rodea y excircula

Círculos tangentes a los tres lados de un triángulo.

Circunferencia y excircunferencia de un triángulo.

  Lados extendidos del triángulo △ ABC

  Circunferencia ( incentro en I )

  Excírculos (excentros en J _A , J _B , J _C )

 Bisectrices de ángulos  internos

  Bisectrices del ángulo externo (que forman el triángulo excentral)

En geometría , la circunferencia inscrita de un triángulo es la circunferencia más grande que puede estar contenida en el triángulo ; toca (es tangente a) los tres lados. El centro de la circunferencia es el centro de un triángulo llamado incentro del triángulo . ^[1]

Una circunferencia excircunferencia o circunferencia escrita ^[2] del triángulo es una circunferencia situada fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno de ellos tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de la circunferencia, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices de los ángulos internos . ^{[3] [4]} El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice A , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se llama excentro relativo al vértice A , o excentro de A. ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . ^[5] pero no todos los polígonos lo hacen; los que lo hacen son polígonos tangenciales . Véase también rectas tangentes a circunferencias .

Circunferencia e incentro

Supongamos que tiene un círculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de y la longitud de . También sean , y los puntos de contacto donde el círculo toca a , y . ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$

En el centro

El incentro es el punto donde se encuentran las bisectrices del ángulo interno de . ${\displaystyle \angle ABC,\angle BCA,{\text{ and }}\angle BAC}$

La distancia del vértice al incentro es: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

Coordenadas trilineales

Las coordenadas trilineales de un punto del triángulo son la razón de todas las distancias a los lados del triángulo. Debido a que el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales para el incentro son ^[6]

$${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

Coordenadas baricéntricas

Las coordenadas baricéntricas de un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas para el incentro están dadas por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle \ a:b:c}$$

donde , y son las longitudes de los lados del triángulo, o equivalentemente (usando la ley de los senos ) por ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

donde , y son los ángulos en los tres vértices. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices usando las longitudes de los lados del triángulo con respecto al perímetro (es decir, usando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar la unidad) como pesos. Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente. Si los tres vértices están ubicados en , y , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes , y , entonces el incentro está en ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$ ${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$ ${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

Radio

El inradio de la circunferencia en un triángulo con lados de longitud , está dado por ^[7] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}},}$$

¿ Dónde está el semiperímetro? ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Los puntos de tangencia de la circunferencia dividen los lados en segmentos de longitudes y ^[8] ${\displaystyle s-a,}$ ${\displaystyle s-b,}$ ${\displaystyle s-c.}$

Véase fórmula de Herón .

Distancias a los vértices

Denotando el incentro de como , las distancias desde el incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación ^[9] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

Además, ^[10]

$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

donde y son el circunradio y el inradio del triángulo respectivamente. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$

Otras propiedades

A la colección de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo mediante la multiplicación de coordenadas de coordenadas trilineales; en este grupo, el incentro forma el elemento de identidad . ^[6]

Circunferencia y sus propiedades de radio.

Distancias entre el vértice y los puntos de contacto más cercanos

Las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo: ^[11]

$${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

Otras propiedades

Si las altitudes de los lados de las longitudes , y son , y , entonces el inradio es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir, ^[12] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h_{a}}$ ${\displaystyle h_{b}}$ ${\displaystyle h_{c}}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

El producto del radio circuncírculo y el radio circuncírculo de un triángulo con lados , y es ^[13] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

Algunas relaciones entre los lados, el radio circuncírculo y el radio circuncírculo son: ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

Cualquier línea que pase por un triángulo y que divida el área del triángulo y su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su circunferencia). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo determinado. ^[15]

Denotando el centro del círculo de as , tenemos ^[16] ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1}$$

y ^{[17] : 121, #84}

$${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2}.}$$

El radio del círculo no es mayor que un noveno de la suma de las altitudes. ^{[18] : 289}

La distancia al cuadrado del incentro al circuncentro está dada por ^{[19] : 232} ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle O}$

$${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

y la distancia desde el incentro al centro del círculo de nueve puntos es ^{[19] : 232} ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). ^{[19] : 233, Lema 1}

Relación con el área del triángulo.

El radio de la circunferencia está relacionado con el área del triángulo. ^[20] La relación entre el área del círculo y el área del triángulo es menor o igual a , y la igualdad se cumple solo para triángulos equiláteros . ^[21] ${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

Supongamos que tiene un círculo con radio y centro . Sea la longitud de , la longitud de y la longitud de . Ahora bien, la circunferencia es tangente a en algún punto y también lo es. Por tanto, el radio es una altitud de . Por lo tanto, tiene longitud y altura de base , y también tiene área . De manera similar, tiene área y tiene área . Como estos tres triángulos se descomponen , vemos que el área es: ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\overline {AC}}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$ ${\displaystyle T_{C}I}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle \triangle IAB}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$ ${\displaystyle \triangle IAC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$ ${\displaystyle \triangle IBC}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}$

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$

         ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

donde es el área de y es su semiperímetro . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

Para una fórmula alternativa, considere . Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a y el otro lado igual a . Lo mismo ocurre con . El triángulo grande se compone de seis de esos triángulos y el área total es: ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$ ${\displaystyle \triangle IB'A}$

$${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

Triángulo y punto de Gergonne.

  Triángulo △ ABC

  Circunferencia ( incentro en I )

  Triángulo de contacto △ T _A T _B T _C

  Líneas entre vértices opuestos de △ ABC y △ T _A T _B T _C (concurren en el punto Gergonne G _e )

El triángulo de Gergonne (de ) está definido por los tres puntos de contacto del círculo en los tres lados. El punto de contacto opuesto se denota , etc. ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T_{A}}$

Este triángulo de Gergonne , también se conoce como triángulo de contacto o triángulo de contacto de . Su área es ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

donde , y son el área, el radio del círculo y el semiperímetro del triángulo original , y son las longitudes de los lados del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . ^[22] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Las tres rectas , y se intersectan en un solo punto llamado punto de Gergonne , denotado como (o centro del triángulo _X7 ) . El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroide abierto perforado en su propio centro y puede ser cualquier punto del mismo. ^[23] ${\displaystyle AT_{A}}$ ${\displaystyle BT_{B}}$ ${\displaystyle CT_{C}}$ ${\displaystyle G_{e}}$

El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, incluida la de que es el punto simediano del triángulo de Gergonne. ^[24]

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo en contacto están dadas por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

Las coordenadas trilineales para el punto Gergonne están dadas por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

o, equivalentemente, por la Ley de los Senos ,

$${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

Excírculos y excentros

  Lados extendidos de △ ABC

  Circunferencia ( incentro en I )

  Excírculos (excentros en J _A , J _B , J _C )

 Bisectrices de ángulos  internos

  Bisectrices del ángulo externo (que forman el triángulo excentral)

Una circunferencia excircunferencia o circunferencia escrita ^[2] del triángulo es una circunferencia situada fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres excírculos distintos, cada uno de ellos tangente a uno de los lados del triángulo. ^[3]

El centro de una excircunferencia es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este excírculo se llama excentro relativo al vértice , o excentro de . ^[3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Coordenadas trilineales de excentros.

Mientras que el incentro de tiene coordenadas trilineales , los excentros tienen coordenadas trilineales ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$

$${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

exradios

Los radios de los excírculos se llaman exradios .

El exradio del excírculo opuesto (que se toca , centrado en ) es ^{[25] [26]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle J_{A}}$

$${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$

${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

Véase fórmula de Herón .

Derivación de la fórmula exradii

Fuente: ^[25]

Deje que el círculo exterior en el lado toque el lado extendido en , y sea el radio de este círculo exterior y su centro sea . Entonces es una altitud de , también lo es el área . Por un argumento similar, tiene área y tiene área . Por tanto el área del triángulo es ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle r_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}}$ ${\displaystyle J_{c}G}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$ ${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$ ${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$

Entonces, por simetría, denotando como el radio del círculo, ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$

Por la ley de los cosenos , tenemos

$${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

Combinando esto con la identidad , tenemos ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$

$${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

Pero , y así ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

que es la fórmula de Heron .

Combinando esto con , tenemos ${\displaystyle sr=\Delta }$

$${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

De manera similar, da ${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

Otras propiedades

De las fórmulas anteriores se puede ver que los círculos excírculos son siempre más grandes que el círculo circunstante y que el círculo excírculo más grande es el tangente al lado más largo y el círculo excírculo más pequeño es tangente al lado más corto. Además, al combinar estas fórmulas se obtiene: ^[27]

$${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

Otras propiedades excirculares

El casco circular de los excírculos es internamente tangente a cada uno de los excírculos y, por tanto, es un círculo de Apolonio . ^[28] El radio de este círculo de Apolonio es donde está el radio del círculo y es el semiperímetro del triángulo. ^[29] ${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle s}$

Las siguientes relaciones se mantienen entre los radios interior , circunradio , semiperímetro y excircular : ^[14 ] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle r_{a}}$ ${\displaystyle r_{b}}$ ${\displaystyle r_{c}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

El círculo que pasa por los centros de los tres excírculos tiene radio . ^[14] ${\displaystyle 2R}$

Si es el ortocentro de , entonces ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

Triángulo de Nagel y punto de Nagel

  Lados extendidos del triángulo △ ABC

  Excírculos de △ ABC (tangente en T _A . T _B , T _C )

  Triángulo de Nagel/Extouch △ T _A T _B T _C

  Divisores : líneas que conectan vértices opuestos de △ ABC y △ T _A T _B T _C (concurren en el punto N de Nagel )

El triángulo de Nagel o triángulo extouch de se denota por los vértices , y son los tres puntos donde los círculos extouch tocan la referencia y donde es opuesto a , etc. Esto también se conoce como triángulo extouch de . El círculo circunstante del extouch se llama círculo de Mandart . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle T_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$ ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

Los tres segmentos de recta , y se llaman divisores del triángulo; cada uno de ellos divide en dos el perímetro del triángulo, ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$ ${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$ ${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$

$${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

Los divisores se cruzan en un solo punto, el punto de Nagel del triángulo (o centro del triángulo X ₈ ). ${\displaystyle N_{a}}$

Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo extouch están dadas por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

Las coordenadas trilineales para el punto de Nagel están dadas por ^{[ cita necesaria ]}

$${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

o, equivalentemente, por la Ley de los Senos ,

$${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne. ^{[ cita necesaria ]}

Construcciones relacionadas

Círculo de nueve puntos y punto de Feuerbach

El círculo de nueve puntos es tangente al círculo interior y excírculo.

En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son: ^{[30] [31]}

• El punto medio de cada lado del triángulo.
• El pie de cada altitud.
• El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).

En 1822, Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es externamente tangente a los tres excírculos de ese triángulo e internamente tangente a su incírculo ; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach . Demostró que: ^[32]

... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... (Feuerbach 1822)

El centro del triángulo en el que se tocan la circunferencia interior y la circunferencia de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .

Triángulos incentral y excentral

Los puntos de intersección de las bisectrices interiores de con los segmentos , , y son los vértices del triángulo central . Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo central están dadas por ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle BC}$ ${\displaystyle CA}$ ${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los círculos excéntricos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices del ángulo externo del triángulo de referencia (ver figura en la parte superior de la página). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral están dadas por ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$

$${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

Ecuaciones para cuatro círculos.

Sea un punto variable en coordenadas trilineales y sea , , . Los cuatro círculos descritos anteriormente están dados de manera equivalente por cualquiera de las dos ecuaciones dadas: ^{[33] : 210–215} ${\displaystyle x:y:z}$ ${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$ ${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$ ${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• rodear:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$-excírculo:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$-excírculo:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$-excírculo:
  $${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

teorema de euler

El teorema de Euler establece que en un triángulo:

$${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

donde y son el circunradio y el inradio respectivamente, y es la distancia entre el circuncentro y el incentro. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle d}$

Para excírculos la ecuación es similar:

$${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

donde es el radio de uno de los círculos excírculos y es la distancia entre el circuncentro y el centro de ese círculo excírculo. ^{[34] [35] [36]} ${\displaystyle r_{\text{ex}}}$ ${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

Generalización a otros polígonos.

Algunos (pero no todos) cuadriláteros tienen un círculo. Estos se llaman cuadriláteros tangenciales . Entre sus muchas propiedades quizás la más importante sea que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama teorema de Pitot . ^[37]

De manera más general, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se llama polígono tangencial . ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• Circumgon  – Figura geométrica que circunscribe un círculo.
• Circuncírculo  – Círculo que pasa por los vértices de un triángulo.
• Cuadrilátero extangencial  : polígono convexo de 4 lados cuyas líneas laterales son todas tangentes a un círculo exterior.
• Teorema de Harcourt  : área de un triángulo desde sus lados y distancias de los vértices a cualquier línea tangente a su circunferencia
• Circuncónica e incónica  : sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados.
• Esfera inscrita  : esfera tangente a cada cara de un poliedro.
• Potencia de un punto  : distancia relativa de un punto a un círculo
• Inelipse de Steiner  : elipse tangente única a los 3 puntos medios de los lados de un triángulo determinado
• Cuadrilátero tangencial  : polígono cuyos cuatro lados tocan un círculo.
• cónica triangular
• Teorema de Trillium  : una afirmación sobre las propiedades de los círculos inscritos y circunscritos

Notas

1. Kay (1969, pág.140)
2. Altshiller-Court (1925, p.74)
3. Altshiller-Court (1925, pág. 73)
4. Kay (1969, pág.117)
5. Johnson 1929, pág. 182.
6. Enciclopedia de centros triangulares Archivado el 19 de abril de 2012 en Wayback Machine , consultado el 28 de octubre de 2014.
7. Kay (1969, pág.201)
8. Chu, Thomas, El Pentágono , primavera de 2005, pág. 45, problema 584.
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Referencias

• Altshiller-Court, Nathan (1925), Geometría universitaria: una introducción a la geometría moderna del triángulo y el círculo (2ª ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN  52013504
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• Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN  69012075
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enlaces externos

• Derivación de la fórmula para el radio del círculo de un triángulo
• Weisstein, Eric W. "Incírculo". MundoMatemático .

Interactivo

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