Centro del triángulo

Punto en un triángulo que puede verse como su centro según algunos criterios.

Cinco centros triangulares importantes.

  Triángulo de referencia △ ABC

  Bisectrices de ángulos y circunferencia (intersección/centrada en el incentro I )

  Medianas (se cruzan en el centroide G )

  Bisectrices perpendiculares y circunferencia circunstante (intersección/centrada en el circuncentro O )

  Altitud (intersección en el ortocentro H )

  Círculo de nueve puntos (centrado en el centro de nueve puntos N que, junto con H, G, O , se encuentra en la línea de Euler e )

En geometría , el centro de un triángulo o centro de triángulo es un punto en el plano del triángulo que está en algún sentido en el medio del triángulo. Por ejemplo, el centroide , circuncentro , incentro y ortocentro eran familiares para los antiguos griegos y pueden obtenerse mediante construcciones sencillas .

Cada uno de estos centros clásicos tiene la propiedad de ser invariante (más precisamente equivariante ) bajo transformaciones de similitud . En otras palabras, para cualquier triángulo y cualquier transformación de similitud (como rotación , reflexión , dilatación o traslación ), el centro del triángulo transformado es el mismo punto que el centro transformado del triángulo original. Esta invariancia es la propiedad definitoria del centro de un triángulo. Descarta otros puntos bien conocidos, como los puntos de Brocard , que no son invariantes bajo reflexión y, por lo tanto, no califican como centros de triángulos.

Para un triángulo equilátero , todos los centros del triángulo coinciden en su centroide. Sin embargo, los centros de los triángulos generalmente ocupan posiciones diferentes entre sí en todos los demás triángulos. Las definiciones y propiedades de miles de centros de triángulos se han recopilado en la Enciclopedia de centros de triángulos .

Historia

Aunque los antiguos griegos descubrieron los centros clásicos de un triángulo, no habían formulado ninguna definición de centro de triángulo. Después de los antiguos griegos, se descubrieron varios puntos especiales asociados con un triángulo, como el punto Fermat , el centro de nueve puntos , el punto Lemoine , el punto Gergonne y el punto Feuerbach .

Durante el resurgimiento del interés por la geometría de los triángulos en la década de 1980, se observó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base para una definición formal de centro de triángulo. ^{[1] [2]} Al 17 de junio de 2022 ^[actualizar], la Enciclopedia de centros triangulares de Clark Kimberling contiene una lista comentada de 50.730 centros triangulares. ^[3] Cada entrada en la Enciclopedia de centros de triángulos se indica con o dónde está el índice posicional de la entrada. Por ejemplo, el centroide de un triángulo es la segunda entrada y se denota por o . ${\displaystyle X(n)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X(2)}$ ${\displaystyle X_{2}}$

Definicion formal

Una función f con valor real de tres variables reales a, b, c puede tener las siguientes propiedades:

• Homogeneidad: para alguna constante n y para todo t > 0 . ${\displaystyle f(ta,tb,tc)=t^{n}f(a,b,c)}$
• Bisimetría en la segunda y tercera variable: ${\displaystyle f(a,b,c)=f(a,c,b).}$

Si una f distinta de cero tiene ambas propiedades, se llama función central de triángulo. Si f es una función de centro de triángulo y a, b, c son las longitudes de los lados de un triángulo de referencia, entonces el punto cuyas coordenadas trilineales son se llama centro de triángulo. ${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$

Esta definición garantiza que los centros de triángulos similares cumplan los criterios de invariancia especificados anteriormente. Por convención, sólo se cita la primera de las tres coordenadas trilineales del centro de un triángulo, ya que las otras dos se obtienen mediante permutación cíclica de a, b, c . Este proceso se conoce como ciclicidad . ^{[4] [5]}

Cada función de centro de triángulo corresponde a un centro de triángulo único. Esta correspondencia no es biyectiva . Diferentes funciones pueden definir el mismo centro de triángulo. Por ejemplo, las funciones y ambas corresponden al centroide. Dos funciones de centro de triángulo definen el mismo centro de triángulo si y solo si su relación es una función simétrica en a, b, c . ${\displaystyle f_{1}(a,b,c)={\tfrac {1}{a}}}$ ${\displaystyle f_{2}(a,b,c)=bc}$

Incluso si una función de centro de triángulo está bien definida en todas partes, no siempre se puede decir lo mismo de su centro de triángulo asociado. Por ejemplo, sea 0 si y son racionales y 1 en caso contrario. Luego, para cualquier triángulo con lados enteros, el centro del triángulo asociado se evalúa como 0:0:0, que no está definido. ${\displaystyle f(a,b,c)}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {a}{c}}}$

Dominio predeterminado

En algunos casos, estas funciones no están definidas en su totalidad. Por ejemplo, las trilineales de X ₃₆₅ , que es la entrada número 365 en la Enciclopedia de centros de triángulos , son por lo que a, b, c no pueden ser negativos. Además, para representar los lados de un triángulo deben satisfacer la desigualdad del triángulo . Entonces, en la práctica, el dominio de cada función está restringido a la región donde ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$ ${\displaystyle a^{1/2}:b^{1/2}:c^{1/2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

$${\displaystyle a\leq b+c,\quad b\leq c+a,\quad c\leq a+b.}$$

T

Otros dominios útiles

Hay varios casos en los que puede ser deseable restringir el análisis a un dominio más pequeño que T. Por ejemplo:

• Los centros X ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀ hacen referencia específica a triángulos agudos , es decir a esa región de T donde
  $${\displaystyle a^{2}\leq b^{2}+c^{2},\quad b^{2}\leq c^{2}+a^{2},\quad c^{2}\leq a^{2}+b^{2}.}$$
• Al diferenciar entre el punto de Fermat y X ₁₃ es importante el dominio de los triángulos con un ángulo superior a 2π/3; en otras palabras, triángulos para los cuales se cumple cualquiera de las siguientes condiciones:

$${\displaystyle a^{2}>b^{2}+bc+c^{2};\quad b^{2}>c^{2}+ca+a^{2};\quad c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}.}$$

• Un dominio de mucho valor práctico ya que es denso en T pero excluye todos los triángulos triviales (es decir, puntos) y los triángulos degenerados (es decir, líneas) es el conjunto de todos los triángulos escalenos . Se obtiene quitando los planos b = c , c = a , a = b de T .

Simetría de dominio

No todos los subconjuntos D ⊆ T son dominios viables. Para soportar la prueba de bisimetría, D debe ser simétrico con respecto a los planos b = c , c = a , a = b . Para soportar la ciclicidad también debe ser invariante bajo 2π/3 rotaciones alrededor de la línea a = b = c . El dominio más simple de todos es la recta ( t , t , t ) que corresponde al conjunto de todos los triángulos equiláteros .

Ejemplos

Circuncentro

El punto de concurrencia de las bisectrices perpendiculares de los lados del triángulo △ ABC es el circuncentro. Las coordenadas trilineales del circuncentro son

$${\displaystyle a(b^{2}+c^{2}-a^{2}):b(c^{2}+a^{2}-b^{2}):c(a^{2}+b^{2}-c^{2}).}$$

Se puede demostrar que f es homogénea: ${\displaystyle f\left(a,b,c\right)=a\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(ta,tb,tc)&=ta{\Bigl [}(tb)^{2}+(tc)^{2}-(ta)^{2}{\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}{\Bigl [}a(b^{2}+c^{2}-a^{2}){\Bigr ]}\\[2pt]&=t^{3}f(a,b,c)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,c,b)&=a(c^{2}+b^{2}-a^{2})\\[2pt]&=a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\\[2pt]&=f(a,b,c)\end{aligned}}}$$

f

1er centro isogónico

Sea △ A'BC el triángulo equilátero que tiene base BC y vértice A' en el lado negativo de BC y sean △ AB'C y △ ABC' triángulos equiláteros construidos de manera similar basados ​​en los otros dos lados del triángulo △ ABC . Entonces las rectas AA', BB', CC' son concurrentes y el punto de concurrencia es el 1º centro isogonal. Sus coordenadas trilineales son

${\displaystyle \csc \left(A+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(B+{\frac {\pi }{3}}\right):\csc \left(C+{\frac {\pi }{3}}\right).}$

Expresando estas coordenadas en términos de a, b, c , se puede verificar que efectivamente satisfacen las propiedades definitorias de las coordenadas del centro de un triángulo. Por tanto, el primer centro isogónico también es un centro triangular.

punto fermat

Dejar

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&\iff {\text{if }}A>2\pi /3\\[8pt]0&\quad \!\!\displaystyle {{{\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}} \atop {{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}}}&\iff \!\!\displaystyle {{{\text{if }}B>2\pi /3} \atop {{\text{ or }}C>2\pi /3}}\\[8pt]\csc(A+{\frac {\pi }{3}})&\quad {\text{otherwise }}&\iff A,B,C>2\pi /3\end{cases}}}$$

Entonces f es bisimétrica y homogénea, por lo que es una función central de triángulo. Además, el centro del triángulo correspondiente coincide con el vértice del ángulo obtuso siempre que cualquier ángulo del vértice excede 2π/3, y con el primer centro isogónico en caso contrario. Por tanto, este centro de triángulo no es otro que el punto de Fermat .

No ejemplos

Puntos brocados

Las coordenadas trilineales del primer punto de Brocard son:

$${\displaystyle {\frac {c}{b}}\ :\ {\frac {a}{c}}\ :\ {\frac {b}{a}}}$$

$${\displaystyle {\frac {b}{c}}\ :\ {\frac {c}{a}}\ :\ {\frac {a}{b}}}$$

El primer y segundo punto de Brocard son uno de los muchos pares de puntos bicéntricos, ^[6] pares de puntos definidos a partir de un triángulo con la propiedad de que el par (pero no cada punto individual) se conserva bajo las similitudes del triángulo. Varias operaciones binarias, como el punto medio y el producto trilineal, cuando se aplican a los dos puntos de Brocard, así como a otros pares bicéntricos, producen centros de triángulos.

Algunos centros triangulares conocidos

Centros de triángulos clásicos

Centros triangulares recientes

En la siguiente tabla de centros de triángulos más recientes, no se mencionan notaciones específicas para los distintos puntos. Además, para cada centro solo se especifica la primera coordenada trilineal f(a,b,c). Las otras coordenadas se pueden derivar fácilmente utilizando la propiedad de ciclicidad de las coordenadas trilineales.

Clases generales de centros triangulares.

centro kimberling

En honor a Clark Kimberling, quien creó la enciclopedia en línea de más de 32.000 centros triangulares, los centros triangulares enumerados en la enciclopedia se denominan colectivamente centros Kimberling . ^[8]

Centro del triángulo polinómico

Un centro de triángulo P se llama centro de triángulo polinómico si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar como polinomios en a, b, c .

Centro de triángulo regular

Un centro de triángulo P se llama punto de triángulo regular si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar como polinomios en △, a , b , c , donde △ es el área del triángulo.

Centro del triángulo mayor

Se dice que un centro de triángulo P es un centro de triángulo mayor si las coordenadas trilineales de P se pueden expresar en la forma donde es función del ángulo X únicamente y no depende de los otros ángulos ni de las longitudes de los lados. ^[9] ${\displaystyle f(A):f(B):f(C)}$ ${\displaystyle f(X)}$

Centro del triángulo trascendental

Un centro de triángulo P se llama centro de triángulo trascendental si P no tiene representación trilineal usando solo funciones algebraicas de a, b, c .

Misceláneas

Triángulos isósceles y equiláteros

Sea f una función central de triángulo. Si dos lados de un triángulo son iguales (digamos a = b ), entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b,c)&=f(b,a,c)&({\text{since }}a=b)\\&=f(b,c,a)&{\text{(by bisymmetry)}}\end{aligned}}}$$

eje de simetría

excentros

Dejar

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Se ve fácilmente que esto es una función del centro del triángulo y (siempre que el triángulo sea escaleno) el centro del triángulo correspondiente es el excentro opuesto al ángulo de vértice más grande. Los otros dos excentros pueden distinguirse por funciones similares. Sin embargo, como se indicó anteriormente, solo uno de los excentros de un triángulo isósceles y ninguno de los excentros de un triángulo equilátero puede ser un centro de triángulo.

Funciones biantisimétricas

Una función f es biantisimétrica si

$${\displaystyle f(a,b,c)=-f(a,c,b)\quad {\text{for all}}\quad a,b,c.}$$

$${\displaystyle (a,b,c)\to f(a,b,c)^{2}\,f(b,c,a)\,f(c,a,b)}$$

$${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b).}$$

Nuevos centros a partir de los antiguos.

Cualquier función f del centro de un triángulo se puede normalizar multiplicándola por una función simétrica de a, b, c de modo que n = 0 . Una función de centro de triángulo normalizada tiene el mismo centro de triángulo que la original, y también la propiedad más fuerte que

$${\displaystyle f(ta,tb,tc)=f(a,b,c)\quad {\text{for all}}\quad t>0,\ (a,b,c).}$$

álgebraf ${\displaystyle (abc)^{-1}(a+b+c)^{3}f.}$

Centros poco interesantes

Supongamos que a, b, c son variables reales y sean α, β, γ tres constantes reales cualesquiera. Dejar

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{if }}a<b{\text{ and }}a<c&(a{\text{ is least}}),\\[2pt]\gamma &\quad {\text{if }}a>b{\text{ and }}a>c&(a{\text{ is greatest}}),\\[2pt]\beta &\quad {\text{otherwise}}&(a{\text{ is in the middle}}).\end{cases}}}$$

Entonces f es una función de centro de triángulo y α  : β  : γ es el centro del triángulo correspondiente siempre que los lados del triángulo de referencia estén etiquetados de modo que a < b < c . Por tanto, cada punto es potencialmente un centro de triángulo. Sin embargo, la gran mayoría de los centros de triángulos son de poco interés, al igual que la mayoría de las funciones continuas son de poco interés.

Coordenadas baricéntricas

Si f es una función del centro del triángulo, entonces también lo es af y el centro del triángulo correspondiente es

$${\displaystyle a\,f(a,b,c):b\,f(b,c,a):c\,f(c,a,b).}$$

coordenadas baricéntricasf

Sistemas binarios

Hay otros pares de centros además del punto de Fermat y el primer centro isogónico. Otro sistema está formado por X ₃ y el incentro del triángulo tangencial. Considere la función del centro del triángulo dada por:

$${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos A&{\text{if }}\triangle {\text{ is acute}},\\[2pt]\cos A+\sec B\sec C&{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse}},\\[2pt]\cos A-\sec A&{\text{if either}}\measuredangle B{\text{ or }}\measuredangle C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$$

Para el centro del triángulo correspondiente existen cuatro posibilidades distintas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{if reference }}\triangle {\text{ is acute:}}\quad \cos A\ :\,\cos B\ :\,\cos C\\[6pt]&{\begin{array}{rcccc}{\text{if }}\measuredangle A{\text{ is obtuse:}}&\cos A+\sec B\sec C&:&\cos B-\sec B&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle B{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B+\sec C\sec A&:&\cos C-\sec C\\[4pt]{\text{if }}\measuredangle C{\text{ is obtuse:}}&\cos A-\sec A&:&\cos B-\sec B&:&\cos C+\sec A\sec B\end{array}}\end{aligned}}}$$

Los cálculos rutinarios muestran que en todos los casos estos trilineales representan el incentro del triángulo tangencial. Entonces este punto es un centro de triángulo que es compañero cercano del circuncentro.

Bisimetría e invariancia

Al reflejar un triángulo se invierte el orden de sus lados. En la imagen las coordenadas se refieren al triángulo ( c , b , a ) y (usando "|" como separador) la reflexión de un punto arbitrario es Si f es una función de centro de triángulo la reflexión de su centro de triángulo es la cual, por bisimetría, es lo mismo que Como este también es el centro del triángulo correspondiente a f en relación con el triángulo ( c , b , a ) , la bisimetría garantiza que todos los centros del triángulo sean invariantes bajo reflexión. Dado que las rotaciones y traslaciones pueden considerarse reflexiones dobles, también deben preservar los centros de los triángulos. Estas propiedades de invariancia justifican la definición. ${\displaystyle \gamma :\beta :\alpha }$ ${\displaystyle \gamma \ |\ \beta \ |\ \alpha .}$ ${\displaystyle f(c,a,b)\ |\ f(b,c,a)\ |\ f(a,b,c),}$ ${\displaystyle f(c,b,a)\ |\ f(b,a,c)\ |\ f(a,c,b).}$

Terminología alternativa

Algunos otros nombres para la dilatación son escalamiento uniforme , escalamiento isotrópico , homotecia y homotecia .

Geometrías no euclidianas y otras

El estudio de los centros de los triángulos tradicionalmente se ocupa de la geometría euclidiana , pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en la geometría no euclidiana . ^{[10] Los centros de los triángulos} esféricos se pueden definir mediante trigonometría esférica . ^[11] Los centros de triángulos que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica se pueden expresar mediante girotrigonometría . ^{[12] [13] [14]} En geometría no euclidiana, se debe descartar la suposición de que los ángulos interiores del triángulo suman 180 grados.

También se pueden definir centros de tetraedros o simples de dimensiones superiores , por analogía con los triángulos bidimensionales. ^[14]

Algunos centros se pueden extender a polígonos con más de tres lados. El centroide , por ejemplo, se puede encontrar para cualquier polígono. Se han realizado algunas investigaciones sobre los centros de polígonos con más de tres lados. ^{[15] [16]}

Ver también

• Línea central
• Enciclopedia de centros triangulares
• cónica triangular
• Centroide del triángulo
• triangulo central
• Geometría triangular moderna
• línea de euler

Notas

1. en realidad el primer centro isogónico, pero también el punto de Fermat siempre que A , B , C ≤ 2π/3

1. Kimberling, Clark . «Centros triangulares» . Consultado el 23 de mayo de 2009 . A diferencia de los cuadrados y los círculos, los triángulos tienen muchos centros. Los antiguos griegos encontraron cuatro: incentro, centroide, circuncentro y ortocentro. Un quinto centro, encontrado mucho más tarde, es la punta Fermat. A partir de entonces, se agregaron a la literatura puntos ahora llamados centro de nueve puntos, punto simediano, punto de Gergonne y punto de Feuerbach, por nombrar algunos. En la década de 1980, se observó que estos puntos especiales comparten algunas propiedades generales que ahora forman la base para una definición formal de centro de triángulo.
2. Kimberling, Clark (11 de abril de 2018) [1994]. "Puntos centrales y rectas centrales en el plano de un triángulo". Revista Matemáticas . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608. JSTOR  2690608.
3. Kimberling, Clark . "Esta es la PARTE 26: Centros X(50001) - X(52000)". Enciclopedia de centros triangulares . Consultado el 17 de junio de 2022 .
4. Weisstein, Eric W. "Centro Triángulo". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
5. Weisstein, Eric W. "Función central triangular". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 1 de julio de 2009 .
6. Pares de puntos bicéntricos, Enciclopedia de centros de triángulos, consultado el 2 de mayo de 2012
7. Oakley, Cletus O.; Baker, Justine C. (noviembre de 1978). "El teorema del trisector de Morley". El Mensual Matemático Estadounidense . 85 (9): 737–745. doi :10.1080/00029890.1978.11994688. ISSN  0002-9890.
8. Weisstein, Eric W. "Centro Kimberling". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
9. Weisstein, Eric W. "Centro del Triángulo Mayor". MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 25 de mayo de 2009 .
10. Russell, Robert A. (18 de abril de 2019). "Centros de triángulos no euclidianos". arXiv : 1608.08190 [matemáticas.MG].
11. Rob, Johnson. «Trigonometría esférica» (PDF) . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
12. Ungar, Abraham A. (2009). "Coordenadas baricéntricas hiperbólicas" (PDF) . La revista australiana de análisis y aplicaciones matemáticas . 6 (1): 1–35., artículo #18
13. Ungar, Abraham A. (2010). Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial. Dordrecht: Springer. ISBN 978-90-481-8637-2. OCLC  663096629.
14. Ungar, Abraham Albert (agosto de 2010). Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica. CIENTÍFICO MUNDIAL. doi :10.1142/7740. ISBN 978-981-4304-93-1.
15. Al-Sharif, Abdullah; Hajja, Mowaffaq; Krasopoulos, Panagiotis T. (noviembre de 2009). "Coincidencias de centros de cuadriláteros planos". Resultados en Matemáticas . 55 (3–4): 231–247. doi :10.1007/s00025-009-0417-6. ISSN  1422-6383. S2CID  122725235.
16. Prieto-Martínez, Luis Felipe; Sánchez-Cauce, Raquel (2021-04-02). "Generalización del concepto de centro de triángulo de Kimberling para otros polígonos". Resultados en Matemáticas . 76 (2): 81. arXiv : 2004.01677 . doi :10.1007/s00025-021-01388-4. ISSN  1420-9012. S2CID  214795185.

enlaces externos

• Manfred Evers, Sobre centros y rectas centrales de triángulos en el plano elíptico
• Manfred Evers, Sobre la geometría de un triángulo en el plano elíptico y en el hiperbólico extendido.
• Clark Kimberling , Centros Triángulos de la Universidad de Evansville
• Ed Pegg, Centros triangulares en 2D, 3D, esférico e hiperbólico de Wolfram Research .
• Paul Yiu, Un recorrido por la geometría de triángulos de Florida Atlantic University .