Triángulo Extouch

Triángulo formado a partir de los puntos de tangencia de los excírculos de un triángulo dado

  Triángulo arbitrario △ ABC

  Círculos extraídos , tangentes a los lados de △ ABC en T _A , T _B , T _C

  Triángulo Extouch △ T _A T _B T _C

  Los divisores del perímetro AT _A , BT _B , CT _C ; se intersecan en el punto Nagel N

En la geometría euclidiana , el triángulo extoque de un triángulo se forma uniendo los puntos en los que los tres círculos extocan el triángulo.

Coordenadas

Los vértices del triángulo extouch se dan en coordenadas trilineales por:

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{B}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\T_{C}=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

o equivalentemente, donde a, b, c son las longitudes de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente,

$${\displaystyle {\begin{array}{rccccc}T_{A}=&0&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{B}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&0&:&{\frac {a\,+\,b\,-\,c}{c}}\\T_{C}=&{\frac {-a\,+\,b\,+\,c}{a}}&:&{\frac {a\,-\,b\,+\,c}{b}}&:&0\end{array}}}$$

Cifras relacionadas

Los divisores del triángulo son líneas que conectan los vértices del triángulo original con los vértices correspondientes del triángulo extouch; dividen el perímetro del triángulo y se unen en el punto de Nagel . Esto se muestra en azul y está etiquetado como "N" en el diagrama.

La elipse de Mandart es tangente a los lados del triángulo de referencia en los tres vértices del triángulo extouch. ^[1]

Área

El área del triángulo extouch, K _T , está dada por:

${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$

donde K y r son el área y el radio del círculo inscrito , s es el semiperímetro del triángulo original y a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo original.

Esta es la misma área que la del triángulo intouch . ^[2]

Referencias

1. Juhász, Imre (2012), "Representación basada en puntos de control de elipses de triángulos" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 40 : 37–46, MR  3005114.
2. Weisstein, Eric W. "Triángulo de Extouch". De MathWorld, un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html