Espacio ultramétrico

Tipo de espacio métrico

En matemáticas , un espacio ultramétrico es un espacio métrico en el que la desigualdad del triángulo se fortalece para todos , y . En ocasiones, la métrica asociada también se denomina métrica no de Arquímedes o supermétrica . ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$

Definicion formal

Un ultramétrico en un conjunto M es una función de valor real

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(donde ℝ denota los números reales ), tal que para todo x , y , z ∈ M :

1. d ( x , y ) ≥ 0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) ( simetría );
3. re ( x , x ) = 0 ;
4. si d ( x , y )=0 entonces x = y ;
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } ( desigualdad triangular fuerte o desigualdad ultramétrica ).

Un espacio ultramétrico es un par ( M , d ) que consta de un conjunto M junto con un d ultramétrico en M , que se denomina función de distancia asociada al espacio (también llamada métrica ).

Si d satisface todas las condiciones excepto posiblemente la condición 4, entonces d se llama ultrapseudométrico en M. Un espacio ultrapseudométrico es un par ( M , d ) que consta de un conjunto M y un d ultrapseudométrico en M . ^[1]

En el caso de que M sea un grupo abeliano (escrito de forma aditiva) y d se genere mediante una función de longitud (de modo que ), la última propiedad se puede reforzar utilizando el enfoque de Krull para: ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$con igualdad si . ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

Queremos demostrar que si , entonces la igualdad ocurre si . Sin pérdida de generalidad , supongamos que Esto implica que . Pero también podemos calcular . Ahora bien, el valor de no puede ser , porque si ese es el caso, estamos en contra del supuesto inicial. Así, , y . Usando la desigualdad inicial, tenemos y por lo tanto . ${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$ ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ ${\displaystyle \|y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$ ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$ ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$ ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

Propiedades

En el triángulo de la derecha, los dos puntos inferiores x e y violan la condición d ( x , y ) ≤ max{ d ( x , z ), d ( y , z )}.

De la definición anterior se pueden concluir varias propiedades típicas de la ultramétrica. Por ejemplo, para todos , al menos una de las tres igualdades o o se cumple. Es decir, cada tripleta de puntos del espacio forma un triángulo isósceles , por lo que todo el espacio es un conjunto isósceles . ${\displaystyle x,y,z\in M}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$ ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

Al definir la bola (abierta) de radio centrada en como , tenemos las siguientes propiedades: ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• Cada punto dentro de una bola es su centro, es decir, si entonces . ${\displaystyle d(x,y)<r}$ ${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• Las bolas que se cruzan están contenidas entre sí, es decir, si no están vacías, entonces o . ${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$ ${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$ ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• Todas las bolas de radio estrictamente positivo son conjuntos abiertos y cerrados en la topología inducida . Es decir, las bolas abiertas también están cerradas y las bolas cerradas (reemplazar con ) también están abiertas. ${\displaystyle <}$ ${\displaystyle \leq }$
• El conjunto de todas las bolas abiertas con radio y centro en una bola cerrada de radio forma una partición de esta última, y ​​la distancia mutua de dos bolas abiertas distintas es (mayor o) igual a . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle r}$

Probar estas afirmaciones es un ejercicio instructivo. ^[2] Todos se derivan directamente de la desigualdad del triángulo ultramétrico. Tenga en cuenta que, según la segunda afirmación, una bola puede tener varios puntos centrales que tienen una distancia distinta de cero. La intuición detrás de efectos tan aparentemente extraños es que, debido a la fuerte desigualdad del triángulo, las distancias en ultrametría no cuadran.

Ejemplos

• La métrica discreta es una ultramétrica.
• Los números p -ádicos forman un espacio ultramétrico completo.
• Considere el conjunto de palabras de longitud arbitraria (finita o infinita), Σ ^* , sobre algún alfabeto Σ. Defina la distancia entre dos palabras diferentes como 2 ^{− n} , donde n es el primer lugar en el que las palabras difieren. La métrica resultante es una ultramétrica.
• El conjunto de palabras con extremos pegados de longitud n sobre algún alfabeto Σ es un espacio ultramétrico con respecto a la p -distancia cercana. Dos palabras x e y son p -cerradas si cualquier subcadena de p letras consecutivas ( p < n ) aparece el mismo número de veces (que también podría ser cero) tanto en x como en y . ^[3]
• Si r = ( r _n ) es una secuencia de números reales que disminuye a cero, entonces | x | _r  := lím sup _{n →∞} | x _norte | ^{r _n} induce una ultrametría en el espacio de todas las secuencias complejas para las que es finito. (Tenga en cuenta que esta no es una seminorma ya que carece de homogeneidad . Si se permite que r _n sea cero, se debe usar aquí la convención bastante inusual de que 0 0  = 0.)
• Si G es un gráfico no dirigido ponderado por bordes , todos los pesos de los bordes son positivos y d ( u , v ) es el peso de la ruta minimax entre u y v (es decir, el peso más grande de una arista, en una ruta elegida para minimizar este peso mayor), entonces los vértices del gráfico, con la distancia medida por d , forman un espacio ultramétrico, y todos los espacios ultramétricos finitos pueden representarse de esta manera. ^[4]

Aplicaciones

• Entonces se puede pensar en un mapeo de contracción como una forma de aproximar el resultado final de un cálculo (cuya existencia se puede garantizar mediante el teorema del punto fijo de Banach ). Se pueden encontrar ideas similares en la teoría de dominios . El análisis p -ádico hace un uso intensivo de la naturaleza ultramétrica de la métrica p -ádica .
• En física de la materia condensada , la superposición autopromediada entre espines en el modelo SK de vasos de espín exhibe una estructura ultramétrica, con la solución dada por el procedimiento de ruptura de simetría de réplica completa descrito por primera vez por Giorgio Parisi y sus compañeros. ^[5] La ultrametricidad también aparece en la teoría de los sólidos aperiódicos. ^[6]
• En taxonomía y construcción de árboles filogenéticos , los métodos UPGMA y WPGMA también utilizan distancias ultramétricas . ^[7] Estos algoritmos requieren una suposición de tasa constante y producen árboles en los que las distancias desde la raíz hasta la punta de cada rama son iguales. Cuando se analizan datos de ADN , ARN y proteínas , el supuesto de ultrametricidad se denomina reloj molecular .
• Los modelos de intermitencia en turbulencias tridimensionales de fluidos utilizan las llamadas cascadas, y en modelos discretos, cascadas diádicas, que tienen una estructura ultramétrica. ^[8]
• En geografía y ecología del paisaje , las distancias ultramétricas se han aplicado para medir la complejidad del paisaje y evaluar hasta qué punto una función del paisaje es más importante que otra. ^[9]

Referencias

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 1-18.
2. "Desigualdad del triángulo ultramétrico". Intercambio de pila .
3. Osipov, Gutkin (2013), "Agrupación de órbitas periódicas en sistemas caóticos", No linealidad , 26 (26): 177–200, Bibcode :2013Nonli..26..177G, doi :10.1088/0951-7715/26/1 /177.
4. Leclerc, Bruno (1981), "Descripción combinatoire des ultramétriques", Centre de Mathématique Sociale. École Pratique des Hautes Études. Mathématiques et Sciences Humaines (en francés) (73): 5–37, 127, SEÑOR  0623034.
5. Mezard, M; Parisi, G; y Virasoro, M: TEORÍA DEL VIDRIO SPIN Y MÁS ALLÁ , World Scientific, 1986. ISBN 978-9971-5-0116-7 
6. Rammal, R.; Tolosa, G.; Virasoro, M. (1986). "Ultrametricidad para físicos". Reseñas de Física Moderna . 58 (3): 765–788. Código Bib : 1986RvMP...58..765R. doi : 10.1103/RevModPhys.58.765 . Consultado el 20 de junio de 2011 .
7. Legendre, P. y Legendre, L. 1998. Ecología numérica. Segunda edición en inglés. Desarrollos en modelado ambiental 20. Elsevier, Amsterdam.
8. Benzi, R.; Biferale, L.; Trovatore, E. (1997). "Estructura ultramétrica de correlaciones energéticas multiescala en modelos turbulentos". Cartas de revisión física . 79 (9): 1670–1674. arXiv : chao-dyn/9705018 . Código bibliográfico : 1997PhRvL..79.1670B. doi :10.1103/PhysRevLett.79.1670. S2CID  53120932.
9. Papadimitriou, Fivos (2013). "Modelado matemático del uso del suelo y complejidad del paisaje con topología ultramétrica". Revista de ciencia del uso de la tierra . 8 (2): 234–254. doi : 10.1080/1747423x.2011.637136 . ISSN  1747-423X. S2CID  121927387.

Bibliografía

• Narici, Lorenzo; Beckenstein, Eduardo (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemática pura y aplicada (Segunda ed.). Boca Ratón, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer Nueva York Pie de imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

Otras lecturas

• Kaplansky, I. (1977), Teoría de conjuntos y espacios métricos , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-2694-2.