Teorema de Harcourt

Área de un triángulo desde sus lados y distancias de vértices hasta cualquier línea tangente a su círculo inscrito

El teorema de Harcourt es una fórmula geométrica para el área de un triángulo , en función de las longitudes de sus lados y las distancias perpendiculares de sus vértices desde una línea arbitraria tangente a su círculo inscrito . ^[1]

El teorema recibe su nombre en honor a J. Harcourt, un profesor irlandés. ^[2]

Declaración

Sea un triángulo con vértices A , B y C , lados opuestos de longitudes a , b y c , área K y una línea que es tangente al incentro del triángulo en cualquier punto de ese círculo. Denotemos las distancias perpendiculares con signo de los vértices desde la línea como a ', b ' y c ', donde una distancia es negativa si y solo si el vértice está en el lado opuesto de la línea desde el incentro. Entonces

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

Caso degenerado

Si la línea tangente contiene uno de los lados del triángulo, entonces dos de las distancias son cero y la fórmula se reduce a la conocida fórmula de que el doble del área de un triángulo es una base (el lado coincidente del triángulo) multiplicado por la altitud desde esa base.

Extensión

Si la línea es en cambio tangente al círculo extraído opuesto, digamos, al vértice A del triángulo, entonces ^{[1] : Teo.3}

${\displaystyle -aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

Propiedad dual

Si en lugar de a', b', c' se refieren a distancias desde un vértice hasta una línea tangente incircular arbitraria, se refieren en cambio a distancias desde una línea lateral hasta un punto arbitrario, entonces la ecuación

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

sigue siendo cierto. ^{[3] : p. 11}

Referencias

1. Dergiades, Nikolaos; Salazar, Juan Carlos (2003), "Teorema de Harcourt" (PDF) , Forum Geometricorum , 3 : 117–124, MR  2004117.
2. G.-M., F. (1912), "Théorème de Harcourt", Ejercicios de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues, Cours de mathématiques elementaires (en francés) (5ª ed.), Maison A. Mame et fils (Tours) y J. de Gigord (París), p. 750.
3. Whitworth, William Allen. Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (original de Deighton, Bell y Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books