ley de los senos

Propiedad de todos los triángulos en un plano euclidiano.

Ley de los senos

Dos triángulos etiquetados con las componentes de la ley de los senos. α , β y γ son los ángulos asociados con los vértices en A , B y C mayúsculas , respectivamente. Las minúsculas a , b y c son las longitudes de los lados opuestos a ellas. ( a es opuesto a α , etc.)

En trigonometría , la ley de los senos , ley de los senos , fórmula del seno o regla del seno es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo con los senos de sus ángulos. De acuerdo con la ley,

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R,}$$

a , bcα , βγRradio del círculo circunstanterecíprocos

$${\displaystyle {\frac {\sin {\alpha }}{a}}\,=\,{\frac {\sin {\beta }}{b}}\,=\,{\frac {\sin {\gamma }}{c}}.}$$

triangulacióncaso ambiguo

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas que se aplican comúnmente para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos , siendo la otra la ley de los cosenos .

La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante. ^[1]

Historia

El libro Eastern Science ^[2] de HJJ ​​Wilson afirma que el matemático indio del siglo VII Brahmagupta describe lo que ahora conocemos como la ley de los senos en su tratado astronómico Brāhmasphuṭasiddhānta . En su traducción parcial de esta obra, Colebrooke ^[3] traduce la afirmación de Brahmagupta sobre la regla del seno como: El producto de los dos lados de un triángulo, dividido por el doble de la perpendicular, es la línea central; y el doble de este es el diámetro de la línea central.

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin , la ley esférica de los senos fue descubierta en el siglo X. Se atribuye de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi , Abu al-Wafa' Buzjani , Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur . ^[4]

El libro de los arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī en el siglo XI contiene la ley esférica de los senos. ^[5] La ley plana de los senos fue establecida más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī . En su Sobre la figura del sector , estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos y proporcionó pruebas de esta ley. ^[6]

Según Glen Van Brummelen , "La ley de los senos es realmente la base de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos generales". ^[7] Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Prueba

Con el lado de longitud a como base, la altitud del triángulo se puede calcular como b sen γ o como c sen β . Al equiparar estas dos expresiones se obtiene

$${\displaystyle {\frac {\sin \beta }{b}}={\frac {\sin \gamma }{c}}\,,}$$

bc

El caso ambiguo de la solución triangular.

Cuando se utiliza la ley de los senos para encontrar un lado de un triángulo, ocurre un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos soluciones posibles diferentes para el triángulo). En el caso que se muestra a continuación son los triángulos ABC y ABC′ .

Dado un triángulo general, deberían cumplirse las siguientes condiciones para que el caso sea ambiguo:

• La única información que se conoce sobre el triángulo es el ángulo α y los lados a y c .
• El ángulo α es agudo (es decir, α < 90°).
• El lado a es más corto que el lado c (es decir, a < c ).
• El lado a es más largo que la altitud h desde el ángulo β , donde h = c sen α (es decir, a > h ).

Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos β y β′ produce un triángulo válido, lo que significa que ambas de las siguientes son verdaderas:

$${\displaystyle {\gamma }'=\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}\quad {\text{or}}\quad {\gamma }=\pi -\arcsin {\frac {c\sin {\alpha }}{a}}.}$$

A partir de ahí podemos encontrar los correspondientes β y b o β′ y b′ si es necesario, donde b es el lado delimitado por los vértices A y C y b′ está delimitado por A y C′ .

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema usando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Ejemplo 1

Dado: lado a = 20 , lado c = 24 y ángulo γ = 40° . Se desea el ángulo α .

Usando la ley de los senos, concluimos que

$${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}$$

$${\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}$$

Tenga en cuenta que la solución potencial α = 147,61° se excluye porque eso necesariamente daría α + β + γ > 180° .

Ejemplo 2

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo a y b son iguales a x , el tercer lado tiene longitud c , y los ángulos opuestos a los lados de longitudes a , b y c son α , β y γ respectivamente, entonces

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}$$

Relación con el círculo circunstante

en la identidad

$${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}},}$$

diámetrocírculo circunstantePtolomeo^{[8] [9]}

Prueba

Deducir la relación de la ley del seno igual al diámetro circunscrito. Tenga en cuenta que el triángulo ADB pasa por el centro del círculo circunscrito con diámetro d .

Como se muestra en la figura, sea un círculo con inscrita y otro inscrito que pasa por el centro del círculo O. El tiene un ángulo central de y por tanto , según el teorema de Tales . Como es un triángulo rectángulo, ${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle \triangle ADB}$ ${\displaystyle \angle AOD}$ ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ${\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \triangle ABD}$

$${\displaystyle \sin {\delta }={\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {c}{2R}},}$$

^[9]subtiendencuerda cteorema del ángulo inscrito. ${\textstyle R={\frac {d}{2}}}$ ${\displaystyle {\gamma }}$ ${\displaystyle {\delta }}$ ${\displaystyle {\gamma }={\delta }}$

$${\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}.}$$

Reorganizar los rendimientos

$${\displaystyle 2R={\frac {c}{\sin {\gamma }}}.}$$

Repetir el proceso de creación con otros puntos da ${\displaystyle \triangle ADB}$

${\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R.}$

Relación con el área del triángulo.

El área de un triángulo está dada por , donde es el ángulo encerrado por los lados de longitudes a y b . Sustituyendo la ley del seno en esta ecuación se obtiene ${\textstyle T={\frac {1}{2}}ab\sin \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle T={\frac {1}{2}}ab\cdot {\frac {c}{2R}}.}$$

Tomando como radio circunscriptor, ^[10] ${\displaystyle R}$

${\displaystyle T={\frac {abc}{4R}}.}$

También se puede demostrar que esta igualdad implica

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2T}}&={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\[6pt]&={\frac {2abc}{\sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}$$

Tssemiperímetro ${\textstyle s={\frac {1}{2}}\left(a+b+c\right).}$

La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.

La regla del seno también se puede utilizar para derivar la siguiente fórmula para el área del triángulo: denotando la semisuma de los senos de los ángulos como , tenemos ^[11] ${\textstyle S={\frac {1}{2}}\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)}$

${\displaystyle T=4R^{2}{\sqrt {S\left(S-\sin A\right)\left(S-\sin B\right)\left(S-\sin C\right)}}}$

donde está el radio de la circunferencia circunstante: . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2R={\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}}$

La ley esférica de los senos.

La ley esférica de los senos trata de triángulos en una esfera, cuyos lados son arcos de círculo máximo .

Supongamos que el radio de la esfera es 1. Sean a , b y c las longitudes de los grandes arcos que son los lados del triángulo. Debido a que es una esfera unitaria, a , b y c son los ángulos en el centro de la esfera subtendidos por esos arcos, en radianes. Sean A , B y C los ángulos opuestos a esos lados respectivos. Estos son ángulos diédricos entre los planos de los tres grandes círculos.

Entonces la ley esférica de los senos dice:

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}.}$$

Prueba vectorial

Considere una esfera unitaria con tres vectores unitarios OA , OB y ​​OC dibujados desde el origen hasta los vértices del triángulo. Por tanto, los ángulos α , β y γ son los ángulos a , b y c , respectivamente. El arco BC subtiende un ángulo de magnitud a en el centro. Introduzca una base cartesiana con OA a lo largo del eje z y OB en el plano xz formando un ángulo c con el eje z . El vector OC se proyecta a ON en el plano xy y el ángulo entre ON y el eje x es A. Por tanto, los tres vectores tienen componentes:

$${\displaystyle \mathbf {OA} ={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OB} ={\begin{pmatrix}\sin c\\0\\\cos c\end{pmatrix}},\quad \mathbf {OC} ={\begin{pmatrix}\sin b\cos A\\\sin b\sin A\\\cos b\end{pmatrix}}.}$$

El triple producto escalar , OA ⋅ ( OB × OC ) es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico OA , OB y ​​OC . Este volumen es invariante con respecto al sistema de coordenadas específico utilizado para representar OA , OB y ​​OC . El valor del triple producto escalar OA ⋅ ( OB × OC ) es el determinante 3 × 3 con OA , OB y ​​OC como filas. Con el eje z a lo largo de OA, el cuadrado de este determinante es

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}\mathbf {OA} \cdot (\mathbf {OB} \times \mathbf {OC} ){\bigr )}^{2}&=\left(\det {\begin{pmatrix}\mathbf {OA} &\mathbf {OB} &\mathbf {OC} \end{pmatrix}}\right)^{2}\\[4pt]&={\begin{vmatrix}0&0&1\\\sin c&0&\cos c\\\sin b\cos A&\sin b\sin A&\cos b\end{vmatrix}}^{2}=\left(\sin b\sin c\sin A\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

zOB(sin c sin a sin B ) ²zOC(sin a sin b sin C ) ²(sin a sin b sin c ) ²

$${\displaystyle {\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}={\frac {\sin ^{2}B}{\sin ^{2}b}}={\frac {\sin ^{2}C}{\sin ^{2}c}}={\frac {V^{2}}{\sin ^{2}(a)\sin ^{2}(b)\sin ^{2}(c)}},}$$

Vparalelepípedo

Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que

$${\displaystyle \lim _{a\to 0}{\frac {\sin a}{a}}=1}$$

el pecado bel pecado c

prueba geométrica

Considere una esfera unitaria con:

$${\displaystyle OA=OB=OC=1}$$

Construya punto y punto de manera que ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \angle ADO=\angle AEO=90^{\circ }}$

Construya un punto tal que ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle \angle A'DO=\angle A'EO=90^{\circ }}$

Por lo tanto se puede ver que y ${\displaystyle \angle ADA'=B}$ ${\displaystyle \angle AEA'=C}$

Observe que es la proyección de en el plano . Por lo tanto ${\displaystyle A'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle OBC}$ ${\displaystyle \angle AA'D=\angle AA'E=90^{\circ }}$

Por trigonometría básica tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}AD&=\sin c\\AE&=\sin b\end{aligned}}}$$

Pero ${\displaystyle AA'=AD\sin B=AE\sin C}$

Combinándolos tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin c\sin B&=\sin b\sin C\\\Rightarrow {\frac {\sin B}{\sin b}}&={\frac {\sin C}{\sin c}}\end{aligned}}}$$

Aplicando un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno:

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin a}}={\frac {\sin B}{\sin b}}={\frac {\sin C}{\sin c}}}$$

Otras pruebas

Se puede construir una prueba puramente algebraica a partir de la ley esférica de los cosenos . De la identidad y la expresión explícita de la ley esférica de los cosenos ${\displaystyle \sin ^{2}A=1-\cos ^{2}A}$ ${\displaystyle \cos A}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}\!A&=1-\left({\frac {\cos a-\cos b\,\cos c}{\sin b\,\sin c}}\right)^{2}\\&={\frac {\left(1-\cos ^{2}\!b\right)\left(1-\cos ^{2}\!c\right)-\left(\cos a-\cos b\,\cos c\right)^{2}}{\sin ^{2}\!b\,\sin ^{2}\!c}}\\[8pt]{\frac {\sin A}{\sin a}}&={\frac {\left[1-\cos ^{2}\!a-\cos ^{2}\!b-\cos ^{2}\!c+2\cos a\cos b\cos c\right]^{1/2}}{\sin a\sin b\sin c}}.\end{aligned}}}$$

${\displaystyle a,\;b,\;c}$

La figura utilizada en la prueba geométrica anterior es utilizada y también proporcionada por Banerjee ^[12] (consulte la Figura 3 en este artículo) para derivar la ley del seno utilizando álgebra lineal elemental y matrices de proyección.

Caso hiperbólico

En geometría hiperbólica, cuando la curvatura es −1, la ley de los senos se convierte en

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sinh a}}={\frac {\sin B}{\sinh b}}={\frac {\sin C}{\sinh c}}\,.}$$

En el caso especial en el que B es un ángulo recto, se obtiene

$${\displaystyle \sin C={\frac {\sinh c}{\sinh b}}}$$

que es análoga a la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

El caso de superficies de curvatura constante.

Defina una función seno generalizada, dependiendo también de un parámetro real : ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle \sin _{\kappa }(x)=x-{\frac {\kappa }{3!}}x^{3}+{\frac {\kappa ^{2}}{5!}}x^{5}-{\frac {\kappa ^{3}}{7!}}x^{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\kappa ^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}={\frac {\sin({\sqrt {\kappa \;}}x)}{\sqrt {\kappa \;}}}}$$

La ley de los senos en curvatura constante se lee como ^[1] ${\displaystyle \kappa }$

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{\sin _{\kappa }a}}={\frac {\sin B}{\sin _{\kappa }b}}={\frac {\sin C}{\sin _{\kappa }c}}\,.}$$

Al sustituir , y , se obtienen respectivamente los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descritos anteriormente. ${\displaystyle \kappa =0}$ ${\displaystyle \kappa =1}$ ${\displaystyle \kappa =-1}$

Indiquemos la circunferencia de un círculo de radio en un espacio de curvatura constante . Entonces . Por tanto, la ley de los senos también se puede expresar como: ${\displaystyle p_{\kappa }(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle p_{\kappa }(r)=2\pi \sin _{\kappa }(r)}$

$${\displaystyle {\frac {\sin A}{p_{\kappa }(a)}}={\frac {\sin B}{p_{\kappa }(b)}}={\frac {\sin C}{p_{\kappa }(c)}}\,.}$$

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai . ^[13]

Dimensiones superiores

Un tetraedro tiene cuatro facetas triangulares . El valor absoluto del seno polar ( psin ) de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice del tetraedro, dividido por el área de la cuarta faceta no dependerá de la elección del vértice: ^[14]

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{b}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )\right|}{\mathrm {Area} _{c}}}={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )\right|}{\mathrm {Area} _{d}}}\\[4pt]={}&{\frac {(3~\mathrm {Volume} _{\mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2~\mathrm {Area} _{a}\mathrm {Area} _{b}\mathrm {Area} _{c}\mathrm {Area} _{d}}}\,.\end{aligned}}}$$

De manera más general, para un simplex de n dimensiones (es decir, triángulo ( n = 2 ), tetraedro ( n = 3 ), pentatopo ( n = 4 ), etc.) en un espacio euclidiano de n dimensiones , el valor absoluto del seno polar de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice, dividido por la hiperárea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribiendo V para el hipervolumen del simplex n -dimensional y P para el producto de las hiperáreas de sus ( n − 1) facetas dimensionales, la relación común es

$${\displaystyle {\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {b} ,\ldots ,\mathbf {z} )\right|}{\mathrm {Area} _{a}}}=\cdots ={\frac {\left|\operatorname {psin} (\mathbf {a} ,\ldots ,\mathbf {y} )\right|}{\mathrm {Area} _{z}}}={\frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}$$

Ver también

• Gersonides
• Fórmula del medio lado  : para resolver triángulos esféricos
• Ley de cosenos
• ley de las tangentes
• Ley de cotangentes
• Fórmula de Mollweide  : para comprobar soluciones de triángulos
• Solución de triángulos
• topografía

Referencias

1. "Ley generalizada de los senos". mundo matemático .
2. Wilson, HJJ, Ciencia oriental, John Murray Publishers, 1952, p46.
3. Colebrooke, Henry Thomas, Álgebra, con aritmética y medición del sánscrito de Brahmegupta y Bhascara, Londres John Murray, 1817, págs. 299-300, URL: https://archive.org/details/algebrawitharith00brahuoft/page/298/ modo/2 arriba
4. Sesiano simplemente incluye a al-Wafa como colaborador. Sesiano, Jacques (2000) "Matemáticas islámicas" págs. 137-157, en Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Matemáticas entre culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 1-4020-0260-2
5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
6. Berggren, J. Lennart (2007). "Matemáticas en el Islam medieval". Las matemáticas de Egipto, Mesopotamia, China, India y el Islam: un libro de consulta . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 518.ISBN​ 978-0-691-11485-9.
7. Glen Van Brummelen (2009). " Las matemáticas de los cielos y de la tierra: la historia temprana de la trigonometría ". Prensa de la Universidad de Princeton. p.259. ISBN 0-691-12973-8 
8. Coxeter, HSM y Greitzer, SL Geometría revisada . Washington, DC: Matemáticas. Asociación. Amer., págs. 1 a 3, 1967
9. "Ley de los senos". www.pballew.net . Consultado el 18 de septiembre de 2018 .
10. Videos de matemáticas del Sr. T (10 de junio de 2015), Área de un triángulo y radio de su círculo circunscrito, archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 , consultado el 18 de septiembre de 2018
11. Mitchell, Douglas W., "Una fórmula de área tipo Heron en términos de senos", Mathematical Gazette 93, marzo de 2009, 108-109.
12. Banerjee, Sudipto (2004), "Revisando la trigonometría esférica con proyectores ortogonales" (PDF) , The College Mathematics Journal , 35 (5), Mathematical Association of America: 375–381, doi :10.1080/07468342.2004.11922099
13. Katok, Svetlana (1992). Grupos fucsianos . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. pag. 22.ISBN​ 0-226-42583-5.
14. Eriksson, Folke (1978). "La ley de los senos para tetraedros y n-símplices". Geometriae Dedicata . 7 (1): 71–80. doi :10.1007/bf00181352.

enlaces externos

• "Teorema del seno", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• La ley de los senos al cortar el nudo
• Grado de curvatura
• Encontrar el seno de 1 grado
• Ley generalizada de los senos a dimensiones superiores.