matemáticas indias

Desarrollo de las matemáticas en el sur de Asia

Las matemáticas indias surgieron en el subcontinente indio ^[1] desde el año 1200 a. C. ^[2] hasta finales del siglo XVIII. En el período clásico de las matemáticas indias (400 d. C. a 1200 d. C.), eruditos como Aryabhata , Brahmagupta , Bhaskara II y Varāhamihira hicieron importantes contribuciones . El sistema numérico decimal que se utiliza hoy en día ^[3] se registró por primera vez en las matemáticas indias. ^[4] Los matemáticos indios hicieron contribuciones tempranas al estudio del concepto de cero como número, ^[5] números negativos , ^[6] aritmética y álgebra . ^[7] Además, la trigonometría ^[8] avanzó aún más en la India y, en particular, allí se desarrollaron las definiciones modernas de seno y coseno . ^[9] Estos conceptos matemáticos se transmitieron a Oriente Medio, China y Europa ^[7] y condujeron a nuevos desarrollos que ahora forman la base de muchas áreas de las matemáticas.

Las obras matemáticas indias antiguas y medievales, todas compuestas en sánscrito , normalmente consistían en una sección de sutras en la que se enunciaban con gran economía en verso un conjunto de reglas o problemas para ayudar a la memorización por parte del estudiante. A esto le siguió una segunda sección que consistía en un comentario en prosa (a veces múltiples comentarios de diferentes académicos) que explicaba el problema con más detalle y justificaba la solución. En la sección de prosa, la forma (y por tanto su memorización) no se consideraba tan importante como las ideas involucradas. ^{[1] [10]} Todos los trabajos matemáticos se transmitieron oralmente hasta aproximadamente el 500 a. C.; posteriormente, se transmitieron tanto de forma oral como manuscrita. El documento matemático existente más antiguo producido en el subcontinente indio es el manuscrito Bakhshali de corteza de abedul , descubierto en 1881 en el pueblo de Bakhshali , cerca de Peshawar (hoy Pakistán ) y probablemente data del siglo VII d.C. ^{[11] [12]}

Un hito posterior en las matemáticas indias fue el desarrollo de las expansiones en serie para funciones trigonométricas (seno, coseno y arco tangente ) por matemáticos de la escuela de Kerala en el siglo XV d.C. Su trabajo, completado dos siglos antes de la invención del cálculo en Europa, proporcionó lo que ahora se considera el primer ejemplo de una serie de potencias (aparte de las series geométricas). ^[13] Sin embargo, no formularon una teoría sistemática de diferenciación e integración , ni hay ninguna evidencia directa de que sus resultados se transmitieran fuera de Kerala . ^{[14] [15] [16] [17]}

Prehistoria

Las excavaciones en Harappa , Mohenjo-daro y otros sitios de la civilización del valle del Indo han descubierto pruebas del uso de "matemáticas prácticas". Los habitantes de la civilización del valle del Indo fabricaban ladrillos cuyas dimensiones estaban en la proporción 4:2:1, considerada favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema estandarizado de pesos basado en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, con la unidad peso equivalente aproximadamente a 28 gramos (y aproximadamente igual a la onza inglesa o uncia griega). Produjeron en masa pesas en formas geométricas regulares , que incluían hexaedros , barriles , conos y cilindros , demostrando así conocimientos de geometría básica . ^[18]

Los habitantes de la civilización del Indo también intentaron estandarizar la medición de la longitud con un alto grado de precisión. Diseñaron una regla, la regla de Mohenjo-daro , cuya unidad de longitud (aproximadamente 3,4 centímetros o 1,32 pulgadas) se dividió en diez partes iguales. Los ladrillos fabricados en la antigua Mohenjo-daro a menudo tenían dimensiones que eran múltiplos integrales de esta unidad de longitud. ^{[19] [20]}

Se ha demostrado que los objetos cilíndricos huecos hechos de concha y encontrados en Lothal (2200 a. C.) y Dholavira tienen la capacidad de medir ángulos en un plano, así como de determinar la posición de las estrellas para la navegación. ^[21]

período védico

Samhitas y Brahmanas

Los textos religiosos del período védico proporcionan evidencia del uso de grandes números . En la época del Yajurvedasaṃhitā- (1200-900 a. C.), en los textos se incluían números tan altos como 10 ^{12 . [2]} Por ejemplo, el mantra (recitación sagrada) al final del annahoma ("rito de oblación de alimentos") realizado durante el aśvamedha , y pronunciado justo antes, durante y después del amanecer, invoca poderes de diez de de cien a un billón: ^[2]

Saludo a śata ("cien", 10 ² ), saludo a sahasra ("mil", 10 ³ ), saludo a ayuta ("diez mil", 10 ⁴ ), saludo a niyuta ("cien mil", 10 ⁵ ), saludo a Prayuta ("millones", 10 ⁶ ), saludo a arbuda ("diez millones", 10 ⁷ ), saludo a nyarbuda ("cien millones", 10 ⁸ ), saludo a samudra ("mil millones", 10 ⁹ , literalmente "océano"), saludo a madhya ("diez mil millones", 10 ¹⁰ , literalmente "medio"), saludo a anta ("cien mil millones", 10 ¹¹ , lit., "fin"), saludo a parārdha ("un billón" ," 10 ¹² lit., "más allá de las partes"), saludo al uṣas (amanecer), saludo al vyuṣṭi (crepúsculo), saludo a udeṣyat (el que va a elevarse), saludo a udyat (el que está levantándose), saludo udita (al que acaba de resucitar), saludo a svarga (el cielo), saludo a martya (el mundo), saludo a todos. ^[2]

La solución a la fracción parcial era conocida por el Pueblo Rigvédico como estados en el purush Sukta (RV 10.90.4):

Con tres cuartos Puruṣa subió: un cuarto de él nuevamente estaba aquí.

El Satapatha Brahmana ( c. siglo VII a. C.) contiene reglas para construcciones geométricas rituales que son similares a los Sulba Sutras. ^[22]

Śulba Sutras

Los Śulba Sūtras (literalmente, "Aforismos de las cuerdas" en sánscrito védico ) (c. 700-400 a. C.) enumeran reglas para la construcción de altares de fuego de sacrificio. ^[23] La mayoría de los problemas matemáticos considerados en los Śulba Sūtras surgen de "un único requisito teológico", ^[24] el de construir altares de fuego que tengan diferentes formas pero ocupen la misma área. Los altares debían construirse con cinco capas de ladrillos cocidos, con la condición adicional de que cada capa constara de 200 ladrillos y que no hubiera dos capas adyacentes que tuvieran disposiciones de ladrillos congruentes. ^[24]

Según Hayashi, los Śulba Sūtras contienen "la expresión verbal más antigua existente del teorema de Pitágoras en el mundo, aunque ya era conocida por los antiguos babilonios ".

La cuerda diagonal ( akṣṇayā-rajju ) de un oblongo (rectángulo) produce ambas, las cuales el flanco ( pārśvamāni ) y las <cuerdas> horizontales ( tiryaṇmānī ) producen por separado." ^[25]

Dado que la declaración es un sūtra , necesariamente está comprimida y no se detalla lo que producen las cuerdas , pero el contexto implica claramente las áreas cuadradas construidas en sus longitudes, y así se lo habría explicado el maestro al estudiante. ^[25]

Contienen listas de ternas pitagóricas , ^[26] que son casos particulares de ecuaciones diofánticas . ^[27] También contienen declaraciones (que en retrospectiva sabemos que son aproximadas) sobre la cuadratura del círculo y "dar vueltas alrededor del cuadrado". ^[28]

Baudhayana (c. siglo VIII a. C.) compuso el Baudhayana Sulba Sutra , el Sulba Sutra más conocido , que contiene ejemplos de ternas pitagóricas simples, como: (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8 , 15, 17) , (7, 24, 25) y (12, 35, 37) , ^[29] así como un enunciado del teorema de Pitágoras para los lados de un cuadrado: "La cuerda que se estira a través del La diagonal de un cuadrado produce un área del doble del tamaño del cuadrado original." ^{[29] [30]} También contiene el enunciado general del teorema de Pitágoras (para los lados de un rectángulo): "La cuerda estirada a lo largo de la diagonal de un rectángulo forma un área que los lados verticales y horizontales forman juntos. " ^[29] Baudhayana da una expresión para la raíz cuadrada de dos : ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}=1.4142156\ldots }$

La expresión tiene una precisión de hasta cinco decimales, siendo el valor verdadero 1,41421356... ^[32] Esta expresión es similar en estructura a la expresión encontrada en una tablilla mesopotámica ^[33] del período de la antigua Babilonia (1900-1600 a. C. ): ^[31]

${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421297\ldots }$

que expresa √ 2 en el sistema sexagesimal, y que además tiene una precisión de hasta 5 decimales.

Según el matemático SG Dani, la tablilla cuneiforme babilónica Plimpton 322 escrita c. 1850 a. C. ^[34] "contiene quince ternas pitagóricas con entradas bastante grandes, incluida (13500, 12709, 18541), que es una terna primitiva, ^[35] que indica, en particular, que había una comprensión sofisticada sobre el tema" en Mesopotamia en 1850. antes de Cristo. "Dado que estas tablillas son anteriores al período Sulbasutras por varios siglos, teniendo en cuenta la apariencia contextual de algunos de los triples, es razonable esperar que una comprensión similar hubiera existido en la India". ^[36] Dani continúa diciendo:

Como el objetivo principal de los Sulvasutras era describir la construcción de los altares y los principios geométricos involucrados en ellos, el tema de los triples pitagóricos, incluso si hubiera sido bien comprendido, es posible que todavía no haya aparecido en los Sulvasutras . La aparición de los triples en los Sulvasutras es comparable a las matemáticas que uno puede encontrar en un libro introductorio sobre arquitectura u otra área aplicada similar, y no correspondería directamente al conocimiento general sobre el tema en ese momento. Dado que, lamentablemente, no se han encontrado otras fuentes contemporáneas, es posible que nunca sea posible resolver esta cuestión satisfactoriamente. ^[36]

En total, se compusieron tres Sulba Sutras . Los dos restantes, el Manava Sulba Sutra compuesto por Manava (fl. 750–650 a. C.) y el Apastamba Sulba Sutra , compuesto por Apastamba (c. 600 a. C.), contenían resultados similares al Baudhayana Sulba Sutra .

Vyakarana

Un hito importante del período védico fue el trabajo del gramático sánscrito Pāṇini ( c. 520-460 a. C.). Su gramática incluye el uso temprano de la lógica booleana , del operador nulo y de gramáticas libres de contexto , e incluye un precursor de la forma Backus-Naur (utilizada en los lenguajes de programación de descripción ). ^{[37] [38]}

Pingala (300 a. C. – 200 a. C.)

Entre los eruditos del período posvédico que contribuyeron a las matemáticas, el más notable es Pingala ( piṅgalá ) ( Florida. 300-200 a. C.), un teórico musical autor del Chhandas Shastra ( chandaḥ-śāstra , también Chhandas Sutra chhandaḥ-sūtra). ), un tratado sánscrito sobre prosodia . Hay evidencia de que en su trabajo sobre la enumeración de combinaciones silábicas, Pingala tropezó tanto con el triángulo de Pascal como con los coeficientes binomiales , aunque no tenía conocimiento del teorema del binomio en sí. ^{[39] [40]} El trabajo de Pingala también contiene las ideas básicas de los números de Fibonacci (llamados maatraameru ). Aunque el sutra Chandah no ha sobrevivido en su totalidad, sí lo ha hecho un comentario de Halāyudha del siglo X. Halāyudha, quien se refiere al triángulo de Pascal como Meru -prastāra (literalmente "la escalera al Monte Meru"), dice lo siguiente:

Dibuja un cuadrado. Comenzando en la mitad del cuadrado, dibuja otros dos cuadrados similares debajo; debajo de estos dos, otros tres cuadrados, y así sucesivamente. El marcado debe iniciarse poniendo 1 en el primer cuadrado. Pon 1 en cada uno de los dos cuadrados de la segunda línea. En la tercera línea pon 1 en los dos cuadrados de los extremos y, en el cuadrado del medio, la suma de los dígitos de los dos cuadrados que están encima. En la cuarta línea pon 1 en los dos cuadrados de los extremos. En los del medio pon la suma de los dígitos en los dos cuadrados encima de cada uno. Proceda de esta manera. De estos versos, el segundo da las combinaciones de una sílaba, el tercero las combinaciones de dos sílabas,... ^[39]

El texto también indica que Pingala era consciente de la identidad combinatoria : ^[40]

${\displaystyle {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n-1}+{n \choose n}=2^{n}}$

katyayana

Kātyāyana (c. siglo III a. C.) se destaca por ser el último de los matemáticos védicos. Escribió el Katyayana Sulba Sutra , que presentaba mucha geometría , incluido el teorema general de Pitágoras y un cálculo de la raíz cuadrada de 2 con una precisión de cinco decimales.

Matemáticas jainistas (400 a. C. - 200 d. C.)

Aunque el jainismo como religión y filosofía es anterior a su exponente más famoso, el gran Mahaviraswami (siglo VI a. C.), la mayoría de los textos jainistas sobre temas matemáticos se compusieron después del siglo VI a. C. Los matemáticos jainistas son importantes históricamente como vínculos cruciales entre las matemáticas del período védico y las del "período clásico".

Una importante contribución histórica de los matemáticos jainistas residió en liberar a las matemáticas indias de sus limitaciones religiosas y rituales. En particular, su fascinación por la enumeración de números muy grandes e infinitos les llevó a clasificar los números en tres clases: enumerables, innumerables e infinitos . No contentos con una simple noción de infinito, sus textos definen cinco tipos diferentes de infinito: el infinito en una dirección, el infinito en dos direcciones, el infinito en el área, el infinito en todas partes y el infinito perpetuamente. Además, los matemáticos jainistas idearon notaciones para potencias simples (y exponentes) de números como cuadrados y cubos, lo que les permitió definir ecuaciones algebraicas simples ( beejganita samikaran ). Al parecer, los matemáticos jainistas también fueron los primeros en utilizar la palabra shunya (literalmente vacío en sánscrito ) para referirse al cero. Más de un milenio después, su denominación se convirtió en la palabra inglesa "zero" después de un tortuoso viaje de traducciones y transliteraciones desde la India a Europa. (Ver Cero: Etimología ).

Además de Surya Prajnapti , importantes obras jainistas sobre matemáticas incluyeron el Sthananga Sutra (c. 300 a. C. – 200 d. C.); el Anuyogadwara Sutra (c. 200 a. C. - 100 d. C.), que incluye la descripción más antigua conocida de factoriales en matemáticas indias; ^[41] y el Satkhandagama (c. siglo II d.C.). Importantes matemáticos jainistas incluyeron a Bhadrabahu (muerto en 298 a. C.), autor de dos obras astronómicas, el Bhadrabahavi-Samhita y un comentario sobre el Surya Prajinapti ; Yativrisham Acharya (c. 176 a. C.), autor de un texto matemático llamado Tiloyapannati ; y Umasvati (c. 150 a. C.), quien, aunque más conocido por sus influyentes escritos sobre filosofía y metafísica jainistas , compuso una obra matemática llamada Tattwarthadhigama-Sutra Bhashya .

Tradición oral

Los matemáticos de la India antigua y medieval temprana eran casi todos pandits sánscritos ( paṇḍita "hombre erudito"), ^[42] que estaban formados en lengua y literatura sánscritas y poseían "un acervo común de conocimientos en gramática ( vyākaraṇa ), exégesis ( mīmāṃsā ) y lógica ( nyāya )." ^[42] La memorización de "lo que se escucha" ( śruti en sánscrito) a través de la recitación jugó un papel importante en la transmisión de textos sagrados en la antigua India. La memorización y la recitación también se utilizaron para transmitir obras filosóficas y literarias, así como tratados sobre rituales y gramática. Los eruditos modernos de la antigua India han observado los "logros verdaderamente notables de los pandits indios que han preservado oralmente textos enormemente voluminosos durante milenios". ^[43]

Estilos de memorización

La antigua cultura india dedicó una energía prodigiosa a garantizar que estos textos se transmitieran de generación en generación con una fidelidad desmesurada. ^[44] Por ejemplo, la memorización de los Vedas sagrados incluía hasta once formas de recitación del mismo texto. Posteriormente, los textos fueron "revisados" comparando las diferentes versiones recitadas. Las formas de recitación incluían jaṭā-pāṭha (literalmente "recitación en malla") en la que cada dos palabras adyacentes en el texto se recitaban primero en su orden original, luego se repetían en orden inverso y finalmente se repetían en el orden original. ^[45] La recitación prosiguió así:

palabra1palabra2, palabra2palabra1, palabra1palabra2; palabra2palabra3, palabra3palabra2, palabra2palabra3; ...

En otra forma de recitación, dhvaja-pāṭha ^[45] (literalmente "recitación de bandera") se recitó (y memorizó) una secuencia de N palabras emparejando las dos primeras y las dos últimas palabras y luego procediendo como:

palabra ₁ palabra ₂ , palabra _{N − 1} palabra _N ; palabra ₂ palabra ₃ , palabra _{N - 2} palabra _{N - 1} ; ..; palabra _{N - 1} palabra _N , palabra ₁ palabra ₂ ;

La forma más compleja de recitación, ghana-pāṭha (literalmente "recitación densa"), según Filliozat, ^[45] tomó la forma:

palabra1palabra2, palabra2palabra1, palabra1palabra2palabra3, palabra3palabra2palabra1, palabra1palabra2palabra3; palabra2palabra3, palabra3palabra2, palabra2palabra3palabra4, palabra4palabra3palabra2, palabra2palabra3palabra4; ...

Que estos métodos han sido efectivos lo demuestra la preservación del texto religioso indio más antiguo, el Ṛgveda (c. 1500 a. C.), como un texto único, sin ninguna lectura variante. ^[45] Se utilizaron métodos similares para memorizar textos matemáticos, cuya transmisión permaneció exclusivamente oral hasta el final del período védico (c. 500 a. C.).

El género Sutra

La actividad matemática en la antigua India comenzó como parte de una "reflexión metodológica" sobre los Vedas sagrados , que tomó la forma de obras llamadas Vedāṇgas , o "Auxiliares del Veda" (siglos VII-IV a. C.). ^[46] La necesidad de conservar el sonido del texto sagrado mediante el uso de śikṣā ( fonética ) y chhandas ( métrica ); conservar su significado mediante el uso de vyākaraṇa ( gramática ) y nirukta ( etimología ); y realizar correctamente los ritos en el momento correcto mediante el uso de kalpa ( ritual ) y jyotiṣa ( astrología ), dio lugar a las seis disciplinas de los Vedāṇgas . ^[46] Las matemáticas surgieron como parte de las dos últimas disciplinas, el ritual y la astronomía (que también incluía la astrología). Dado que los Vedāṇgas precedieron inmediatamente al uso de la escritura en la antigua India, formaron la última literatura exclusivamente oral. Se expresaron en una forma mnemotécnica muy comprimida, el sūtra (literalmente, "hilo"):

Los conocedores del sūtra saben que tiene pocos fonemas, que está desprovisto de ambigüedad, que contiene la esencia, que se enfrenta a todo, que es sin pausa e inobjetable. ^[46]

Se logró una brevedad extrema a través de múltiples medios, que incluyeron el uso de puntos suspensivos "más allá de la tolerancia del lenguaje natural", ^[46] el uso de nombres técnicos en lugar de nombres descriptivos más largos, la abreviación de listas mencionando solo la primera y la última entrada y el uso de marcadores y variables. ^[46] Los sūtras crean la impresión de que la comunicación a través del texto era "sólo una parte de toda la instrucción. El resto de la instrucción debe haber sido transmitida por el llamado Guru-shishya parampara , 'sucesión ininterrumpida del maestro ( gurú )' al estudiante ( śisya ),' y no estaba abierto al público en general" y tal vez incluso se mantuvo en secreto. ^[47] La ​​brevedad lograda en un sūtra se demuestra en el siguiente ejemplo del Baudhāyana Śulba Sūtra (700 a. C.).

El diseño del altar del fuego doméstico en el Śulba Sūtra

El ritual requería que el altar del fuego doméstico en el período védico tuviera una base cuadrada y estuviera constituido por cinco capas de ladrillos con 21 ladrillos en cada capa. Un método para construir el altar era dividir un lado del cuadrado en tres partes iguales usando una cuerda o cuerda, para luego dividir el lado transversal (o perpendicular) en siete partes iguales y así subdividir el cuadrado en 21 rectángulos congruentes. . Luego se diseñaron los ladrillos para que tuvieran la forma del rectángulo constituyente y se creó la capa. Para formar la siguiente capa se utilizó la misma fórmula, pero los ladrillos se dispusieron de forma transversal. ^[48] ​​El proceso se repitió tres veces más (con direcciones alternas) para completar la construcción. En el Baudhāyana Śulba Sūtra , este procedimiento se describe con las siguientes palabras:

II.64. Después de dividir el cuadrilátero en siete, se divide el [cordón] transversal en tres.
II.65. En otra capa se colocan los [ladrillos] apuntando al norte. ^[48]

Según Filliozat, ^[49] el oficiante que construye el altar sólo tiene a su disposición unas pocas herramientas y materiales: una cuerda (sánscrito, rajju , f.), dos clavijas (sánscrito, śanku , m.) y arcilla para hacer el altar. ladrillos (sánscrito, iṣṭakā , f.). La concisión se logra en el sūtra , al no mencionar explícitamente lo que califica el adjetivo "transversal"; sin embargo, de la forma femenina del adjetivo (sánscrito) utilizado, se infiere fácilmente que califica "cordón". De manera similar, en la segunda estrofa, los "ladrillos" no se mencionan explícitamente, sino que se infieren nuevamente por la forma femenina plural de "North-pointing". Finalmente, la primera estrofa nunca dice explícitamente que la primera capa de ladrillos esté orientada en dirección este-oeste, pero eso también está implícito en la mención explícita de "apuntar al norte" en la segunda estrofa ; porque, si la orientación fuera la misma en las dos capas, no se mencionaría en absoluto o sólo se mencionaría en la primera estrofa. Todas estas inferencias las hace el oficiante mientras recuerda la fórmula de su memoria. ^[48]

La tradición escrita: comentario en prosa

Con la creciente complejidad de las matemáticas y otras ciencias exactas, se requería tanto la escritura como la computación. En consecuencia, muchos trabajos matemáticos comenzaron a plasmarse en manuscritos que luego fueron copiados y recopiados de generación en generación.

Se estima que hoy en día la India tiene alrededor de treinta millones de manuscritos, el mayor conjunto de material de lectura escrito a mano en cualquier parte del mundo. La cultura alfabetizada de la ciencia india se remonta al menos al siglo V a. C.... como lo demuestran los elementos de la literatura de presagios y la astronomía mesopotámica que entraron en la India en ese momento y (fueron) definitivamente no... conservados oralmente. ^[50]

El primer comentario matemático en prosa fue el de la obra Āryabhaṭīya (escrito en 499 d.C.), una obra sobre astronomía y matemáticas. La porción matemática del Āryabhaṭīya estaba compuesta por 33 sūtras (en forma de verso) que consistían en declaraciones o reglas matemáticas, pero sin ninguna prueba. ^[51] Sin embargo, según Hayashi, ^[52] "esto no significa necesariamente que sus autores no los probaron. Probablemente fue una cuestión de estilo de exposición". Desde la época de Bhaskara I (600 d.C. en adelante), los comentarios en prosa comenzaron a incluir cada vez más algunas derivaciones ( upapatti ). El comentario de Bhaskara I sobre el Āryabhaṭīya , tenía la siguiente estructura: ^[51]

• Regla ('sūtra') en verso de Āryabhaṭa
• Comentario de Bhāskara I, que consta de:
  • Aclaración de la regla (las derivaciones todavía eran raras entonces, pero se volvieron más comunes más tarde)
  • Ejemplo ( uddeśaka ) normalmente en verso.
  • Configuración ( nyāsa/sthāpanā ) de los datos numéricos.
  • Trabajo ( karana ) de la solución.
  • Verificación ( pratyayakaraṇa , literalmente "hacer convicción") de la respuesta. Estos se volvieron raros en el siglo XIII, y para entonces se favorecieron las derivaciones o pruebas. ^[51]

Normalmente, para cualquier tema matemático, los estudiantes de la antigua India primero memorizaban los sūtras , que, como se explicó anteriormente, eran "deliberadamente inadecuados" ^[50] en detalles explicativos (para transmitir concisamente las reglas matemáticas básicas). Luego, los estudiantes trabajaron en los temas del comentario en prosa escribiendo (y dibujando diagramas) en pizarrones con tiza y polvo ( es decir, pizarrones cubiertos de polvo). Esta última actividad, un elemento básico del trabajo matemático, impulsó más tarde al matemático y astrónomo Brahmagupta ( f. Siglo VII d. C.) a caracterizar los cálculos astronómicos como "trabajo en polvo" (sánscrito: dhulikarman ). ^[53]

Los números y el sistema numérico decimal.

Es bien sabido que el sistema de valor posicional decimal que se utiliza hoy en día se registró por primera vez en la India, luego se transmitió al mundo islámico y, finalmente, a Europa. ^[54] El obispo sirio Severus Sebokht escribió a mediados del siglo VII EC sobre los "nueve signos" de los indios para expresar números. ^[54] Sin embargo, no está tan claro cómo, cuándo y dónde se inventó el sistema de valor posicional del primer decimal. ^[55]

La escritura existente más antigua utilizada en la India fue la escritura Kharoṣṭhī utilizada en la cultura Gandhara del noroeste. Se cree que es de origen arameo y estuvo en uso desde el siglo IV a.C. hasta el siglo IV d.C. Casi al mismo tiempo, otra escritura, la escritura Brāhmī , apareció en gran parte del subcontinente y más tarde se convertiría en la base de muchas escrituras del sur y sudeste de Asia. Ambas escrituras tenían símbolos numéricos y sistemas de numeración, que inicialmente no se basaban en un sistema de valor posicional. ^[56]

La evidencia más antigua que se conserva de números con valor posicional decimal en la India y el sudeste asiático data de mediados del primer milenio d.C. ^[57] Una placa de cobre de Gujarat, India, menciona la fecha 595 EC, escrita en notación de valor decimal, aunque existen algunas dudas sobre la autenticidad de la placa. ^[57] También se han encontrado números decimales que registran los años 683 EC en inscripciones en piedra en Indonesia y Camboya, donde la influencia cultural india fue sustancial. ^[57]

Hay fuentes textuales más antiguas, aunque las copias manuscritas existentes de estos textos son de fechas mucho posteriores. ^[58] Probablemente la fuente más antigua de este tipo sea la obra del filósofo budista Vasumitra que data probablemente del siglo I d.C. ^[58] Al hablar de los pozos de conteo de los comerciantes, Vasumitra comenta: "Cuando [la misma] pieza de arcilla para contar está en lugar de unidades, se denota como uno, cuando está en centenas, cien". ^[58] Aunque tales referencias parecen implicar que sus lectores tenían conocimiento de una representación de valor decimal, la "brevedad de sus alusiones y la ambigüedad de sus fechas, sin embargo, no establecen sólidamente la cronología del desarrollo de este concepto". ^[58]

Se empleó una tercera representación decimal en una técnica de composición en verso, más tarde denominada Bhuta-sankhya (literalmente, "números de objeto") utilizada por los primeros autores sánscritos de libros técnicos. ^[59] Dado que muchas de las primeras obras técnicas se compusieron en verso, los números a menudo estaban representados por objetos del mundo natural o religioso que les correspondían; esto permitió una correspondencia de muchos a uno para cada número y facilitó la composición de versos. ^[59] Según Plofker, ^[60] el número 4, por ejemplo, podría representarse con la palabra " Veda " (ya que había cuatro de estos textos religiosos), el número 32 con la palabra "dientes" (ya que conjunto consta de 32), y el número 1 por "luna" (ya que sólo hay una luna). ^[59] Entonces, Veda/dientes/luna correspondería al número decimal 1324, ya que la convención para los números era enumerar sus dígitos de derecha a izquierda. ^[59] La referencia más antigua que emplea números de objetos es una c. 269 ​​CE Texto sánscrito, Yavanajātaka (literalmente "horoscopia griega") de Sphujidhvaja, una versificación de una adaptación en prosa india anterior (c. 150 CE) de una obra perdida de astrología helenística. ^[61] Tal uso parece demostrar que a mediados del siglo III d.C., el sistema de valor decimal era familiar, al menos para los lectores de textos astronómicos y astrológicos en la India. ^[59]

Se ha planteado la hipótesis de que el sistema de valor posicional decimal indio se basaba en los símbolos utilizados en los tableros de conteo chinos desde mediados del primer milenio antes de Cristo. ^[62] Según Plofker, ^[60]

Estos tableros de conteo, al igual que los pozos de conteo indios,..., tenían una estructura de valor posicional decimal... Es muy posible que los indios hayan aprendido acerca de estos "números de varilla" con valor posicional decimal de los peregrinos budistas chinos u otros viajeros, o pueden haber desarrollado el concepto independientemente de su anterior sistema de valor no posicional; no sobrevive ninguna evidencia documental que confirme ninguna de las conclusiones." ^[62]

Manuscrito de Bakhshali

El manuscrito matemático más antiguo que se conserva en la India es el Manuscrito Bakhshali , un manuscrito de corteza de abedul escrito en "sánscrito híbrido budista" ^[12] en la escritura Śāradā , que se utilizó en la región noroeste del subcontinente indio entre los siglos VIII y XII d.C. ^[63] El manuscrito fue descubierto en 1881 por un granjero mientras cavaba en un recinto de piedra en el pueblo de Bakhshali, cerca de Peshawar (entonces en la India británica y ahora en Pakistán ). De autoría desconocida y ahora conservado en la Biblioteca Bodleian de la Universidad de Oxford , el manuscrito ha sido fechado recientemente como 224 d.C.-383 d.C. ^[64]

El manuscrito superviviente tiene setenta hojas, algunas de las cuales están fragmentadas. Su contenido matemático consta de reglas y ejemplos, escritos en verso, junto con comentarios en prosa, que incluyen soluciones a los ejemplos. ^[63] Los temas tratados incluyen aritmética (fracciones, raíces cuadradas, pérdidas y ganancias, interés simple, regla de tres y regula falsi ) y álgebra (ecuaciones lineales y ecuaciones cuadráticas simultáneas ) y progresiones aritméticas. Además, hay un puñado de problemas geométricos (incluidos problemas sobre volúmenes de sólidos irregulares). El manuscrito de Bakhshali también "emplea un sistema de valor posicional decimal con un punto para el cero". ^[63] Muchos de sus problemas pertenecen a una categoría conocida como "problemas de ecualización" que conducen a sistemas de ecuaciones lineales. Un ejemplo del Fragmento III-5-3v es el siguiente:

Un comerciante tiene siete caballos asava , un segundo tiene nueve caballos haya y un tercero tiene diez camellos. Están igualmente bien en el valor de sus animales si cada uno da dos animales, uno a cada uno de los demás. Encuentre el precio de cada animal y el valor total de los animales que posee cada comerciante. ^{[sesenta y cinco]}

El comentario en prosa que acompaña al ejemplo resuelve el problema convirtiéndolo en tres ecuaciones (infradeterminadas) con cuatro incógnitas y suponiendo que todos los precios son números enteros. ^{[sesenta y cinco]}

En 2017, se demostró mediante datación por radiocarbono que tres muestras del manuscrito provenían de tres siglos diferentes: del 224 al 383 d.C., del 680 al 779 d.C. y del 885 al 993 d.C. No se sabe cómo llegaron a empaquetarse fragmentos de diferentes siglos. ^{[66] [67] [68]}

Período clásico (400-1600)

Este período se conoce a menudo como la edad de oro de las matemáticas indias. En este período, matemáticos como Aryabhata , Varahamihira , Brahmagupta , Bhaskara I , Mahavira , Bhaskara II , Madhava de Sangamagrama y Nilakantha Somayaji dieron una forma más amplia y clara a muchas ramas de las matemáticas. Sus contribuciones se extenderían a Asia, Oriente Medio y, finalmente, a Europa. A diferencia de las matemáticas védicas, sus trabajos incluyeron contribuciones tanto astronómicas como matemáticas. De hecho, las matemáticas de ese período estaban incluidas en la 'ciencia astral' ( jyotiḥśāstra ) y constaban de tres subdisciplinas: ciencias matemáticas ( gaṇita o tantra ), astrología del horóscopo ( horā o jātaka ) y adivinación (saṃhitā). ^[53] Esta división tripartita se ve en la compilación de Varāhamihira del siglo VI— Pancasiddhantika ^[69] (literalmente panca , "cinco", siddhānta , "conclusión de la deliberación", fechada en 575 EC ), de cinco obras anteriores, Surya Siddhanta , Romaka Siddhanta , Paulisa Siddhanta , Vasishtha Siddhanta y Paitamaha Siddhanta , que fueron adaptaciones de obras aún anteriores de la astronomía mesopotámica, griega, egipcia, romana e india. Como se explicó anteriormente, los textos principales fueron compuestos en verso sánscrito y fueron seguidos de comentarios en prosa. ^[53]

Siglos IV al VI

Surya Siddhanta

Aunque se desconoce su autoría, el Surya Siddhanta (c. 400) contiene las raíces de la trigonometría moderna . ^{[ cita necesaria ]} Debido a que contiene muchas palabras de origen extranjero, algunos autores consideran que fue escrito bajo la influencia de Mesopotamia y Grecia. ^{[70] [ se necesita una mejor fuente ]}

Este texto antiguo utiliza las siguientes funciones trigonométricas por primera vez: ^{[ cita necesaria ]}

• Seno ( Jya ).
• Coseno ( Kojya ).
• Seno inverso ( Otkram jya ).

Matemáticos indios posteriores como Aryabhata hicieron referencias a este texto, mientras que las traducciones árabes y latinas posteriores fueron muy influyentes en Europa y Oriente Medio.

calendario chhedi

Este calendario Chhedi (594) contiene un uso temprano del moderno sistema de numeración hindú-árabe de valor posicional que ahora se usa universalmente.

Aryabhata I

Aryabhata (476–550) escribió el Aryabhatiya. Describió los importantes principios fundamentales de las matemáticas en 332 shlokas . El tratado contenía:

• Ecuaciones cuadráticas
• Trigonometría
• El valor de π , correcto con 4 decimales.

Aryabhata también escribió el Arya Siddhanta , que ahora está perdido. Las contribuciones de Aryabhata incluyen:

Trigonometría:

(Ver también: tabla de senos de Aryabhata )

• Introdujo las funciones trigonométricas .
• Definió el seno ( jya ) como la relación moderna entre medio ángulo y media cuerda.
• Definido el coseno ( kojya ).
• Definió el versine ( utkrama-jya ).
• Definió el seno inverso ( otkram jya ).
• Dio métodos para calcular sus valores numéricos aproximados.
• Contiene las primeras tablas de valores de seno, coseno y verseno, en intervalos de 3,75° de 0° a 90°, con 4 decimales de precisión.
• Contiene la fórmula trigonométrica sin( n + 1) x − sin nx = sin nx − sin( n − 1) x − (1/225)sin nx .
• Trigonometría esférica .

Aritmética:

• Fracciones continuas .

Álgebra:

• Soluciones de ecuaciones cuadráticas simultáneas.
• Soluciones en números enteros de ecuaciones lineales mediante un método equivalente al método moderno.
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada.

Astronomía matemática:

• Cálculos precisos de constantes astronómicas, como:
  • Eclipse solar .
  • Eclipse lunar .
  • La fórmula para la suma de los cubos , que supuso un paso importante en el desarrollo del cálculo integral. ^[71]

Varahamihira

Varahamihira (505–587) produjo el Pancha Siddhanta ( Los cinco cánones astronómicos ). Hizo importantes contribuciones a la trigonometría, incluidas tablas de senos y cosenos con precisión de 4 decimales y las siguientes fórmulas que relacionan funciones seno y coseno :

• ${\displaystyle \sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1}$
• ${\displaystyle \sin(x)=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}$
• ${\displaystyle {\frac {1-\cos(2x)}{2}}=\sin ^{2}(x)}$

Siglos VII y VIII

El teorema de Brahmagupta establece que AF = FD .

En el siglo VII, comenzaron a surgir en las matemáticas indias dos campos separados, la aritmética (que incluía la medición ) y el álgebra . Los dos campos se llamarían más tarde pāṭī-gaṇita (literalmente "matemáticas de algoritmos") y bīja-gaṇita (literalmente "matemáticas de semillas", donde las "semillas", como las semillas de las plantas, representan incógnitas con potencial para generar, en este caso, las soluciones de ecuaciones). ^[72] Brahmagupta , en su obra astronómica Brāhma Sphuṭa Siddhānta (628 EC), incluyó dos capítulos (12 y 18) dedicados a estos campos. El capítulo 12, que contiene 66 versos en sánscrito, se dividió en dos secciones: "operaciones básicas" (incluidas raíces cúbicas, fracciones, razones y proporciones y trueque) y "matemáticas prácticas" (incluidas mezclas, series matemáticas, figuras planas, apilamiento de ladrillos, aserrado de madera y apilado de grano). ^[73] En la última sección, expuso su famoso teorema sobre las diagonales de un cuadrilátero cíclico : ^[73]

Teorema de Brahmagupta: si un cuadrilátero cíclico tiene diagonales perpendiculares entre sí, entonces la línea perpendicular trazada desde el punto de intersección de las diagonales hasta cualquier lado del cuadrilátero siempre biseca el lado opuesto.

El capítulo 12 también incluyó una fórmula para el área de un cuadrilátero cíclico (una generalización de la fórmula de Heron ), así como una descripción completa de los triángulos racionales ( es decir, triángulos con lados racionales y áreas racionales).

Fórmula de Brahmagupta: El área, A , de un cuadrilátero cíclico con lados de longitudes a , b , c , d , respectivamente, está dada por

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}\,}$

donde s , el semiperímetro , dado por ${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Teorema de Brahmagupta sobre triángulos racionales: Un triángulo con lados racionales y área racional tiene la forma: ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

para algunos números racionales y . ^[74] ${\displaystyle u,v,}$ ${\displaystyle w}$

El capítulo 18 contenía 103 versos sánscritos que comenzaban con reglas para operaciones aritméticas que implicaban cero y números negativos ^[73] y se considera el primer tratamiento sistemático del tema. Las reglas (que incluían y ) eran todas correctas, con una excepción :. ^[73] Más adelante en el capítulo, dio la primera solución explícita (aunque todavía no completamente general) de la ecuación cuadrática : ${\displaystyle a+0=\ a}$ ${\displaystyle a\times 0=0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}=0}$

${\displaystyle \ ax^{2}+bx=c}$

Al número absoluto multiplicado por cuatro veces el [coeficiente del] cuadrado, se le suma el cuadrado del [coeficiente del] término medio; la raíz cuadrada del mismo, menos el [coeficiente del] término medio, quedando dividido por el doble del [coeficiente del] cuadrado es el valor. ^[75]

Esto equivale a:

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}}$

También en el capítulo 18, Brahmagupta pudo avanzar en la búsqueda de soluciones (integrales) de la ecuación de Pell , ^[76]

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1,}$

donde es un número entero no cuadrado. Lo hizo al descubrir la siguiente identidad: ^[76] ${\displaystyle N}$

Identidad de Brahmagupta: que era una generalización de una identidad anterior de Diofanto : ^[76] Brahmagupta usó su identidad para probar el siguiente lema: ^[76] ${\displaystyle \ (x^{2}-Ny^{2})(x'^{2}-Ny'^{2})=(xx'+Nyy')^{2}-N(xy'+x'y)^{2}}$

Lema (Brahmagupta): Si es una solución de y, es una solución de , entonces: ${\displaystyle x=x_{1},\ \ y=y_{1}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1},}$ ${\displaystyle x=x_{2},\ \ y=y_{2}\ \ }$ ${\displaystyle \ \ x^{2}-Ny^{2}=k_{2},}$

${\displaystyle x=x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2},\ \ y=x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\ \ }$es una solución de ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k_{1}k_{2}}$

Luego usó este lema para generar infinitas soluciones (integrales) de la ecuación de Pell, dada una solución, y establecer el siguiente teorema:

Teorema (Brahmagupta): Si la ecuación tiene una solución entera para cualquiera de las ecuaciones de Pell: ${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=k}$ ${\displaystyle \ k=\pm 4,\pm 2,-1}$

${\displaystyle \ x^{2}-Ny^{2}=1}$

también tiene una solución entera. ^[77]

En realidad, Brahmagupta no demostró el teorema, sino que elaboró ​​ejemplos utilizando su método. El primer ejemplo que presentó fue: ^[76]

Ejemplo (Brahmagupta): Encuentre números enteros tales que: ${\displaystyle \ x,\ y\ }$

${\displaystyle \ x^{2}-92y^{2}=1}$

En su comentario, Brahmagupta añadió: "una persona que resuelve este problema en un año es un matemático". ^[76] La solución que proporcionó fue:

${\displaystyle \ x=1151,\ y=120}$

Bhaskara I

Bhaskara I (c. 600–680) amplió el trabajo de Aryabhata en sus libros titulados Mahabhaskariya , Aryabhatiya-bhashya y Laghu-bhaskariya . Él produjo:

• Soluciones de ecuaciones indeterminadas.
• Una aproximación racional de la función seno .
• Una fórmula para calcular el seno de un ángulo agudo sin el uso de una tabla, con precisión de dos decimales.

Siglos IX al XII

virasena

Virasena (siglo VIII) fue un matemático jainista en la corte del rey Rashtrakuta Amoghavarsha de Manyakheta , Karnataka. Escribió el Dhavala , un comentario sobre las matemáticas jainistas, que:

• Trata el concepto de ardhaccheda , el número de veces que un número podría reducirse a la mitad, y enumera varias reglas que implican esta operación. Esto coincide con el logaritmo binario cuando se aplica a potencias de dos , ^{[78] [79]} pero difiere en otros números, asemejándose más al orden 2-ádico .

Virasena también dio:

• La derivación del volumen de un tronco mediante una especie de procedimiento infinito.

Se cree que gran parte del material matemático del Dhavala se puede atribuir a escritores anteriores, especialmente Kundakunda, Shamakunda, Tumbulura, Samantabhadra y Bappadeva, y datan de quienes escribieron entre 200 y 600 d.C. ^[79]

Mahavira

Mahavira Acharya (c. 800–870) de Karnataka , el último de los matemáticos jainistas notables, vivió en el siglo IX y fue patrocinado por el rey Rashtrakuta Amoghavarsha. Escribió un libro titulado Ganit Saar Sangraha sobre matemáticas numéricas y también escribió tratados sobre una amplia gama de temas matemáticos. Estos incluyen las matemáticas de:

• Cero
• Cuadrícula
• Cubitos
• raíces cuadradas , raíces cúbicas y las series que se extienden más allá de estas
• Geometria plana
• Geometria solida
• Problemas relacionados con la proyección de sombras.
• Fórmulas derivadas para calcular el área de una elipse y un cuadrilátero dentro de un círculo .

Mahavira también:

• Afirmó que la raíz cuadrada de un número negativo no existía.
• Dio la suma de una serie cuyos términos son cuadrados de una progresión aritmética y dio reglas empíricas para el área y el perímetro de una elipse.
• Ecuaciones cúbicas resueltas.
• Ecuaciones cuárticas resueltas.
• Resolvió algunas ecuaciones quínticas y polinomios de orden superior .
• Dio las soluciones generales de las ecuaciones polinómicas de orden superior:
  • ${\displaystyle \ ax^{n}=q}$
  • ${\displaystyle a{\frac {x^{n}-1}{x-1}}=p}$
• Ecuaciones cuadráticas indeterminadas resueltas.
• Ecuaciones cúbicas indeterminadas resueltas.
• Resueltas ecuaciones indeterminadas de orden superior.

Shridhara

Shridhara (c. 870–930), que vivió en Bengala , escribió los libros titulados Nav Shatika , Tri Shatika y Pati Ganita . El dio:

• Una buena regla para encontrar el volumen de una esfera .
• La fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas .

El Pati Ganita es una obra sobre aritmética y medida . Se ocupa de diversas operaciones, entre ellas:

• Operaciones elementales
• Extracción de raíces cuadradas y cúbicas.
• Fracciones.
• Ocho reglas dadas para operaciones que involucran cero.
• Métodos de sumatoria de diferentes series aritméticas y geométricas, que se convertirían en referencias estándar en trabajos posteriores.

Manjula

Las ecuaciones de Aryabhata fueron elaboradas en el siglo X por Manjula (también Munjala ), quien se dio cuenta de que la expresión ^[80]

${\displaystyle \ \sin w'-\sin w}$

podría expresarse aproximadamente como

${\displaystyle \ (w'-w)\cos w}$

Esto fue elaborado por su predecesor Bhaskara II, encontrando así la derivada del seno. ^[80]

Aryabhata II

Aryabhata II (c. 920-1000) escribió un comentario sobre Shridhara y un tratado astronómico Maha-Siddhanta . El Maha-Siddhanta tiene 18 capítulos y analiza:

• Matemáticas numéricas ( Ank Ganit ).
• Álgebra.
• Soluciones de ecuaciones indeterminadas ( kuttaka ).

Sripati

Shripati Mishra (1019-1066) escribió los libros Siddhanta Shekhara , una obra importante sobre astronomía en 19 capítulos, y Ganit Tilaka , un tratado de aritmética incompleto en 125 versos basado en una obra de Shridhara. Trabajó principalmente en:

• Permutaciones y combinaciones .
• Solución general de la ecuación lineal indeterminada simultánea.

También fue autor de Dhikotidakarana , obra de veinte versos sobre:

• Eclipse solar .
• Eclipse lunar .

El Dhruvamanasa es una obra de 105 versos sobre:

• Calcular longitudes planetarias
• eclipses .
• tránsitos planetarios .

Nemichandra Siddhanta Chakravati

Nemichandra Siddhanta Chakravati (c. 1100) fue autor de un tratado matemático titulado Gome-mat Saar .

Bhaskara II

Bhāskara II (1114-1185) fue un matemático y astrónomo que escribió varios tratados importantes, a saber, Siddhanta Shiromani , Lilavati , Bijaganita , Gola Addhaya , Griha Ganitam y Karan Kautoohal . Varias de sus contribuciones se transmitieron posteriormente a Oriente Medio y Europa. Sus contribuciones incluyen:

Aritmética:

• Cálculo de intereses
• Progresiones aritméticas y geométricas.
• Geometria plana
• Geometria solida
• La sombra del gnomon
• Soluciones de combinaciones.
• Dio una prueba de que la división por cero es infinita .

Álgebra:

• El reconocimiento de un número positivo que tiene dos raíces cuadradas.
• Surdos .
• Operaciones con productos de varias incógnitas.
• Las soluciones de:
  • Ecuaciones cuadráticas.
  • Ecuaciones cúbicas.
  • Ecuaciones cuarticas.
  • Ecuaciones con más de una incógnita.
  • Ecuaciones cuadráticas con más de una incógnita.
  • La forma general de la ecuación de Pell utilizando el método chakravala .
  • La ecuación cuadrática indeterminada general utilizando el método chakravala .
  • Ecuaciones cúbicas indeterminadas.
  • Ecuaciones cuárticas indeterminadas.
  • Ecuaciones polinómicas indeterminadas de orden superior.

Geometría:

• Dio una demostración del teorema de Pitágoras .

Cálculo:

• Concepto preliminar de diferenciación.
• Descubrió el coeficiente diferencial .
• Forma temprana establecida del teorema de Rolle , un caso especial del teorema del valor medio (uno de los teoremas de cálculo y análisis más importantes).
• Derivó el diferencial de la función seno aunque no engañó la noción de derivada.
• Calculado π , correcto con cinco decimales.
• Calculó la duración de la revolución de la Tierra alrededor del Sol con 9 decimales. ^[81]

Trigonometría:

• Desarrollos de la trigonometría esférica.
• Las fórmulas trigonométricas:
  • ${\displaystyle \ \sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}$
  • ${\displaystyle \ \sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\sin(b)\cos(a)}$

Matemáticas de Kerala (1300-1600)

La escuela de astronomía y matemáticas de Kerala fue fundada por Madhava de Sangamagrama en Kerala, sur de la India e incluía entre sus miembros a: Parameshvara , Neelakanta Somayaji , Jyeshtadeva , Achyuta Pisharati , Melpathur Narayana Bhattathiri y Achyuta Panikkar. Floreció entre los siglos XIV y XVI y los descubrimientos originales de la escuela parecen haber terminado con Narayana Bhattathiri (1559-1632). Al intentar resolver problemas astronómicos, los astrónomos de la escuela de Kerala crearon de forma independiente una serie de conceptos matemáticos importantes. Los resultados más importantes, la expansión de series para funciones trigonométricas , se dieron en verso sánscrito en un libro de Neelakanta llamado Tantrasangraha y un comentario sobre este trabajo llamado Tantrasangraha-vakhya de autoría desconocida. Los teoremas se enunciaron sin demostración, pero un siglo después se proporcionaron pruebas de las series de seno , coseno y tangente inversa en la obra Yuktibhāṣā (c.1500-c.1610), escrita en malayalam , por Jyesthadeva . ^[82]

Su descubrimiento de estas tres importantes expansiones en serie del cálculo (varios siglos antes de que Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran el cálculo en Europa ) fue un logro. Sin embargo, la Escuela de Kerala no inventó el cálculo , ^[83] porque, si bien pudieron desarrollar expansiones en series de Taylor para las funciones trigonométricas importantes , no desarrollaron ni una teoría de diferenciación o integración , ni el teorema fundamental del cálculo . ^[71] Los resultados obtenidos por la escuela de Kerala incluyen:

• La serie geométrica (infinita) : ^[84] ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for }}|x|<1}$
• Una prueba semi-rigurosa (ver comentario sobre "inducción" a continuación) del resultado: para n grande . ^[82] ${\displaystyle 1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}\approx {\frac {n^{p+1}}{p+1}}}$
• Uso intuitivo de la inducción matemática ; sin embargo, la hipótesis inductiva no fue formulada ni empleada en pruebas. ^[82]
• Aplicaciones de ideas de (lo que se convertiría en) cálculo diferencial e integral para obtener series infinitas (Taylor-Maclaurin) para sen x, cos x y arctan x. ^[83] El Tantrasangraha-vakhya da la serie en verso, que cuando se traduce a notación matemática, puede escribirse como: ^[82]

${\displaystyle r\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {ry}{x}}-{\frac {1}{3}}\cdot {\frac {ry^{3}}{x^{3}}}+{\frac {1}{5}}\cdot {\frac {ry^{5}}{x^{5}}}-\cdots ,{\text{ where }}y/x\leq 1.}$

${\displaystyle r\sin x=x-x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}+x{\frac {x^{2}}{(2^{2}+2)r^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{(4^{2}+4)r^{2}}}-\cdots }$

${\displaystyle r-\cos x=r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}-r{\frac {x^{2}}{(2^{2}-2)r^{2}}}{\frac {x^{2}}{(4^{2}-4)r^{2}}}+\cdots ,}$

donde, para r  = 1, la serie se reduce a la serie de potencias estándar para estas funciones trigonométricas, por ejemplo:

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

y

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

• Uso de la rectificación (cálculo de la longitud) del arco de un círculo para dar una prueba de estos resultados. ( No se utilizó el último método de Leibniz, que utilizaba la cuadratura, es decir, el cálculo del área bajo el arco del círculo .) ^[82]
• Uso de la expansión en serie de para obtener la fórmula de Leibniz para π : ^[82] ${\displaystyle \arctan x}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots }$

• Una aproximación racional del error para la suma finita de sus series de intereses. Por ejemplo, el error, (para n impar y i = 1, 2, 3) para la serie: ${\displaystyle f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\cdots +(-1)^{(n-1)/2}{\frac {1}{n}}+(-1)^{(n+1)/2}f_{i}(n+1)}$

${\displaystyle {\text{where }}f_{1}(n)={\frac {1}{2n}},\ f_{2}(n)={\frac {n/2}{n^{2}+1}},\ f_{3}(n)={\frac {(n/2)^{2}+1}{(n^{2}+5)n/2}}.}$

• Manipulación del término de error para derivar una serie convergente más rápida para : ^[82] ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}+{\frac {1}{3^{3}-3}}-{\frac {1}{5^{3}-5}}+{\frac {1}{7^{3}-7}}-\cdots }$

• Utilizando la serie mejorada para derivar una expresión racional, ^[82] 104348/33215 para π corrige hasta nueve decimales, es decir  , 3,141592653.
• Uso de una noción intuitiva de límite para calcular estos resultados. ^[82]
• Un método semirriguroso (ver comentario sobre los límites arriba) para derivar algunas funciones trigonométricas. ^[71] Sin embargo, no formularon la noción de función , ni tenían conocimiento de las funciones exponenciales o logarítmicas.

Los trabajos de la escuela de Kerala fueron escritos por primera vez para el mundo occidental por el inglés CM Whish en 1835. Según Whish, los matemáticos de Kerala habían " sentado las bases para un sistema completo de fluxiones " y estos trabajos abundaban " en formas y series fluxionales ". no se encuentra en ninguna obra de países extranjeros. " ^[85]

Sin embargo, los resultados de Whish fueron casi completamente ignorados, hasta más de un siglo después, cuando C. Rajagopal y sus asociados investigaron nuevamente los descubrimientos de la escuela de Kerala. Su trabajo incluye comentarios sobre las pruebas de la serie arctan en Yuktibhāṣā dadas en dos artículos, ^{[86] [87]} un comentario sobre la prueba de Yuktibhāṣā de las series seno y coseno ^[88] y dos artículos que proporcionan los versos sánscritos de el Tantrasangrahavakhya para la serie de arctan, pecado y coseno (con traducción y comentario al inglés). ^{[89] [90]}

Narayana Pandit es un matemático del siglo XIV que compuso dos importantes obras matemáticas, un tratado de aritmética, Ganita Kaumudi , y un tratado algebraico, Bijganita Vatamsa . También se cree que Narayana es el autor de un elaborado comentario de Lilavati de Bhaskara II , titulado Karmapradipika (o Karma-Paddhati ). Madhava de Sangamagrama (c. 1340-1425) fue el fundador de la Escuela de Kerala. Aunque es posible que escribiera Karana Paddhati, una obra escrita en algún momento entre 1375 y 1475, todo lo que realmente sabemos de su obra proviene de trabajos de eruditos posteriores.

Parameshvara (c. 1370-1460) escribió comentarios sobre las obras de Bhaskara I , Aryabhata y Bhaskara II. Su Lilavati Bhasya , un comentario sobre Lilavati de Bhaskara II , contiene uno de sus descubrimientos importantes: una versión del teorema del valor medio . Nilakantha Somayaji (1444-1544) compuso el Tantra Samgraha (que 'generó' un comentario anónimo posterior Tantrasangraha-vyakhya y un comentario adicional con el nombre Yuktidipaika , escrito en 1501). Elaboró ​​y amplió las contribuciones de Madhava.

Citrabhanu (c. 1530) fue un matemático de Kerala del siglo XVI que dio soluciones enteras a 21 tipos de sistemas de dos ecuaciones algebraicas simultáneas con dos incógnitas. Estos tipos son todos los pares posibles de ecuaciones de las siguientes siete formas:

${\displaystyle {\begin{aligned}&x+y=a,\ x-y=b,\ xy=c,x^{2}+y^{2}=d,\\[8pt]&x^{2}-y^{2}=e,\ x^{3}+y^{3}=f,\ x^{3}-y^{3}=g\end{aligned}}}$

Para cada caso, Citrabhanu dio una explicación y justificación de su gobierno, así como un ejemplo. Algunas de sus explicaciones son algebraicas, mientras que otras son geométricas. Jyesthadeva (c. 1500-1575) fue otro miembro de la Escuela de Kerala. Su obra clave fue el Yukti-bhāṣā (escrito en malayalam, una lengua regional de Kerala). Jyesthadeva presentó pruebas de la mayoría de los teoremas matemáticos y series infinitas descubiertas anteriormente por Madhava y otros matemáticos de la escuela de Kerala.

Acusaciones de eurocentrismo

Se ha sugerido que las contribuciones indias a las matemáticas no han recibido el debido reconocimiento en la historia moderna y que muchos descubrimientos e invenciones de los matemáticos indios se atribuyen actualmente culturalmente a sus homólogos occidentales , como resultado del eurocentrismo . Según la visión de GG Joseph sobre " Etnomatemáticas ":

[Su trabajo] incorpora algunas de las objeciones planteadas sobre la trayectoria eurocéntrica clásica. Es muy probable que la conciencia [de las matemáticas indias y árabes] se vea atenuada por rechazos desdeñosos de su importancia en comparación con las matemáticas griegas. Las contribuciones de otras civilizaciones, sobre todo China e India, se perciben como prestatarias de fuentes griegas o como contribuciones menores al desarrollo matemático dominante. Lamentablemente, falta una apertura a los resultados de investigaciones más recientes, especialmente en el caso de las matemáticas indias y chinas" ^[91]

El historiador de las matemáticas, Florian Cajori , sugirió que él y otros "sospechan que Diofanto vislumbró por primera vez el conocimiento algebraico en la India". ^[92] Sin embargo, también escribió que "es seguro que partes de las matemáticas hindúes son de origen griego". ^[93]

Más recientemente, como se analizó en la sección anterior, las series infinitas de cálculo para funciones trigonométricas (redescubiertas por Gregory, Taylor y Maclaurin a finales del siglo XVII) fueron descritas en la India por matemáticos de la escuela de Kerala , sorprendentemente unos dos siglos antes. . Algunos estudiosos han sugerido recientemente que el conocimiento de estos resultados podría haber sido transmitido a Europa a través de la ruta comercial desde Kerala por parte de comerciantes y misioneros jesuitas . ^[94] Kerala estuvo en contacto continuo con China y Arabia y, desde alrededor de 1500, con Europa. La existencia de vías de comunicación y una cronología adecuada ciertamente hacen posible dicha transmisión. Sin embargo, no hay evidencia directa, a través de manuscritos relevantes, de que tal transmisión haya tenido lugar realmente. ^[94] Según David Bressoud , "no hay evidencia de que la obra india de series fuera conocida más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX". ^{[83] [95]}

Tanto los eruditos árabes como los indios hicieron descubrimientos antes del siglo XVII que ahora se consideran parte del cálculo. ^[71] Sin embargo, como lo hicieron Newton y Leibniz , no "combinaron muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral , no mostraron la conexión entre los dos y convirtieron el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que utilizamos". tengo hoy." ^[71] Las carreras intelectuales tanto de Newton como de Leibniz están bien documentadas y no hay indicios de que su trabajo no sea el suyo; ^[71] sin embargo, no se sabe con certeza si los predecesores inmediatos de Newton y Leibniz, "incluidos, en particular, Fermat y Roberval, conocieron algunas de las ideas de los matemáticos islámicos e indios a través de fuentes que ahora desconocemos. " ^[71] Se trata de un área activa de investigación actual, especialmente en las colecciones de manuscritos de España y Magreb . Esta investigación se lleva a cabo, entre otros lugares, en el CNRS . ^[71]

Ver también

• Shulba Sutras
• Escuela de astronomía y matemáticas de Kerala
• Surya Siddhanta
• Brahmagupta
• Srinivasa Ramanujan
• Manuscrito de Bakhshali
• Lista de matemáticos indios
• ciencia y tecnología indias
• lógica india
• astronomía india
• historia de las matemáticas
• Lista de números en las escrituras hindúes

Notas

1. (Kim Plofker 2007, pág.1)
2. (Hayashi 2005, págs. 360–361)
3. (Ifrah 2000, p. 346): "La medida del genio de la civilización india, a la que debemos nuestro moderno sistema (numérico), es tanto mayor cuanto que fue la única en toda la historia que logró este triunfo. Algunas culturas lograron, antes que la india, descubrir una o, en el mejor de los casos, dos de las características de esta hazaña intelectual, pero ninguna de ellas logró reunir en un sistema completo y coherente las condiciones necesarias y suficientes para un sistema numérico con el mismo potencial que el nuestro."
4. (Plofker 2009, págs. 44-47)
5. (Bourbaki 1998, p. 46): "... nuestro sistema decimal, que (por mediación de los árabes) se deriva de las matemáticas hindúes, donde su uso está atestiguado ya desde los primeros siglos de nuestra era. Debe ser Observó además que la concepción del cero como número y no como simple símbolo de separación) y su introducción en los cálculos, también cuentan entre las aportaciones originales de los hindúes."
6. (Bourbaki 1998, p. 49): La aritmética moderna se conocía durante la época medieval como "Modus Indorum" o método de los indios. Leonardo de Pisa escribió que, comparado con el método de los indios, todos los demás métodos son un error. Este método de los indios no es otro que nuestra muy simple aritmética de suma, resta, multiplicación y división. Las reglas para estos cuatro procedimientos simples fueron escritas por primera vez por Brahmagupta durante el siglo VII d.C. "A este respecto, los hindúes ya son conscientes de la interpretación que los números negativos deben tener en ciertos casos (una deuda en un problema comercial, por ejemplo). En los siglos siguientes, a medida que se produce una difusión en Occidente (por mediación de los árabes) de los métodos y resultados de las matemáticas griegas e hindúes, uno se acostumbra más al manejo de estos números y comienza a tener otras "representaciones" para ellos que son geométricas o dinámicas".
7. "álgebra" 2007. Enciclopedia Británica Concisa Archivado el 29 de septiembre de 2007 en Wayback Machine . Encyclopædia Britannica en línea. 16 de mayo de 2007. Cita: "Ciertamente existía en la India un sistema posicional decimal completo en el siglo IX (d.C.), pero muchas de sus ideas centrales se habían transmitido mucho antes de esa época a China y al mundo islámico. Aritmética india, Además, desarrolló reglas consistentes y correctas para operar con números positivos y negativos y para tratar el cero como cualquier otro número, incluso en contextos problemáticos como la división. Pasaron varios cientos de años antes de que los matemáticos europeos integraran completamente tales ideas en la disciplina en desarrollo del álgebra ".
8. (Pingree 2003, p. 45) Cita: "La geometría, y su rama trigonométrica, eran las matemáticas que los astrónomos indios usaban con más frecuencia. Los matemáticos griegos usaban la cuerda completa y nunca imaginaron la media cuerda que usamos hoy. La media cuerda se usó por primera vez de Aryabhata, que simplificó mucho la trigonometría. De hecho, los astrónomos indios del siglo III o IV, utilizando una tabla de cuerdas griega preptolemaica, produjeron tablas de senos y versinos, de las cuales era trivial derivar los cosenos. El sistema de trigonometría, producido en la India, fue transmitido a los árabes a finales del siglo VIII y por ellos, en forma ampliada, al Occidente latino y al Oriente bizantino en el siglo XII.
9. (Bourbaki 1998, p. 126): "En cuanto a la trigonometría, es desdeñada por los geómetras y abandonada a los topógrafos y astrónomos; son estos últimos ( Aristarco , Hiparco , Ptolomeo ) quienes establecen las relaciones fundamentales entre los lados y los ángulos de una triángulo rectángulo (plano o esférico) y elaboramos las primeras tablas (consisten en tablas que indican la cuerda del arco cortado por un ángulo en un círculo de radio r , es decir, el número ; la introducción del seno, más fácil de manejar, se debe a los matemáticos hindúes de la Edad Media). ${\displaystyle \theta <\pi }$ ${\displaystyle 2r\sin \left(\theta /2\right)}$
10. (Filliozat 2004, págs. 140-143)
11. (Hayashi 1995)
12. (Kim Plofker 2007, pág.6)
13. (Stillwell 2004, pag.173)
14. (Bressoud 2002, p. 12) Cita: "No hay evidencia de que el trabajo indio en series fuera conocido más allá de la India, o incluso fuera de Kerala, hasta el siglo XIX. Gold y Pingree afirman [4] que en el momento en que estas series fueron redescubiertas en Europa, a todos los efectos prácticos, se habían perdido en la India. Las expansiones del seno, el coseno y el arco tangente se habían transmitido a través de varias generaciones de discípulos, pero seguían siendo observaciones estériles para las cuales nadie podía encontrar de mucha utilidad."
15. (Plofker 2001, p. 293) Cita: "No es inusual encontrar en discusiones sobre matemáticas indias afirmaciones como que" el concepto de diferenciación se entendió [en la India] desde la época de Manjula (... en el siglo X). siglo)" [Joseph 1991, 300], o que "podemos considerar a Madhava como el fundador del análisis matemático" (Joseph 1991, 293), o que Bhaskara II puede afirmar ser "el precursor de Newton y Leibniz en el descubrimiento del principio del cálculo diferencial" (Bag 1979, 294). ... Los puntos de semejanza, particularmente entre el cálculo europeo temprano y el trabajo de Keralese sobre series de potencias, incluso han inspirado sugerencias de una posible transmisión de ideas matemáticas desde de la costa de Malabar en el siglo XV o después al mundo académico latino (por ejemplo, en (Bag 1979, 285))... Debe tenerse en cuenta, sin embargo, que tal énfasis en la similitud del sánscrito (o malayalam) y las matemáticas latinas corren el riesgo de disminuir nuestra capacidad de ver y comprender plenamente las primeras. Hablar del "descubrimiento indio del principio del cálculo diferencial" oscurece un poco el hecho de que las técnicas indias para expresar cambios en el seno mediante el coseno o viceversa, como en los ejemplos que hemos visto, permanecían dentro de esa disciplina trigonométrica específica. contexto. El "principio" diferencial no se generalizó a funciones arbitrarias; de hecho, la noción explícita de una función arbitraria, por no mencionar la de su derivada o un algoritmo para tomar la derivada, es irrelevante aquí.
16. (Pingree 1992, p. 562) Cita: "Un ejemplo que puedo darle se relaciona con la demostración del indio Mādhava, alrededor del año 1400 d. C., de la serie de potencias infinitas de funciones trigonométricas utilizando argumentos geométricos y algebraicos. Cuando esto se describió por primera vez en Inglés por Charles Matthew Whish , en la década de 1830, fue anunciado como el descubrimiento del cálculo por parte de los indios. Esta afirmación y los logros de Mādhava fueron ignorados por los historiadores occidentales, presumiblemente al principio porque no podían admitir que un indio descubriera el cálculo, pero más tarde porque ya nadie leía las Transactions of the Royal Asiatic Society , en las que se publicó el artículo de Whish. El asunto resurgió en la década de 1950, y ahora tenemos los textos en sánscrito correctamente editados, y entendemos la forma inteligente en que Mādhava derivó la serie sin la cálculo; pero muchos historiadores todavía encuentran imposible concebir el problema y su solución en términos de algo más que el cálculo y proclaman que el cálculo es lo que Mādhava encontró. En este caso, la elegancia y la brillantez de las matemáticas de Mādhava están siendo distorsionadas al quedar enterradas bajo la solución matemática actual a un problema para el cual él descubrió una solución alternativa y poderosa."
17. (Katz 1995, págs. 173-174) Cita: "¿Qué tan cerca estuvieron los eruditos islámicos e indios de inventar el cálculo? Los eruditos islámicos casi desarrollaron una fórmula general para encontrar integrales de polinomios en el año 1000 d. C., y evidentemente pudieron encontrar esa fórmula buscaban cualquier polinomio que les interesara, pero, al parecer, no estaban interesados ​​en ningún polinomio de grado superior a cuatro, al menos en ninguno de los materiales que han llegado hasta nosotros. hacia 1600 podían utilizar la fórmula de suma de ibn al-Haytham para potencias integrales arbitrarias al calcular series de potencias para las funciones que les interesaban. Al mismo tiempo, también sabían cómo calcular las diferenciales de estas funciones. Las ideas del cálculo se conocían en Egipto y la India muchos siglos antes que Newton, pero no parece que ni los matemáticos islámicos ni los indios vieran la necesidad de conectar algunas de las ideas dispares que incluimos bajo el nombre de cálculo. Aparentemente sólo estaban interesados ​​en casos específicos en los que estas ideas eran necesarias. ... Por lo tanto, no hay peligro de que tengamos que reescribir los textos de historia para eliminar la afirmación de que Newton y Leibniz inventaron el cálculo. Ciertamente fueron ellos quienes fueron capaces de combinar muchas ideas diferentes bajo los dos temas unificadores de la derivada y la integral, mostrar la conexión entre ellos y convertir el cálculo en la gran herramienta de resolución de problemas que tenemos hoy".
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26. Las ternas pitagóricas son ternas de números enteros (a, b, c) con la propiedad: a ² +b ² = c ² . Así, 3 ² +4 ² = 5 ² , 8 ² +15 ² = 17 ² , 12 ² +35 ² = 37 ² , etc.
27. (Cooke 2005, p. 198): "El contenido aritmético de los Śulva Sūtras consiste en reglas para encontrar ternas pitagóricas como (3, 4, 5) , (5, 12, 13) , (8, 15, 17) , y (12, 35, 37) . No se sabe con certeza qué uso práctico tenían estas reglas aritméticas. La mejor conjetura es que eran parte de un ritual religioso. Se requería que un hogar hindú tuviera tres fuegos encendidos en tres altares diferentes. Los tres altares debían tener diferentes formas, pero los tres debían tener la misma área, lo que llevó a ciertos problemas "diofánticos", un caso particular de los cuales es la generación de ternas pitagóricas, para hacer que un entero cuadrado sea igual a la suma de otros dos."
28. (Cooke 2005, págs. 199-200): "El requisito de tres altares de áreas iguales pero de formas diferentes explicaría el interés en la transformación de áreas. Entre otros problemas de transformación de áreas, los hindúes consideraron en particular el problema de la cuadratura del círculo. El Sutra Bodhayana plantea el problema inverso de construir un círculo igual a un cuadrado dado. La siguiente construcción aproximada se da como solución... este resultado es sólo aproximado. Sin embargo, los autores no hicieron distinción entre los dos resultados. En términos que podemos apreciar, esta construcción da un valor para π de 18 (3 − 2 √ 2 ), que es aproximadamente 3,088."
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32. El valor de esta aproximación, 577/408, es el séptimo de una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas 3/2, 7/5, 17/12,... a √ 2 , cuyos numeradores y denominadores se conocían como " números de lado y diámetro" para los antiguos griegos, y en las matemáticas modernas se llaman números de Pell . Si x / y es un término en esta secuencia de aproximaciones, el siguiente es ( x  + 2 y )/( x  +  y ). Estas aproximaciones también se pueden derivar truncando la representación de fracción continua de √ 2 .
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35. Tres números enteros positivos forman un triple pitagórico primitivo si c ² = a ² +b ² y si el máximo común divisor de a, b, c es 1. En el ejemplo particular de Plimpton322, esto significa que 13500 ² +12709 ² = 18541 ² y que los tres números no tienen factores comunes. Sin embargo, algunos eruditos han cuestionado la interpretación pitagórica de esta tablilla; consulte Plimpton 322 para obtener más detalles. ${\displaystyle (a,b,c)}$
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Otras lecturas

Libros de consulta en sánscrito

• Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. vol. 1: La traducción: una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 172 páginas, ISBN 978-3-7643-7291-0.
• Keller, Agathe (2006), Exponiendo la semilla matemática. vol. 2: Los suplementos: una traducción de Bhaskara I sobre el capítulo matemático de Aryabhatiya , Basilea, Boston y Berlín: Birkhäuser Verlag, 206 páginas, ISBN 978-3-7643-7292-7.
• Sarma, KV , ed. (1976), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa con el comentario de Sūryadeva Yajvan , editado críticamente con Introducción y Apéndices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Sen, SN; Bolsa, AK, eds. (1983), Los Śulbasūtras de Baudhāyana, Āpastamba, Kātyāyana y Mānava , con texto, traducción al inglés y comentarios, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Shukla, KS, ed. (1976), Āryabhaṭīya de Āryabhaṭa con el comentario de Bhāskara I y Someśvara , editado críticamente con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.
• Shukla, KS, ed. (1988), Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa , editado críticamente con introducción, traducción al inglés, notas, comentarios e índices, en colaboración con KV Sarma , Nueva Delhi: Academia Nacional de Ciencias de la India.

enlaces externos

• Ciencias y matemáticas en la India
• Una descripción general de las matemáticas indias, MacTutor History of Mathematics Archive , Universidad de St Andrews , 2000.
• Matemáticos indios
• Índice de matemáticas de la India antigua, Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2004.
• Matemáticas indias: restablecer el equilibrio, proyectos de estudiantes en historia de las matemáticas. Ian Pearce. Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews, 2002.
• Matemáticas indias en In Our Time en la BBC
• InSIGHT 2009, un taller sobre ciencias tradicionales indias para escolares realizado por el departamento de Ciencias de la Computación de la Universidad Anna, Chennai, India.
• Matemáticas en la antigua India por R. Sridharan
• Métodos combinatorios en la antigua India.
• Matemáticas antes de S. Ramanujan