Ecuación de Cauchy-Euler

Ecuación diferencial ordinaria

En matemáticas , una ecuación de Euler-Cauchy , o ecuación de Cauchy-Euler , o simplemente ecuación de Euler , es una ecuación diferencial ordinaria homogénea lineal con coeficientes variables . A veces se la denomina ecuación equidimensional . Debido a su estructura equidimensional particularmente simple, la ecuación diferencial se puede resolver de forma explícita.

La ecuación

Sea y ^{( n )} ( x ) la derivada n- ésima de la función desconocida  y ( x ) . Entonces una ecuación de Cauchy-Euler de orden n tiene la forma $${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\dots +a_{0}y(x)=0.}$$

La sustitución (es decir, ; para , en la que se podrían reemplazar todas las instancias de por , extendiendo el dominio de la solución a ) se puede utilizar para reducir esta ecuación a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes. Alternativamente, la solución de prueba se puede utilizar para resolver la ecuación directamente, obteniendo las soluciones básicas. ^[1] ${\displaystyle x=e^{u}}$ ${\displaystyle u=\ln(x)}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle y=x^{m}}$

Segundo orden: solución mediante ensayo

Curvas solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de dos raíces reales

Curvas solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de una raíz doble

Curvas de solución típicas para una ecuación de Euler-Cauchy de segundo orden para el caso de raíces complejas

La ecuación de Cauchy-Euler más común es la ecuación de segundo orden, que aparece en varias aplicaciones de física e ingeniería, como al resolver la ecuación de Laplace en coordenadas polares. La ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden es ^{[1] [2]}

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}$$

Suponemos una solución de prueba ^[1] $${\displaystyle y=x^{m}.}$$

Diferenciar da y $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m\left(m-1\right)x^{m-2}.}$$

Sustituir en la ecuación original lleva a requerir que $${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)+ax\left(mx^{m-1}\right)+b\left(x^{m}\right)=0}$$

Reordenando y factorizando obtenemos la ecuación indicial $${\displaystyle m^{2}+\left(a-1\right)m+b=0.}$$

Luego resolvemos m . Hay tres casos de interés:

• Caso 1 de dos raíces distintas, m ₁ y m ₂ ;
• Caso 2 de una raíz real repetida, m ;
• Caso 3 de raíces complejas, α ± βi .

En el caso 1, la solución es $${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}}$$

En el caso 2, la solución es $${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}}$$

Para llegar a esta solución se debe aplicar el método de reducción de orden , después de haber encontrado una solución y = x ^m .

En el caso 3, la solución es $${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))}$$ $${\displaystyle \alpha =\operatorname {Re} (m)}$$ $${\displaystyle \beta =\operatorname {Im} (m)}$$

Para . ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} }$

Esta forma de la solución se deriva estableciendo x = e ^t y utilizando la fórmula de Euler .

Segundo orden – solución mediante cambio de variables

$${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0}$$

Operamos la sustitución de variable definida por

$${\displaystyle t=\ln(x).}$$ $${\displaystyle y(x)=\varphi (\ln(x))=\varphi (t).}$$

La diferenciación da $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{x}}{\frac {d\varphi }{dt}}}$$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {1}{x^{2}}}\left({\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}-{\frac {d\varphi }{dt}}\right).}$$

Sustituyendo la ecuación diferencial se convierte en ${\displaystyle \varphi (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}+(a-1){\frac {d\varphi }{dt}}+b\varphi =0.}$$

Esta ecuación se resuelve mediante su polinomio característico ${\displaystyle \varphi (t)}$ $${\displaystyle \lambda ^{2}+(a-1)\lambda +b=0.}$$

Ahora sean y las dos raíces de este polinomio. Analizamos el caso en el que hay raíces distintas y el caso en el que hay una raíz repetida: ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

Si las raíces son distintas, la solución general es donde las exponenciales pueden ser complejas. $${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}e^{\lambda _{2}t},}$$

Si las raíces son iguales, la solución general es $${\displaystyle \varphi (t)=c_{1}e^{\lambda _{1}t}+c_{2}te^{\lambda _{1}t}.}$$

En ambos casos, la solución se puede encontrar estableciendo . ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle t=\ln(x)}$

Por lo tanto, en el primer caso y en el segundo, $${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}},}$$ $${\displaystyle y(x)=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}\ln(x)x^{\lambda _{1}}.}$$

Segundo orden: solución mediante operadores diferenciales

Observe que podemos escribir la ecuación de Cauchy-Euler de segundo orden en términos de un operador diferencial lineal como donde y es el operador identidad. ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle Ly=(x^{2}D^{2}+axD+bI)y=0,}$$ ${\displaystyle D={\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle I}$

Expresamos el operador anterior como un polinomio en , en lugar de . Por la regla del producto, entonces, ${\displaystyle xD}$ ${\displaystyle D}$ $${\displaystyle (xD)^{2}=xD(xD)=x(D+xD^{2})=x^{2}D^{2}+xD.}$$ $${\displaystyle L=(xD)^{2}+(a-1)(xD)+bI.}$$

Podemos entonces usar la fórmula cuadrática para factorizar este operador en términos lineales. Más específicamente, denotemos los valores (posiblemente iguales) de Entonces, ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ $${\displaystyle -{\frac {a-1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(a-1)^{2}-4b}}.}$$ $${\displaystyle L=(xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I).}$$

Se puede observar que estos factores conmutan, es decir . Por lo tanto, si , la solución de es una combinación lineal de las soluciones de cada uno de y , que se puede resolver mediante la separación de variables . ${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)(xD-\lambda _{2}I)=(xD-\lambda _{2}I)(xD-\lambda _{1}I)}$ ${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$ ${\displaystyle Ly=0}$ ${\displaystyle (xD-\lambda _{1}I)y=0}$ ${\displaystyle (xD-\lambda _{2}I)y=0}$

De hecho, con , tenemos . Por lo tanto, Por lo tanto, la solución general es . ${\displaystyle i\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle (xD-\lambda _{i}I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda _{i}y=0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x{\frac {dy}{dx}}&=\lambda _{i}y\\\int {\frac {1}{y}}\,dy&=\lambda _{i}\int {\frac {1}{x}}\,dx\\\ln y&=\lambda _{i}\ln x+C\\y&=c_{i}e^{\lambda _{i}\ln x}=c_{i}x^{\lambda _{i}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle y=c_{1}x^{\lambda _{1}}+c_{2}x^{\lambda _{2}}}$

Si , entonces necesitamos considerar la solución de . Sea , de modo que podamos escribir Como antes, la solución de tiene la forma . Por lo tanto, nos queda resolver Luego reescribimos la ecuación como que se puede reconocer como susceptible de solución a través de un factor integrante . ${\displaystyle \lambda =\lambda _{1}=\lambda _{2}}$ ${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=0}$ ${\displaystyle z=(xD-\lambda I)y}$ $${\displaystyle (xD-\lambda I)^{2}y=(xD-\lambda I)z=0.}$$ ${\displaystyle (xD-\lambda I)z=0}$ ${\displaystyle z=c_{1}x^{\lambda }}$ $${\displaystyle (xD-\lambda I)y=x{\frac {dy}{dx}}-\lambda y=c_{1}x^{\lambda }.}$$ $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}-{\frac {\lambda }{x}}y=c_{1}x^{\lambda -1},}$$

Elijamos como nuestro factor integrante. Multiplicando nuestra ecuación por y reconociendo el lado izquierdo como la derivada de un producto, obtenemos ${\displaystyle M(x)=x^{-\lambda }}$ ${\displaystyle M(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(x^{-\lambda }y)&=c_{1}x^{-1}\\x^{-\lambda }y&=\int c_{1}x^{-1}\,dx\\y&=x^{\lambda }(c_{1}\ln(x)+c_{2})\\&=c_{1}\ln(x)x^{\lambda }+c_{2}x^{\lambda }.\end{aligned}}}$$

Ejemplo

Dado que sustituimos la solución simple x ^m : $${\displaystyle x^{2}u''-3xu'+3u=0\,,}$$ $${\displaystyle x^{2}\left(m\left(m-1\right)x^{m-2}\right)-3x\left(mx^{m-1}\right)+3x^{m}=m\left(m-1\right)x^{m}-3mx^{m}+3x^{m}=\left(m^{2}-4m+3\right)x^{m}=0\,.}$$

Para que x ^m sea una solución, o bien x = 0 , lo que da la solución trivial , o bien el coeficiente de x ^m es cero. Resolviendo la ecuación cuadrática, obtenemos  m = 1, 3 . Por lo tanto, la solución general es

${\displaystyle u=c_{1}x+c_{2}x^{3}\,.}$

Ecuación diferencial análoga

Existe una ecuación diferencial análoga a la ecuación de Cauchy-Euler. Para un valor fijo de m > 0 , definamos la secuencia f _m ( n ) como $${\displaystyle f_{m}(n):=n(n+1)\cdots (n+m-1).}$$

Aplicando el operador de diferencia a , encontramos que ${\displaystyle f_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Df_{m}(n)&=f_{m}(n+1)-f_{m}(n)\\&=m(n+1)(n+2)\cdots (n+m-1)={\frac {m}{n}}f_{m}(n).\end{aligned}}}$$

Si hacemos esto k veces, encontramos que $${\displaystyle {\begin{aligned}f_{m}^{(k)}(n)&={\frac {m(m-1)\cdots (m-k+1)}{n(n+1)\cdots (n+k-1)}}f_{m}(n)\\&=m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {f_{m}(n)}{f_{k}(n)}},\end{aligned}}}$$

donde el superíndice ^{( k )} denota la aplicación del operador de diferencia k veces. Comparando esto con el hecho de que la derivada k -ésima de x es igual a ^m sugiere que podemos resolver la ecuación de diferencia de orden N de una manera similar al caso de la ecuación diferencial. De hecho, sustituir la solución de prueba nos lleva a la misma situación que el caso de la ecuación diferencial, $${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-k+1){\frac {x^{m}}{x^{k}}}}$$ $${\displaystyle f_{N}(n)y^{(N)}(n)+a_{N-1}f_{N-1}(n)y^{(N-1)}(n)+\cdots +a_{0}y(n)=0,}$$ $${\displaystyle y(n)=f_{m}(n)}$$ $${\displaystyle m(m-1)\cdots (m-N+1)+a_{N-1}m(m-1)\cdots (m-N+2)+\dots +a_{1}m+a_{0}=0.}$$

Ahora se puede proceder como en el caso de la ecuación diferencial, ya que la solución general de una ecuación diferencial lineal de orden N es también la combinación lineal de N soluciones linealmente independientes. La aplicación de la reducción de orden en el caso de una raíz múltiple m ₁ producirá expresiones que involucran una versión discreta de  ln , $${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k-m_{1}}}.}$$

(Comparar con: ) ${\textstyle \ln(x-m_{1})=\int _{1+m_{1}}^{x}{\frac {dt}{t-m_{1}}}.}$

En los casos donde intervienen fracciones, se puede utilizar en su lugar (o simplemente utilizarlo en todos los casos), lo que coincide con la definición anterior para el entero  m . $${\displaystyle f_{m}(n):={\frac {\Gamma (n+m)}{\Gamma (n)}}}$$

Véase también

• Ecuación diferencial hipergeométrica
• Operador de Cauchy-Euler

Referencias

1. Kreyszig, Erwin (10 de mayo de 2006). Matemáticas avanzadas para ingeniería . Wiley. ISBN 978-0-470-08484-7.
2. Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Rosatone, Laurie (ed.). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (10.ª ed.). págs. 272–273. ISBN 978-0-470-45831-0.

Bibliografía

• Weisstein, Eric W. "Ecuación de Cauchy-Euler". MathWorld .