Inelipse de Steiner

Elipse tangente única a los 3 puntos medios de los lados de un triángulo determinado

La inelipse de Steiner. Según el teorema de Marden , dado el triángulo con vértices (1, 7), (7, 5), (3, 1) , los focos de la inelipse son (3, 5) y (13/3, 11/3) , desde ${\displaystyle {\begin{aligned}&D_{x}(1+7i-x)(7+5i-x)(3+i-x)\\&=-3\left({\tfrac {13}{3}}+{\tfrac {11}{3}}i-x\right)(3+5i-x)\end{aligned}}}$

En geometría , la inelipse de Steiner , ^[1] inelipse del punto medio , o elipse del punto medio de un triángulo es la única elipse inscrita en el triángulo y tangente a los lados en sus puntos medios . Es un ejemplo de inelipse . En comparación, el círculo inscrito y la elipse de Mandart de un triángulo son otras incónicas que son tangentes a los lados, pero no en los puntos medios a menos que el triángulo sea equilátero . ^{Dörrie [2]} atribuye la inelipse de Steiner a Jakob Steiner , y Dan Kalman da una prueba de su singularidad. ^[3]

La inelipse de Steiner contrasta con la circumelipse de Steiner , también llamada simplemente elipse de Steiner, que es la única elipse que pasa por los vértices de un triángulo determinado y cuyo centro es el centroide del triángulo . ^[4]

Definición y propiedades

Definición

Una elipse que es tangente a los lados de un triángulo △ ABC en sus puntos medios se llama inelipse de Steiner de △ ABC . ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$

  Triángulo arbitrario △ ABC

  Inelipse de Steiner

  Elipse de Steiner

  Ejes mayores y menores

  Triángulo equilátero △ ABC

  Inelipse de Steiner

  Elipse de Steiner

Propiedades:
Para un triángulo arbitrario △ ABC con puntos medios de sus lados se cumplen las siguientes afirmaciones: a) Existe exactamente una inelipse de Steiner. b) El centro de la elipse de Steiner es el centroide S de △ ABC . c1) El triángulo tiene el mismo centroide S y la inelipse de Steiner de △ ABC es la elipse de Steiner del triángulo c2) La inelipse de Steiner de un triángulo es la elipse de Steiner escalada con factor de escala 1/2 y el centroide como centro. Por tanto ambas elipses tienen la misma excentricidad , son similares . d) El área de la elipse de Steiner es -por el área del triángulo. e) La inelipse de Steiner tiene el área más grande de todas las inelipses del triángulo.^{[5] : p.146  [6] : Corolario 4.2} ${\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3}}$


${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}}$ ${\displaystyle \triangle M_{1}M_{2}M_{3}.}$

${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

Prueba

Las pruebas de las propiedades a),b),c) se basan en las siguientes propiedades de una aplicación afín: 1) cualquier triángulo puede considerarse como una imagen afín de un triángulo equilátero. 2) Los puntos medios de los lados se asignan a puntos medios y los centroides a los centroides. El centro de una elipse se asigna al centro de su imagen.
Por lo tanto, es suficiente demostrar las propiedades a),b),c) para un triángulo equilátero:
a) Para cualquier triángulo equilátero existe una circunferencia . Toca los lados en sus puntos medios. No existe otra sección cónica (no degenerada) con las mismas propiedades, porque una sección cónica está determinada por 5 puntos/tangentes.
b) Por un simple cálculo.
c) El círculo circunstante se mapea mediante una escala, con factor 1/2 y el centroide como centro, sobre el círculo circunstante. La excentricidad es una invariante.
d) La relación de áreas es invariante a transformaciones afines. Entonces se puede calcular la razón para el triángulo equilátero.
e) Ver Inelipse .

Representación paramétrica y semiejes.

Representación paramétrica:

• Debido a que una elipse de Steiner de un triángulo △ ABC es una elipse de Steiner escalada (factor 1/2, el centro es el centroide), se obtiene una representación paramétrica derivada de la representación trigonométrica de la elipse de Steiner  :

${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .}$

• Los 4 vértices de la inelipse de Steiner son

${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),}$

donde t ₀ es la solución de

${\displaystyle \cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad }$con ${\displaystyle \quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .}$

Semiejes:

• con las abreviaturas

${\displaystyle {\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}}$

se obtiene para los semiejes a, b (donde a > b ):

${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}}$

• La excentricidad lineal c de la elipse de Steiner es

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .}$

Ecuación trilineal

La ecuación de la elipse de Steiner en coordenadas trilineales para un triángulo con longitudes de lados a, b, c (donde estos parámetros tienen un significado diferente al anterior) es ^[1]

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

donde x es una constante positiva arbitraria multiplicada por la distancia de un punto desde el lado de la longitud a , y de manera similar para b y c con la misma constante multiplicativa.

Otras propiedades

Las longitudes de los ejes semimayor y semimenor de un triángulo con lados a, b, c son ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

dónde

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

Según el teorema de Marden , ^[3] si los tres vértices del triángulo son los ceros complejos de un polinomio cúbico , entonces los focos de la inelipse de Steiner son los ceros de la derivada del polinomio.

El eje mayor de la elipse de Steiner es la línea de mejor ajuste ortogonal para los vértices. ^{[6] : Corolario 2.4}

Denota el centroide y el primer y segundo punto de Fermat de un triángulo, respectivamente. El eje mayor de la inelipse de Steiner del triángulo es la bisectriz interna de Las longitudes de los ejes son , es decir, la suma y diferencia de las distancias de los puntos de Fermat al centroide. ^{[7] : Thm. 1} ${\displaystyle G,F_{+},F_{-}}$ ${\displaystyle \angle F_{+}GF_{-}.}$ ${\displaystyle |GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;}$

Los ejes de la inelipse de Steiner de un triángulo son tangentes a su parábola de Kiepert, la única parábola que es tangente a los lados del triángulo y que tiene como directriz la recta de Euler . ^{[7] : Thm. 3}

Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo son las intersecciones del eje mayor de la inelipse y el círculo con centro en el eje menor y que pasa por los puntos de Fermat. ^{[7] : Thm. 6}

Como con cualquier elipse inscrita en un triángulo △ ABC , dejando que los focos sean P y Q tenemos ^[8]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$

Generalización

La inelipse de Steiner de un triángulo se puede generalizar a n -gonos: algunos n -gonos tienen una elipse interior que es tangente a cada lado en el punto medio del lado. El teorema de Marden todavía se aplica: los focos de la inelipse de Steiner son ceros de la derivada del polinomio cuyos ceros son los vértices del n -gón. ^[9]

Referencias

1. Weisstein, E. "Steiner Inellipse" - De MathWorld, un recurso web de Wolfram, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
2. H. Dörrie, 100 grandes problemas de matemáticas elementales, su historia y solución (trad. D. Antin), Dover, Nueva York, 1965, problema 98.
3. Kalman, Dan (2008), "Una prueba elemental del teorema de Marden" (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (4): 330–338, JSTOR  27642475, MR  2398412, archivado desde el original (PDF) en 2012- 08-26.
4. Weisstein, Eric W. "Steiner Circumellipse". MundoMatemático .
5. Chakerian, GD (1979), "Una visión distorsionada de la geometría", en Honsberger, Ross (ed.), Ciruelas matemáticas , The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 4, Washington, DC: Asociación Matemática de América, págs. 135–136, 145–146.
6. Minda, D .; Phelps, S. (2008), "Triángulos, elipses y polinomios cúbicos" (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (8): 679–689, MR  2456092.
7. Scimemi, Benedetto, "Relaciones simples sobre la inelipse de Steiner de un triángulo", Forum Geometriorum 10, 2010: 55–77.
8. Allaire, Patricia R.; Zhou, Junmin; y Yao, Haishen, "Demostración de una identidad de elipse del siglo XIX", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, 161-165.
9. Parish, James L., "Sobre la derivada de un polinomio de vértice", Forum Geometriorum 6, 2006, págs. 285–288: Proposición 5.