Ecuación de estado

Una ecuación que describe el estado de la materia bajo un conjunto dado de condiciones físicas.

En física y química , una ecuación de estado es una ecuación termodinámica que relaciona variables de estado , que describen el estado de la materia bajo un conjunto determinado de condiciones físicas, como presión , volumen , temperatura o energía interna . ^[1] La mayoría de las ecuaciones de estado modernas están formuladas en la energía libre de Helmholtz. Las ecuaciones de estado son útiles para describir las propiedades de sustancias puras y mezclas en estados líquidos, gases y sólidos , así como el estado de la materia en el interior de las estrellas .

Descripción general

En la actualidad, no existe una ecuación de estado única que prediga con precisión las propiedades de todas las sustancias en todas las condiciones. Un ejemplo de ecuación de estado correlaciona las densidades de gases y líquidos con las temperaturas y presiones, conocida como ley de los gases ideales , que es aproximadamente precisa para gases débilmente polares a bajas presiones y temperaturas moderadas. Esta ecuación se vuelve cada vez más inexacta a presiones más altas y temperaturas más bajas, y no logra predecir la condensación de un gas a un líquido.

La forma general de una ecuación de estado se puede escribir como

$${\displaystyle f(p,V,T)=0}$$

¿Dónde está la presión, el volumen y la temperatura del sistema? Sin embargo, también se pueden utilizar otras variables de esa forma. Está directamente relacionado con la regla de las fases de Gibbs , es decir, el número de variables independientes depende del número de sustancias y fases del sistema. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$

Una ecuación utilizada para modelar esta relación se llama ecuación de estado. En la mayoría de los casos este modelo comprenderá algunos parámetros empíricos que normalmente se ajustan a los datos de medición. Las ecuaciones de estado también pueden describir sólidos, incluida la transición de sólidos de un estado cristalino a otro. Las ecuaciones de estado también se utilizan para modelar el estado de la materia en el interior de las estrellas, incluidas las estrellas de neutrones , la materia densa ( plasmas de quarks-gluones ) y los campos de radiación. Un concepto relacionado es la ecuación de estado de fluido perfecto utilizada en cosmología .

Las ecuaciones de estado se aplican en muchos campos, como la ingeniería de procesos y la industria petrolera, así como en la industria farmacéutica.

Se puede utilizar cualquier conjunto consistente de unidades, aunque se prefieren las unidades SI . La temperatura absoluta se refiere al uso del Kelvin (K), siendo el cero el cero absoluto.

• ${\displaystyle n}$, número de moles de una sustancia
• ${\displaystyle V_{m}}$, , volumen molar , el volumen de 1 mol de gas o líquido ${\displaystyle {\frac {V}{n}}}$
• ${\displaystyle R}$, constante del gas ideal ≈ 8,3144621  J/mol·K
• ${\displaystyle p_{c}}$, presión en el punto crítico
• ${\displaystyle V_{c}}$, volumen molar en el punto crítico
• ${\displaystyle T_{c}}$, temperatura absoluta en el punto crítico

Antecedentes históricos

La ley de Boyle fue una de las primeras formulaciones de una ecuación de estado. En 1662, el físico y químico irlandés Robert Boyle realizó una serie de experimentos empleando un tubo de vidrio en forma de J, que estaba sellado en un extremo. Se añadió mercurio al tubo, atrapando una cantidad fija de aire en el extremo corto y sellado del tubo. Luego se midió el volumen de gas a medida que se agregaba mercurio adicional al tubo. La presión del gas podría determinarse por la diferencia entre el nivel de mercurio en el extremo corto del tubo y el del extremo largo y abierto. A través de estos experimentos, Boyle observó que el volumen del gas variaba inversamente con la presión. En forma matemática, esto se puede expresar como:

$${\displaystyle pV=\mathrm {constant} .}$$

Edmé Mariotte

En 1787, el físico francés Jacques Charles descubrió que el oxígeno, el nitrógeno, el hidrógeno, el dióxido de carbono y el aire se expanden aproximadamente en la misma medida en el mismo intervalo de 80 kelvin. Esto se conoce hoy como ley de Charles . Posteriormente, en 1802, Joseph Louis Gay-Lussac publicó resultados de experimentos similares, indicando una relación lineal entre volumen y temperatura:

$${\displaystyle {\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}.}$$

La ley de presión parcial de Dalton

Matemáticamente, esto se puede representar para especies como: ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle p_{\text{total}}=p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}.}$$

Émile Clapeyronley de los gases idealespV _mRT _CRconstante de los gases ${\displaystyle 0~^{\circ }\mathrm {C} =273.15~\mathrm {K} }$

$${\displaystyle pV_{m}=R\left(T_{C}+273.15\ {}^{\circ }{\text{C}}\right).}$$

JD van der Waalsecuación de estado^[2]las ecuaciones de estado cúbicasecuación de estado de Redlich-Kwong ^[3][4]

La ecuación de estado de van der Waals se puede escribir como

${\displaystyle \left(P+a{\frac {1}{V_{m}^{2}}}\right)(V_{m}-b)=RT}$

donde es un parámetro que describe la energía de atracción entre partículas y es un parámetro que describe el volumen de las partículas. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Ley de los gases ideales

Ley clásica de los gases ideales

La ley clásica de los gases ideales puede escribirse

$${\displaystyle pV=nRT.}$$

En la forma que se muestra arriba, la ecuación de estado es, por tanto,

$${\displaystyle f(p,V,T)=pV-nRT=0.}$$

Si se utiliza la aproximación del gas calóricamente perfecto , entonces la ley de los gases ideales también se puede expresar de la siguiente manera

$${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}$$

relación de calores específicos ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \gamma =C_{p}/C_{v}}$ ${\displaystyle e=C_{v}T}$ ${\displaystyle C_{v}}$ ${\displaystyle C_{p}}$

Ley cuántica de los gases ideales

Dado que para los gases atómicos y moleculares la ley clásica de los gases ideales es adecuada en la mayoría de los casos, describamos la ecuación de estado para partículas elementales con masa y espín que tiene en cuenta los efectos cuánticos. En lo sucesivo, el signo superior siempre corresponderá a la estadística de Fermi-Dirac y el signo inferior a la estadística de Bose-Einstein . La ecuación de estado de dichos gases con partículas que ocupan un volumen con temperatura y presión viene dada por ^[5] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle p={\frac {(2s+1){\sqrt {2m^{3}k_{\text{B}}^{5}T^{5}}}}{3\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{3/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}}$$

constante de Boltzmannpotencial químico ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle \mu (T,N/V)}$

$${\displaystyle {\frac {N}{V}}={\frac {(2s+1)(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}{{\sqrt {2}}\pi ^{2}\hbar ^{3}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{1/2}\,\mathrm {d} z}{e^{z-\mu /(k_{\text{B}}T)}\pm 1}}.}$$

En el caso límite donde , esta ecuación de estado se reducirá a la del gas ideal clásico. Se puede demostrar que la ecuación de estado anterior en el límite se reduce a ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$ ${\displaystyle e^{\mu /(k_{\text{B}}T)}\ll 1}$

$${\displaystyle pV=Nk_{\text{B}}T\left[1\pm {\frac {\pi ^{3/2}}{2(2s+1)}}{\frac {N\hbar ^{3}}{V(mk_{\text{B}}T)^{3/2}}}+\cdots \right]}$$

Con una densidad numérica fija , la disminución de la temperatura provoca en el gas Fermi un aumento en el valor de la presión desde su valor clásico, lo que implica una repulsión efectiva entre partículas (esta es una repulsión aparente debido a efectos de intercambio cuántico, no debido a interacciones reales entre partículas ya que en el gas ideal, las fuerzas de interacción se desprecian) y en el gas de Bose , una disminución de la presión desde su valor clásico implica una atracción efectiva. La naturaleza cuántica de esta ecuación depende de s y ħ . ${\displaystyle N/V}$

Ecuaciones cúbicas de estado

Las ecuaciones de estado cúbicas se llaman así porque se pueden reescribir como una función cúbica de . Las ecuaciones de estado cúbicas se originaron a partir de la ecuación de estado de van der Waals. Por lo tanto, todas las ecuaciones de estado cúbicas pueden considerarse "ecuaciones de estado de van der Waals modificadas". Existe una gran cantidad de ecuaciones de estado cúbicas de este tipo. Para la ingeniería de procesos, las ecuaciones de estado cúbicas siguen siendo hoy en día muy relevantes, por ejemplo, la ecuación de estado de Peng Robinson o la ecuación de estado de Soave Redlich Kwong. ${\displaystyle V_{m}}$

Ecuaciones de estado viriales

Ecuación de estado virial

$${\displaystyle {\frac {pV_{m}}{RT}}=A+{\frac {B}{V_{m}}}+{\frac {C}{V_{m}^{2}}}+{\frac {D}{V_{m}^{3}}}+\cdots }$$

Aunque normalmente no es la ecuación de estado más conveniente, la ecuación virial es importante porque puede derivarse directamente de la mecánica estadística . Esta ecuación también se llama ecuación de Kamerlingh Onnes . Si se hacen suposiciones apropiadas sobre la forma matemática de las fuerzas intermoleculares, se pueden desarrollar expresiones teóricas para cada uno de los coeficientes . A es el primer coeficiente virial, que tiene un valor constante de 1 y afirma que cuando el volumen es grande, todos los fluidos se comportan como gases ideales. El segundo coeficiente virial B corresponde a interacciones entre pares de moléculas, C a tripletes, etc. La precisión se puede aumentar indefinidamente considerando términos de orden superior. Los coeficientes B , C , D , etc. son funciones de la temperatura únicamente.

La ecuación de estado de BWR

$${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}+{\frac {c\rho ^{3}}{T^{2}}}\left(1+\gamma \rho ^{2}\right)\exp \left(-\gamma \rho ^{2}\right)}$$

dónde

• ${\displaystyle p}$es presión
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad molar

Los valores de los distintos parámetros se pueden encontrar en los materiales de referencia. ^[6] La ecuación de estado BWR también se ha utilizado frecuentemente para el modelado del fluido Lennard-Jones . ^{[7] [8]} Hay varias extensiones y modificaciones de la ecuación de estado clásica de BWR disponibles.

La ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin-Starling ^[9] es una ecuación de estado BWR modificada y se puede escribir como

$${\displaystyle p=\rho RT+\left(B_{0}RT-A_{0}-{\frac {C_{0}}{T^{2}}}+{\frac {D_{0}}{T^{3}}}-{\frac {E_{0}}{T^{4}}}\right)\rho ^{2}+\left(bRT-a-{\frac {d}{T}}+{\frac {c}{T^{2}}}\right)\rho ^{3}+\alpha \left(a+{\frac {d}{T}}\right)\rho ^{6}}$$

Tenga en cuenta que en esta ecuación virial, los términos virial cuarto y quinto son cero. El segundo coeficiente virial disminuye monótonamente a medida que desciende la temperatura. El tercer coeficiente virial aumenta monótonamente a medida que disminuye la temperatura.

La ecuación de estado de Lee-Kesler se basa en el principio de estados correspondientes y es una modificación de la ecuación de estado BWR. ^[10]

$${\displaystyle p={\frac {RT}{V}}\left(1+{\frac {B}{V_{r}}}+{\frac {C}{V_{r}^{2}}}+{\frac {D}{V_{r}^{5}}}+{\frac {c_{4}}{T_{r}^{3}V_{r}^{2}}}\left(\beta +{\frac {\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\exp \left({\frac {-\gamma }{V_{r}^{2}}}\right)\right)}$$

Ecuaciones de estado basadas físicamente

Hay una gran cantidad de ecuaciones de estado basadas físicamente disponibles en la actualidad. ^{[11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18]} La mayoría de ellos están formulados en la energía libre de Helmholtz en función de la temperatura, la densidad (y para las mezclas, además, la composición). La energía de Helmholtz se formula como una suma de múltiples términos que modelan diferentes tipos de interacción molecular o estructuras moleculares, por ejemplo, la formación de cadenas o interacciones dipolares . Por lo tanto, las ecuaciones de estado basadas físicamente modelan el efecto del tamaño, la atracción y la forma de las moléculas, así como los enlaces de hidrógeno y las interacciones polares de los fluidos. En general, las ecuaciones de estado basadas físicamente dan resultados más precisos que las ecuaciones de estado cúbicas tradicionales, especialmente para sistemas que contienen líquidos o sólidos. La mayoría de las ecuaciones de estado basadas físicamente se basan en términos monoméricos que describen el fluido de Lennard-Jones o el fluido de Mie .

Modelos basados ​​en la teoría de la perturbación.

La teoría de la perturbación se utiliza con frecuencia para modelar interacciones dispersivas en una ecuación de estado. Actualmente existe un gran número de ecuaciones de estado basadas en la teoría de la perturbación, ^{[19] [20],} por ejemplo, para el fluido clásico de Lennard-Jones. ^{[7] [21]} Las dos teorías más importantes utilizadas para este tipo de ecuaciones de estado son la teoría de la perturbación de Barker-Henderson ^[22] y la teoría de la perturbación de Weeks-Chandler-Andersen. ^[23]

Teoría estadística de fluidos asociativos (SAFT)

Una contribución importante para las ecuaciones de estado basadas en la física es la teoría estadística de fluidos asociativos (SAFT), que aporta la energía de Helmholtz que describe la asociación (también conocida como enlace de hidrógeno ) en fluidos, que también se puede aplicar para modelar la formación de cadenas (en el límite de infinito). fuerza de asociación). La ecuación de estado SAFT se desarrolló utilizando métodos mecánicos estadísticos (en particular, la teoría de perturbaciones de Wertheim ^[24] ) para describir las interacciones entre moléculas en un sistema. ^{[16] [25] [26]} La idea de una ecuación de estado SAFT fue propuesta por primera vez por Chapman et al. en 1988 y 1989. ^{[16] [25] [26]} Se han propuesto muchas versiones diferentes de los modelos SAFT, pero todas utilizan los mismos términos de cadena y asociación derivados de Chapman et al. ^{[25] [27] [28]}

Ecuaciones de estado multiparamétricas

Las ecuaciones de estado multiparamétricas son ecuaciones de estado empíricas que pueden usarse para representar fluidos puros con alta precisión. Las ecuaciones de estado multiparamétricas son correlaciones empíricas de datos experimentales y generalmente se formulan en la energía libre de Helmholtz. La forma funcional de estos modelos en la mayoría de los casos no está motivada físicamente. Generalmente se pueden aplicar tanto en estado líquido como gaseoso. Las ecuaciones de estado empíricas multiparamétricas representan la energía de Helmholtz del fluido como la suma de los términos del gas ideal y residual. Ambos términos son explícitos en temperatura y densidad:

$${\displaystyle {\frac {a(T,\rho )}{RT}}={\frac {a^{\mathrm {ideal\,gas} }(\tau ,\delta )+a^{\textrm {residual}}(\tau ,\delta )}{RT}}}$$

$${\displaystyle \tau ={\frac {T_{r}}{T}},\delta ={\frac {\rho }{\rho _{r}}}}$$

La densidad reducida y la temperatura reducida son en la mayoría de los casos los valores críticos para el fluido puro. Debido a que no se requiere la integración de las ecuaciones de estado multiparamétricas y las propiedades termodinámicas se pueden determinar utilizando relaciones termodinámicas clásicas, existen pocas restricciones en cuanto a la forma funcional de los términos ideales o residuales. ^{[29] [30]} Las ecuaciones de estado multiparamétricas típicas utilizan más de 50 parámetros específicos del fluido, pero son capaces de representar las propiedades del fluido con alta precisión. Actualmente se encuentran disponibles ecuaciones de estado multiparamétricas para aproximadamente 50 de los fluidos industriales más comunes, incluidos los refrigerantes. La ecuación de estado de referencia IAPWS95 para el agua también es una ecuación de estado multiparamétrica. ^[31] También existen modelos mixtos para ecuaciones de estado multiparamétricas. Sin embargo, se sabe que las ecuaciones de estado multiparamétricas aplicadas a mezclas a veces presentan artefactos. ^{[32] [33]} ${\displaystyle \rho _{r}}$ ${\displaystyle T_{r}}$

Un ejemplo de tal ecuación de estado es la forma propuesta por Span y Wagner. ^[29]

$${\displaystyle a^{\mathrm {residual} }=\sum _{i=1}^{8}\sum _{j=-8}^{12}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=-8}^{24}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta \right)+\sum _{i=1}^{5}\sum _{j=16}^{56}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/8}\exp \left(-\delta ^{2}\right)+\sum _{i=2}^{4}\sum _{j=24}^{38}n_{i,j}\delta ^{i}\tau ^{j/2}\exp \left(-\delta ^{3}\right)}$$

Esta es una forma algo más simple que está destinada a usarse más en aplicaciones técnicas. ^[29] Las ecuaciones de estado que requieren una mayor precisión utilizan una forma más complicada con más términos. ^{[31] [30]}

Lista de más ecuaciones de estado

Ecuación de estado endurecida

Cuando se considera agua bajo presiones muy altas, en situaciones como explosiones nucleares submarinas , litotricia por choque sónico y sonoluminiscencia , a menudo se utiliza la ecuación de estado rígida ^{[34] :}

$${\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e-\gamma p^{0}\,}$$

donde es la energía interna por unidad de masa, es una constante determinada empíricamente que normalmente se considera aproximadamente 6,1 y es otra constante que representa la atracción molecular entre las moléculas de agua. La magnitud de la corrección es de unos 2 gigapascales (20.000 atmósferas). ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p^{0}}$

La ecuación se expresa de esta forma porque la velocidad del sonido en el agua está dada por . ${\displaystyle c^{2}=\gamma \left(p+p^{0}\right)/\rho }$

Así, el agua se comporta como si fuera un gas ideal que ya se encuentra bajo una presión de aproximadamente 20.000 atmósferas (2 GPa), y explica por qué comúnmente se supone que el agua es incompresible: cuando la presión externa cambia de 1 atmósfera a 2 atmósferas (100 kPa a 200 kPa), el agua se comporta como lo haría un gas ideal al pasar de 20.001 a 20.002 atmósferas (2000,1 MPa a 2000,2 MPa).

Esta ecuación predice erróneamente la capacidad calorífica específica del agua, pero hay pocas alternativas simples disponibles para procesos severamente no isentrópicos, como los choques fuertes.

Ecuación de estado del oscilador Morse

Se ha derivado una ecuación de estado del oscilador Morse ^[35] y tiene la siguiente forma:

${\displaystyle p=\Gamma _{1}\nu +\Gamma _{2}\nu ^{2}}$

Donde está el parámetro virial de primer orden y depende de la temperatura, es el parámetro virial de segundo orden del oscilador Morse y depende de los parámetros del oscilador Morse además de la temperatura absoluta. es el volumen fraccionario del sistema. ${\displaystyle \Gamma _{1}}$ ${\displaystyle \Gamma _{2}}$ ${\displaystyle \nu }$

Ecuación de estado ultrarelativista

Un fluido ultrarelativista tiene ecuación de estado.

$${\displaystyle p=\rho _{m}c_{s}^{2}}$$

velocidad del sonido ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho _{m}}$ ${\displaystyle c_{s}}$

Ecuación de estado ideal de Bose

La ecuación de estado para un gas Bose ideal es

$${\displaystyle pV_{m}=RT~{\frac {\operatorname {Li} _{\alpha +1}(z)}{\zeta (\alpha )}}\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\alpha }}$$

donde α es un exponente específico del sistema (por ejemplo, en ausencia de un campo potencial, α = 3/2), z es exp( μ / k _B T ) donde μ es el potencial químico , Li es el polilogaritmo , ζ es la función zeta de Riemann , y Tc es la temperatura crítica a la que comienza a formarse un condensado de Bose-Einstein _.

Ecuación de estado de Jones-Wilkins-Lee para explosivos (ecuación JWL)

La ecuación de estado de Jones-Wilkins-Lee se utiliza para describir los productos de detonación de explosivos.

$${\displaystyle p=A\left(1-{\frac {\omega }{R_{1}V}}\right)\exp(-R_{1}V)+B\left(1-{\frac {\omega }{R_{2}V}}\right)\exp \left(-R_{2}V\right)+{\frac {\omega e_{0}}{V}}}$$

La relación se define utilizando , que es la densidad del explosivo (parte sólida) y , que es la densidad de los productos de la detonación. Los parámetros , , y vienen dados por varias referencias . ^[36] Además, en dichas referencias se dan la densidad inicial (parte sólida) , la velocidad de detonación , la presión de Chapman-Jouguet y la energía química por unidad de volumen del explosivo . Estos parámetros se obtienen ajustando el JWL-EOS a los resultados experimentales. Los parámetros típicos de algunos explosivos se enumeran en la siguiente tabla. ${\displaystyle V=\rho _{e}/\rho }$ ${\displaystyle \rho _{e}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle V_{D}}$ ${\displaystyle P_{CJ}}$ ${\displaystyle e_{0}}$

Otros

• Ecuación de Tait para agua y otros líquidos. Varias ecuaciones se denominan ecuación de Tait .
• Ecuación de estado de Murnaghan
• Ecuación de estado de Birch-Murnaghan
• Ecuación de estado de Stacey-Brennan-Irvine ^[38]
• Ecuación de estado de Rydberg modificada ^{[39] [40] [41]}
• Ecuación de estado polinómica adaptada ^[42]
• Ecuación de estado de Johnson-Holmquist
• Ecuación de estado de Mie-Grüneisen ^{[43] [44]}
• Ecuación de estado de Anton-Schmidt
• Ecuación de transición de estado

Ver también

• Leyes de los gases
• Función de salida
• Tabla de ecuaciones termodinámicas.
• gasolina de verdad
• Expansión del clúster

Referencias

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