Lista de problemas en teoría de bucles y teoría de cuasigrupos

En matemáticas , especialmente en álgebra abstracta , la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos son áreas de investigación activas con muchos problemas abiertos . Como en otras áreas de las matemáticas, estos problemas suelen hacerse públicos en conferencias y reuniones profesionales. Muchos de los problemas aquí planteados aparecieron por primera vez en las conferencias Loops (Praga) y Mile High (Denver) .

Problemas abiertos (bucles Moufang)

Abeliano por grupos cíclicos que dan como resultado bucles de Moufang

Sea L un bucle de Moufang con un subgrupo abeliano normal (subbucle asociativo) M de orden impar tal que L / M es un grupo cíclico de orden mayor que 3. (i) ¿Es L un grupo ? (ii) Si los órdenes de M y L / M son primos relativos , ¿es L un grupo?

• Propuesto: por Michael Kinyon, basado en (Chein y Rajah, 2000)
• Comentarios: La suposición de que L / M tiene un orden mayor que 3 es importante, ya que hay un bucle Moufang L (conmutativo) de orden 81 con un subgrupo conmutativo normal de orden 27.

Incorporación de CML del período 3 en álgebras alternativas

Conjetura: cualquier bucle de Moufang conmutativo finito del período 3 puede integrarse en un álgebra alternativa conmutativa .

• Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '03, Praga 2003

Subbucle Frattini para bucles Moufang

Conjetura: Sea L un bucle finito de Moufang y Φ( L ) la intersección de todos los subbucles máximos de L. Entonces Φ( L ) es un subbucle nilpotente normal de L .

• Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, tres de 2011

Presentaciones mínimas para bucles M(G,2)

Para un grupo , defina x por ,,,, . Encuentre una presentación mínima para el bucle Moufang con respecto a una presentación para . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M(G,2)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle (g,0)(h,0)=(gh,0)}$ ${\displaystyle (g,0)(h,1)=(hg,1)}$ ${\displaystyle (g,1)(h,0)=(gh^{-1},1)}$ ${\displaystyle (g,1)(h,1)=(h^{-1}g,0)}$ ${\displaystyle M(G,2)}$ ${\displaystyle G}$

• Propuesto: por Petr Vojtěchovský en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: Chein demostró en (Chein, 1974) que es un bucle de Moufang que es no asociativo si y sólo si es nobeliano. Vojtěchovský (Vojtěchovský, 2003) encontró una presentación mínima para cuando se trata de un grupo de 2 generaciones. ${\displaystyle M(G,2)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M(G,2)}$ ${\displaystyle G}$

Bucles Moufang de orden p 2 q 3 y pq 4

Sean p y q números primos impares distintos. Si q no es congruente con 1 módulo p , ¿todos los bucles de Moufang de orden p ² q ³ son grupos? ¿Qué pasa ^con pq4 ?

• Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '99, Praga 1999
• Comentarios: El primero ha sido resuelto por Rajah y Chee (2011), donde demostraron que para distintos primos impares p ₁ < ··· < p _m < q < r ₁ < ··· < r _n , todos los bucles de Moufang de orden p ₁ ² ··· p _m ² q ³ r ₁ ² ··· r _n ² son grupos si y sólo si q no es congruente con 1 módulo p _i para cada i .

(Problema de Phillips) Bucle Moufang de orden impar con núcleo trivial

¿Existe un bucle Moufang de orden impar con núcleo trivial?

• Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '03, Praga 2003

Presentaciones para bucles Moufang simples finitos.

Encuentre presentaciones para todos los bucles Moufang simples finitos no asociativos en la variedad de bucles Moufang.

• Propuesto: por Petr Vojtěchovský en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: Se muestra en (Vojtěchovský, 2003) que cada bucle de Moufang finito simple no asociativo es generado por 3 elementos, con fórmulas explícitas para los generadores.

El problema restringido de Burnside para los bucles Moufang

Conjetura: Sea M un bucle finito de Moufang de exponente n con m generadores. Entonces existe una función f ( n , m ) tal que | METRO | < f ( norte , metro ).

• Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, tres de 2011
• Comentarios: En el caso de que n sea un primo distinto de 3, la conjetura fue demostrada por Grishkov. Si p = 3 y M es conmutativo, así lo demostró Bruck. G. Nagy demostró el caso general de p = 3. El caso n = p ^m se cumple según el teorema de Grishkov-Zelmanov.

Los teoremas de Sanov y M. Hall para los bucles de Moufang

Conjetura: Sea L un bucle Moufang generado finitamente de exponente 4 o 6. Entonces L es finito.

• Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '11, tres de 2011

Torsión en bucles libres de Moufang

Sea MF _n el bucle libre de Moufang con n generadores.

Conjetura: MF ₃ está libre de torsión pero MF _n con n  > 4 no lo está.

• Propuesto: por Alexander Grishkov en Loops '03, Praga 2003

Problemas abiertos (bucles de Bol)

Grado de nilpotencia del grupo de multiplicación izquierdo de un bucle de Bol izquierdo

Para un bucle de Bol izquierdo Q , encuentre alguna relación entre el grado de nilpotencia del grupo de multiplicación izquierdo de Q y la estructura de Q.

• Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005

¿Son isomórficos dos bucles de Bol con tablas de multiplicar similares?

Sean dos cuasigrupos definidos en el mismo conjunto subyacente . La distancia es el número de pares de tal manera que . Llame cuadrática a una clase de cuasigrupos finitos si hay un número real positivo tal que dos cuasigrupos cualesquiera , de orden de la clase que satisface, sean isomórficos. ¿Son cuadráticos los bucles de Moufang? ¿Son cuadráticos los bucles de Bol ? ${\displaystyle (Q,*)}$ ${\displaystyle (Q,+)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle d(*,+)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle Q\times Q}$ ${\displaystyle a*b\neq a+b}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (Q,*)}$ ${\displaystyle (Q,+)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d(*,+)<\alpha \,n^{2}}$

• Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '99, Praga 1999
• Comentarios: Drápal demostró en (Drápal, 1992) que los grupos son cuadráticos con , y en (Drápal, 2000) que 2 grupos son cuadráticos con . ${\displaystyle \alpha =1/9}$ ${\displaystyle \alpha =1/4}$

Serie Campbell-Hausdorff para bucles analíticos de Bol

Determine la serie de Campbell-Hausdorff para bucles de Bol analíticos.

• Propuesto: por MA Akivis y VV Goldberg en Loops '99, Praga 1999
• Comentarios: El problema se ha resuelto parcialmente para los bucles analíticos locales de Bruck en (Nagy, 2002).

Bucle universalmente flexible que no es Bol medio

Un bucle es universalmente flexible si cada uno de sus isótopos del bucle es flexible , es decir, satisface ( xy ) x  =  x ( yx ). Un bucle es Bol medio si cada uno de sus isótopos del bucle tiene la propiedad inversa antiautomórfica, es decir, satisface ( xy ) ⁻¹  =  y ⁻¹ x ⁻¹ . ¿Existe un bucle finito y universalmente flexible que no sea el Bol medio?

• Propuesto: por Michael Kinyon en Loops '03, Praga 2003

Bucle Bol finito simple con clases de conjugación no triviales

¿Existe un bucle de Bol finito, simple y no asociativo con clases de conjugación no triviales?

• Propuesto: por Kenneth W. Johnson y Jonathan DH Smith en la Conferencia 2nd Mile High sobre Matemáticas No Asociativas, Denver 2009

Problemas abiertos (Nilpotencia y solucionabilidad)

La conjetura de Niemenmaa y problemas relacionados.

Sea Q un bucle cuyo grupo de mapeo interno es nilpotente. ¿ Q es nilpotente? ¿ Q tiene solución?

• Propuesto: en Loops '03 y '07, Praga 2003 y 2007
• Comentarios: La respuesta a la primera pregunta es afirmativa si Q es finito (Niemenmaa 2009). El problema está abierto en el caso general.

Bucles con grupo de mapeo interno abeliano

Sea Q un bucle con un grupo de mapeo interno abeliano. ¿ Q es nilpotente? Si es así, ¿existe un límite para la clase de nilpotencia de Q ? En particular, ¿puede la clase de nilpotencia de Q ser superior a 3?

• Propuesto: en Loops '07, Praga 2007
• Comentarios: Cuando el grupo de mapeo interno Inn( Q ) es finito y abeliano, entonces Q es nilpotente (Niemenaa y Kepka). Por tanto, la primera cuestión sólo está abierta en el caso infinito. Llame al bucle Q de tipo Csörgõ si es nilpotente de clase al menos 3 y Inn( Q ) es abeliano. No se conoce ningún bucle del tipo Csörgõ de clase de nilpotencia superior a 3. Existen bucles de tipo Csörgõ (Csörgõ, 2004), existen bucles de Buchsteiner de tipo Csörgõ (Csörgõ, Drápal y Kinyon, 2007) y existen bucles de Moufang de tipo Csörgõ (Nagy y Vojtěchovský, 2007). Por otro lado, no hay grupos de tipo Csörgõ (folclore), no hay bucles Moufang conmutativos de tipo Csörgõ (Bruck) y no hay bucles p Moufang de tipo Csörgõ para p  > 3 (Nagy y Vojtěchovský, 2007). ).

Número de bucles nilpotentes hasta el isomorfismo

Determine el número de bucles nilpotentes de orden 24 hasta el isomorfismo.

• Propuesto: por Petr Vojtěchovský en la Conferencia 2nd Mile High sobre Matemáticas No Asociativas, Denver 2009
• Comentario: Los recuentos son conocidos para n  < 24, ver (Daly y Vojtěchovský, 2010).

Un bucle nilpotente finito sin una base finita para sus leyes

Construya un bucle nilpotente finito sin una base finita para sus leyes.

• Propuesto: por MR Vaughan-Lee en el Kourovka Notebook of Unsolved Problems in Group Theory
• Comentario: Existe un bucle finito sin una base finita para sus leyes (Vaughan-Lee, 1979), pero no es nilpotente.

Problemas abiertos (cuasigrupos)

Existencia de infinitos cuasigrupos paramediales simples

¿Existen infinitos cuasigrupos paramediales simples?

• Propuesto: por Jaroslav Ježek y Tomáš Kepka en Loops '03, Praga 2003

Variedades isotópicamente universales mínimas de cuasigrupos.

Una variedad V de cuasigrupos es isotópicamente universal si cada cuasigrupo es isotópico de un miembro de V. ¿Es la variedad de bucles una variedad isotópicamente universal mínima? ¿Toda variedad isotópicamente universal contiene la variedad de bucles o sus parástrofes?

• Propuesto: por Tomáš Kepka y Petr Němec en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: Cada cuasigrupo es isotópico de un bucle, por lo que la variedad de bucles es isotópicamente universal.

Pequeños cuasigrupos con núcleo de cuasigrupo

¿Existe un cuasigrupo Q de orden q  = 14, 18, 26 o 42 tal que la operación * definida en Q por x  *  y  =  y  −  xy sea una operación de cuasigrupo?

• Propuesto: por Parascovia Syrbu en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: ver (Conselo et al., 1998)

¿Construcción uniforme de cuadrados latinos?

Construya un cuadrado latino L de orden n de la siguiente manera: Sea G = K _{n , n} el gráfico bipartito completo con pesos distintos en sus n ² aristas. Sea M ₁ la coincidencia más barata en G , M ₂ la coincidencia más barata en G sin M ₁ , y así sucesivamente. Cada M _i coincidente determina una permutación p _i de 1, ...,  n . Dejemos que L se obtenga de G colocando la permutación p _i en la fila i de L. ¿Este procedimiento da como resultado una distribución uniforme en el espacio de cuadrados latinos de orden n ?

• Propuesto: por Gábor Nagy en la Conferencia 2nd Mile High sobre Matemáticas No Asociativas, Denver 2009

Problemas abiertos (varios)

Limitado al tamaño de los grupos de multiplicación.

Para un bucle Q , sea Mlt(Q) el grupo de multiplicación de Q , es decir, el grupo generado por todas las traslaciones izquierda y derecha. Es |Mlt( Q )| <  f (| Q |) para alguna variedad de bucles y para algún polinomio  f ?

• Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005

¿Todo bucle alternativo finito tiene inversos de 2 lados?

¿Todo bucle alternativo finito , es decir, cada bucle que satisface x ( xy ) = ( xx ) y y x ( yy ) = ( xy ) y , tiene inversas de 2 lados?

• Propuesto: por Warren D. Smith
• Comentarios: Hay infinitos bucles alternativos sin inversos de 2 lados, cf. (Ormes y Vojtěchovský, 2007)

Bucle automórfico finito simple no asociativo

Encuentre un bucle automórfico simple finito no asociativo, si tal bucle existe.

• Propuesto: por Michael Kinyon en Loops '03, Praga 2003
• Comentarios: Se sabe que tal bucle no puede ser conmutativo (Grishkov, Kinyon y Nagý, 2013) ni tener orden impar (Kinyon, Kunen, Phillips y Vojtěchovský, 2013).

Teorema de Moufang en bucles que no son Moufang

Decimos que una variedad V de bucles satisface el teorema de Moufang si para cada bucle Q en V se cumple la siguiente implicación: para cada x , y , z en Q , si x ( yz ) = ( xy ) z entonces el subbucle generado por x , y , z es un grupo. ¿Todas las variedades que satisfacen el teorema de Moufang están contenidas en la variedad de bucles de Moufang?

• Propuesto por: Andrew Rajah en Loops '11, tres de 2011

Universalidad de los bucles de Osborn.

Un bucle es Osborn si satisface la identidad x (( yz ) x ) = ( x ^λ \ y )( zx ). ¿Es cada bucle de Osborn universal, es decir, cada isótopo de un bucle de Osborn es Osborn? Si no es así, ¿existe una buena identidad que caracterice los bucles universales de Osborn?

• Propuesto: por Michael Kinyon en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
• Comentarios: Los bucles cerrados de Moufang y de conjugación son de Osborn. Véase (Kinyon, 2005) para más información.

Problemas resueltos

Los siguientes problemas se plantearon como abiertos en varias conferencias y desde entonces han sido resueltos.

Bucle de Buchsteiner que no está cerrado por conjugación

¿Existe un bucle de Buchsteiner que no esté cerrado por conjugación? ¿Existe un bucle de Buchsteiner simple finito que no esté cerrado por conjugación?

• Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
• Resuelto por: Piroska Csörgõ, Aleš Drápal y Michael Kinyon
• Solución: El cociente de un bucle de Buchsteiner por su núcleo es un grupo abeliano de exponente 4. En particular, ningún bucle de Buchsteiner no asociativo puede ser simple. Existe un bucle de Buchsteiner de orden 128 que no está cerrado por conjugación.

Clasificación de bucles Moufang de orden 64.

Clasifique bucles de Moufang no asociativos de orden 64.

• Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
• Resuelto por: Gábor P. Nagy y Petr Vojtěchovský
• Solución: Hay 4262 bucles Moufang no asociativos de orden 64. Se encontraron mediante el método de modificaciones de grupo en (Vojtěchovský, 2006), y se demostró en (Nagy y Vojtěchovský, 2007) que la lista está completa. Este último artículo utiliza un enfoque algebraico lineal para las extensiones de bucles de Moufang .

Bucle cerrado conjugado con grupos de multiplicación unilaterales no isomorfos

Construya un circuito cerrado de conjugación cuyo grupo de multiplicación izquierdo no sea isomorfo a su grupo de multiplicación derecho.

• Propuesto: por Aleš Drápal en Loops '03, Praga 2003
• Resuelto por: Aleš Drápal
• Solución: existe un bucle de orden 9. Se puede obtener en el paquete LOOPS mediante el comando CCLoop(9,1)

Existencia de un bucle de Bol simple finito

¿Existe un bucle de Bol finito y simple que no sea Moufang?

• Propuesto en: Loops '99, Praga 1999
• Resuelto por: Gábor P. Nagy, 2007.
• Solución: Un bucle Bol simple que no sea Moufang se llamará apropiado .

  Hay varias familias de bucles de Bol simples adecuados. Un bucle de Bol simple adecuado más pequeño es de orden 24 (Nagy 2008).

  También hay un bucle de Bol simple adecuado de exponente 2 (Nagy 2009) y un bucle de Bol simple adecuado de orden impar (Nagy 2008).

• Comentarios: Las construcciones anteriores resolvieron dos problemas abiertos adicionales:
  • ¿Existe un bucle de Bruck finito y simple que no sea Moufang? Sí, ya que cualquier bucle Bol simple y adecuado de exponente 2 es Bruck.
  • ¿Se pueden resolver todos los bucles de Bol de orden impar? No, como lo demuestra cualquier bucle de Bol simple y adecuado de orden impar.

Bucle de Bol izquierdo con núcleo derecho trivial

¿Existe un bucle de Bol izquierdo finito que no sea Moufang con un núcleo derecho trivial?

• Propuesto: en la conferencia Milehigh sobre cuasigrupos, bucles y sistemas no asociativos, Denver 2005
• Resuelto por: Gábor P. Nagy, 2007
• Solución: Hay un bucle de Bol izquierdo finito simple de exponente 2 de orden 96 con núcleo derecho trivial. Además, utilizando una factorización exacta del grupo de Mathieu M ₂₄ , es posible construir un bucle de Bol simple que no sea de Moufang, que es un bucle G.

Propiedad de Lagrange para bucles de Moufang

¿Todo bucle finito de Moufang tiene la fuerte propiedad de Lagrange?

• Propuesto: por Orin Chein en Loops '99, Praga 1999
• Resuelto por: Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, 2003
• Solución: Todo bucle finito de Moufang tiene la propiedad de Lagrange fuerte (SLP). Aquí hay un resumen de la prueba:
  • Según (Chein et al. 2003), basta con mostrar SLP para bucles Moufang simples finitos no asociativos (NFSML).
  • Por tanto, basta con demostrar que el orden de un subbucle máximo de un NFSML L divide el orden de L.
  • En (Paige 1956) se descubrió una clase contable de NFSML , y no existen otros NSFML en (Liebeck 1987). ${\displaystyle M(q)}$
  • Grishkov y Zavarnitsine emparejaron subbucles máximos de bucles con ciertos subgrupos de grupos con prueba en (Grishkov y Zavarnitsine, 2003). ${\displaystyle M(q)}$

Bucles Moufang con conmutador no normal

¿Existe un bucle Moufang cuyo conmutante no sea normal?

• Propuesto: por Andrew Rajah en Loops '03, Praga 2003
• Resuelto por: Alexander Grishkov y Andrei Zavarnitsine, 2017
• Solución: Sí, hay un bucle Moufang de orden 3 ⁸ con conmutante no normal. ^[1] Gagola había afirmado previamente lo contrario, pero luego encontró un vacío en su prueba. ^[1]

Cuasivariedad de núcleos de bucles de Bol.

¿Es la clase de núcleos de los bucles de Bol una cuasivariedad?

• Propuesto: por Jonathan DH Smith y Alena Vanžurová en Loops '03, Praga 2003
• Resuelto por: Alena Vanžurová, 2004.
• Solución: No, la clase de núcleos de los bucles de Bol no está cerrada según las subálgebras. Además, la clase de núcleos de grupos no está cerrada bajo subálgebras. Aquí hay un resumen de la prueba:
  • Los núcleos de los grupos abelianos son mediales , por (Romanowska y Smith, 1985), (Rozskowska-Lech, 1999).
  • El grupo nobeliano más pequeño tiene un núcleo que contiene un submagma de orden 4 que no es medial. ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle G}$
  • Si es un núcleo de un bucle de Bol, es un núcleo de un bucle de Bol de orden 4, por lo tanto, un núcleo de un grupo abeliano, una contradicción. ${\displaystyle G}$

Paridad del número de cuasigrupos hasta el isomorfismo

Sea I (n) el número de clases de isomorfismo de cuasigrupos de orden n. ¿Es I(n) impar para cada n?

• Propuesto: por Douglas S. Stones en la Conferencia 2nd Mile High sobre Matemáticas No Asociativas, Denver 2009
• Resuelto por: Douglas S. Stones, 2010.
• Solución: I(12) es par. De hecho, I(n) es impar para todos los n  ≤ 17 excepto 12. (Stones 2010)

Clasificación de cuasigrupos paramediales simples finitos

Clasifica los cuasigrupos paramediales simples finitos.

• Propuesto: por Jaroslav Ježek y Tomáš Kepka en Loops '03, Praga 2003.
• Resuelto por: Victor Shcherbacov y Dumitru Pushkashu (2010).
• Solución: Cualquier cuasigrupo paramedial simple finito es isotópico del grupo p abeliano elemental. Dicho cuasigrupo puede ser un cuasigrupo unipotente medio, un cuasigrupo distributivo conmutativo medio, o un isótopo de tipo especial de (φ+ψ) -cuasigrupo distributivo medio simple.

Ver también

• Problemas en cuadrados latinos

Referencias

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enlaces externos

• Conferencia Loops '99
• Conferencia Loops '03
• Conferencia Loops '07
• Conferencia Loops '11
• Conferencias Milehigh sobre matemáticas no asociativas
• Paquete LOOPS para GAP
• Problemas en la teoría de bucles y la teoría de cuasigrupos