Bucle de moufang

estructura algebraica

En matemáticas , un bucle de Moufang es un tipo especial de estructura algebraica . Es similar a un grupo en muchos aspectos pero no necesita ser asociativo . Los bucles de Moufang fueron introducidos por Ruth Moufang  (1935). Los bucles suaves de Moufang tienen un álgebra asociada, el álgebra de Malcev , similar en algunos aspectos a cómo un grupo de Lie tiene un álgebra de Lie asociada .

Definición

Un bucle Moufang es un bucle que satisface las cuatro identidades equivalentes siguientes para todos , , in (la operación binaria in se denota por yuxtaposición): ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$

1. ${\displaystyle z(x(zy))=((zx)z)y}$
2. ${\displaystyle x(z(yz))=((xz)y)z}$
3. ${\displaystyle (zx)(yz)=(z(xy))z}$
4. ${\displaystyle (zx)(yz)=z((xy)z)}$

Estas identidades se conocen como identidades Moufang .

Ejemplos

• Cualquier grupo es un bucle asociativo y, por tanto, un bucle Moufang.
• Los octoniones distintos de cero forman un bucle de Moufang no asociativo bajo la multiplicación de octoniones.
• El subconjunto de octoniones de norma unitaria (que forman una esfera de 7 en O ) está cerrado durante la multiplicación y, por lo tanto, forma un bucle de Moufang.
• El subconjunto de octoniones integrales de norma unitaria es un bucle de Moufang finito de orden 240.
• Los octoniones base y sus inversos aditivos forman un bucle de Moufang finito de orden 16.
• El conjunto de octoniones divididos invertibles forma un bucle Moufang no asociativo, al igual que el conjunto de octoniones divididos norma unitarios. De manera más general, el conjunto de elementos invertibles en cualquier álgebra de octoniones sobre un campo F forma un bucle de Moufang, al igual que el subconjunto de elementos de norma unitaria.
• El conjunto de todos los elementos invertibles en un anillo alternativo R forma un bucle de Moufang llamado bucle de unidades en R.
• Para cualquier campo F, sea M ( F ) el bucle de Moufang de elementos de norma unitaria en el álgebra de octonión dividido (único) sobre F . Sea Z el centro de M ( F ). Si la característica de F es 2 entonces Z = { e }, en caso contrario Z = {± e }. El bucle de Paige sobre F es el bucle M *( F ) = M ( F )/ Z . Los bucles de Paige son bucles Moufang simples no asociativos. Todos los bucles Moufang simples finitos no asociativos son bucles de Paige sobre campos finitos . El bucle de Paige más pequeño M *(2) tiene orden 120.
• Se puede construir una gran clase de bucles Moufang no asociativos de la siguiente manera. Sea G un grupo arbitrario. Defina un nuevo elemento u que no esté en G y sea M ( G ,2) = G ∪ ( G u ). El producto en M ( G ,2) viene dado por el producto habitual de los elementos en G junto con y ${\displaystyle 1\cdot u=u}$

  ${\displaystyle (gu)h=(gh^{-1})u}$

  ${\displaystyle g(hu)=(hg)u}$

  ${\displaystyle (gu)(hu)=h^{-1}g.}$

De ello se deduce que y . Con el producto anterior M ( G ,2) es un bucle Moufang. Es asociativo si y sólo si G es abeliano. ${\displaystyle u^{2}=1}$ ${\displaystyle ug=g^{-1}u}$

• El bucle Moufang no asociativo más pequeño es M ( S ₃ , 2) que tiene orden 12.
• Richard A. Parker construyó un bucle Moufang de orden 2 ¹³ , que fue utilizado por Conway en su construcción del grupo de monstruos . El bucle de Parker tiene un centro de orden 2 con elementos denotados por 1, −1, y el cociente por el centro es un grupo abeliano elemental de orden 2 ¹² , identificado con el código binario de Golay . Luego, el bucle se define hasta el isomorfismo mediante las ecuaciones

  Un ² = (-1) ^{| A |/4}

  Licenciado en Letras = (−1) ^{| A ∩ B |/2} AB

  A ( antes de Cristo )= (−1) ^{| A ∩ B ∩ C |} ( A B C

donde | Un | es el número de elementos de la palabra código A , y así sucesivamente. Para obtener más detalles, consulte Conway, JH; Curtis, RT; Norton, SP; Parker, RA; y Wilson, RA: Atlas de grupos finitos: subgrupos máximos y caracteres ordinarios para grupos simples. Oxford, Inglaterra.

Propiedades

asociatividad

Los bucles Moufang se diferencian de los grupos en que no necesitan ser asociativos . Un bucle de Moufang que es asociativo es un grupo. Las identidades Moufang pueden verse como formas más débiles de asociatividad.

Al establecer varios elementos en la identidad, las identidades Moufang implican

• x ( xy ) = ( xx ) y    identidad alternativa izquierda
• ( xy ) y = x ( yy )    identidad alternativa derecha
• x ( yx ) = ( xy ) x    identidad flexible (ver álgebra flexible y álgebra alternativa ).

El teorema de Moufang establece que cuando tres elementos x , y y z en un bucle de Moufang obedecen la ley asociativa: ( xy ) z = x ( yz ), entonces generan un subbucle asociativo; es decir, un grupo. Un corolario de esto es que todos los bucles de Moufang son disociativos (es decir, el subbucle generado por dos elementos cualesquiera de un bucle de Moufang es asociativo y, por tanto, un grupo). En particular, los bucles de Moufang son asociativos de potencias , de modo que las potencias x ⁿ están bien definidas. Cuando se trabaja con bucles Moufang, es común eliminar el paréntesis en expresiones con solo dos elementos distintos. Por ejemplo, las identidades de Moufang pueden escribirse sin ambigüedades como

1. z ( x ( zy )) = ( zxz ) y
2. (( xz ) y ) z = x ( zyz )
3. ( zx )( yz ) = z ( xy ) z .

Multiplicación izquierda y derecha

Las identidades de Moufang se pueden escribir en términos de los operadores de multiplicación izquierdo y derecho en Q. Las dos primeras identidades afirman que

• ${\displaystyle L_{z}L_{x}L_{z}(y)=L_{zxz}(y)}$
• ${\displaystyle R_{z}R_{y}R_{z}(x)=R_{zyz}(x)}$

mientras que la tercera identidad dice

• ${\displaystyle L_{z}(x)R_{z}(y)=B_{z}(xy)}$

para todos dentro . Aquí está la bimultiplicación por . La tercera identidad de Moufang equivale, por tanto, a la afirmación de que el triple es una autotopía del para todos en . ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle B_{z}=L_{z}R_{z}=R_{z}L_{z}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle (L_{z},R_{z},B_{z})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle Q}$

Propiedades inversas

Todos los bucles de Moufang tienen la propiedad inversa , lo que significa que cada elemento x tiene una inversa x ⁻¹ de dos lados que satisface las identidades:

${\displaystyle x^{-1}(xy)=y=(yx)x^{-1}}$

para todo x e y . Se deduce que y si y sólo si . ${\displaystyle (xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}}$ ${\displaystyle x(yz)=e}$ ${\displaystyle (xy)z=e}$

Los bucles de Moufang son universales entre los bucles de propiedades inversas; es decir, un bucle Q es un bucle de Moufang si y sólo si cada isótopo de bucle de Q tiene la propiedad inversa. De ello se deduce que cada isótopo de bucle de un bucle de Moufang es un bucle de Moufang.

Se pueden utilizar inversas para reescribir las identidades Moufang izquierda y derecha de una forma más útil:

• ${\displaystyle (xy)z=(xz^{-1})(zyz)}$
• ${\displaystyle x(yz)=(xyx)(x^{-1}z).}$

propiedad de Lagrange

Se dice que un bucle finito Q tiene la propiedad de Lagrange si el orden de cada subbucle de Q divide el orden de Q. El teorema de Lagrange en teoría de grupos establece que todo grupo finito tiene la propiedad de Lagrange. Durante muchos años fue una cuestión abierta si los bucles finitos de Moufang tenían o no propiedad de Lagrange. La cuestión fue finalmente resuelta por Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, e independientemente por Stephen Gagola III y Jonathan Hall, en 2003: cada bucle finito de Moufang tiene la propiedad de Lagrange. Stephen Gagola III ha generalizado más resultados para la teoría de grupos finitos a los bucles de Moufang en los últimos años.

Cuasigrupos Moufang

Cualquier cuasigrupo que satisfaga una de las identidades de Moufang debe, de hecho, tener un elemento de identidad y, por tanto, ser un bucle de Moufang. Damos aquí una prueba de la tercera identidad:

Sea a cualquier elemento de Q y sea e el elemento único tal que ae = a .

Entonces, para cualquier x en Q , ( xa ) x = ( x ( ae )) x = ( xa ) ( ex ).

Cancelar xa a la izquierda da x = ex de modo que e es un elemento de identidad izquierdo.

Ahora, para cualquier y en Q , ye = ( ey ) ( ee ) =( e ( ye )) e = ( ye ) e .

Cancelar e a la derecha da y = ye , por lo que e también es un elemento de identidad derecho.

Por tanto, e es un elemento de identidad de dos caras.

Las pruebas de las dos primeras identidades son algo más difíciles (Kunen 1996).

Problemas abiertos

El problema de Phillips es un problema abierto en la teoría presentada por JD Phillips en Loops '03 en Praga. Se pregunta si existe un bucle de Moufang finito de orden impar con un núcleo trivial .

Recuerde que el núcleo de un bucle (o más generalmente un cuasigrupo) es el conjunto de tales que , y se cumple para todos en el bucle. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x(yz)=(xy)z}$ ${\displaystyle y(xz)=(yx)z}$ ${\displaystyle y(zx)=(yz)x}$ ${\displaystyle y,z}$

Ver también : Problemas en teoría de bucles y teoría de cuasigrupos

Ver también

• Álgebra de Malcev
• Bucle de bol
• girogrupo
• Avión Moufang
• Polígono de Moufang

Referencias

• VD Belousov (2001) [1994], "Moufang loop", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Goodaire, Edgar G.; Mayo, Sean; Raman, Maitreyi (1999). Los bucles Moufang de orden inferior a 64 . Editores de ciencia nueva . ISBN 0-444-82438-3.
• Gagola III, Stephen (2011). "Cómo y por qué los bucles de Moufang se comportan como grupos". Cuasigrupos y sistemas relacionados . 19 : 1–22.
• Grishkov, Alejandro; Zavarnitsine, Andrei (2005). "Teorema de Lagrange para bucles de Moufang". Actas matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 139 : 41–57. doi :10.1017/S0305004105008388.
• Kunen, K. (1996). "Cuasigrupos Moufang". Revista de Álgebra . 183 (1): 231–4. CiteSeerX  10.1.1.52.5356 . doi :10.1006/jabr.1996.0216.
• Moufang, R. (1935), "Zur Struktur von Alternativkörpern", Matemáticas. Ana. , 110 : 416–430, doi : 10.1007/bf01448037
• Romanowska, Anna B .; Smith, Jonathan DH (1999). Álgebra posmoderna . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

enlaces externos

• Paquete LOOPS para GAP Este paquete tiene una biblioteca que contiene todos los bucles Moufang no asociativos de órdenes hasta 81 inclusive.
• "Bucle de Moufang". PlanetMath .