Espacio girovectorial

Espacio matemático utilizado para estudiar geometría hiperbólica.

Un espacio girovectorial es un concepto matemático propuesto por Abraham A. Ungar para estudiar la geometría hiperbólica en analogía con la forma en que se utilizan los espacios vectoriales en la geometría euclidiana . ^[1] Ungar introdujo el concepto de girovectores que tienen una suma basada en girogrupos en lugar de vectores que tienen una suma basada en grupos . Ungar desarrolló su concepto como una herramienta para la formulación de la relatividad especial como una alternativa al uso de transformaciones de Lorentz para representar composiciones de velocidades (también llamadas impulsos ; los "impulsos" son aspectos de velocidades relativas y no deben confundirse con " traducciones "). ). Esto se logra mediante la introducción de "operadores giroscópicos"; Se utilizan dos vectores de velocidad 3D para construir un operador, que actúa sobre otra velocidad 3D.

Nombre

Los girogrupos son estructuras similares a grupos débilmente asociativas. Ungar propuso el término girogrupo para lo que llamó girogrupo giroconmutativo, reservándose el término girogrupo para el caso no giroconmutativo, en analogía con grupos versus grupos abelianos . Los girogrupos son un tipo de bucle de Bol . Los girogrupos giroconmutativos son equivalentes a los bucles K ^[2] aunque se definen de manera diferente. También se utilizan los términos bucle de Bruck ^[3] y conjunto de símbolos diádicos ^{[4] .}

Matemáticas de espacios girovectoriales.

Girogrupos

Axiomas

Un girogrupo ( G , ) consta de un conjunto subyacente G y una operación binaria que satisface los siguientes axiomas: ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

1. En G hay al menos un elemento 0 llamado identidad izquierda con 0 a = a para todo a en G. ${\displaystyle \oplus }$
2. Para cada a en G hay un elemento a en G llamado inverso izquierdo de a con ( a ) a = 0. ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle \ominus }$ ${\displaystyle \oplus }$
3. Para cualquier a , b , c en G existe un elemento único gyr[ a , b ] c en G tal que la operación binaria obedece a la ley giroasociativa izquierda: a ( b c ) = ( a b ) gyr[ a , b ] C ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
4. El mapa gyr[ a , b ]: G → G dado por c ↦ gyr[ a , b ] c es un automorfismo del magma ( G , ) – es decir, gyr[ a , b ] es miembro de Aut( G , ) y el automorfismo gyr[ a , b ] de G se llama giroautomorfismo de G generado por a ,  b en G . La operación giro: G  ×  G  → Aut( G ,  ) se llama giro de G . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$
5. El giroautomorfismo gyr[ a , b ] tiene la propiedad del bucle izquierdo gyr[ a , b ] = gyr[ a b , b ] ${\displaystyle \oplus }$

El primer par de axiomas son como los axiomas de grupo . El último par presenta los axiomas del girador y el axioma del medio vincula los dos pares.

Dado que un girogrupo tiene inversas y una identidad, se califica como un cuasigrupo y un bucle .

Los girogrupos son una generalización de grupos . Cada grupo es un ejemplo de un girogrupo con gyr[ a , b ] definido como el mapa de identidad para todos a y b en G .

^{En [5]} se da un ejemplo de un girogrupo finito .

Identidades

Algunas identidades que se mantienen en cualquier girogrupo ( G , ) son: ${\displaystyle \oplus }$

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$(giro)
2. ${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$(asociatividad izquierda)
3. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )}$(asociatividad derecha)

Además, se puede probar la ley de inversión de giro, que es la motivación para la siguiente definición de giroconmutatividad:

1. ${\displaystyle \ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )}$(ley de inversión de giro)

Algunos teoremas adicionales satisfechos por el grupo de giro de cualquier girogrupo incluyen:

1. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I}$(giros de identidad)
2. ${\displaystyle \mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]}$(ley de inversión del giroautomorfismo)
3. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]}$(propiedad par de giro)
4. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]}$(propiedad de bucle derecho)
5. ${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]}$(propiedad de bucle izquierdo)

Más identidades dadas en la página 50 de ^[6] . Una consecuencia particularmente útil de las identidades anteriores es que los girogrupos satisfacen la propiedad de Bol izquierda

1. ${\displaystyle (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))}$

giroconmutatividad

Un girogrupo (G, ) es giroconmutativo si su operación binaria obedece a la ley giroconmutativa: a b = gyr[ a , b ]( b a ). Para la suma relativista de velocidades, esta fórmula que muestra el papel de la rotación relacionando a  +  b y b  +  a fue publicada en 1914 por Ludwik Silberstein . ^{[7] [8]} ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

Coadición

En cada girogrupo, se puede definir una segunda operación llamada coadición : a b = a gyr[ a , b ] b para todo a , b  ∈  G . La coadición es conmutativa si la suma del girogrupo es giroconmutativa. ${\displaystyle \boxplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \ominus }$

Modelo de disco/bola de Beltrami-Klein y suma de Einstein

Las velocidades relativistas pueden considerarse como puntos en el modelo de geometría hiperbólica de Beltrami-Klein y, por lo tanto, la suma de vectores en el modelo de Beltrami-Klein puede darse mediante la fórmula de suma de velocidades . Para que la fórmula se generalice a la suma de vectores en un espacio hiperbólico de dimensiones mayores que 3, la fórmula debe escribirse de una forma que evite el uso del producto cruzado en favor del producto escalar .

En el caso general, la velocidad de Einstein es la suma de dos velocidades y se da en forma independiente de las coordenadas como: ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} ={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left\{\mathbf {u} +{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}$

¿Dónde está el factor gamma dado por la ecuación ? ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }}$ ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Usando coordenadas esto se convierte en:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}}$

dónde . ${\displaystyle \gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}}$

La suma de velocidades de Einstein es conmutativa y asociativa sólo cuando y son paralelos . De hecho ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

y

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} }$

donde "gyr" es la abstracción matemática de la precesión de Thomas en un operador llamado giro de Thomas y dado por

${\displaystyle \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))}$

para todos w . La precesión de Thomas tiene una interpretación en geometría hiperbólica como el defecto del triángulo hiperbólico negativo.

Composición de la transformación de Lorentz.

Si la forma matricial de 3 × 3 de la rotación aplicada a 3 coordenadas viene dada por gyr[ u , v ], entonces la rotación matricial de 4 × 4 aplicada a 4 coordenadas viene dada por:

${\displaystyle \mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}}$. ^[9]

La composición de dos impulsos de Lorentz B( u ) y B( v ) de velocidades u y v viene dada por: ^{[9] [10]}

${\displaystyle B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )}$

Este hecho de que B( u v ) o B( v u ) se pueda usar dependiendo de si se escribe la rotación antes o después explica la paradoja de la composición de la velocidad . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

La composición de dos transformaciones de Lorentz L( u ,U) y L( v ,V) que incluyen rotaciones U y V viene dada por: ^[11]

${\displaystyle L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)}$

En lo anterior, un impulso se puede representar como una matriz de 4 × 4. La matriz de impulso B( v ) significa el impulso B que utiliza los componentes de v , es decir v ₁ , v ₂ , v ₃ en las entradas de la matriz, o más bien los componentes de v / c en la representación que se utiliza en la sección Transformación de Lorentz#Formas matriciales . Las entradas de la matriz dependen de los componentes de v de 3 velocidades , y eso es lo que significa la notación B( v ). Se podría argumentar que las entradas dependen de los componentes de 4 velocidades porque 3 de las entradas de 4 velocidades son iguales que las entradas de 3 velocidades, pero la utilidad de parametrizar el impulso por 3 velocidades es que el impulso resultante que se obtiene de la composición de dos impulsos utiliza los componentes de la composición de 3 velocidades u v en la matriz B de 4 × 4 ( u v ). Pero el impulso resultante también debe multiplicarse por una matriz de rotación porque la composición del impulso (es decir, la multiplicación de dos matrices de 4 × 4) no da como resultado un impulso puro sino un impulso y una rotación, es decir, una matriz de 4 × 4 que corresponde a la rotación Gyr[ u , v ] para obtener B( u )B( v ) = B( u v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v u ). ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \oplus }$

Espacios girovectoriales de Einstein

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio producto interno real y sea V _s ={ v  ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Einstein ( V _s ,  ,  ) es un girogrupo de Einstein ( V _s ,  ) con multiplicación escalar dada por r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V _s , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

La multiplicación escalar de Einstein no se distribuye sobre la suma de Einstein excepto cuando los girovectores son colineales (monodistributividad), pero tiene otras propiedades de los espacios vectoriales: Para cualquier entero positivo n y para todos los números reales r , r ₁ , r ₂ y v  ∈  V _s :

Modelo de disco/bola de Poincaré y adición de Möbius

La transformación de Möbius del disco unitario abierto en el plano complejo viene dada por la descomposición polar

${\displaystyle z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]} que se puede escribir como lo que define la adición de Möbius . ${\displaystyle e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}}$ ${\displaystyle {a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}}$

Para generalizar esto a dimensiones superiores, los números complejos se consideran vectores en el plano , y la suma de Möbius se reescribe en forma vectorial como: ${\displaystyle \mathbf {\mathrm {R} } ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}}$

Esto da la suma vectorial de puntos en el modelo de bola de Poincaré de geometría hiperbólica donde s=1 para el disco unitario complejo ahora se convierte en cualquier s>0.

Espacios girovectoriales de Möbius

Sea s cualquier constante positiva, sea (V,+,.) cualquier espacio producto interno real y sea V _s ={ v  ∈ V :| v |<s}. Un espacio girovectorial de Möbius ( V _s ,  ,  ) es un girogrupo de Möbius ( V _s ,  ) con multiplicación escalar dada por r v  =  s  tanh( r  tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V _s , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

La multiplicación escalar de Möbius coincide con la multiplicación escalar de Einstein (ver la sección anterior) y esto se debe a que la suma de Möbius y la suma de Einstein coinciden para vectores que son paralelos.

Modelo espacial de velocidad adecuado y suma de velocidad adecuada

Un modelo espacial de velocidades adecuado de geometría hiperbólica viene dado por velocidades adecuadas con suma de vectores dada por la fórmula de suma de velocidades adecuada: ^{[6] [12] [13]}

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u} }$

donde está el factor beta dado por . ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }}$ ${\displaystyle \beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Esta fórmula proporciona un modelo que utiliza un espacio completo en comparación con otros modelos de geometría hiperbólica que utilizan discos o semiplanos.

Un espacio girovector de velocidad adecuado es un espacio producto interno real V, con la suma de girogrupo de velocidad adecuada y con una multiplicación escalar definida por r v  =  s  sinh( r  sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | donde r es cualquier número real, v  ∈  V , v  ≠  0 y r 0  =  0 con la notación v r  =  r v . ${\displaystyle \oplus _{U}}$  ${\displaystyle \otimes }$  ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$   ${\displaystyle \otimes }$ 

Isomorfismos

Un isomorfismo espacial girovector preserva la suma de girogrupos y la multiplicación escalar y el producto interno.

Los tres espacios girovectoriales de Möbius, Einstein y Proper Velocity son isomórficos.

Si M, E y U son espacios girovectoriales de Möbius, Einstein y de velocidad adecuada respectivamente con elementos v _m , v _e y v _u, entonces los isomorfismos vienen dados por:

De esta tabla la relación entre y viene dada por las ecuaciones: ${\displaystyle \oplus _{E}}$ ${\displaystyle \oplus _{M}}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)}$

${\displaystyle \mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)}$

Esto está relacionado con la conexión entre las transformaciones de Möbius y las transformaciones de Lorentz .

girotrigonometria

La girotrigonometría es el uso de giroconceptos para estudiar triángulos hiperbólicos .

La trigonometría hiperbólica, como se estudia habitualmente, utiliza las funciones hiperbólicas cosh, sinh, etc., y esto contrasta con la trigonometría esférica que utiliza las funciones trigonométricas euclidianas cos, sin, pero con identidades de triángulos esféricos en lugar de identidades de triángulos planos ordinarios . La girotrigonometría adopta el enfoque de utilizar funciones trigonométricas ordinarias pero junto con identidades de girotriángulo.

Centros de triángulos

El estudio de los centros de los triángulos tradicionalmente se centra en la geometría euclidiana, pero los centros de los triángulos también se pueden estudiar en la geometría hiperbólica. Usando girotrigonometría, se pueden calcular expresiones para coordenadas baricéntricas trigonométricas que tienen la misma forma tanto para la geometría euclidiana como para la hiperbólica. Para que las expresiones coincidan, las expresiones no deben encapsular la especificación de que la suma del ángulo es de 180 grados. ^{[14] [15] [16]}

Suma de giroparalelogramo

Usando girotrigonometría, se puede encontrar una suma de girovector que opera de acuerdo con la ley del giroparalelogramo. Esta es la adición a la operación del grupo giroscópico. La suma de giroparalelogramos es conmutativa.

La ley del giroparalelogramo es similar a la ley del paralelogramo en que un giroparalelogramo es un cuadrilátero hiperbólico cuyas dos girodiagonales se cruzan en sus puntos medio giro, así como un paralelogramo es un cuadrilátero euclidiano cuyas dos diagonales se cruzan en sus puntos medios. ^[17]

Vectores de Bloch

Los vectores de Bloch que pertenecen a la bola unitaria abierta del espacio tridimensional euclidiano se pueden estudiar con la suma de Einstein ^[18] o la suma de Möbius. ^[6]

Reseñas de libros

Una reseña de uno de los libros anteriores sobre girovectores ^[19] dice lo siguiente:

"A lo largo de los años, ha habido un puñado de intentos de promover el estilo no euclidiano para su uso en la resolución de problemas en relatividad y electrodinámica, cuyo fracaso en atraer seguidores sustanciales, agravado por la ausencia de resultados positivos, debe hacernos reflexionar. Para cualquiera que estuviera considerando una empresa similar, hasta hace poco nadie estaba en condiciones de ofrecer una mejora con respecto a las herramientas disponibles desde 1912. En su nuevo libro, Ungar proporciona el elemento crucial que falta en la panoplia del estilo no euclidiano: un elegante. formalismo algebraico no asociativo que explota plenamente la estructura de la ley de composición de velocidades de Einstein". ^[20]

notas y referencias

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2. Hubert Kiechle (2002), "Teoría de los bucles K", publicado por Springer, ISBN 3-540-43262-0 , ISBN 978-3-540-43262-3  
3. Larissa Sbitneva (2001), Geometría no asociativa de la relatividad especial, Revista internacional de física teórica, Springer, Vol.40, No.1/enero de 2001 doi :10.1023/A:1003764217705
4. J Lawson Y Lim (2004), Medios sobre conjuntos de simetría diádica y descomposiciones polares, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, Springer, Vol.74, No.1 / diciembre de 2004 doi :10.1007/BF02941530
5. Ungar, AA (2000). "Trigonometría hiperbólica en el modelo de velocidad relativista de geometría hiperbólica de Einstein". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 40 (2–3): 313–332 [317]. doi :10.1016/S0898-1221(00)00163-2.
6. Geometría hiperbólica analítica y teoría especial de la relatividad de Albert Einstein, Abraham A. Ungar, World Scientific, 2008, ISBN 978-981-277-229-9 
7. Ludwik Silberstein, La teoría de la relatividad, Macmillan, 1914
8. Página 214, Capítulo 5, Matrices simplécticas: sistemas de primer orden y relatividad especial, Mark Kauderer, World Scientific, 1994, ISBN 978-981-02-1984-0 
9. Ungar, A. A: La paradoja relativista de la composición de la velocidad y la rotación de Thomas. Encontró. Física. 19, 1385–1396 (1989) doi :10.1007/BF00732759
10. Ungar, AA (2000). "El principio relativista de reciprocidad de velocidad compuesta". Fundamentos de la Física . 30 (2). Saltador: 331–342. CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi :10.1023/A:1003653302643. S2CID  118634052. 
11. ecuación. (55), Rotación de Thomas y parametrización del grupo de transformación de Lorentz, AA Ungar – Foundations of Physics Letters, 1988
12. Precesión de Thomas: sus axiomas de girogrupo subyacentes y su uso en geometría hiperbólica y física relativista, Abraham A. Ungar, Fundamentos de la física, vol. 27, nº 6, 1997 doi :10.1007/BF02550347
13. Ungar, AA (2006), "El grupo relativista de transformación de velocidad propia" Archivado el 25 de octubre de 2017 en Wayback Machine , Progress in Electromagnetics Research , PIER 60 , págs. 85–94, ecuación (12)
14. Coordenadas baricéntricas hiperbólicas, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, AJMAA, volumen 6, número 1, artículo 18, págs. 1 a 35, 2009
15. Centros de triángulos hiperbólicos: el enfoque relativista especial, Abraham Ungar, Springer, 2010
16. Cálculo baricéntrico en geometría euclidiana e hiperbólica: una introducción comparada Archivado el 19 de mayo de 2012 en Wayback Machine , Abraham Ungar, World Scientific, 2010
17. Abraham A. Ungar (2009), "Un enfoque espacial girovectorial de la geometría hiperbólica", Morgan & Claypool, ISBN 1-59829-822-4 , ISBN 978-1-59829-822-2  
18. Observación geométrica de la fidelidad de Bures entre dos estados de un qubit, Jing-Ling Chen, Libin Fu, Abraham A. Ungar, Xian-Geng Zhao, Physical Review A, vol. 65, número 2
19. Abraham A. Ungar (2002), "Más allá de la ley de la suma de Einstein y su precesión giroscópica de Thomas: la teoría de los girogrupos y los espacios girovectores", Kluwer, ISBN 1-4020-0353-6 , ISBN 978-1-4020-0353- 0  
20. Scott Walter, Fundamentos de la física 32:327–330 (2002). Una reseña de un libro Archivado el 16 de mayo de 2011 en Wayback Machine ,

• Domenico Giulini, Estructuras algebraicas y geométricas de la relatividad especial, capítulo de "La relatividad especial: ¿sobrevivirá los próximos 100 años?", editado por Claus Lämmerzahl, Jürgen Ehlers, Springer, 2006.

Otras lecturas

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• TM Rassias (2000). Análisis y aplicaciones matemáticas. Colección de artículos en Matemáticas. Prensa hadrónica. págs.307, 326, 336. ISBN 157-485-045-8.
• Maks A. Akivis y Vladislav V. Goldberg (2006), Álgebras locales de un cuasigrupo diferencial, Boletín de la AMS, volumen 43, número 2
• Oğuzhan Demirel, Emine Soytürk (2008), El teorema de Carnot hiperbólico en el modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica, Novi Sad J. Math. vol. 38, núm. 2, 2008, 33–39
• M Ferreira (2008), Transformadas wavelet continuas esféricas que surgen de secciones del grupo de Lorentz, Análisis armónico computacional y aplicado, Elsevier arXiv :0706.1956
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enlaces externos

• La relatividad especial de Einstein: el punto de vista geométrico hiperbólico
• Ungar, Abraham A. (2001). "Trigonometría hiperbólica y su aplicación en el modelo de geometría hiperbólica de bola de Poincaré". págs. 6-19. CiteSeerX  10.1.1.17.6107 .