Cuasigrupo

En matemáticas , especialmente en álgebra abstracta , un cuasigrupo es una estructura algebraica que se asemeja a un grupo en el sentido de que la " división " siempre es posible. Los cuasigrupos se diferencian de los grupos principalmente en que las propiedades de los elementos asociativos y de identidad son opcionales.

Un cuasigrupo con un elemento identidad se llama bucle .

Definiciones

Hay al menos dos definiciones formales estructuralmente equivalentes de cuasigrupo. Uno define un cuasigrupo como un conjunto con una operación binaria , y el otro, del álgebra universal , define un cuasigrupo como si tuviera tres operaciones primitivas. Sin embargo, la imagen homomórfica de un cuasigrupo definido con una única operación binaria no tiene por qué ser un cuasigrupo. ^[1] Comenzamos con la primera definición.

Álgebra

Un cuasigrupo ( Q , ∗) es un conjunto Q no vacío con una operación binaria ∗ (es decir, un magma , que indica que un cuasigrupo tiene que satisfacer la propiedad de cierre), que obedece a la propiedad del cuadrado latino . Esto establece que, para cada a y b en Q , existen elementos únicos x e y en Q tales que ambos

un ∗ x = b

y ∗ a = b

sostener. (En otras palabras: cada elemento del conjunto aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna de la tabla de multiplicar del cuasigrupo, o tabla de Cayley . Esta propiedad garantiza que la tabla de Cayley de un cuasigrupo finito y, en particular, de un grupo finito, es un cuadrado latino .) El requisito de que xey sean únicos puede reemplazarse por el requisito de que el magma sea cancelativo . ^[2]^[un]

Las soluciones únicas de estas ecuaciones se escriben x = a \ b y y = b / a . Las operaciones '\' y '/' se denominan, respectivamente, división izquierda y división derecha . Con respecto a la tabla de Cayley, la primera ecuación (división izquierda) significa que la entrada b en la fila a está en la columna x , mientras que la segunda ecuación (división derecha) significa que la entrada b en la columna a está en la fila y .

El conjunto vacío equipado con la operación binaria vacía satisface esta definición de cuasigrupo. Algunos autores aceptan el cuasigrupo vacío pero otros lo excluyen explícitamente. ^[3]^[4]

álgebra universal

Dada alguna estructura algebraica , una identidad es una ecuación en la que todas las variables están tácitamente cuantificadas universalmente , y en la que todas las operaciones se encuentran entre las operaciones primitivas propias de la estructura. Las estructuras algebraicas que satisfacen axiomas que están dados únicamente por identidades se denominan variedad . Muchos resultados estándar en álgebra universal son válidos sólo para variedades. Los cuasigrupos forman una variedad si se toma como primitiva la división izquierda y derecha.

Un cuasigrupo derecho ( Q , ∗, /) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface ambas identidades:

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / x .

Un cuasigrupo izquierdo ( Q , ∗, \) es un álgebra de tipo (2, 2) que satisface ambas identidades:

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ).

Un cuasigrupo ( Q , ∗, \, /) es un álgebra de tipo (2, 2, 2) (es decir, equipado con tres operaciones binarias) que satisface las identidades: ^[b]

y = ( y / x ) ∗ x

y = ( y ∗ x ) / x

y = x ∗ ( x \ y )

y = x \ ( x ∗ y ).

En otras palabras: la multiplicación y división en cualquier orden, una tras otra, del mismo lado por el mismo elemento, no tienen ningún efecto neto.

Por lo tanto, si ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la definición de la sección anterior, entonces ( Q , ∗, \, /) es el mismo cuasigrupo en el sentido del álgebra universal. Y viceversa: si ( Q , ∗, \, /) es un cuasigrupo según el sentido del álgebra universal, entonces ( Q , ∗) es un cuasigrupo según la primera definición.

Bucles

Un bucle es un cuasigrupo con un elemento de identidad ; es decir, un elemento, e , tal que

x ∗ e = x y e ∗ x = x para todo x en Q .

De ello se deduce que el elemento identidad, e , es único, y que cada elemento de Q tiene inversas izquierda y derecha únicas (que no tienen por qué ser iguales).

Un cuasigrupo con un elemento idempotente se llama pique ("cuasigrupo idempotente puntiagudo"); Esta es una noción más débil que un bucle, pero común de todos modos porque, por ejemplo, dado un grupo abeliano , ( A , +) , tomando su operación de resta como una multiplicación de cuasigrupos se obtiene un pique ( A , −) con la identidad del grupo (cero) convertida en un "idempotente puntiagudo". (Es decir, hay una isotopía principal ( x , y , z ) ↦ ( x , − y , z ) .)

Un bucle que es asociativo es un grupo. Un grupo puede tener un isótopo de piqué estrictamente no asociativo, pero no puede tener un isótopo de bucle estrictamente no asociativo.

Hay propiedades de asociatividad más débiles a las que se les han dado nombres especiales.

Por ejemplo, un bucle de Bol es un bucle que satisface:

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = ( x ∗ ( y ∗ x )) ∗ z para cada x , y y z en Q (un bucle de Bol izquierdo ),

si no

(( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x = z ∗ (( x ∗ y ) ∗ x ) para cada x , y y z en Q (un bucle de Bol derecho ).

Un bucle que es a la vez un bucle de Bol izquierdo y derecho es un bucle de Moufang . Esto es equivalente a cualquiera de las siguientes identidades únicas de Moufang que se mantienen para todos x , y , z :

x ∗ ( y ∗ ( x ∗ z )) = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ z ,

z ∗ ( x ∗ ( y ∗ x )) = (( z ∗ x ) ∗ y ) ∗ x ,

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = x ∗ (( y ∗ z ) ∗ x ), o

( x ∗ y ) ∗ ( z ∗ x ) = ( x ∗ ( y ∗ z )) ∗ x .

Simetrías

(Smith 2007) nombra las siguientes propiedades y subclases importantes:

Semisimetría

Un cuasigrupo es semisimétrico si se cumple alguna de las siguientes identidades equivalentes: ^[c]

x ∗ y = y / x

y ∗ x = x \ y

x = ( y ∗ x ) ∗ y

x = y ∗ ( x ∗ y ).

Aunque esta clase puede parecer especial, cada cuasigrupo Q induce un cuasigrupo semisimétrico Q Δ en el cubo de producto directo Q ³ mediante la siguiente operación:

( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) ⋅ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) = ( y ₃ / x ₂ , y ₁ \ x ₃ , x ₁ ∗ y ₂ ) = ( x ₂ // y ₃ , x ₃ \\ y ₁ , x ₁ ∗ y ₂ ),

donde "//" y "\\" son las operaciones de división conjugadas dadas por y // x = x / y y y \\ x = x \ y .

Trialidad

Un cuasigrupo puede exhibir una prueba semisimétrica . ^[7]

simetría total

Una clase más estrecha es un cuasigrupo totalmente simétrico (a veces abreviado TS-cuasigrupo ) en el que todos los conjugados coinciden como una operación: x ∗ y = x / y = x \ y . Otra forma de definir (la misma noción de) cuasigrupo totalmente simétrico es como un cuasigrupo semisimétrico que es conmutativo, es decir, x ∗ y = y ∗ x .

Los cuasigrupos simétricos totales idempotentes son precisamente (es decir, en una biyección con) triples de Steiner , por lo que dicho cuasigrupo también se denomina cuasigrupo de Steiner y, a veces, este último incluso se abrevia como squag . El término balandro se refiere a un análogo de bucles for, es decir, bucles totalmente simétricos que satisfacen x ∗ x = 1 en lugar de x ∗ x = x . Sin idempotencia, los cuasigrupos simétricos totales corresponden a la noción geométrica de triple de Steiner extendida, también llamada Curva Cúbica Elíptica Generalizada (GECC).

Antisimetría total

Un cuasigrupo ( Q , ∗ ) se llama débilmente totalmente antisimétrico si para todo c , x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación. ^[8]

( c ∗ x ) ∗ y = ( c ∗ y ) ∗ x implica que x = y .

Un cuasigrupo ( Q , ∗ ) se llama totalmente antisimétrico si, además, para todo x , y ∈ Q , se cumple la siguiente implicación: ^[8]

x ∗ y = y ∗ x implica que x = y .

Esta propiedad es necesaria, por ejemplo, en el algoritmo Damm .

Ejemplos

Cada grupo es un bucle, porque a ∗ x = b si y solo si x = a ⁻¹ ∗ b , y y ∗ a = b si y solo si y = b ∗ a ⁻¹ .
Los números enteros Z (o los racionales Q o los reales R ) con resta (-) forman un cuasigrupo. Estos cuasigrupos no son bucles porque no hay ningún elemento de identidad (0 es una identidad derecha porque a − 0 = a , pero no una identidad izquierda porque, en general, 0 − a ≠ a ).
Los racionales distintos de cero Q ^× (o los reales distintos de cero R ^× ) con división (÷) forman un cuasigrupo.
Cualquier espacio vectorial sobre un campo de característica no igual a 2 forma un cuasigrupo conmutativo idempotente bajo la operación x ∗ y = ( x + y ) / 2 .
Cada sistema triple de Steiner define un cuasigrupo conmutativo idempotente : a ∗ b es el tercer elemento del triple que contiene a y b . Estos cuasigrupos también satisfacen ( x ∗ y ) ∗ y = x para todos los xey en el cuasigrupo. Estos cuasigrupos se conocen como cuasigrupos de Steiner . ^[9]
El conjunto {±1, ±i, ±j, ±k} donde ii = jj = kk = +1 y con todos los demás productos como en el grupo de cuaterniones forma un bucle no asociativo de orden 8. Ver cuaterniones hiperbólicos para su aplicación. (Los cuaterniones hiperbólicos en sí mismos no forman un bucle o cuasigrupo).
Los octoniones distintos de cero forman un bucle no asociativo durante la multiplicación. Los octoniones son un tipo especial de bucle conocido como bucle Moufang .
Un cuasigrupo asociativo es vacío o es un grupo, ya que si hay al menos un elemento, la invertibilidad de la operación binaria del cuasigrupo combinada con la asociatividad implica la existencia de un elemento identidad, que luego implica la existencia de elementos inversos, satisfaciendo así todos tres requisitos de un grupo.
La siguiente construcción se debe a Hans Zassenhaus . En el conjunto subyacente del espacio vectorial de cuatro dimensiones F ^{4 sobre el}campo de Galois de 3 elementos F = Z /3 Z defina
( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ∗ ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) + ( y ₁ , y ₂ , y ₃ , y ₄ ) + (0, 0, 0, ( x ₃ − y ₃ )( x ₁y ₂ − x ₂y ₁ )).

Entonces, ( F ⁴ , ∗) es un bucle de Moufang conmutativo que no es un grupo. ^[10]

De manera más general, los elementos distintos de cero de cualquier álgebra de división forman un cuasigrupo con la operación de multiplicación en el álgebra.

Propiedades

En el resto del artículo denotaremos la multiplicación de cuasigrupos simplemente por yuxtaposición .

Los cuasigrupos tienen la propiedad de cancelación : si ab = ac , entonces b = c . Esto se desprende de la unicidad de la división izquierda de ab o ac por a . De manera similar, si ba = ca , entonces b = c .

La propiedad del cuadrado latino de los cuasigrupos implica que, dadas dos de las tres variables en xy = z , la tercera variable está determinada de forma única.

Operadores de multiplicación

La definición de un cuasigrupo puede tratarse como condiciones en los operadores de multiplicación izquierdo y derecho L _x , R _x : Q → Q , definidos por

{\begin{aligned}L_{x}(y)&=xy\\R_{x}(y)&=yx\\\end{aligned}}

La definición dice que ambas aplicaciones son biyecciones de Q a sí mismo. Un magma Q es un cuasigrupo precisamente cuando todos estos operadores, para cada x en Q , son biyectivos. Las asignaciones inversas son división izquierda y derecha, es decir,

{\begin{aligned}L_{x}^{-1}(y)&=x\backslash y\\R_{x}^{-1}(y)&=y/x\end{aligned}}

En esta notación, las identidades entre las operaciones de multiplicación y división del cuasigrupo (indicadas en la sección sobre álgebra universal) son

{\begin{aligned}L_{x}L_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x(x\backslash y)&=y\\L_{x}^{-1}L_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad x\backslash (xy)&=y\\R_{x}R_{x}^{-1}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (y/x)x&=y\\R_{x}^{-1}R_{x}&=\mathrm {id} \qquad &{\text{corresponding to}}\qquad (yx)/x&=y\end{aligned}}

donde $id$ denota el mapeo de identidad en Q .

cuadrados latinos

La tabla de multiplicar de un cuasigrupo finito es un cuadrado latino : una tabla de n × n llena de n símbolos diferentes de tal manera que cada símbolo aparece exactamente una vez en cada fila y exactamente una vez en cada columna.

Por el contrario, cada cuadrado latino se puede tomar como la tabla de multiplicar de un cuasigrupo de muchas maneras: la fila del borde (que contiene los encabezados de las columnas) y la columna del borde (que contiene los encabezados de las filas) pueden ser cada una de ellas cualquier permutación de los elementos. Véase pequeños cuadrados latinos y cuasigrupos .

Cuasigrupos infinitos

Para un cuasigrupo Q contablemente infinito , es posible imaginar una matriz infinita en la que cada fila y cada columna corresponde a algún elemento q de Q , y donde el elemento a ∗ b está en la fila correspondiente a a y la columna que responde a b . También en esta situación, la propiedad del cuadrado latino dice que cada fila y cada columna de la matriz infinita contendrá todos los valores posibles precisamente una vez.

Para un cuasigrupo incontablemente infinito , como el grupo de números reales distintos de cero bajo multiplicación, la propiedad del cuadrado latino aún se mantiene, aunque el nombre es algo insatisfactorio, ya que no es posible producir el conjunto de combinaciones a las que se aplica la idea anterior de se extiende una matriz infinita ya que no todos los números reales se pueden escribir en una secuencia . (Sin embargo, esto es algo engañoso, ya que los reales se pueden escribir en una secuencia de longitud , asumiendo el teorema del buen orden ). ${\mathfrak {c}}$

Propiedades inversas

La operación binaria de un cuasigrupo es invertible en el sentido de que ambos y , los operadores de multiplicación izquierdo y derecho, son biyectivos y, por tanto, invertibles . $L_{x}$ $R_{x}$

Cada elemento del bucle tiene una inversa izquierda y derecha única dada por

x^{\lambda }=e/x\qquad x^{\lambda }x=e

x^{\rho }=x\backslash e\qquad xx^{\rho }=e

Se dice que un bucle tiene inversas ( de dos lados ) si para todo x . En este caso, el elemento inverso suele denotarse por . $x^{\lambda }=x^{\rho }$ $x^{-1}$

Hay algunas nociones más sólidas sobre inversas en bucles que suelen ser útiles:

Un bucle tiene la propiedad inversa izquierda si es para todos y . De manera equivalente, o . $x^{\lambda }(xy)=y$ $x$ $y$ $L_{x}^{-1}=L_{x^{\lambda }}$ $x\backslash y=x^{\lambda }y$
Un bucle tiene la propiedad inversa derecha si es para todos y . De manera equivalente, o . $(yx)x^{\rho }=y$ $x$ $y$ $R_{x}^{-1}=R_{x^{\rho }}$ $y/x=yx^{\rho }$
Un bucle tiene la propiedad inversa antiautomórfica si o, de manera equivalente, si . $(xy)^{\lambda }=y^{\lambda }x^{\lambda }$ $(xy)^{\rho }=y^{\rho }x^{\rho }$
Un bucle tiene la propiedad inversa débil cuando si y sólo si . Esto puede expresarse en términos de inversos vía o de manera equivalente . $(xy)z=e$ $x(yz)=e$ $(xy)^{\lambda }x=y^{\lambda }$ $x(yx)^{\rho }=y^{\rho }$

Un bucle tiene la propiedad inversa si tiene las propiedades inversas izquierda y derecha. Los bucles de propiedades inversas también tienen propiedades inversas antiautomórficas y débiles. De hecho, cualquier bucle que satisfaga dos de las cuatro identidades anteriores tiene la propiedad inversa y, por tanto, satisface las cuatro.

Cualquier bucle que satisfaga las propiedades inversas izquierda, derecha o antiautomórfica tiene automáticamente inversas de dos lados.

Morfismos

Un cuasigrupo o homomorfismo de bucle es un mapa f : Q → P entre dos cuasigrupos tal que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) . Los homomorfismos de cuasigrupos necesariamente preservan la división izquierda y derecha, así como los elementos de identidad (si existen).

Homotopía e isotopía

Sean Q y P cuasigrupos. Una homotopía de cuasigrupo de Q a P es una tripleta ( α , β , γ ) de aplicaciones de Q a P tal que

\alpha (x)\beta (y)=\gamma (xy)\,

para todo x , y en Q . Un homomorfismo de cuasigrupo es simplemente una homotopía para la cual los tres mapas son iguales.

Una isotopía es una homotopía para la cual cada uno de los tres mapas ( α , β , γ ) es una biyección . Dos cuasigrupos son isotópicos si existe una isotopía entre ellos. En términos de cuadrados latinos, una isotopía ( α , β , γ ) viene dada por una permutación de filas α , una permutación de columnas β y una permutación en el conjunto de elementos subyacente γ .

Una autotopía es una isotopía de un cuasigrupo consigo mismo. El conjunto de todas las autotopías de un cuasigrupo forma un grupo con el grupo de automorfismos como subgrupo.

Todo cuasigrupo es isotópico de un bucle. Si un bucle es isotópico de un grupo, entonces es isomorfo a ese grupo y, por tanto, es en sí mismo un grupo. Sin embargo, un cuasigrupo que es isotópico de un grupo no tiene por qué ser un grupo. Por ejemplo, el cuasigrupo en R con multiplicación dada por ( x , y ) ↦ ( x + y )/2 es isotópico del grupo aditivo ( R , + ) , pero no es en sí mismo un grupo ya que no tiene elemento de identidad. Todo cuasigrupo medial es isotópico de un grupo abeliano según el teorema de Bruck-Toyoda .

Conjugación (parastrofe)

La división izquierda y derecha son ejemplos de cómo formar un cuasigrupo permutando las variables en la ecuación definitoria. A partir de la operación original ∗ (es decir, x ∗ y = z ) podemos formar cinco operaciones nuevas: x o y := y ∗ x (la operación opuesta ), / y \, y sus opuestos. Eso hace un total de seis operaciones de cuasigrupos, que se denominan conjugados o parástrofes de ∗. Se dice que dos de estas operaciones son "conjugadas" o "parastróficas" entre sí (y entre sí).

Isostrofa (paratopía)

Si el conjunto Q tiene dos operaciones cuasigrupales, ∗ y ·, y una de ellas es isotópica de un conjugado de la otra, se dice que las operaciones son isostróficas entre sí. También hay muchos otros nombres para esta relación de "isostrofa", por ejemplo, paratopía .

Generalizaciones

Cuasigrupos poliádicos o multiarios

Un cuasigrupo n - ario es un conjunto con una operación n -aria , ( Q , f ) con f : Q ⁿ → Q , tal que la ecuación f ( x ₁ ,..., x _n ) = y tiene una solución única para cualquier variable si todas las demás n variables se especifican arbitrariamente. Poliádico o multiario significa n -ario para algún entero no negativo n .

Un cuasigrupo 0-ario o nular es simplemente un elemento constante de Q. Un cuasigrupo 1-ario o unario es una biyección de Q a sí mismo. Un cuasigrupo binario , o 2-ario, es un cuasigrupo ordinario.

Un ejemplo de un cuasigrupo multiario es una operación de grupo iterada, y = x ₁ · x ₂ · ··· · x _n ; no es necesario utilizar paréntesis para especificar el orden de las operaciones porque el grupo es asociativo. También se puede formar un cuasigrupo multiario llevando a cabo cualquier secuencia de operaciones de grupo o cuasigrupo iguales o diferentes, si se especifica el orden de las operaciones.

Existen cuasigrupos multiarios que no pueden representarse de ninguna de estas formas. Un cuasigrupo n -ario es irreducible si su operación no puede incluirse en la composición de dos operaciones de la siguiente manera:

f(x_{1},\dots ,x_{n})=g(x_{1},\dots ,x_{i-1},\,h(x_{i},\dots ,x_{j}),\,x_{j+1},\dots ,x_{n}),

donde 1 ≤ i < j ≤ n y ( i, j ) ≠ (1, n ) . Existen cuasigrupos n -arios finitos irreducibles para todo n > 2 ; véase Akivis y Goldberg (2001) para más detalles.

Un cuasigrupo n -ario con una versión n -aria de asociatividad se denomina grupo n -ario .

Número de pequeños cuasigrupos y bucles

El número de clases de isomorfismo de pequeños cuasigrupos (secuencia A057991 en OEIS ) y bucles (secuencia A057771 en OEIS ) se proporciona aquí: ^[11]

Ver también

Anillo de división : un anillo en el que cada elemento distinto de cero tiene un inverso multiplicativo
Semigrupo : una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con una operación binaria asociativa
Monoide : un semigrupo con un elemento de identidad.
Anillo ternario plano : tiene una estructura de bucle aditiva y multiplicativa
Problemas en la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos.
Matemáticas del Sudoku

Notas

^ Para mayor claridad, la cancelatividad por sí sola es insuficiente: se debe mantener el requisito de existencia de una solución.
^ Hay seis identidades que satisfacen estas operaciones, a saber, ^[5]
y = ( y / x ) ∗ x , y = x \ ( x ∗ y ), y = x / ( y \ x )
y = ( y ∗ x ) / x , y = x ∗ ( x \ y ), y = ( x / y ) \ x .
De estos, los tres primeros implican los tres últimos, y viceversa, lo que lleva a que cualquiera de los conjuntos de tres identidades sea suficiente para especificar ecuacionalmente un cuasigrupo. ^[6]
^ Las dos primeras ecuaciones son equivalentes a las dos últimas por aplicación directa de la propiedad de cancelación de cuasigrupos. Se muestra que el último par es equivalente estableciendo x = (( x ∗ y ) ∗ x ) ∗ ( x ∗ y ) = y ∗ ( x ∗ y ) .

Referencias

Citas

^ Smith 2007, págs. 3, 26-27
^ Rubin y Rubin 1985, pag. 109
^ Pflugfelder 1990, pág. 2
^ Bruck 1971, pag. 1
^ Shcherbacov, Pushkashu y Shcherbacov 2021, pag. 1
^ Shcherbacov, Pushkashu y Shcherbacov 2021, pag. 3, Thm. 1, 2
^ Smith, Jonathan Grupos DH, prueba e hipercuasigrupos (PDF) . Universidad del Estado de Iowa.
^ ab Damm 2007
^ Colbourn y Dinitz 2007, pág. 497, definición 28.12
^ Romanowska y Smith 1999, pág. 93
^ McKay, Meynert y Myrvold 2007

Fuentes

Akivis, MA; Goldberg, Vladislav V. (2001). "Solución del problema de Belousov". Discussiones Mathematicae - Álgebra general y aplicaciones . 21 (1): 93-103. arXiv : matemáticas/0010175 . doi :10.7151/dmgaa.1030. S2CID 18421746.
Belousov, VD (1967). Fundamentos de la teoría de cuasigrupos y bucles (en ruso). Moscú: Izdat. "Nauká". OCLC 472241611.
Belousov, VD (1971). Redes algebraicas y cuasigrupos (en ruso). Kishinev: Izdat. "Štiinca". OCLC 8292276.
Belousov, VD (1981). Elementos de la teoría de cuasigrupos: un curso especial (en ruso). Kishinev: Imprenta de la Universidad Estatal de Kishinev. OCLC 318458899.
Bruck, RH (1971) [1958]. Un estudio de los sistemas binarios. Saltador. ISBN 978-0-387-03497-3.
Chein, O.; Pflugfelder, HO; Smith, JDH, eds. (1990). Cuasigrupos y bucles: teoría y aplicaciones . Berlín: Heldermann. ISBN 978-3-88538-008-5.
Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), Manual de diseños combinatorios (2ª ed.), CRC Press, ISBN 978-1-58488-506-1
Damm, H. Michael (2007). "Cuasigrupos totalmente antisimétricos para todos los órdenes n ≠ 2, 6". Matemáticas discretas . 307 (6): 715–729. doi : 10.1016/j.disc.2006.05.033 .
Dudek, WA; Glazek, K. (2008). "En torno al teorema de Hosszu-Gluskin para grupos n -arios". Matemáticas discretas . 308 (21): 4861–76. arXiv : matemáticas/0510185 . doi :10.1016/j.disc.2007.09.005. S2CID 9545943.
McKay, Brendan D.; Meynert, Alison; Myrvold, Wendy (2007). «Pequeños cuadrados latinos, cuasigrupos y bucles» (PDF) . J. peine. Des . 15 (2): 98-119. CiteSeerX 10.1.1.151.3043 . doi :10.1002/jcd.20105. Zbl 1112.05018.
Pflugfelder, HO (1990). Cuasigrupos y bucles: introducción . Berlín: Heldermann. ISBN 978-3-88538-007-8.
Romanowska, Anna B .; Smith, Jonathan DH (1999), "Ejemplo 4.1.3 (bucle Moufang conmutativo de Zassenhaus)", Álgebra posmoderna , Matemática pura y aplicada, Nueva York: Wiley, doi :10.1002/9781118032589, ISBN 978-0-471-12738-3, señor 1673047
Rubin, H.; Rubin, JE (1985). Equivalentes del axioma de elección, II . Elsevier.
Shcherbacov, VA (2017). Elementos de la teoría y aplicaciones de cuasigrupos . Prensa CRC. ISBN 978-1-4987-2155-4.
Shcherbacov, VA; Pushkashu, DI; Shcherbacov, AV (2021). "Definiciones de cuasigrupos ecuacionales". arXiv : 1003.3175v1 [matemáticas.GR].
Smith, JDH (2007). Introducción a los cuasigrupos y sus representaciones . Prensa CRC. ISBN 978-1-58488-537-5.

enlaces externos

cuasigrupos
"Cuasi-grupo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]