Esfera unitaria

Esfera con radio uno, generalmente centrada en el origen del espacio.

Algunas 1-esferas: ‖ x ‖ ₂ es la norma para el espacio euclidiano.

En matemáticas , una esfera unitaria es una esfera de radio unitario : el conjunto de puntos a una distancia euclidiana 1 desde algún punto central en el espacio tridimensional . De manera más general, la esfera unitaria ${\displaystyle n}$ es una esfera de radio unitario en un espacio euclidiano dimensional ; el círculo unitario es un caso especial, la esfera unitaria en el plano . Una bola unitaria ( abierta ) es la región interior de una esfera unitaria, el conjunto de puntos a una distancia inferior a 1 del centro. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle 1}$

Una esfera o bola con radio unitario y centro en el origen del espacio se llama esfera unitaria o bola unitaria. Cualquier esfera arbitraria puede transformarse en esfera unitaria mediante una combinación de traducción y escala , por lo que el estudio de las esferas en general a menudo puede reducirse al estudio de la esfera unitaria.

La esfera unitaria se utiliza a menudo como modelo para la geometría esférica porque tiene una curvatura seccional constante de 1, lo que simplifica los cálculos. En trigonometría , la longitud del arco circular en el círculo unitario se llama radianes y se utiliza para medir la distancia angular ; En trigonometría esférica, el área de superficie en la esfera unitaria se llama estereorradián y se usa para medir ángulos sólidos .

En contextos más generales, una esfera unitaria es el conjunto de puntos de distancia 1 desde un punto central fijo, donde se pueden usar diferentes normas como nociones generales de "distancia", y una bola unitaria (abierta) es la región interior.

Unidades de esferas y bolas en el espacio euclidiano.

En el espacio euclidiano de dimensiones, la esfera unitaria -dimensional es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la ecuación ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$

La unidad abierta -bola es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$

y bola unitaria cerrada es el conjunto de todos los puntos que satisfacen la desigualdad ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$

Volumen y área

Gráficas de volúmenes ( V ) y áreas de superficie ( S ) de unidades de n -bolas.

La ecuación clásica de una esfera unitaria es la del elipsoide con un radio de 1 y sin alteraciones en los ejes -, - o -: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

El volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano y el área de superficie de la esfera unitaria aparecen en muchas fórmulas de análisis importantes . El volumen de la unidad -bola, que denotamos, se puede expresar haciendo uso de la función gamma . Es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V_{n},}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$

¿ Dónde está el doble factorial ? ${\displaystyle n!!}$

El hipervolumen de la esfera unitaria de dimensiones ( es decir , el "área" del límite de la bola unitaria de dimensiones), que denotamos, se puede expresar como ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A_{n-1},}$

${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$

Por ejemplo, es el "área" del límite de la bola unitaria , que simplemente cuenta los dos puntos. Entonces es el "área" del límite del disco unitario, que es la circunferencia del círculo unitario. es el área del límite de la bola unitaria , que es el área de la superficie de la esfera unitaria . ${\displaystyle A_{0}=2}$ ${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A_{1}=2\pi }$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi }$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

Las áreas de superficie y los volúmenes para algunos valores de son los siguientes: ${\displaystyle n}$

donde los valores decimales expandidos se redondean a la precisión mostrada. ${\displaystyle n\geq 2}$

recursividad

Los valores satisfacen la recursividad: ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle A_{0}=2}$

${\displaystyle A_{1}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$para . ${\displaystyle n>1}$

Los valores satisfacen la recursividad: ${\displaystyle V_{n}}$

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$para . ${\displaystyle n>1}$

Dimensiones de valor real no negativos

El valor en valores reales no negativos de se utiliza a veces para la normalización de la medida de Hausdorff. ^{[1] [2]} ${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$ ${\displaystyle n}$

Otros radios

El área de superficie de una esfera con radio es y el volumen de una bola con radio es. Por ejemplo, el área es para la superficie bidimensional de la bola tridimensional de radio El volumen es para la bola tridimensional de radio  . ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$ ${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r.}$ ${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$ ${\displaystyle r}$

Bolas unitarias en espacios vectoriales normados

La bola unitaria abierta de un espacio vectorial normado con la norma viene dada por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$

Es el interior topológico de la bola unitaria cerrada de ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$

Este último es la unión disjunta de los primeros y su frontera común, la esfera unitaria de ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$

La "forma" de la bola unitaria depende totalmente de la norma elegida; bien puede tener "esquinas" y, por ejemplo, puede verse así en el caso de la norma máxima en . Se obtiene una bola naturalmente redonda como bola unitaria perteneciente a la norma espacial habitual de Hilbert , basada en el caso de dimensión finita en la distancia euclidiana ; su límite es lo que normalmente se entiende por esfera unitaria . ${\displaystyle [-1,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Definamos la norma habitual para como: ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$

Entonces es la norma habitual del espacio de Hilbert . se llama norma de Hamming o norma. La condición es necesaria en la definición de la norma, ya que la bola unitaria en cualquier espacio normado debe ser convexa como consecuencia de la desigualdad del triángulo . Denotemos la norma máxima o la norma de . ${\displaystyle \|x\|_{2}}$ ${\displaystyle \|x\|_{1}}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle p\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$ ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ ${\displaystyle x}$

Tenga en cuenta que para las circunferencias unidimensionales de las bolas unitarias bidimensionales, tenemos: ${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$es el valor mínimo.

${\displaystyle C_{2}=2\pi }$

${\displaystyle C_{\infty }=8}$es el valor máximo.

Generalizaciones

Espacios métricos

Las tres definiciones anteriores se pueden generalizar directamente a un espacio métrico , con respecto a un origen elegido. Sin embargo, las consideraciones topológicas (interior, cierre, frontera) no tienen por qué aplicarse de la misma manera (por ejemplo, en espacios ultramétricos , los tres son simultáneamente conjuntos abiertos y cerrados), y la esfera unitaria puede incluso estar vacía en algunos espacios métricos.

formas cuadráticas

Si es un espacio lineal con una forma cuadrática real, entonces puede llamarse esfera unitaria ^{[3] [4]} o cuasiesfera unitaria de. Por ejemplo, la forma cuadrática , cuando se iguala a uno, produce la hipérbola unitaria , que desempeña el papel Papel del "círculo unitario" en el plano de números complejos divididos . De manera similar, la forma cuadrática produce un par de líneas para la esfera unitaria en el plano numérico dual . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Ver también

• Pelota
• ${\displaystyle n}$-esfera
• Esfera
• superelipse
• Circulo unitario
• disco unitario
• Paquete tangente unitario
• Unidad cuadrada

notas y referencias

1. Universidad China de Hong Kong, Matemáticas 5011, Capítulo 3, Medidas de Lebesgue y Hausdorff
2. Manin, Yuri I. "La noción de dimensión en geometría y álgebra" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 43 (2): 139–161 . Consultado el 17 de diciembre de 2021 .
3. Takashi Ono (1994) Variaciones sobre un tema de Euler: formas cuadráticas, curvas elípticas y mapas de Hopf , capítulo 5: Mapas esféricos cuadráticos, página 165, Plenum Press , ISBN 0-306-44789-4 
4. F. Reese Harvey (1990) Spinores y calibraciones , "Esferas generalizadas", página 42, Academic Press , ISBN 0-12-329650-1 

• Mahlon M. Day (1958) Espacios lineales normados , página 24, Springer-Verlag .
• Deza, E .; Deza, M. (2006), Diccionario de distancias , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. Revisado en Newsletter of the European Mathematical Society 64 (junio de 2007), p. 57. Este libro está organizado como una lista de distancias de muchos tipos, cada una con una breve descripción.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Esfera unitaria". MundoMatemático .