poder de un punto

Distancia relativa de un punto a un círculo.

Significado geométrico

En geometría plana elemental , la potencia de un punto es un número real que refleja la distancia relativa de un punto determinado a un círculo determinado. Fue introducido por Jakob Steiner en 1826. ^[1]

Específicamente, la potencia de un punto con respecto a un círculo con centro y radio está definida por ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle r}$

${\displaystyle \Pi (P)=|PO|^{2}-r^{2}.}$

Si está fuera del círculo, entonces , si está dentro del círculo, entonces y si está dentro del círculo, entonces . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)>0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)=0}$
${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$

Debido al teorema de Pitágoras, el número tiene los significados geométricos simples que se muestran en el diagrama: Para un punto fuera del círculo es la distancia tangencial al cuadrado del punto al círculo . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle |PT|}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Los puntos con igual potencia, isolíneas de , son círculos concéntricos al círculo . ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle c}$

Steiner utilizó el poder de un punto para demostrar varias afirmaciones sobre círculos, por ejemplo:

• Determinación de un círculo que corta a cuatro círculos formando el mismo ángulo. ^[2]
• Resolviendo el problema de Apolonio
• Construcción de los círculos de Malfatti : ^[3] Para un triángulo dado, determine tres círculos, que se toquen entre sí y dos lados del triángulo cada uno.
• Versión esférica del problema de Malfatti: ^[4] El triángulo es esférico.

Las herramientas esenciales para las investigaciones sobre círculos son el eje radical de dos círculos y el centro radical de tres círculos.

El diagrama de potencia de un conjunto de círculos divide el plano en regiones dentro de las cuales el círculo que minimiza la potencia es constante.

De manera más general, el matemático francés Edmond Laguerre definió de manera similar la potencia de un punto con respecto a cualquier curva algebraica.

Propiedades geométricas

Además de las propiedades mencionadas al principio, existen otras propiedades:

círculo ortogonal

Círculo ortogonal (verde)

Para cualquier punto fuera del círculo hay dos puntos tangentes en el círculo , que tienen la misma distancia a . Por lo tanto, el círculo con centro que pasa por , también pasa por , y se cruza ortogonalmente: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle c}$

• El círculo con centro y radio intersecta al círculo ortogonal . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle c}$

Ángulo entre dos círculos

Si el radio del círculo con centro en es diferente de se obtiene el ángulo de intersección entre los dos círculos aplicando la Ley de los cosenos (ver diagrama): ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\sqrt {\Pi (P)}}}$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \rho ^{2}+r^{2}-2\rho r\cos \varphi =|PO|^{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ \cos \varphi ={\frac {\rho ^{2}+r^{2}-|PO|^{2}}{2\rho r}}={\frac {\rho ^{2}-\Pi (P)}{2\rho r}}}$

( y son normales a las tangentes del círculo). ${\displaystyle PS_{1}}$ ${\displaystyle OS_{1}}$

Si se encuentra dentro del círculo azul, entonces y siempre es diferente de . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi (P)<0}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$

Si se da el ángulo, entonces se obtiene el radio resolviendo la ecuación cuadrática ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho ^{2}-2\rho r\cos \varphi -\Pi (P)=0}$.

Teorema de las secantes que se cruzan, teorema de las cuerdas que se cruzan

Teorema de la secante y de la cuerda

Para el teorema de las secantes y el teorema de la cuerda, la potencia de un punto desempeña el papel de invariante :

• Teorema de las secantes de intersección : Para un punto fuera de un círculo y los puntos de intersección de una recta secante con la siguiente afirmación es verdadera:, por lo tanto, el producto es independiente de la recta . Si es tangente entonces y el enunciado es el teorema de la tangente-secante . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle S_{1}=S_{2}}$
• Teorema de cuerdas que se cruzan : Para un punto dentro de un círculoy los puntos de intersecciónde una recta secantees cierto el siguiente enunciado:,portanto el producto es independiente de la recta. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-\Pi (P)}$ ${\displaystyle g}$

Eje radical

Sean un punto y dos circunferencias no concéntricas con centros y radios . El punto tiene el poder con respecto al círculo . El conjunto de todos los puntos es una recta llamada eje radical . Contiene posibles puntos comunes de los círculos y es perpendicular a la recta . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle O_{1},O_{2}}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{i}(P)}$ ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(P)=\Pi _{2}(P)}$ ${\displaystyle {\overline {O_{1}O_{2}}}}$

Teorema de las secantes, teorema de las cuerdas: prueba común

Teorema de la secante/corda: demostración

Ambos teoremas, incluido el teorema de la tangente-secante , se pueden demostrar de manera uniforme:

Sea un punto, una circunferencia con el origen como centro y un vector unitario arbitrario . Los parámetros de posibles puntos comunes de la línea (que pasa por ) y el círculo se pueden determinar insertando la ecuación paramétrica en la ecuación del círculo: ${\displaystyle P:{\vec {p}}}$ ${\displaystyle c:{\vec {x}}^{2}-r^{2}=0}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$ ${\displaystyle g:{\vec {x}}={\vec {p}}+t{\vec {v}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle ({\vec {p}}+t{\vec {v}})^{2}-r^{2}=0\quad \rightarrow \quad t^{2}+2t\;{\vec {p}}\cdot {\vec {v}}+{\vec {p}}^{2}-r^{2}=0\ .}$

Del teorema de Vieta se encuentra:

${\displaystyle t_{1}\cdot t_{2}={\vec {p}}^{2}-r^{2}=\Pi (P)}$. (independiente de ) ${\displaystyle {\vec {v}}}$

${\displaystyle \Pi (P)}$es la potencia de con respecto al círculo . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Debido a esto se obtiene la siguiente declaración para los puntos : ${\displaystyle |{\vec {v}}|=1}$ ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=t_{1}t_{2}=\Pi (P)\ }$, si está fuera del círculo, ${\displaystyle P}$

${\displaystyle |PS_{1}|\cdot |PS_{2}|=-t_{1}t_{2}=-\Pi (P)\ }$, si está dentro del círculo (¡ tiene signos diferentes!). ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$

En el caso de la recta es una tangente y el cuadrado de la distancia tangencial del punto al círculo . ${\displaystyle t_{1}=t_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \Pi (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$

Puntos de similitud, poder común de dos círculos.

Puntos de similitud

Los puntos de similitud son una herramienta esencial para las investigaciones de Steiner sobre círculos. ^[5]

Dados dos círculos

${\displaystyle \ c_{1}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{1})-r_{1}^{2}=0,\quad c_{2}:({\vec {x}}-{\vec {m}}_{2})-r_{2}^{2}=0\ .}$

Una homotecia ( similitud ) , que se asigna a tramos (sacudidas) del radio y tiene su centro en la línea , porque . Si el centro está entre el factor de escala es . En el otro caso . En todo caso: ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}}$ ${\displaystyle r_{2}}$ ${\displaystyle Z:{\vec {z}}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle \sigma (M_{1})=M_{2}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$ ${\displaystyle s=-{\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle s={\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$

${\displaystyle \sigma ({\vec {m}}_{1})={\vec {z}}+s({\vec {m}}_{1}-{\vec {z}})={\vec {m}}_{2}}$.

Insertando y resolviendo rendimientos: ${\displaystyle s=\pm {\tfrac {r_{2}}{r_{1}}}}$ ${\displaystyle {\vec {z}}}$

${\displaystyle {\vec {z}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}\mp r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}\mp r_{2}}}}$.

Puntos de similitud de dos círculos: varios casos.

Punto

$${\displaystyle E:{\vec {e}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}-r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}-r_{2}}}}$$

punto de similitud exterior

$${\displaystyle I:{\vec {i}}={\frac {r_{1}{\vec {m}}_{2}+r_{2}{\vec {m}}_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}$$

punto de similitud interior

En caso de que uno consiga . En el caso de : es el punto en el infinito de la recta y es el centro de . En caso de que los círculos se toquen entre sí en un punto interior (ambos círculos en el mismo lado de la línea tangente común). En caso de que los círculos se toquen entre sí en un punto exterior (ambos círculos en diferentes lados de la línea tangente común). ${\displaystyle M_{1}=M_{2}}$ ${\displaystyle E=I=M_{i}}$
${\displaystyle r_{1}=r_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\overline {M_{1}M_{2}}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$
${\displaystyle r_{1}=|EM_{1}|}$ ${\displaystyle E}$
${\displaystyle r_{1}=|IM_{1}|}$ ${\displaystyle I}$

Además:

• Si los círculos están separados (los discos no tienen puntos en común), las tangentes comunes exteriores se encuentran en y las interiores en . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle I}$
• Si un círculo está contenido dentro del otro , los puntos se encuentran dentro de ambos círculos. ${\displaystyle E,I}$
• Los pares son conjugados armónicos proyectivos : Su relación cruzada es . ${\displaystyle M_{1},M_{2};E,I}$ ${\displaystyle (M_{1},M_{2};E,I)=-1}$

El teorema de Monge establece: Los puntos de similitud externos de tres círculos separados se encuentran en una línea.

Poder común de dos círculos.

Puntos de similitud de dos círculos y su poder común.

Sean dos círculos, su punto de similitud exterior y una línea que pasa por , que cruza los dos círculos en cuatro puntos . De la propiedad definitoria del punto se obtiene ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G_{1},H_{1},G_{2},H_{2}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {|EG_{1}|}{|EG_{2}|}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {|EH_{1}|}{|EH_{2}|}}\ }$

${\displaystyle \rightarrow \ |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\ }$

y del teorema de la secante (ver arriba) las dos ecuaciones

${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{1}|=\Pi _{1}(E),\quad |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|=\Pi _{2}(E).}$

Combinando estas tres ecuaciones se obtiene:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)&=|EG_{1}|\cdot |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|\cdot |EH_{2}|\\&=|EG_{1}|^{2}\cdot |EH_{2}|^{2}=|EG_{2}|^{2}\cdot |EH_{1}|^{2}\ .\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle |EG_{1}|\cdot |EH_{2}|=|EG_{2}|\cdot |EH_{1}|={\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}}}$$

${\displaystyle g}$ ${\displaystyle I}$

Las invariantes son llamadas por Steiner potencia común de los dos círculos ( gemeinschaftliche Potenz der beiden Kreise bezüglich ihrer Ähnlichkeitspunkte ). ^[6] ${\textstyle {\sqrt {\Pi _{1}(E)\cdot \Pi _{2}(E)}},\ {\sqrt {\Pi _{1}(I)\cdot \Pi _{2}(I)}}}$

Los pares y de puntos son puntos antihomólogos . Los pares y son homólogos . ^{[7] [8]} ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$

Determinación de una circunferencia tangente a dos circunferencias.

Poder común de dos círculos: aplicación.

Círculos tangentes a dos círculos.

Para una segunda secante que pasa por : ${\displaystyle E}$

${\displaystyle |EH_{1}|\cdot |EG_{2}|=|EH'_{1}|\cdot |EG'_{2}|}$

Del teorema de la secante se obtiene:

Los cuatro puntos se encuentran en un círculo. ${\displaystyle H_{1},G_{2},H'_{1},G'_{2}}$

Y análogamente:

Los cuatro puntos también se encuentran en un círculo. ${\displaystyle G_{1},H_{2},G'_{1},H'_{2}}$

Debido a que las líneas radicales de tres círculos se encuentran en el radical (ver: artículo línea radical), se obtiene:

Las secantes se encuentran en el eje radical de los dos círculos dados. ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},\;{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$

Moviendo la secante inferior (ver diagrama) hacia la superior, el círculo rojo se convierte en un círculo, que es tangente a ambos círculos dados. El centro del círculo tangente es la intersección de las rectas . Las secantes se vuelven tangentes en los puntos . Las tangentes se interceptan en la recta radical (en el diagrama amarillo). ${\displaystyle {\overline {M_{1}H_{1}}},{\overline {M_{2}G_{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {H_{1}H'_{1}}},{\overline {G_{2}G'_{2}}}}$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$ ${\displaystyle p}$

Consideraciones similares generan el segundo círculo tangente, que corta los círculos dados en los puntos (ver diagrama). ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

Todos los círculos tangentes a los círculos dados se pueden encontrar variando la línea . ${\displaystyle g}$

Posiciones de los centros

Círculos tangentes a dos círculos.

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H_{1},G_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|-r_{1}=|XM_{2}|-r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=r_{2}-r_{1}.}$

Por lo tanto: los centros se encuentran en una hipérbola con

focos , ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

distancia de los vértices ^{[ se necesita aclaración ]} , ${\displaystyle 2a=r_{2}-r_{1}}$

centro es el centro de , ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$

excentricidad lineal y ${\displaystyle c={\tfrac {|M_{1}M_{2}|}{2}}}$

${\displaystyle \ b^{2}=e^{2}-a^{2}={\tfrac {|M_{1}M_{2}|^{2}-(r_{2}-r_{1})^{2}}{4}}}$^{[ se necesita aclaración ]} .

Las consideraciones sobre las circunferencias tangentes exteriores conducen al resultado analógico:

Si es el centro y el radio del círculo, que es tangente a los círculos dados en los puntos , entonces: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle G_{1},H_{2}}$

${\displaystyle \rho =|XM_{1}|+r_{1}=|XM_{2}|+r_{2}}$

${\displaystyle \rightarrow \ |XM_{2}|-|XM_{1}|=-(r_{2}-r_{1}).}$

Los centros se encuentran en la misma hipérbola, pero en la rama derecha.

Véase también Problema de Apolonio .

Potencia de un punto con respecto a una esfera.

Potencia con respecto a una esfera.

La idea de la potencia de un punto respecto de un círculo se puede extender a una esfera. ^[9] Los teoremas de las secantes y de las cuerdas también son válidos para una esfera y pueden demostrarse literalmente como en el caso del círculo.

producto Darboux

La potencia de un punto es un caso especial del producto de Darboux entre dos círculos, que viene dado por ^[10]

${\displaystyle \left|A_{1}A_{2}\right|^{2}-r_{1}^{2}-r_{2}^{2}\,}$

donde A ₁ y A ₂ son los centros de los dos círculos y r ₁ y r ₂ son sus radios. La potencia de un punto surge en el caso especial de que uno de los radios sea cero.

Si los dos círculos son ortogonales, el producto de Darboux desaparece.

Si los dos círculos se cruzan, entonces su producto de Darboux es

${\displaystyle 2r_{1}r_{2}\cos \varphi \,}$

donde φ es el ángulo de intersección (ver sección círculo ortogonal ).

teorema de laguerre

Laguerre definió la potencia de un punto P con respecto a una curva algebraica de grado n como el producto de las distancias desde el punto a las intersecciones de un círculo que pasa por el punto con la curva, dividido por la enésima potencia del diámetro d. . Laguerre demostró que este número es independiente del diámetro (Laguerre 1905). En el caso de que la curva algebraica sea un círculo, esto no es exactamente lo mismo que la potencia de un punto con respecto a un círculo definido en el resto de este artículo, pero difiere de él en un factor de d ² .

Referencias

1. Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen , 1826, pág.164
2. Steiner, pág. 163
3. Steiner, pág. 178
4. Steiner, pág. 182
5. Steiner: pág. 170,171
6. Steiner: pág. 175
7. Michel Chasles, CH Schnuse: Die Grundlehren der neuern Geometrie, erster Theil , Verlag Leibrock, Braunschweig, 1856, pág. 312
8. William J. M'Clelland: Tratado sobre la geometría del círculo y algunas extensiones de las secciones cónicas mediante el método de reciprocidad , 1891, Verlag: Creative Media Partners, LLC, ISBN  978-0-344-90374-8 , p . 121,220
9. KP Grothemeyer: Analytische Geometrie , Sammlung Göschen 65/65A, Berlín 1962, pág. 54
10. Pierre Larochelle, J. Michael McCarthy: Actas del Simposio USCToMM sobre sistemas mecánicos y robótica de 2020 , 2020, Springer-Verlag, ISBN 978-3-030-43929-3 , p. 97 

• Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2ª ed.), Nueva York: Wiley.
• Darboux, Gaston (1872), "Sur les Relations entre les groupes de pointes, de cercles et de sphéres dans le plan et dans l'espace", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 1 : 323–392, doi : 10.24033 /asens.87.
• Laguerre, Edmond (1905), Oeuvres de Laguerre: Géométrie (en francés), Gauthier-Villars et fils, p. 20
• Steiner, Jacob (1826). "Einige geometrischen Betrachtungen" [Algunas consideraciones geométricas]. Diario de Crelle (en alemán). 1 : 161–184. doi :10.1515/crll.1826.1.161. S2CID  122065577.Figuras 8–26.
• Berger , Marcel (1987), Geometría I , Springer , ISBN 978-3-540-11658-5

Otras lecturas

• Ogilvy CS (1990), Excursiones en geometría , Publicaciones de Dover, págs. 6–23, ISBN 0-486-26530-7
• Coxeter HSM , Greitzer SL (1967), Geometry Revisited , Washington : MAA , págs. 27–31, 159–160, ISBN 978-0-88385-619-2
• Johnson RA (1960), Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo (reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Mifflin ed.), Nueva York: Dover Publications, págs. 28–34, ISBN 978-0-486-46237-0

enlaces externos

• Jacob Steiner y el poder de un punto de convergencia
• Weisstein, Eric W. "Círculo de poder". MundoMatemático .
• Teorema de cuerdas que se cruzan al cortar el nudo
• Teorema de cuerdas que se cruzan con animación interactiva
• Teorema de las secantes con animación interactiva