Teorema de cuerdas que se cruzan

Teorema de geometría que relaciona los segmentos de línea creados al cruzar cuerdas en un círculo

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\={}&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}$

En geometría euclidiana , el teorema de las cuerdas que se cruzan , o simplemente el teorema de las cuerdas , es una declaración que describe una relación de los cuatro segmentos de línea creados por dos cuerdas que se cruzan dentro de un círculo . Afirma que los productos de las longitudes de los segmentos de línea en cada cuerda son iguales. Es la Proposición 35 del Libro 3 de los Elementos de Euclides .

Más precisamente, para dos cuerdas AC y BD que se cruzan en un punto S se cumple la siguiente ecuación:

$${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

Lo contrario también es cierto. Es decir: si para dos segmentos de línea AC y BD que se cruzan en S la ecuación anterior es cierta, entonces sus cuatro puntos finales A , B , C , D se encuentran en un círculo común. O dicho de otro modo, si las diagonales de un cuadrilátero ABCD se cortan en S y cumplen la ecuación anterior, entonces es un cuadrilátero cíclico .

El valor de los dos productos en el teorema de la cuerda depende sólo de la distancia del punto de intersección S al centro del círculo y se llama valor absoluto de la potencia de S ; más precisamente, se puede afirmar que:

$${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$$

rradiodS.SM

El teorema se puede demostrar utilizando triángulos semejantes (mediante el teorema del ángulo inscrito ). Considere los ángulos de los triángulos △ ASD y △ BSC :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{inscribed angles over AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{inscribed angles over CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{opposing angles}})\end{aligned}}}$$

△ ASD△ BSC

$${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$$

Junto al teorema de la tangente-secante y el teorema de las secantes que se cruzan, el teorema de las cuerdas que se cruzan representa uno de los tres casos básicos de un teorema más general sobre dos líneas que se cruzan y un círculo: el teorema de la potencia del punto .

Referencias

• "Paul Glaister: Teorema de las cuerdas que se cruzan: 30 años después" . Matemáticas en la escuela, vol. 36, núm. 1 (enero de 2007), pág. 22 (JSTOR)
• Bruce Shawyer: exploraciones en geometría . Científico mundial, 2010, ISBN  9789813100947 , p. 14
• Hans Schupp: Geometría elemental. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 , pág. 149 (alemán). 
• Schülerduden-Matemática I. Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1 , págs. 415-417 (alemán) 

enlaces externos

• Teorema de cuerdas que se cruzan en cut-the-knot.org
• Teorema de cuerdas que se cruzan enproofwiki.org
• Weisstein, Eric W. "Acorde". MundoMatemático .
• Dos ilustraciones interactivas: [1] y [2]