reales. Además, si los coeficientes pertenecen a otro cuerpo , la raíz cúbica principal no está definida en general. ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$

La segunda forma de hacer que la fórmula de Cardano sea siempre correcta es observar que el producto de las dos raíces cúbicas debe ser – p / 3 . Resulta que una raíz de la ecuación es En esta fórmula, los símbolos y denotan cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica. Las otras raíces de la ecuación se obtienen cambiando la raíz cúbica o, equivalentemente, multiplicando la raíz cúbica por una raíz cúbica primitiva de la unidad, es decir $${\displaystyle C-{\frac {p}{3C}}\quad {\text{with}}\quad C={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

Esta fórmula para las raíces es siempre correcta excepto cuando p = q = 0 , con la condición de que si p = 0 , la raíz cuadrada se elige de modo que C ≠ 0 . Sin embargo, la fórmula de Cardano es inútil si como las raíces son las raíces cúbicas de De manera similar, la fórmula también es inútil en los casos en los que no se necesita una raíz cúbica, es decir, cuando el polinomio cúbico no es irreducible ; esto incluye el caso ${\displaystyle p=0,}$ ${\displaystyle -q.}$ ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}=0.}$

Esta fórmula también es correcta cuando p y q pertenecen a cualquier campo de característica distinto de 2 o 3.

Fórmula cúbica general

A partir de cada variante de la fórmula de Cardano, mediante reducción a una cúbica reducida, se puede deducir una fórmula cúbica para las raíces de la ecuación cúbica general (con a ≠ 0 ) . La variante que se presenta aquí es válida no solo para coeficientes reales, sino también para coeficientes a , b , c , d pertenecientes a cualquier campo de característica distinto de 2 o 3. Si los coeficientes son números reales, la fórmula cubre todas las soluciones complejas, no solo las reales. $${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$$

Como la fórmula es bastante complicada, conviene dividirla en fórmulas más pequeñas.

Dejar $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{0}&=b^{2}-3ac,\\\Delta _{1}&=2b^{3}-9abc+27a^{2}d.\end{aligned}}}$$

(Ambos y pueden expresarse como resultantes de la cúbica y sus derivadas: es ⁠ ${\displaystyle \Delta _{0}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}}$ ${\displaystyle \Delta _{1}}$-1/8 un⁠ por la resultante de la cúbica y su segunda derivada, yes ⁠ ${\displaystyle \Delta _{0}}$-1/12 a⁠ multiplicado por la resultante de la primera y la segunda derivada del polinomio cúbico.)

Entonces sea donde los símbolos y se interpretan como cualquier raíz cuadrada y cualquier raíz cúbica, respectivamente (cada número complejo distinto de cero tiene dos raíces cuadradas y tres raíces cúbicas). El signo " ± " antes de la raíz cuadrada es " + " o " – "; la elección es casi arbitraria, y cambiarla equivale a elegir una raíz cuadrada diferente. Sin embargo, si una elección da como resultado C = 0 (esto ocurre si ), entonces se debe seleccionar el otro signo en su lugar. Si ambas opciones dan como resultado C = 0 , es decir, si una fracción ⁠ $${\displaystyle C={\sqrt[{3}]{\frac {\Delta _{1}\pm {\sqrt {\Delta _{1}^{2}-4\Delta _{0}^{3}}}}{2}}},}$$ ${\displaystyle {\sqrt {{~}^{~}}}}$ ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{~}^{~}}}}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=0}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$0/0⁠ aparece en las siguientes fórmulas; esta fracción debe interpretarse como igual a cero (ver el final de esta sección). Con estas convenciones, una de las raíces es $${\displaystyle x=-{\frac {1}{3a}}\left(b+C+{\frac {\Delta _{0}}{C}}\right){\text{.}}}$$

Las otras dos raíces se pueden obtener cambiando la elección de la raíz cúbica en la definición de C , o, equivalentemente, multiplicando C por una raíz cúbica primitiva de la unidad , es decir–1 ± √ –3/2⁠ . En otras palabras, las tres raíces son donde ξ = ⁠ $${\displaystyle x_{k}=-{\frac {1}{3a}}\left(b+\xi ^{k}C+{\frac {\Delta _{0}}{\xi ^{k}C}}\right),\qquad k\in \{0,1,2\}{\text{,}}}$$–1 + √ –3/2⁠ .

En cuanto al caso especial de una cúbica deprimida, esta fórmula se aplica pero es inútil cuando las raíces se pueden expresar sin raíces cúbicas. En particular, si la fórmula da que las tres raíces son iguales , lo que significa que el polinomio cúbico se puede factorizar como Un cálculo sencillo permite verificar que la existencia de esta factorización es equivalente a ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0,}$ ${\displaystyle {\frac {-b}{3a}},}$ ${\displaystyle \textstyle a(x+{\frac {b}{3a}})^{3}.}$ ${\displaystyle \Delta _{0}=\Delta _{1}=0.}$

Soluciones trigonométricas e hiperbólicas

Solución trigonométrica para tres raíces reales

Cuando una ecuación cúbica con coeficientes reales tiene tres raíces reales, las fórmulas que expresan estas raíces en términos de radicales involucran números complejos. La teoría de Galois permite demostrar que cuando las tres raíces son reales y ninguna es racional ( casus irreducibilis ), no se pueden expresar las raíces en términos de radicales reales. Sin embargo, se pueden obtener expresiones puramente reales de las soluciones utilizando funciones trigonométricas , específicamente en términos de cosenos y arcocosenos . ^[25] Más precisamente, las raíces de la cúbica deprimida son ^[26] $${\displaystyle t^{3}+pt+q=0}$$ $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[\,{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\,\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

Esta fórmula se debe a François Viète . ^[22] Es puramente real cuando la ecuación tiene tres raíces reales (es decir ). De lo contrario, sigue siendo correcta, pero implica cosenos y arcocosenos complejos cuando solo hay una raíz real, y no tiene sentido (división por cero) cuando p = 0 . ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0}$

Esta fórmula se puede transformar directamente en una fórmula para las raíces de una ecuación cúbica general, utilizando la sustitución hacia atrás descrita en § Cúbica deprimida.

La fórmula se puede demostrar de la siguiente manera: Partiendo de la ecuación t ³ + pt + q = 0 , fijemos t = u cos  θ . La idea es elegir u para que la ecuación coincida con la identidad. Para ello, se elige y se divide la ecuación por Esto da Combinando con la identidad anterior, se obtiene y las raíces son así   $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -\cos(3\theta )=0.}$$ ${\displaystyle u=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,,}$ ${\displaystyle {\frac {u^{3}}{4}}.}$ $${\displaystyle 4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta -{\frac {3q}{2p}}\,{\sqrt {\frac {-3}{p}}}=0.}$$ $${\displaystyle \cos(3\theta )={\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\,,}$$ $${\displaystyle t_{k}=2\,{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\,\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-{\frac {2\pi k}{3}}\right]\qquad {\text{for }}k=0,1,2.}$$

Solución hiperbólica para una raíz real

Cuando sólo hay una raíz real (y p ≠ 0 ), esta raíz se puede representar de manera similar utilizando funciones hiperbólicas , como ^{[27] [28]} Si p ≠ 0 y las desigualdades de la derecha no se satisfacen (el caso de tres raíces reales), las fórmulas siguen siendo válidas pero involucran cantidades complejas. $${\displaystyle {\begin{aligned}t_{0}&=-2{\frac {|q|}{q}}{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cosh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arcosh} \left({\frac {-3|q|}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~4p^{3}+27q^{2}>0~{\text{ and }}~p<0,\\t_{0}&=-2{\sqrt {\frac {p}{3}}}\sinh \left[{\frac {1}{3}}\operatorname {arsinh} \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {3}{p}}}\right)\right]\qquad {\text{if }}~p>0.\end{aligned}}}$$

Cuando p = ±3 , los valores anteriores de t ₀ a veces se denominan raíz cúbica de Chebyshev. ^[29] Más precisamente, los valores que involucran cosenos y cosenos hiperbólicos definen, cuando p = −3 , la misma función analítica denotada C _1/3 ( q ) , que es la raíz cúbica de Chebyshev propia. El valor que involucra senos hiperbólicos se denota de manera similar S _1/3 ( q ) , cuando p = 3 .

Soluciones geométricas

La solución de Omar Khayyám

Solución geométrica de Omar Khayyám de una ecuación cúbica, para el caso m = 2 , n = 16 , que da como raíz 2 . La intersección de la línea vertical sobre el eje x en el centro del círculo es una casualidad del ejemplo ilustrado.

Para resolver la ecuación cúbica x ³ + m ² x = n donde n > 0 , Omar Khayyám construyó la parábola y = x ² / m , el círculo que tiene como diámetro el segmento de línea [0, n / m ² ] en el eje x positivo , y una línea vertical a través del punto donde el círculo y la parábola se cortan por encima del eje x . La solución está dada por la longitud del segmento de línea horizontal desde el origen hasta la intersección de la línea vertical y el eje x (ver la figura).

Una demostración moderna sencilla es la siguiente. Al multiplicar la ecuación por x / m ² y reagrupar los términos se obtiene El lado izquierdo es el valor de y ² en la parábola. La ecuación del círculo es y ² + x ( x − ⁠ $${\displaystyle {\frac {x^{4}}{m^{2}}}=x\left({\frac {n}{m^{2}}}-x\right).}$$norte/metros ^cuadrados⁠ ) ​​= 0 , el lado derecho es el valor de y ² en el círculo.

Solución con ángulo trisector

Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente utilizando compás, regla y un trisector de ángulos si y solo si tiene tres raíces reales. ^{[30] : Teoría 1}

Una ecuación cúbica se puede resolver mediante una construcción con regla y compás (sin trisectriz) si y solo si tiene una raíz racional . Esto implica que los viejos problemas de trisección de ángulos y duplicación del cubo , planteados por los antiguos matemáticos griegos , no se pueden resolver mediante una construcción con regla y compás.

Interpretación geométrica de las raíces

Tres raíces reales

Para la cúbica ( 1 ) con tres raíces reales, las raíces son la proyección sobre el eje x de los vértices A , B y C de un triángulo equilátero . El centro del triángulo tiene la misma coordenada x que el punto de inflexión .

La expresión trigonométrica de Viète de las raíces en el caso de tres raíces reales se presta a una interpretación geométrica en términos de un círculo. ^{[22] [31]} Cuando la cúbica se escribe en forma deprimida ( 2 ) , t ³ + pt + q = 0 , como se muestra arriba, la solución se puede expresar como

$${\displaystyle t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right)\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.}$$

Aquí hay un ángulo en el círculo unitario; tomando ${\displaystyle \arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)}$1/3⁠ de ese ángulo corresponde a sacar la raíz cúbica de un número complejo; sumando − k ⁠2π​/3⁠ para k = 1, 2 encuentra las otras raíces cúbicas; y multiplicando los cosenos de estos ángulos resultantes porcorrige la escala. ${\displaystyle 2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}}$

Para el caso no deprimido ( 1 ) (mostrado en el gráfico adjunto), el caso deprimido como se indicó anteriormente se obtiene definiendo t tal que x = t − ⁠b/3 un⁠ entonces t = x + ⁠b/3 un⁠ . Gráficamente, esto corresponde simplemente a desplazar el gráfico horizontalmente al cambiar entre las variables t y x , sin cambiar las relaciones de los ángulos. Este desplazamiento mueve el punto de inflexión y el centro del círculo al eje y . En consecuencia, las raíces de la ecuación en t suman cero.

Una raíz real

En el plano cartesiano

La pendiente de la línea RA es el doble de la de RH. Denotamos las raíces complejas de la cúbica como g ± hi , g = OM (negativo aquí) y h = √ tan ORH = √ pendiente de la línea RH = BE = DA .

Cuando se traza la gráfica de una función cúbica en el plano cartesiano , si solo hay una raíz real, es la abscisa ( coordenada x ) de la intersección horizontal de la curva (punto R en la figura). Además, ^{[32] [33] [34]} si las raíces conjugadas complejas se escriben como g ± hi , entonces la parte real g es la abscisa del punto de tangencia H de la línea tangente a la cúbica que pasa por la intersección con el eje x R de la cúbica (que es la longitud con signo OM, negativa en la figura). Las partes imaginarias ±h son las raíces cuadradas de la tangente del ángulo entre esta línea tangente y el eje horizontal. ^{[ aclaración necesaria ]}

En el plano complejo

Con una raíz real y dos raíces complejas, las tres raíces se pueden representar como puntos en el plano complejo, al igual que las dos raíces de la derivada de la cúbica. Existe una relación geométrica interesante entre todas estas raíces.

Los puntos en el plano complejo que representan las tres raíces sirven como vértices de un triángulo isósceles. (El triángulo es isósceles porque una raíz está en el eje horizontal (real) y las otras dos raíces, al ser conjugadas complejas, aparecen simétricamente por encima y por debajo del eje real). El teorema de Marden dice que los puntos que representan las raíces de la derivada de la cúbica son los focos de la inelipse de Steiner del triángulo, la única elipse que es tangente al triángulo en los puntos medios de sus lados. Si el ángulo en el vértice sobre el eje real es menor que ⁠π/3⁠ entonces el eje mayor de la elipse se encuentra sobre el eje real, al igual que sus focos y, por lo tanto, las raíces de la derivada. Si ese ángulo es mayor que ⁠π/3⁠ , el eje mayor es vertical y sus focos, las raíces de la derivada, son conjugados complejos. Y si ese ángulo es ⁠π/3⁠ , el triángulo es equilátero, la inelipse de Steiner es simplemente el incírculo del triángulo, sus focos coinciden entre sí en el incentro, que se encuentra en el eje real, y por lo tanto la derivada tiene raíces reales duplicadas.

Grupo de Galois

Dado un polinomio cúbico irreducible sobre un cuerpo K de característica distinta de 2 y 3, el grupo de Galois sobre K es el grupo de los automorfismos de cuerpo que fijan K de la extensión más pequeña de K ( cuerpo de desdoblamiento ). Como estos automorfismos deben permutar las raíces de los polinomios, este grupo es o bien el grupo S ₃ de las seis permutaciones de las tres raíces, o bien el grupo A ₃ de las tres permutaciones circulares.

El discriminante Δ de la cúbica es el cuadrado de donde a es el coeficiente principal de la cúbica, y r ₁ , r ₂ y r ₃ son las tres raíces de la cúbica. Como cambia de signo si se intercambian dos raíces, se fija por el grupo de Galois solo si el grupo de Galois es A ₃ . En otras palabras, el grupo de Galois es A ₃ si y solo si el discriminante es el cuadrado de un elemento de K . $${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=a^{2}(r_{1}-r_{2})(r_{1}-r_{3})(r_{2}-r_{3}),}$$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

Como la mayoría de los números enteros no son cuadrados, al trabajar sobre el cuerpo Q de los números racionales , el grupo de Galois de la mayoría de los polinomios cúbicos irreducibles es el grupo S ₃ con seis elementos. Un ejemplo de un grupo de Galois A ₃ con tres elementos viene dado por p ( x ) = x ³ − 3 x − 1 , cuyo discriminante es 81 = 9 ² .

Derivación de las raíces

Esta sección reagrupa varios métodos para derivar la fórmula de Cardano.

El método de Cardano

Este método se debe a Scipione del Ferro y Tartaglia , pero recibe su nombre de Gerolamo Cardano, quien lo publicó por primera vez en su libro Ars Magna (1545).

Este método se aplica a una cúbica deprimida t ³ + pt + q = 0. La idea es introducir dos variables u y tales que y sustituir esto en la cúbica deprimida, obteniendo ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u+v=t}$ $${\displaystyle u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0.}$$

En este punto Cardano impuso la condición Esto elimina el tercer término en la igualdad anterior, dando lugar al sistema de ecuaciones ${\displaystyle 3uv+p=0.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}}$$

Conociendo la suma y el producto de u ³ y uno se deduce que son las dos soluciones de la ecuación cuadrática por lo que el discriminante de esta ecuación es , y suponiendo que es positivo, las soluciones reales de esta ecuación son (después de doblar la división por 4 bajo la raíz cuadrada): Por lo que (sin pérdida de generalidad al elegir u o ): Como la suma de las raíces cúbicas de estas soluciones es una raíz de la ecuación. Es decir es una raíz de la ecuación; esta es la fórmula de Cardano. ${\displaystyle v^{3},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=(x-u^{3})(x-v^{3})\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+u^{3}v^{3}\\&=x^{2}-(u^{3}+v^{3})x+(uv)^{3}\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$ ${\displaystyle \Delta =q^{2}+{\frac {4p^{3}}{27}}}$ $${\displaystyle -{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.}$$ ${\displaystyle v}$ $${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ $${\displaystyle v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.}$$ ${\displaystyle u+v=t,}$ $${\displaystyle t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}}$$

Esto funciona bien cuando pero, si la raíz cuadrada que aparece en la fórmula no es real. Como un número complejo tiene tres raíces cúbicas, usar la fórmula de Cardano sin cuidado proporcionaría nueve raíces, mientras que una ecuación cúbica no puede tener más de tres raíces. Esto fue aclarado por primera vez por Rafael Bombelli en su libro L'Algebra (1572). La solución es usar el hecho de que es, Esto significa que solo se necesita calcular una raíz cúbica, y conduce a la segunda fórmula dada en § Fórmula de Cardano. ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}>0,}$ ${\displaystyle 4p^{3}+27q^{2}<0,}$ ${\displaystyle uv=-{\frac {p}{3}},}$ ${\displaystyle v={\frac {-p}{3u}}.}$

Las otras raíces de la ecuación se pueden obtener cambiando la raíz cúbica o, equivalentemente, multiplicando la raíz cúbica por cada una de las dos raíces cúbicas primitivas de la unidad , que son ${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}$

La sustitución de Vieta

La sustitución de Vieta es un método introducido por François Viète (Vieta es su nombre en latín) en un texto publicado póstumamente en 1615, que proporciona directamente la segunda fórmula del método de § Cardano y evita el problema de calcular dos raíces cúbicas diferentes. ^[35]

Partiendo de la ecuación cúbica deprimida t ³ + pt + q = 0 , la sustitución de Vieta es t = w – ⁠pag/3 semanas⁠ . ^[b]

La sustitución t = w – ⁠pag/3 semanas⁠ transforma el cúbico deprimido en $${\displaystyle w^{3}+q-{\frac {p^{3}}{27w^{3}}}=0.}$$

Multiplicando por w ³ , se obtiene una ecuación cuadrática en w ³ : $${\displaystyle (w^{3})^{2}+q(w^{3})-{\frac {p^{3}}{27}}=0.}$$

Sea cualquier raíz distinta de cero de esta ecuación cuadrática. Si w ₁ , w ₂ y w ₃ son las tres raíces cúbicas de W , entonces las raíces de la cúbica deprimida original son w ₁ − ⁠ $${\displaystyle W=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{3}}{27}}+{\frac {q^{2}}{4}}}}}$$pag/3 semanas ₁⁠ , w ₂ − ⁠pag/3 y ₂⁠ , y w ₃ − ⁠pag/3 y ₃⁠ . La otra raíz de la ecuación cuadrática esEsto implica que al cambiar el signo de la raíz cuadrada se intercambian w _i y − ⁠ ${\displaystyle \textstyle -{\frac {p^{3}}{27W}}.}$pag/3 yo_​⁠ para i = 1, 2, 3 , y por lo tanto no cambia las raíces. Este método solo falla cuando ambas raíces de la ecuación cuadrática son cero, es decir cuando p = q = 0 , en cuyo caso la única raíz de la cúbica deprimida es 0 .

El método de Lagrange

En su artículo Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Reflexiones sobre la resolución algebraica de ecuaciones"), ^[36] Joseph Louis Lagrange introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones de bajo grado de manera uniforme, con la esperanza de poder generalizarlo para grados superiores. Este método funciona bien para ecuaciones cúbicas y cuárticas , pero Lagrange no logró aplicarlo a una ecuación de quinto grado , porque requiere resolver un polinomio resolvente de grado al menos seis. ^{[37] [38] [39]} Aparte del hecho de que nadie lo había logrado antes, esta fue la primera indicación de la inexistencia de una fórmula algebraica para grados 5 y superiores; como se demostró más tarde con el teorema de Abel-Ruffini . Sin embargo, los métodos modernos para resolver ecuaciones de quinto grado resolubles se basan principalmente en el método de Lagrange. ^[39]

En el caso de ecuaciones cúbicas, el método de Lagrange da la misma solución que el de Cardano. El método de Lagrange se puede aplicar directamente a la ecuación cúbica general ax ³ + bx ² + cx + d = 0 , pero el cálculo es más sencillo con la ecuación cúbica reducida, t ³ + pt + q = 0 .

La idea principal de Lagrange era trabajar con la transformada de Fourier discreta de las raíces en lugar de con las raíces mismas. Más precisamente, sea ξ una raíz tercera primitiva de la unidad , es decir, un número tal que ξ ³ = 1 y ξ ² + ξ + 1 = 0 (cuando se trabaja en el espacio de números complejos , se tiene pero esta interpretación compleja no se utiliza aquí). Denotando x ₀ , x ₁ y x ₂ las tres raíces de la ecuación cúbica a resolver, sea la transformada de Fourier discreta de las raíces. Si se conocen s ₀ , s ₁ y s ₂ , las raíces se pueden recuperar a partir de ellas con la transformada de Fourier inversa que consiste en invertir esta transformación lineal; es decir, ${\displaystyle \textstyle \xi ={\frac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}=e^{2i\pi /3},}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=x_{0}+x_{1}+x_{2},\\s_{1}&=x_{0}+\xi x_{1}+\xi ^{2}x_{2},\\s_{2}&=x_{0}+\xi ^{2}x_{1}+\xi x_{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+s_{1}+s_{2}),\\x_{1}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi ^{2}s_{1}+\xi s_{2}),\\x_{2}&={\tfrac {1}{3}}(s_{0}+\xi s_{1}+\xi ^{2}s_{2}).\end{aligned}}}$$

Por las fórmulas de Vieta , se sabe que s ₀ es cero en el caso de una cúbica deprimida, y − ⁠b/a⁠ para la cúbica general. Por lo tanto, soloes necesario calcular s ₁ y s ₂ . No son funciones simétricas de las raíces (intercambiar x ₁ y x ₂ intercambia también s ₁ y s ₂ ), pero algunas funciones simétricas simples de s ₁ y s ₂ también son simétricas en las raíces de la ecuación cúbica a resolver. Por lo tanto, estas funciones simétricas se pueden expresar en términos de los coeficientes (conocidos) de la cúbica original, y esto permite expresar eventualmente las s _i como raíces de un polinomio con coeficientes conocidos. Esto funciona bien para todos los grados, pero, en grados superiores a cuatro, el polinomio resultante que tiene las s _i como raíces tiene un grado superior al del polinomio inicial y, por lo tanto, no es útil para la resolución. Esta es la razón por la que el método de Lagrange falla en los grados cinco y superiores.

En el caso de una ecuación cúbica, y son polinomios simétricos (ver más abajo). De ello se deduce que y son las dos raíces de la ecuación cuadrática. Por lo tanto, la resolución de la ecuación puede terminarse exactamente como con el método de Cardano, con y en lugar de u y ${\displaystyle P=s_{1}s_{2},}$ ${\displaystyle S=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}}$ ${\displaystyle s_{1}^{3}}$ ${\displaystyle s_{2}^{3}}$ ${\displaystyle z^{2}-Sz+P^{3}=0.}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$ ${\displaystyle v.}$

En el caso de la cúbica deprimida, se tiene y mientras que en el método de Cardano hemos establecido y Por lo tanto, hasta el intercambio de u y tenemos y En otras palabras, en este caso, el método de Cardano y el método de Lagrange calculan exactamente las mismas cosas, hasta un factor de tres en las variables auxiliares, siendo la principal diferencia que el método de Lagrange explica por qué estas variables auxiliares aparecen en el problema. ${\displaystyle x_{0}={\tfrac {1}{3}}(s_{1}+s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}s_{2}=-3p,}$ ${\displaystyle x_{0}=u+v}$ ${\displaystyle uv=-{\tfrac {1}{3}}p.}$ ${\displaystyle v,}$ ${\displaystyle s_{1}=3u}$ ${\displaystyle s_{2}=3v.}$

Cálculo deSyPAG

Un cálculo sencillo usando las relaciones ξ ³ = 1 y ξ ² + ξ + 1 = 0 da Esto muestra que P y S son funciones simétricas de las raíces. Usando las identidades de Newton , es sencillo expresarlas en términos de las funciones simétricas elementales de las raíces, dando con e ₁ = 0 , e ₂ = p y e ₃ = − q en el caso de una cúbica deprimida, y e ₁ = − ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=s_{1}s_{2}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-(x_{0}x_{1}+x_{1}x_{2}+x_{2}x_{0}),\\S&=s_{1}^{3}+s_{2}^{3}=2(x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3})-3(x_{0}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{0}+x_{0}x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{2}x_{0}^{2})+12x_{0}x_{1}x_{2}.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=e_{1}^{2}-3e_{2},\\S&=2e_{1}^{3}-9e_{1}e_{2}+27e_{3},\end{aligned}}}$$b/a⁠ , e ₂ = ⁠do/a⁠ y e ₃ = − ⁠d/a⁠ , en el caso general.

Aplicaciones

Las ecuaciones cúbicas surgen en varios otros contextos.

En matemáticas

• La trisección de un ángulo y la duplicación del cubo son dos antiguos problemas de geometría que se ha demostrado que no se pueden resolver con regla y compás , porque son equivalentes a resolver una ecuación cúbica.
• El teorema de Marden establece que los focos de la inelipse de Steiner de cualquier triángulo se pueden hallar utilizando la función cúbica cuyas raíces son las coordenadas en el plano complejo de los tres vértices del triángulo. Las raíces de la primera derivada de esta cúbica son las coordenadas complejas de esos focos.
• El área de un heptágono regular se puede expresar en términos de las raíces de una cúbica. Además, las razones de la diagonal larga con el lado, del lado con la diagonal corta y el negativo de la diagonal corta con la diagonal larga satisfacen una ecuación cúbica particular. Además, la razón entre el inradio y el circunradio de un triángulo heptagonal es una de las soluciones de una ecuación cúbica. Los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos relacionados satisfacen ecuaciones cúbicas. ${\displaystyle 2\pi /7}$
• Dado el coseno (u otra función trigonométrica) de un ángulo arbitrario, el coseno de un tercio de ese ángulo es una de las raíces de una ecuación cúbica.
• La solución de la ecuación cuártica general se basa en la solución de su ecuación cúbica resolvente .
• Los valores propios de una matriz 3×3 son las raíces de un polinomio cúbico que es el polinomio característico de la matriz.
• La ecuación característica de una ecuación diferencial lineal o ecuación en diferencias de coeficientes constantes de tercer orden o de Cauchy-Euler (coeficientes variables equidimensionales) es una ecuación cúbica.
• Los puntos de intersección de la curva de Bézier cúbica y la línea recta se pueden calcular utilizando la ecuación cúbica directa que representa la curva de Bézier.
• Los puntos críticos de una función cuártica se encuentran resolviendo una ecuación cúbica (la derivada igual a cero).
• Los puntos de inflexión de una función quíntica son la solución de una ecuación cúbica (la segunda derivada igual a cero).

En otras ciencias

• En química analítica , la ecuación de Charlot , que se puede utilizar para encontrar el pH de soluciones tampón , se puede resolver utilizando una ecuación cúbica.
• En termodinámica , las ecuaciones de estado (que relacionan la presión, el volumen y la temperatura de una sustancia), por ejemplo, la ecuación de estado de Van der Waals , son cúbicas en el volumen.
• Las ecuaciones cinemáticas que involucran tasas de aceleración lineales son cúbicas.
• La velocidad de las ondas sísmicas de Rayleigh es una solución de la ecuación cúbica de las ondas de Rayleigh .
• La velocidad en estado estable de un vehículo que se mueve en una pendiente con fricción del aire para una potencia de entrada dada se resuelve mediante una ecuación cúbica deprimida.
• La tercera ley del movimiento planetario de Kepler es cúbica en el semieje mayor.

Notas

1. En O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Omar Khayyam", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St AndrewsEste problema a su vez llevó a Khayyam a resolver la ecuación cúbica x ³ + 200 x = 20 x ² + 2000 y encontró una raíz positiva de esta cúbica considerando la intersección de una hipérbola rectangular y un círculo. Luego se encontró una solución numérica aproximada por interpolación en tablas trigonométricas . La construcción geométrica era perfectamente adecuada para Omar Khayyam, como ocurre para resolver un problema de construcción geométrica. Al final de su artículo, dice solo que, para este problema geométrico, si las aproximaciones son suficientes, entonces se puede obtener una solución más simple consultando las tablas trigonométricas . Textualmente: Si el buscador está satisfecho con una estimación, depende de él buscar en la tabla de cuerdas de Almagesto, o la tabla de senos y senos versados ​​​​del Observatorio Mothmed. A esto le sigue una breve descripción de este método alternativo (siete líneas).
2. Más precisamente, Vieta introdujo una nueva variable w e impuso la condición w ( t + w ) = ⁠pag/3⁠ . Esto es equivalente a la sustitución t = ⁠pag/3 semanas⁠ – w , y se diferencia de la sustitución que se utiliza aquí solo por un cambio de signo de w . Este cambio de signo permite obtener directamente las fórmulas de § Fórmula de Cardano.

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Referencias

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Lectura adicional

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• Dunnett, R. (noviembre de 1994), "Newton–Raphson y la cúbica", Mathematical Gazette , 78 (483), Mathematical Association : 347–348, doi :10.2307/3620218, ISSN  0025-5572, JSTOR  3620218, S2CID  125643035
• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 1 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Mitchell, DW (noviembre de 2007), "Resolver ecuaciones cúbicas resolviendo triángulos", Mathematical Gazette , 91 , Mathematical Association : 514–516, doi :10.1017/S0025557200182178, ISSN  0025-5572, S2CID  124710259
• Mitchell, DW (noviembre de 2009), "Potencias de φ como raíces de ecuaciones cúbicas", Mathematical Gazette , 93 , Mathematical Association , doi :10.1017/S0025557200185237, ISSN  0025-5572, S2CID  126286653
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Sección 5.6 Ecuaciones cuadráticas y cúbicas", Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.), Nueva York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-85-0-312-0 978-0-521-88068-8
• Rechtschaffen, Edgar (julio de 2008), "Raíces reales de las cúbicas: fórmula explícita para cuasi-soluciones", Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 268–276, doi :10.1017/S0025557200183147, ISSN  0025-5572, S2CID  125870578
• Zucker, IJ (julio de 2008), "La ecuación cúbica: una nueva mirada al caso irreducible", Mathematical Gazette , 92 , Mathematical Association : 264–268, doi :10.1017/S0025557200183135, ISSN  0025-5572, S2CID  125986006

Enlaces externos

• "Fórmula de Cardano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Historia de las ecuaciones cuadráticas, cúbicas y cuárticas en el archivo MacTutor .
• 500 años de NO enseñar la FÓRMULA CÚBICA. ¿Qué es lo que creen que no puedes manejar? – Vídeo de YouTube de Mathologer sobre la historia de las ecuaciones cúbicas y la solución de Cardano, así como la solución de Ferrari para las ecuaciones de cuarto grado