La aritmética es una rama elemental de las matemáticas que estudia operaciones numéricas como suma , resta , multiplicación y división . En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y la toma de logaritmos . Los sistemas aritméticos se pueden distinguir según el tipo de número con el que operan. La aritmética de enteros se limita a cálculos con números enteros positivos y negativos . La aritmética de números racionales implica operaciones con fracciones que se encuentran entre números enteros. La aritmética de números reales incluye cálculos con números racionales e irracionales y cubre la recta numérica completa . Otra distinción se basa en el sistema numérico empleado para realizar los cálculos. La aritmética decimal es la más común. Utiliza los números básicos del 0 al 9 y sus combinaciones para expresar números . La aritmética binaria , por el contrario, es utilizada por la mayoría de las computadoras y representa números como combinaciones de los números básicos 0 y 1. Algunos sistemas aritméticos operan con objetos matemáticos distintos de los números, como la aritmética de intervalos y la aritmética matricial .
La práctica de la aritmética tiene al menos miles y posiblemente decenas de miles de años. Civilizaciones antiguas como los egipcios y los sumerios inventaron sistemas de numeración para resolver problemas aritméticos prácticos alrededor del año 3000 a. C. A partir de los siglos VII y VI a. C., los antiguos griegos iniciaron un estudio más abstracto de los números e introdujeron el método de demostraciones matemáticas rigurosas . Los antiguos indios desarrollaron el concepto de cero y el sistema decimal , que los matemáticos árabes refinaron y difundieron al mundo occidental durante el período medieval. Las primeras calculadoras mecánicas se inventaron en el siglo XVII. Los siglos XVIII y XIX vieron el desarrollo de la teoría de números moderna y la formulación de fundamentos axiomáticos de la aritmética. En el siglo XX, la aparición de calculadoras electrónicas y computadoras revolucionó la precisión y velocidad con la que se podían realizar los cálculos aritméticos.
Definición, etimología y campos relacionados
La aritmética es la rama fundamental de las matemáticas que estudia los números y sus operaciones. En particular, se trata de cálculos numéricos utilizando las operaciones aritméticas de suma , resta , multiplicación y división . [1] En un sentido más amplio, también incluye la exponenciación , la extracción de raíces y el logaritmo . [2] El término "aritmética" tiene su raíz en el término latino " arithmetica " que deriva de las palabras griegas antiguas ἀριθμός (arithmos), que significa "número", y ἀριθμητική τέχνη (arithmetike tekhne), que significa "el arte de contar". . [3]
Hay desacuerdos sobre su definición precisa. Según una caracterización estricta, la aritmética se ocupa únicamente de los números naturales . [4] Sin embargo, la visión más común es incluir operaciones con números enteros , números racionales , números reales y, a veces, también números complejos en su alcance. [5] Algunas definiciones restringen la aritmética al campo de los cálculos numéricos. [6] Cuando se entiende en un sentido más amplio, también incluye el estudio de cómo se desarrolló el concepto de números , el análisis de las propiedades y relaciones entre los números y el examen de la estructura axiomática de las operaciones aritméticas. [7]
La aritmética está estrechamente relacionada con la teoría de números y algunos autores utilizan los términos como sinónimos. [8] Sin embargo, en un sentido más específico, la teoría de números se restringe al estudio de los números enteros y se centra en sus propiedades y relaciones como la divisibilidad , la factorización y la primalidad . [9] Tradicionalmente, se la conoce como aritmética superior. [10]
La aritmética está íntimamente relacionada con muchas ramas de las matemáticas que dependen de operaciones numéricas. El álgebra se basa en principios aritméticos para resolver ecuaciones usando variables. Estos principios también desempeñan un papel clave en el cálculo en su intento de determinar tasas de cambio y áreas bajo las curvas . La geometría utiliza operaciones aritméticas para medir las propiedades de las formas, mientras que la estadística las utiliza para analizar datos numéricos. [11]
Números
Los números son objetos matemáticos que se utilizan para contar cantidades y medir magnitudes. Son elementos fundamentales en la aritmética ya que todas las operaciones aritméticas se realizan con números. Existen diferentes tipos de números y diferentes sistemas de numeración para representarlos. [12]
tipos
Los principales tipos de números empleados en aritmética son los números naturales , los números enteros, los números enteros , los números racionales y los números reales . [13] Los números naturales son números enteros que comienzan desde 1 y llegan al infinito. Excluyen el 0 y los números negativos. También se conocen como números de contar y se pueden expresar como {1, 2, 3, 4,...}. El símbolo de los números naturales es Los números enteros son idénticos a los números naturales con la única diferencia de que incluyen el 0. Se pueden representar como {0, 1, 2, 3, 4,...} y tienen el símbolo . [14] Algunos matemáticos no hacen la distinción entre los números naturales y enteros al incluir el 0 en el conjunto de los números naturales. [15] El conjunto de los números enteros abarca números enteros tanto positivos como negativos. Tiene el símbolo y se puede expresar como {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}. [dieciséis]
Un número es racional si se puede representar como la razón de dos números enteros. Por ejemplo, el número racional se forma dividiendo el número entero 1, llamado numerador, por el número entero 2, llamado denominador. Otros ejemplos son y . El conjunto de los números racionales incluye todos los números enteros, que son fracciones con denominador 1. El símbolo de los números racionales es . [17] Las fracciones decimales como 0,3 y 25,12 son un tipo especial de números racionales ya que su denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, 0,3 es igual a y 25,12 es igual a . [18] Todo número racional corresponde a un decimal finito o periódico . [19]
Los números irracionales son números que no se pueden expresar mediante la razón de dos números enteros. Algunos ejemplos son muchas raíces cuadradas , como , y números como π y e (el número de Euler). [20] La representación decimal de un número irracional es infinita sin decimales periódicos. [21] El conjunto de los números racionales junto con el conjunto de los números irracionales conforma el conjunto de los números reales. El símbolo de los números reales es . [22] Clases de números aún más amplias incluyen números complejos y cuaterniones . [23]
Según cómo se utilizan los números, se pueden distinguir en números cardinales y ordinales . Los números cardinales, como uno, dos y tres, son números que expresan la cantidad de objetos. Responden a la pregunta "¿cuántos?". Los números ordinales, como primero, segundo y tercero, indican orden o ubicación en una serie. Responden a la pregunta "¿qué posición?". [24]
Sistemas numéricos
Un número es un símbolo para representar un número y los sistemas numéricos son marcos de representación. [25] Por lo general, tienen una cantidad limitada de números básicos, que se refieren directamente a ciertos números. El sistema rige cómo se pueden combinar estos números básicos para expresar cualquier número. [26] Los sistemas numéricos son posicionales o no posicionales. Todos los primeros sistemas de numeración no eran posicionales. [27] Para los sistemas de numeración no posicionales, el valor de un dígito no depende de su posición en el numeral. [28]
El sistema no posicional más simple es el sistema de numeración unario . Se basa en un símbolo para el número 1. Todos los números superiores se escriben repitiendo este símbolo. Por ejemplo, el número 7 se puede representar repitiendo el símbolo del 1 siete veces. Este sistema hace que sea engorroso escribir números grandes, razón por la cual muchos sistemas no posicionales incluyen símbolos adicionales para representar directamente números más grandes. [29] Se emplean variaciones de los sistemas de numeración unario en barras de conteo usando abolladuras y marcas de conteo . [30]
Los jeroglíficos egipcios tenían un sistema de numeración no posicional más complejo . Tienen símbolos adicionales para números como 10, 100, 1000 y 10000. Estos símbolos se pueden combinar en una suma para expresar más convenientemente números más grandes. Por ejemplo, el número 10,405 usa una vez el símbolo de 10,000, cuatro veces el símbolo de 100 y cinco veces el símbolo de 1. Un marco similar y conocido es el sistema de numeración romana . Tiene los símbolos I, V, X, L, C, D, M como números básicos para representar los números 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000. [32]
Un sistema numérico es posicional si la posición de un número básico en una expresión compuesta determina su valor. Los sistemas de numeración posicional tienen una base que actúa como multiplicando de las diferentes posiciones. Para cada posición posterior, la base se eleva a una potencia mayor. En el sistema decimal común, también llamado sistema de numeración hindú-árabe , la base es 10. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito se multiplica por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el número decimal 532 significa . Debido al efecto de las posiciones de los dígitos, el número 532 difiere de los números 325 y 253 aunque tengan los mismos dígitos. [33]
Otro sistema de numeración posicional utilizado ampliamente en aritmética informática es el sistema binario , que tiene una base de 2. Esto significa que el primer dígito se multiplica por , el siguiente dígito por , y así sucesivamente. Por ejemplo, el número 13 se escribe como 1101 en notación binaria, que significa . En informática, cada dígito de la notación binaria corresponde a un bit . [34] El sistema posicional más antiguo fue desarrollado por los antiguos babilonios y tenía una base de 60. [35]
Operaciones aritmeticas
Las operaciones aritméticas son formas de combinar, transformar o manipular números. Son funciones que tienen números tanto de entrada como de salida. [36] Las operaciones más importantes en aritmética son la suma , la resta , la multiplicación y la división . [37] Otras operaciones incluyen exponenciación , extracción de raíces y logaritmo . [38] Si estas operaciones se realizan con variables en lugar de números, a veces se las denomina operaciones algebraicas . [39]
Dos conceptos importantes en relación con las operaciones aritméticas son los elementos identidad y los elementos inversos. El elemento identidad o elemento neutro de una operación no provoca ningún cambio si se aplica a otro elemento. Por ejemplo, el elemento identidad de la suma es 0 ya que cualquier suma de un número y 0 da como resultado el mismo número. El elemento inverso es el elemento que da como resultado el elemento identidad cuando se combina con otro elemento. Por ejemplo, el inverso aditivo del número 6 es -6 ya que su suma es 0. [40]
No sólo existen elementos inversos sino también operaciones inversas . En un sentido informal, una operación es la inversa de otra si deshace la primera operación. Por ejemplo, la resta es la inversa de la suma, ya que un número vuelve a su valor original si primero se suma y luego se resta un segundo número, como en . Definida más formalmente, la operación " " es inversa de la operación " " si cumple la siguiente condición: si y sólo si . [41]
La conmutatividad y la asociatividad son leyes que rigen el orden en que se pueden realizar algunas operaciones aritméticas. Una operación es conmutativa si el orden de los argumentos se puede cambiar sin afectar los resultados. Este es el caso de la suma, por ejemplo, es lo mismo que . La asociatividad es una regla que afecta al orden en el que se pueden realizar una serie de operaciones. Una operación es asociativa si, en una serie de dos operaciones, no importa cuál se realiza primero. Este es el caso de la multiplicación, por ejemplo, ya que es lo mismo que . [42]
Adición y sustracción
Adición y sustracción
La suma es una operación aritmética en la que dos números, llamados sumandos, se combinan en un solo número, llamado suma. El símbolo de la suma es . Ejemplos son y . [43] El término suma se utiliza si se realizan varias sumas seguidas. Contar es un tipo de suma repetida en la que el número 1 se suma continuamente. [44]
La resta es la inversa de la suma. En él, un número, conocido como sustraendo, se resta de otro, conocido como minuendo. El resultado de esta operación se llama diferencia. El símbolo de la resta es . [45] Algunos ejemplos son y . La resta a menudo se trata como un caso especial de la suma: en lugar de restar un número positivo, también es posible sumar un número negativo. Por ejemplo . Esto ayuda a simplificar los cálculos matemáticos al reducir la cantidad de operaciones aritméticas básicas necesarias para realizar los cálculos. [46]
El elemento identidad aditivo es 0 y el inverso aditivo de un número es el negativo de ese número. Por ejemplo, y . La suma es tanto conmutativa como asociativa. [47]
Multiplicación y división
Multiplicación y división
La multiplicación es una operación aritmética en la que dos números, llamados multiplicador y multiplicando, se combinan en un solo número llamado producto. [48] [a] Los símbolos de la multiplicación son , y *. Ejemplos son y . Si el multiplicando es un número natural, entonces la multiplicación es lo mismo que la suma repetida, como en . [50]
La división es la inversa de la multiplicación. En él, un número, conocido como dividendo, se divide en varias partes iguales por otro número, conocido como divisor. El resultado de esta operación se llama cociente . Los símbolos de división son y . Ejemplos son y . [51] La división a menudo se trata como un caso especial de multiplicación: en lugar de dividir por un número, también es posible multiplicar por su recíproco . El recíproco de un número es 1 dividido por ese número. Por ejemplo, . [52]
El elemento identidad multiplicativo es 1 y el inverso multiplicativo de un número es el recíproco de ese número. Por ejemplo, y . La multiplicación es tanto conmutativa como asociativa. [53]
Exponenciación y logaritmo
Exponenciación y logaritmo
La exponenciación es una operación aritmética en la que un número, conocido como base, se eleva a la potencia de otro número, conocido como exponente. El resultado de esta operación se llama potencia. La exponenciación a veces se expresa usando el símbolo ^, pero la forma más común es escribir el exponente en superíndice justo después de la base. Los ejemplos son y ^ . Si el exponente es un número natural, entonces la exponenciación es lo mismo que la multiplicación repetida, como en . [54]
Las raíces son un tipo especial de exponenciación que utiliza un exponente fraccionario. Por ejemplo, la raíz cuadrada de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de y la raíz cúbica de un número es lo mismo que elevar el número a la potencia de . Ejemplos son y . [55]
El logaritmo es la inversa de la exponenciación. El logaritmo de un número con respecto a la base es el exponente al que se debe elevar para producirlo . Por ejemplo, desde , el logaritmo en base 10 de 1000 es 3. El logaritmo de a base se denota como , o sin paréntesis, o incluso sin la base explícita, , cuando la base puede entenderse por el contexto. Entonces, el ejemplo anterior se puede escribir . [56]
La exponenciación y el logaritmo no tienen elementos de identidad generales ni elementos inversos como la suma y la multiplicación. El elemento neutro de exponenciación en relación con el exponente es 1, como en . Sin embargo, la exponenciación no tiene un elemento de identidad general ya que 1 no es el elemento neutro de la base. [57] La exponenciación y el logaritmo no son conmutativos ni asociativos. [58]
tipos de aritmética
En la literatura académica se analizan diferentes tipos de sistemas aritméticos. Se diferencian entre sí según el tipo de número con el que operan, el sistema numérico que utilizan para representarlos y si operan con objetos matemáticos distintos de los números. [59]
aritmética de enteros
La aritmética de enteros es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números enteros positivos y negativos. [60] Se pueden realizar operaciones simples de un dígito siguiendo o memorizando una tabla que presente los resultados de todas las combinaciones posibles, como una tabla de suma o una tabla de multiplicación . Otros métodos comunes son el conteo verbal y el conteo con los dedos . [61]
Para operaciones con números de más de un dígito, se pueden emplear diferentes técnicas para calcular el resultado utilizando varias operaciones de un dígito seguidas. Por ejemplo, en el método de suma con acarreos , los dos números se escriben uno encima del otro. Comenzando desde el dígito más a la derecha, cada par de dígitos se suma. El dígito más a la derecha de la suma se escribe debajo de ellos. Si la suma es un número de dos dígitos, entonces el dígito más a la izquierda, llamado "llevar", se suma al siguiente par de dígitos a la izquierda. Este proceso se repite hasta que se hayan agregado todos los dígitos. [62] Otros métodos utilizados para la suma de números enteros son el método de la recta numérica , el método de la suma parcial y el método de compensación. [63] Se utiliza una técnica similar para la resta: también comienza con el dígito más a la derecha y utiliza un "préstamo" o un acarreo negativo para la columna de la izquierda si el resultado de la resta de un dígito es negativo. [64]
Una técnica básica de multiplicación de números enteros emplea la suma repetida . Por ejemplo, el producto de 3 × 4 se puede calcular como 3 + 3 + 3 + 3. [65] Una técnica común para la multiplicación con números más grandes se llama multiplicación larga . Este método comienza escribiendo el multiplicador encima del multiplicando. El cálculo comienza multiplicando el multiplicador solo con el dígito más a la derecha del multiplicando y escribiendo el resultado a continuación, comenzando en la columna más a la derecha. Se hace lo mismo para cada dígito del multiplicando y el resultado en cada caso se desplaza una posición hacia la izquierda. Como paso final, se suman todos los productos individuales para llegar al producto total de los dos números de varios dígitos. [66] Otras técnicas utilizadas para la multiplicación son el método de cuadrícula y el método de celosía . [67] La informática está interesada en algoritmos de multiplicación con una baja complejidad computacional para poder multiplicar eficientemente números enteros muy grandes, como el algoritmo de Karatsuba , el algoritmo de Schönhage-Strassen y el algoritmo de Toom-Cook . [68] Una técnica común utilizada para la división se llama división larga . Otros métodos incluyen división corta y fragmentación . [69]
La aritmética de enteros no es cerrada bajo división. Esto significa que al dividir un número entero entre otro número entero, el resultado no siempre es un número entero. Por ejemplo, 7 dividido por 2 no es un número entero sino 3,5. [70] Una forma de garantizar que el resultado sea un número entero es redondear el resultado a un número entero. Sin embargo, este método genera imprecisiones ya que se modifica el valor original. [71] Otro método es realizar la división sólo parcialmente y conservar el resto . Por ejemplo, 7 dividido por 2 es 3 con un resto de 1. Estas dificultades se evitan con la aritmética de números racionales, que permite la representación exacta de fracciones. [72]
Un método sencillo para calcular la exponenciación es mediante la multiplicación repetida. Por ejemplo, la exponenciación de 3 4 se puede calcular como 3 × 3 × 3 × 3. [73] Una técnica más eficiente utilizada para exponentes grandes es la exponenciación elevando al cuadrado . Descompone el cálculo en una serie de operaciones de elevación al cuadrado. Por ejemplo, la exponenciación 3 65 se puede escribir como (((((3 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 × 3 . Al aprovechar las operaciones de elevación al cuadrado repetidas, solo se necesitan 7 operaciones individuales en lugar de las 64 operaciones necesarias para la multiplicación repetida regular. [74] Los métodos para calcular logaritmos incluyen la serie de Taylor y las fracciones continuas . [75] La aritmética de enteros no es cerrada bajo logaritmo y bajo exponenciación con exponentes negativos, lo que significa que el resultado de estas operaciones no siempre es un número entero. [76]
Los teoremas influyentes en la teoría de números incluyen el teorema fundamental de la aritmética , el teorema de Euclides y el último teorema de Fermat . [83] Según el teorema fundamental de la aritmética, cada número entero mayor que 1 es un número primo o puede representarse como un producto único de números primos. Por ejemplo, el número 18 no es un número primo y se puede representar como , todos los cuales son números primos. El número 19 , por el contrario, es un número primo que no tiene otra factorización prima. [84] El teorema de Euclides establece que hay infinitos números primos. [85] El último teorema de Fermat es la afirmación de que no se pueden encontrar valores enteros positivos para , y , para resolver la ecuación si es mayor que . [86]
Aritmética de números racionales
La aritmética de números racionales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números que pueden expresarse como una proporción de dos números enteros. [87] La mayoría de las operaciones aritméticas con números racionales se pueden calcular realizando una serie de operaciones aritméticas enteras con los numeradores y denominadores de los números involucrados. Si dos números racionales tienen el mismo denominador entonces se pueden sumar sumando sus numeradores y manteniendo el denominador común. Por ejemplo, . Se utiliza un procedimiento similar para la resta. Si los dos números no tienen el mismo denominador entonces se deben transformar para encontrar un denominador común. Esto se puede lograr escalando el primer número con el denominador del segundo número mientras se escala el segundo número con el denominador del primer número. Por ejemplo, . [88]
Dos números racionales se multiplican multiplicando sus numeradores y denominadores respectivamente, como en . La división de un número racional por otro se puede lograr multiplicando el primer número por el recíproco del segundo. Esto significa que el numerador y el denominador del segundo número cambian de posición. Por ejemplo, . [89] A diferencia de la aritmética de enteros, la aritmética de números racionales es cerrada bajo división siempre que el divisor no sea 0. [90]
Tanto la aritmética de números enteros como la aritmética de números racionales no son cerradas bajo exponenciación y logaritmo. [91] Una forma de calcular la exponenciación con un exponente fraccionario es realizar dos cálculos separados: una exponenciación usando el numerador del exponente y luego extrayendo la raíz enésima del resultado basándose en el denominador del exponente. Por ejemplo, . La primera operación se puede completar utilizando métodos como la multiplicación repetida o la exponenciación al cuadrado. Una forma de obtener un resultado aproximado para la segunda operación es emplear el método de Newton , que utiliza una serie de pasos para refinar gradualmente una suposición inicial hasta alcanzar el nivel deseado de precisión. [92] La serie de Taylor o el método de fracción continua se pueden utilizar para calcular logaritmos. [93]
La notación de fracción decimal es una forma especial de representar números racionales cuyo denominador es una potencia de 10. Por ejemplo, los números racionales , y se escriben como 0,1, 3,71 y 0,0044 en la notación de fracción decimal. [94] Las versiones modificadas de los métodos de cálculo de números enteros, como la suma con acarreo y la multiplicación larga, se pueden aplicar a los cálculos con fracciones decimales. [95] No todos los números racionales tienen una representación finita en la notación decimal. Por ejemplo, el número racional corresponde a 0,333... con un número infinito de 3. La notación abreviada para este tipo de decimal periódico es 0. 3 . [96] Todo decimal periódico expresa un número racional. [19]
aritmética de números reales
La aritmética de números reales es la rama de la aritmética que se ocupa de la manipulación de números tanto racionales como irracionales. Los números irracionales son números que no se pueden expresar mediante fracciones o decimales repetidos, como la raíz de 2 y π . [97] A diferencia de la aritmética de números racionales, la aritmética de números reales está cerrada bajo exponenciación siempre que utilice un número positivo como base. Lo mismo ocurre con el logaritmo de números reales positivos siempre que la base del logaritmo sea positiva y no 1. [98]
Los números irracionales implican una serie infinita y no repetida de dígitos decimales. Debido a esto, a menudo no existe una forma sencilla y precisa de expresar los resultados de operaciones aritméticas como o . [99] En los casos en los que no se requiere una precisión absoluta, el problema de calcular operaciones aritméticas con números reales suele solucionarse mediante truncamiento o redondeo. Para el truncamiento, se mantiene una cierta cantidad de dígitos significativos a la izquierda y se eliminan los dígitos adicionales a la derecha del último dígito significativo. Por ejemplo, el número π tiene un número infinito de dígitos que comienzan con 3,14159... . Si este número se trunca a 4 dígitos significativos, el resultado es 3,141. El redondeo es un proceso similar en el que el último dígito significativo se incrementa en uno si el siguiente dígito es 5 o más. Si el siguiente dígito es menor que 5, el último dígito sigue siendo el mismo. Por ejemplo, si el número π se redondea a 4 dígitos significativos, el resultado es 3,142 porque el siguiente dígito es un 5. [100] Estos métodos son esenciales para permitir que las computadoras realicen cálculos de manera eficiente con números reales. [101]
Los números reales muy grandes y muy pequeños a menudo se expresan utilizando notación científica normalizada . En él, los números se representan mediante el llamado significado multiplicado por una potencia de 10. El significado es un dígito seguido de un punto decimal y una serie de dígitos. Por ejemplo, la notación científica normalizada del número 8276000 es y el número 0,00735 tiene la notación científica normalizada de . [102]
Un método común empleado por las computadoras para aproximar la aritmética de números reales se llama aritmética de punto flotante . Representa números reales similares a la notación científica a través de tres números: un significado, una base y un exponente. [103] La precisión del significado está limitada por el número de bits asignados para representarlo. Si una operación aritmética da como resultado un número que requiere más bits de los disponibles, la computadora redondea el resultado al número representable más cercano. Esto lleva a errores de redondeo . [104] Una consecuencia de este comportamiento es que la aritmética de punto flotante viola ciertas leyes de la aritmética. Por ejemplo, la suma en punto flotante no es asociativa ya que los errores de redondeo introducidos pueden depender del orden de las sumas. Esto significa que el resultado de a veces es diferente del resultado de . [105] El estándar técnico más común utilizado para la aritmética de punto flotante se llama IEEE 754 . Entre otras cosas, determina cómo se representan los números, cómo se realizan las operaciones aritméticas y el redondeo y cómo se manejan los errores y las excepciones. [106] En los casos en que la velocidad de cálculo no es un factor limitante, es posible utilizar aritmética de precisión arbitraria , para la cual la precisión de los cálculos solo está restringida por la memoria de la computadora. [107]
uso de herramientas
Las formas de aritmética también se pueden distinguir por las herramientas empleadas para realizar cálculos e incluyen muchos enfoques además del uso habitual de lápiz y papel. La aritmética mental se basa exclusivamente en la mente sin herramientas externas. En cambio, utiliza visualización, memorización y ciertas técnicas de cálculo para resolver problemas aritméticos. [108] Una de esas técnicas es el método de compensación, que consiste en alterar los números para facilitar el cálculo y luego ajustar el resultado. Por ejemplo, en lugar de calcular , se calcula cuál es más fácil porque utiliza un número redondo. En el siguiente paso, se suma al resultado para compensar el ajuste anterior. [109] La aritmética mental se enseña a menudo en la educación primaria para entrenar las habilidades numéricas de los estudiantes. [110]
El cuerpo humano también puede utilizarse como herramienta aritmética. El uso de las manos para contar con los dedos a menudo se introduce a los niños pequeños para enseñarles números y cálculos simples. En su forma más básica, el número de dedos extendidos corresponde a la cantidad representada y las operaciones aritméticas como la suma y la resta se realizan extendiendo o retrayendo los dedos. Este sistema se limita a números pequeños, mientras que los sistemas más avanzados emplean diferentes enfoques para representar también cantidades mayores. [111] La voz humana se utiliza como ayuda aritmética en el conteo verbal. [112]
Las marcas de tally son un sistema sencillo basado en herramientas externas distintas al cuerpo. Se basa en trazos dibujados sobre una superficie o muescas en un palo de madera para realizar un seguimiento de las cantidades. Algunas formas de marcas de conteo organizan los trazos en grupos de cinco para que sean más fáciles de leer. [113] El ábaco es una herramienta más avanzada para representar números y realizar cálculos. Un ábaco suele estar formado por una serie de varillas, cada una de las cuales sostiene varias cuentas . Cada cuenta representa una cantidad, que se cuenta si la cuenta se mueve de un extremo de una varilla al otro. Los cálculos se realizan manipulando las posiciones de las cuentas hasta que el patrón final de cuentas revela el resultado. [114]
Las calculadoras mecánicas automatizan este proceso. Presentan al usuario algún tipo de dispositivo de entrada para ingresar números girando diales o presionando teclas. Incluyen un mecanismo interno que generalmente consta de engranajes , palancas y ruedas para realizar cálculos y mostrar los resultados. [115] Para calculadoras electrónicas y computadoras , este procedimiento se refina aún más reemplazando los componentes mecánicos con circuitos electrónicos como procesadores que combinan y transforman señales eléctricas para realizar cálculos. [116]
Otros
Hay muchos otros tipos de aritmética. La aritmética modular opera con un conjunto finito de números. Si una operación da como resultado un número fuera de este conjunto finito, entonces el número se ajusta nuevamente al conjunto, de manera similar a cómo las manecillas de los relojes comienzan nuevamente desde el principio después de haber completado un ciclo. El número en el que se produce este ajuste se llama módulo. Por ejemplo, un reloj normal tiene un módulo de 12. En el caso de sumar 4 más 9, esto significa que el resultado no es 13 sino 1. El mismo principio se aplica también a otras operaciones, como la resta, la multiplicación y la división. [117]
Algunas formas de aritmética se ocupan de operaciones realizadas con objetos matemáticos distintos de los números. La aritmética de intervalos describe operaciones en intervalos . Los intervalos se pueden utilizar para representar un rango de valores si no se conoce la magnitud exacta, por ejemplo, debido a errores de medición . La aritmética de intervalos incluye operaciones como la suma y la multiplicación en intervalos, como en y . [118] Está estrechamente relacionada con la aritmética afín , cuyo objetivo es dar resultados más precisos realizando cálculos en formas afines en lugar de intervalos. Una forma afín es un número junto con términos de error que describen cómo el número puede desviarse de la magnitud real. [119] La aritmética vectorial y la aritmética matricial describen operaciones aritméticas en vectores y matrices , como la suma de vectores y la multiplicación de matrices . [120]
Los sistemas aritméticos se pueden clasificar según el sistema numérico en el que se basan. Por ejemplo, la aritmética decimal describe operaciones aritméticas en el sistema decimal. Otros ejemplos son la aritmética binaria , la aritmética octal y la aritmética hexadecimal . [121]
La aritmética de unidades compuestas describe operaciones aritméticas realizadas en magnitudes con unidades compuestas. Implica operaciones adicionales para gobernar la transformación entre cantidades unitarias simples y unitarias compuestas. Por ejemplo, la operación de reducción se utiliza para transformar la cantidad compuesta 1 h 90 min en la cantidad unitaria única 150 min. [122]
Las aritméticas no diofánticas son sistemas aritméticos que violan las intuiciones aritméticas tradicionales e incluyen ecuaciones como y . [123] Pueden emplearse para representar algunas situaciones del mundo real en la física moderna y la vida cotidiana. Por ejemplo, la ecuación se puede utilizar para describir la observación de que si una gota de lluvia se suma a otra, entonces no siguen siendo dos entidades separadas sino que se convierten en una. [124]
Fundamentos axiomáticos
Los fundamentos axiomáticos de la aritmética intentan proporcionar un pequeño conjunto de leyes, los llamados axiomas , de los cuales se pueden derivar todas las propiedades fundamentales y operaciones con los números. Constituyen marcos lógicamente consistentes y sistemáticos que pueden usarse para formular pruebas matemáticas de manera rigurosa. Dos enfoques bien conocidos son los axiomas de Dedekind-Peano y las construcciones de teoría de conjuntos . [125]
Los axiomas de Dedekind-Peano proporcionan una axiomatización de la aritmética de los números naturales. Sus principios básicos fueron formulados por primera vez por Richard Dedekind y posteriormente perfeccionados por Giuseppe Peano . Se basan únicamente en una pequeña cantidad de conceptos matemáticos primitivos, como 0, número natural y sucesor . [b] Los axiomas de Peano determinan cómo estos conceptos se relacionan entre sí. Todos los demás conceptos aritméticos pueden definirse entonces en términos de estos conceptos primitivos. [126]
0 es un número natural.
Para cada número natural hay un sucesor, que también es un número natural.
Los sucesores de dos números naturales diferentes nunca son idénticos.
El 0 no es el sucesor de un número natural.
Si un conjunto contiene 0 y todos sus sucesores, entonces contiene todos los números naturales. [127] [c]
Los números mayores que 0 se expresan mediante la aplicación repetida de la función sucesora . Por ejemplo, es y es . Las operaciones aritméticas se pueden definir como mecanismos que afectan cómo se aplica la función sucesora. Por ejemplo, sumar a cualquier número es lo mismo que aplicar la función sucesora dos veces a este número. [128]
Varias axiomatizaciones de la aritmética se basan en la teoría de conjuntos. Cubren números naturales pero también pueden extenderse a números enteros, números racionales y números reales. Cada número natural está representado por un conjunto único. 0 generalmente se define como el conjunto vacío . Cada número posterior se puede definir como la unión del número anterior con el conjunto que contiene el número anterior. Por ejemplo, , y . [129] Los números enteros se pueden definir como pares ordenados de números naturales donde el segundo número se resta del primero. Por ejemplo, el par (9, 0) representa el número 9 mientras que el par (0, 9) representa el número -9. [130] Los números racionales se definen como pares de números enteros donde el primer número representa el numerador y el segundo número representa el denominador. Por ejemplo, el par (3, 7) representa el número racional . [131] Una forma de construir los números reales se basa en el concepto de cortes de Dedekind . Según este enfoque, cada número real está representado por una partición de todos los números racionales en dos conjuntos, uno para todos los números inferiores al número real representado y el otro para el resto. [132] Las operaciones aritméticas se definen como funciones que realizan varias transformaciones teóricas de conjuntos en los conjuntos que representan los números de entrada para llegar al conjunto que representa el resultado. [133]
Historia
Las primeras formas de aritmética a veces se remontan al conteo y las marcas de conteo utilizadas para realizar un seguimiento de las cantidades. Algunos historiadores sugieren que el hueso de Lebombo (que data de hace unos 43.000 años) y el hueso de Ishango (que data de hace unos 22.000 a 30.000 años) son los artefactos aritméticos más antiguos, pero esta interpretación es controvertida. [134] Sin embargo, un sentido básico de los números puede ser anterior a estos hallazgos e incluso podría haber existido antes del desarrollo del lenguaje. [135]
No fue hasta el surgimiento de las civilizaciones antiguas que comenzó a evolucionar un enfoque más complejo y estructurado de la aritmética, alrededor del año 3000 a.C. Esto se hizo necesario debido a la creciente necesidad de realizar un seguimiento de los artículos almacenados, gestionar la propiedad de la tierra y organizar intercambios. [136] Todas las principales civilizaciones antiguas desarrollaron sistemas de numeración no posicionales para facilitar la representación de números. También tenían símbolos para operaciones como suma y resta y conocían fracciones. Algunos ejemplos son los jeroglíficos egipcios , así como los sistemas de numeración inventados en Sumeria , China y la India . [137] El primer sistema de numeración posicional fue desarrollado por los babilonios a partir del año 1800 a. C. Esta fue una mejora significativa con respecto a los sistemas numéricos anteriores, ya que hizo que la representación de números grandes y los cálculos sobre ellos fueran más eficientes. [138] Los ábacos se han utilizado como herramientas de cálculo manuales desde la antigüedad como medio eficiente para realizar cálculos complejos. [139]
Las primeras civilizaciones utilizaban principalmente los números con fines prácticos concretos y carecían de un concepto abstracto del número en sí. [140] Esto cambió con los antiguos matemáticos griegos , quienes comenzaron a explorar la naturaleza abstracta de los números en lugar de estudiar cómo se aplican a problemas específicos. [141] Otra característica novedosa fue el uso de pruebas para establecer verdades matemáticas y validar teorías. [142] Una contribución adicional fue su distinción de varias clases de números, como números pares , números impares y números primos . [143] Esto incluyó el descubrimiento de que los números para ciertas longitudes geométricas son irracionales y, por lo tanto, no pueden expresarse como una fracción. [144] Las obras de Tales de Mileto y Pitágoras en los siglos VII y VI a. C. a menudo se consideran el inicio de las matemáticas griegas. [145] Diofanto fue una figura influyente en la aritmética griega en el siglo III a. C. debido a sus numerosas contribuciones a la teoría de números y su exploración de la aplicación de operaciones aritméticas a ecuaciones algebraicas . [146]
Los antiguos indios fueron los primeros en desarrollar el concepto de cero como número para utilizar en los cálculos. Las reglas exactas de su funcionamiento fueron escritas por Brahmagupta alrededor del año 628 d.C. [147] El concepto de cero o ninguno existía mucho antes, pero no se consideraba un objeto de operaciones aritméticas. [148] Brahmagupta proporcionó además una discusión detallada de los cálculos con números negativos y su aplicación a problemas como el crédito y la deuda. [149] El concepto de números negativos en sí es significativamente más antiguo y se exploró por primera vez en las matemáticas chinas en el primer milenio a.C. [150]
Los matemáticos indios también desarrollaron el sistema decimal posicional que se utiliza hoy en día, en particular el concepto de dígito cero en lugar de posiciones vacías o faltantes. Por ejemplo, Aryabhata proporcionó un tratamiento detallado de sus operaciones a principios del siglo VI d.C. [151] El sistema decimal indio fue refinado y ampliado aún más a números no enteros durante la Edad de Oro islámica por matemáticos árabes como Al-Khwarizmi . Su trabajo influyó en la introducción del sistema de numeración decimal en el mundo occidental, que en aquella época dependía del sistema de numeración romano . [152] Allí, fue popularizada por matemáticos como Leonardo Fibonacci , que vivió en los siglos XII y XIII y también desarrolló la secuencia de Fibonacci . [153] Durante la Edad Media y el Renacimiento , se publicaron muchos libros de texto populares para cubrir los cálculos prácticos para el comercio. El uso de ábacos también se generalizó en este período. [154] En el siglo XVI, el matemático Gerolamo Cardano concibió el concepto de números complejos como una forma de resolver ecuaciones cúbicas . [155]
En los siglos XVIII y XIX, matemáticos como Leonhard Euler y Carl Friedrich Gauss sentaron las bases de la teoría de números moderna. [159] Otro desarrollo en este período tuvo que ver con el trabajo sobre la formalización y los fundamentos de la aritmética, como la teoría de conjuntos de Georg Cantor y los axiomas de Dedekind-Peano utilizados como axiomatización de la aritmética de números naturales. [160] Las computadoras y las calculadoras electrónicas se desarrollaron por primera vez en el siglo XX. Su uso generalizado revolucionó tanto la precisión como la velocidad con la que se pueden calcular incluso cálculos aritméticos complejos. [161]
En varios campos
Educación
La enseñanza de la aritmética forma parte de la enseñanza primaria . Es una de las primeras formas de educación matemática que encuentran los niños. La aritmética elemental tiene como objetivo brindar a los estudiantes un sentido básico de los números y familiarizarlos con operaciones numéricas fundamentales como suma, resta, multiplicación y división. [162] Generalmente se introduce en relación con escenarios concretos, como contar cuentas , dividir la clase en grupos de niños del mismo tamaño y calcular el cambio al comprar artículos. Las herramientas comunes en la educación aritmética temprana son las rectas numéricas , las tablas de suma y multiplicación y los bloques para contar . [163]
Las etapas posteriores se centran en una comprensión más abstracta. Presentan a los estudiantes diferentes tipos de números, como números negativos, fracciones, números reales y números complejos. Además, cubren operaciones numéricas más avanzadas, como exponenciación, extracción de raíces y logaritmos. [164] También muestran cómo las operaciones aritméticas se emplean en otras ramas de las matemáticas, como su aplicación para describir formas geométricas y el uso de variables en álgebra. Otro aspecto es enseñar a los estudiantes el uso de algoritmos y calculadoras para resolver problemas aritméticos complejos. [165]
Psicología
La psicología de la aritmética está interesada en cómo los humanos y los animales aprenden los números, los representan y los utilizan para los cálculos. Examina cómo se entienden y resuelven los problemas matemáticos y cómo se relacionan las habilidades aritméticas con la percepción , la memoria , el juicio y la toma de decisiones . [166] Por ejemplo, investiga cómo las colecciones de elementos concretos se encuentran por primera vez en la percepción y posteriormente se asocian con números. [167] Otro campo de investigación se refiere a la relación entre los cálculos numéricos y el uso del lenguaje para formar representaciones. [168] La psicología también explora el origen biológico de la aritmética como una habilidad innata. Se trata de procesos cognitivos preverbales y presimbólicos que implementan operaciones similares a las aritméticas necesarias para representar con éxito el mundo y realizar tareas como la navegación espacial. [169]
Uno de los conceptos estudiados por la psicología es la aritmética , que es la capacidad de comprender conceptos numéricos, aplicarlos a situaciones concretas y razonar con ellos. Incluye un sentido numérico fundamental, además de poder estimar y comparar cantidades. Además, abarca las capacidades de representar simbólicamente números en sistemas de numeración, interpretar datos numéricos y evaluar cálculos aritméticos. [170] La aritmética es una habilidad clave en muchos campos académicos. La falta de conocimientos de aritmética puede inhibir el éxito académico y conducir a malas decisiones económicas en la vida cotidiana, por ejemplo, al malinterpretar los planes hipotecarios y las pólizas de seguro . [171]
Filosofía
La filosofía de la aritmética estudia los conceptos y principios fundamentales que subyacen a los números y las operaciones aritméticas. Explora la naturaleza y el estatus ontológico de los números, la relación de la aritmética con el lenguaje y la lógica , y cómo es posible adquirir conocimientos aritméticos . [172]
Según el platonismo , los números tienen existencia independiente de la mente: existen como objetos abstractos fuera del espacio-tiempo y sin poderes causales. [173] Este punto de vista es rechazado por los intuicionistas , quienes afirman que los objetos matemáticos son construcciones mentales. [174] Otras teorías son el logicismo , que sostiene que las verdades matemáticas son reducibles a verdades lógicas , [175] y el formalismo , que afirma que los principios matemáticos son reglas de cómo se manipulan los símbolos sin afirmar que corresponden a entidades fuera de la actividad gobernada por reglas. . [176]
La visión tradicionalmente dominante en la epistemología de la aritmética es que las verdades aritméticas son cognoscibles a priori . Esto significa que pueden conocerse pensando únicamente sin necesidad de depender de la experiencia sensorial . [177] Algunos defensores de este punto de vista afirman que el conocimiento aritmético es innato, mientras que otros afirman que existe alguna forma de intuición racional a través de la cual se pueden comprender las verdades matemáticas. [178] Filósofos naturalistas como Willard Van Orman Quine sugirieron una visión alternativa más reciente , quienes sostienen que los principios matemáticos son generalizaciones de alto nivel que, en última instancia, se basan en el mundo sensorial descrito por las ciencias empíricas. [179]
Otros
La aritmética es relevante para muchos campos. En la vida diaria , es necesario calcular el cambio al comprar, administrar las finanzas personales y ajustar una receta de cocina para un número diferente de porciones. Las empresas utilizan la aritmética para calcular ganancias y pérdidas y analizar las tendencias del mercado . En el campo de la ingeniería , se utiliza para medir cantidades, calcular cargas y fuerzas y diseñar estructuras. [180] La criptografía se basa en operaciones aritméticas para proteger la información confidencial mediante el cifrado de datos y mensajes. [181]
Las operaciones aritméticas son la base de muchas ramas de las matemáticas, como el álgebra , el cálculo y la estadística . A través de ellos, la influencia de la aritmética se extiende a la mayoría de las ciencias como la física , la informática y la economía . Estas operaciones se utilizan en cálculos, resolución de problemas , análisis de datos y algoritmos, lo que las convierte en parte integral de la investigación científica, el desarrollo tecnológico y la modelización económica. [182]
^ Algunos autores utilizan una terminología diferente y se refieren al primer número como multiplicando y al segundo número como multiplicador. [49]
^ El sucesor de un número natural es el número que le sigue. Por ejemplo, 4 es el sucesor de 3.
^ Existen diferentes versiones de la formulación exacta y el número de axiomas. Por ejemplo, algunas formulaciones comienzan con 1 en lugar de 0 en el primer axioma.
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