Ecuación de transición de estado

Solución de una ecuación de estado

La ecuación de transición de estado se define como la solución de la ecuación de estado homogénea lineal. La ecuación de estado lineal invariante en el tiempo viene dada por

${\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t)+Ew(t),}$

con vector de estado x , vector de control u , vector w de perturbaciones aditivas y matrices fijas A , B y E , se puede resolver utilizando el método clásico de resolución de ecuaciones diferenciales lineales o el método de la transformada de Laplace . La solución de la transformada de Laplace se presenta en las siguientes ecuaciones. La transformada de Laplace de la ecuación anterior produce

${\displaystyle sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s)+EW(s)}$

donde x(0) denota el vector de estado inicial evaluado en . Resolviendo para se obtiene ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle X(s)}$

${\displaystyle X(s)=(sI-A)^{-1}x(0)+(sI-A)^{-1}[BU(s)+EW(s)].}$

Por lo tanto, la ecuación de transición de estado se puede obtener tomando la transformada inversa de Laplace como

${\displaystyle x(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}]x(0)+L^{-1}{(sI-A)^{-1}[BU(s)+EW(s)]}=\phi (t)x(0)+\int _{0}^{t}\phi (t-\tau )[Bu(\tau )+Ew(\tau )]dt.}$

La ecuación de transición de estado que se derivó anteriormente es útil solo cuando el tiempo inicial se define como . En el estudio de los sistemas de control , especialmente los sistemas de control de datos discretos, a menudo es deseable dividir un proceso de transición de estado en una secuencia de transiciones, por lo que se debe elegir un tiempo inicial más flexible. Sea el tiempo inicial representado por y el estado inicial correspondiente por , y supongamos que la entrada y la perturbación se aplican en t ≥ 0. Comenzando con la ecuación anterior estableciendo y resolviendo para , obtenemos ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle x(t_{0})}$ ${\displaystyle u(t)}$ ${\displaystyle w(t)}$ ${\displaystyle t=t_{0},}$ ${\displaystyle x(0)}$

${\displaystyle x(0)=\phi (-t_{0})x(t_{0})-\phi (-t_{0})\int _{0}^{t_{0}}\phi (t_{0}-\tau )[Bu(\tau )+Ew(\tau )]d\tau .}$

Una vez determinada la ecuación de transición de estado, el vector de salida se puede expresar como una función del estado inicial.

Véase también

• Teoría del control
• Ingeniería de control
• Control automático
• Comentario
• Control de procesos
• Bucle PID

Enlaces externos

• Caja de herramientas de sistemas de control para el diseño y análisis de sistemas de control.
• http://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/StateSpaceResponse.pdf
• Wikilibros:Sistemas de control/Ecuaciones en el espacio de estados
• http://planning.cs.uiuc.edu/node411.html