En cálculo diferencial y geometría diferencial , un punto de inflexión , punto de inflexión , flexión o inflexión (rara vez inflexión ) es un punto en una curva plana suave en el que la curvatura cambia de signo. En particular, en el caso de la gráfica de una función , es un punto donde la función cambia de ser cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.
Para la gráfica de una función de clase de diferenciabilidad C 2 ( f , su primera derivada f' y su segunda derivada f'' , existen y son continuas), la condición f'' = 0 también se puede utilizar para encontrar un punto de inflexión. ya que se debe pasar un punto de f'' = 0 para cambiar f'' de un valor positivo (cóncavo hacia arriba) a un valor negativo (cóncavo hacia abajo) o viceversa ya que f'' es continua; un punto de inflexión de la curva es donde f'' = 0 y cambia de signo en el punto (de positivo a negativo o de negativo a positivo). [1] Un punto donde la segunda derivada desaparece pero no cambia de signo a veces se denomina punto de ondulación o punto de ondulación .
En geometría algebraica, un punto de inflexión se define de manera un poco más general, como un punto regular donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 3, y un punto de ondulación o hiperflexión se define como un punto donde la tangente se encuentra con la curva de orden al menos 4. .
Los puntos de inflexión en geometría diferencial son los puntos de la curva donde la curvatura cambia de signo. [2] [3]
Por ejemplo, la gráfica de la función diferenciable tiene un punto de inflexión en ( x , f ( x )) si y sólo si su primera derivada f' tiene un extremo aislado en x . (Esto no es lo mismo que decir que f tiene un extremo). Es decir, en alguna vecindad, x es el único punto en el que f' tiene un mínimo o máximo (local). Si todos los extremos de f' están aislados , entonces un punto de inflexión es un punto en la gráfica de f en el que la tangente cruza la curva.
Un punto de inflexión descendente es un punto de inflexión donde la derivada es negativa en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función disminuye. Un punto de inflexión ascendente es un punto donde la derivada es positiva en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función aumenta.
Para una curva suave dada por ecuaciones paramétricas , un punto es un punto de inflexión si su curvatura con signo cambia de más a menos o de menos a más, es decir, cambia de signo .
Para una curva suave que es una gráfica de una función dos veces diferenciable, un punto de inflexión es un punto en la gráfica en el que la segunda derivada tiene un cero aislado y cambia de signo.
En geometría algebraica , un punto no singular de una curva algebraica es un punto de inflexión si y sólo si el número de intersección de la recta tangente y la curva (en el punto de tangencia) es mayor que 2. La principal motivación de esta definición diferente, es que de otro modo el conjunto de los puntos de inflexión de una curva no sería un conjunto algebraico . De hecho, el conjunto de los puntos de inflexión de una curva algebraica plana son exactamente sus puntos no singulares que son ceros del determinante hessiano de su compleción proyectiva .
Para una función f , si su segunda derivada f″ ( x ) existe en x 0 y x 0 es un punto de inflexión para f , entonces f″ ( x 0 ) = 0 , pero esta condición no es suficiente para tener un punto de inflexión , incluso si existen derivadas de cualquier orden. En este caso, también se necesita que la derivada distinta de cero de orden más bajo (por encima de la segunda) sea de orden impar (tercera, quinta, etc.). Si la derivada distinta de cero de orden más bajo es de orden par, el punto no es un punto de inflexión, sino un punto de ondulación . Sin embargo, en geometría algebraica se suele denominar puntos de inflexión tanto a los puntos de inflexión como a los puntos de ondulación . Un ejemplo de punto de ondulación es x = 0 para la función f dada por f ( x ) = x 4 .
En las afirmaciones anteriores, se supone que f tiene alguna derivada distinta de cero de orden superior en x , lo cual no es necesariamente el caso. Si es el caso, la condición de que la primera derivada distinta de cero tenga un orden impar implica que el signo de f ' ( x ) es el mismo en ambos lados de x en una vecindad de x . Si este signo es positivo , el punto es un punto de inflexión ascendente ; si es negativo , el punto es un punto de inflexión descendente .
Puntos de inflexión condiciones suficientes:
Los puntos de inflexión también se pueden clasificar según si f ' ( x ) es cero o distinto de cero.
Un punto de inflexión estacionario no es un extremo local . De manera más general, en el contexto de funciones de varias variables reales , un punto estacionario que no es un extremo local se llama punto de silla .
Un ejemplo de un punto de inflexión estacionario es el punto (0, 0) en la gráfica de y = x 3 . La tangente es el eje x , que corta la gráfica en este punto.
Un ejemplo de un punto de inflexión no estacionario es el punto (0, 0) en la gráfica de y = x 3 + ax , para cualquier a distinto de cero . La tangente en el origen es la recta y = ax , que corta la gráfica en este punto.
Algunas funciones cambian de concavidad sin tener puntos de inflexión. En cambio, pueden cambiar la concavidad alrededor de asíntotas o discontinuidades verticales. Por ejemplo, la función es cóncava para x negativa y convexa para x positiva , pero no tiene puntos de inflexión porque 0 no está en el dominio de la función.
Algunas funciones continuas tienen un punto de inflexión aunque la segunda derivada nunca sea 0. Por ejemplo, la función de raíz cúbica es cóncava hacia arriba cuando x es negativa y cóncava hacia abajo cuando x es positiva, pero no tiene derivadas de ningún orden en el origen.
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