Fórmula de medio lado

Relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo esférico

Triángulo esférico

En trigonometría esférica , la fórmula del medio lado relaciona los ángulos y las longitudes de los lados de los triángulos esféricos , que son triángulos dibujados en la superficie de una esfera y por eso tienen lados curvos y no obedecen a las fórmulas de los triángulos planos . ^[1]

Para un triángulo sobre una esfera, la fórmula del medio lado es ^[2] ${\displaystyle \triangle ABC}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}a&={\sqrt {\frac {-\cos(S)\,\cos(S-A)}{\cos(S-B)\,\cos(S-C)}}}\end{aligned}}}$$

donde a, b, c son las longitudes angulares (medida del ángulo central , longitudes de arco normalizadas a una esfera de radio unitario ) de los lados opuestos a los ángulos A, B, C respectivamente, y es la mitad de la suma de los ángulos. Se pueden obtener dos fórmulas más para y permutando las etiquetas. ${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(A+B+C)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A,B,C.}$

La relación dual polar para un triángulo esférico es la fórmula del medio ángulo ,

$${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\tfrac {1}{2}}A&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\,\sin(s-c)}{\sin(s)\,\sin(s-a)}}}\end{aligned}}}$$

donde el semiperímetro es la mitad de la suma de los lados. Nuevamente, se pueden obtener dos fórmulas más permutando las etiquetas ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$ ${\displaystyle A,B,C.}$

Variante semitangente

Las mismas relaciones se pueden escribir como ecuaciones racionales de semitangentes (tangentes de semiángulos). Si y entonces la fórmula del medio lado es equivalente a: ${\displaystyle t_{a}=\tan {\tfrac {1}{2}}a,}$ ${\displaystyle t_{b}=\tan {\tfrac {1}{2}}b,}$ ${\displaystyle t_{c}=\tan {\tfrac {1}{2}}c,}$ ${\displaystyle t_{A}=\tan {\tfrac {1}{2}}A,}$ ${\displaystyle t_{B}=\tan {\tfrac {1}{2}}B,}$ ${\displaystyle t_{C}=\tan {\tfrac {1}{2}}C,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{a}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}-1{\bigr )}{\bigl (}{-t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{B}t_{C}-t_{C}t_{A}+t_{A}t_{B}+1{\bigr )}{\bigl (}t_{B}t_{C}+t_{C}t_{A}-t_{A}t_{B}+1{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

y la fórmula del medio ángulo es equivalente a:

$${\displaystyle {\begin{aligned}t_{A}^{2}&={\frac {{\bigl (}t_{a}-t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}t_{a}+t_{b}-t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}}{{\bigl (}t_{a}+t_{b}+t_{c}-t_{a}t_{b}t_{c}{\bigr )}{\bigl (}{-t_{a}+t_{b}+t_{c}+t_{a}t_{b}t_{c}}{\bigr )}}}.\end{aligned}}}$$

Ver también

• Ley esférica de los cosenos
• ley de haversines

Referencias

1. Bronshtein, IN; Semendyaev, KA; Musiol, Gerhard; Mühlig, Heiner (2007), Manual de Matemáticas , Springer, p. 165, ISBN 9783540721222[1]
2. Nelson, David (2008), Diccionario Penguin de Matemáticas (4ª ed.), Penguin UK, p. 529, ISBN 9780141920870.