Lema incentro-excentro

Una declaración sobre las propiedades de los círculos inscritos y circunscritos

En geometría , el lema del incentro-excentro es el teorema que establece que el segmento de línea entre el incentro y cualquier excentro de un triángulo, o entre dos excentros, es el diámetro de un círculo (un círculo incentro-excentro o excentro-excentro ) que también pasa por dos vértices de un triángulo con su centro en el circuncírculo . ^{[1] [2] [3]} Este teorema es más conocido en Rusia, donde se llama teorema del trillium ( теорема трилистника ) o lema del tridente ( лемма о трезубце ), basado en la semejanza de la figura geométrica con una flor de trillium o tridente ; ^{[4] [5]} estos nombres a veces también se han adoptado en inglés. ^{[6] [7]}

Estas relaciones surgen porque el incentro y los excentros de cualquier triángulo forman un sistema ortocéntrico cuyo círculo de nueve puntos es el circuncírculo del triángulo original. ^{[8] [2]} El teorema es útil para resolver problemas competitivos de geometría euclidiana, ^[1] y se puede utilizar para reconstruir un triángulo a partir de un vértice, el incentro y el circuncentro.

Declaración

Lema incentro-excentro con incentro I y excentro E

Sea ABC un triángulo arbitrario . Sea I su incentro y sea D el punto donde la línea BI (la bisectriz del ángulo ∠ ABC ) corta la circunferencia circunscrita de ABC . Entonces, el teorema establece que D es equidistante de A , C e I. De manera equivalente:

• El círculo que pasa por A , C e I tiene su centro en D. En particular, esto implica que el centro de este círculo se encuentra en el círculo circunscrito. ^{[9] [10]}
• Los tres triángulos AID , CID y ACD son isósceles , con D como su vértice.

Un cuarto punto E , el excentro de ABC con respecto a B , también se encuentra a la misma distancia de D , diametralmente opuesto a I. ^{[5] [11} ]

Prueba

Por el teorema del ángulo inscrito , ${\displaystyle \angle IBA=\angle DCA,\ \angle IBC=\angle DAC.}$

Dado que es una bisectriz de un ángulo, ${\displaystyle BI}$ ${\displaystyle \angle DCA=\angle DAC\implies AD=CD.}$

También conseguimos

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle DIA&=180^{\circ }-\angle AIB\\&=180^{\circ }-(180^{\circ }-\angle IAB-\angle IBA)\\&=\angle IAB+\angle IBA\\&=\angle IAC+\angle DAC\\&=\angle IAD\\\implies AD&=DI.\end{aligned}}}$

Aplicación a la reconstrucción de triángulos

Este teorema se puede utilizar para reconstruir un triángulo a partir de las posiciones de un solo vértice, el incentro y el circuncentro del triángulo. Sea B el vértice dado, I el incentro y O el circuncentro. Esta información permite la construcción sucesiva de:

• el círculo circunscrito del triángulo dado, como el círculo con centro O y radio OB ,
• punto D como la intersección del círculo circunscrito con la línea BI ,
• el círculo del teorema, con centro D y radio DI , y
• vértices A y C como puntos de intersección de los dos círculos. ^[12]

Sin embargo, para algunos triples de puntos B , I y O , esta construcción puede fallar, ya sea porque la línea IB es tangente al círculo circunscrito o porque los dos círculos no tienen dos puntos de cruce. También puede producir un triángulo para el cual el punto dado I es un excentro en lugar del incentro. En estos casos, no puede haber ningún triángulo que tenga B como vértice, I como incentro y O como circuncentro. ^[13]

Otros problemas de reconstrucción de triángulos, como la reconstrucción de un triángulo a partir de un vértice, un incentro y un centro de su círculo de nueve puntos , se pueden resolver reduciendo el problema al caso de un vértice, un incentro y un circuncentro. ^[13]

Generalización

Sean I y J cualesquiera dos de los cuatro puntos dados por el incentro y los tres excentros de un triángulo ABC . Entonces, I y J son colineales con uno de los tres vértices del triángulo. El círculo con IJ como diámetro pasa por los otros dos vértices y está centrado en el circuncírculo de ABC . Cuando uno de I o J es el incentro, se trata del teorema del trillium, con la línea IJ como la bisectriz del ángulo (interno) de uno de los ángulos del triángulo. Sin embargo, también es cierto cuando I y J son ambos excentros; en este caso, la línea IJ es la bisectriz del ángulo externo de uno de los ángulos del triángulo. ^[14]

Véase también

• Teorema de la bisectriz del ángulo

Referencias

1. Chen, Evan (2016). "§1.4 El lema del incentro y el excentro". Geometría euclidiana en las Olimpíadas matemáticas . Asociación Matemática de Estados Unidos. págs. 9-10. ISBN 9780883858394.
2. Le, Nguyen; Wildberger, normando (2016). "Simetría incéntrica, líneas de Euler y puntos de Schiffler". KoG . 20 (20): 22–30.
3. Weisstein, Eric W. (1999). Enciclopedia concisa de matemáticas de la CRC . CRC Press. "Círculo excéntrico-excéntrico" pág. 591, "Círculo incéntrico-excéntrico" pág. 894. ISBN 0849396409.Republicado en MathWorld : "Círculo excéntrico-excéntrico", "Círculo incéntrico-excéntrico".
4. Teorema de Trillium: И. A. Кушнир. "Это открытие - золотой ключ Леонарда Эйлера" (PDF) (en ruso). Ф7 (Теорема трилистника), página 34; prueba en la página 36.

   Lema del tridente: Р. Н. Карасёв; B. Л. Дольников; И. И. Богданов; A. B. Акопян. "Задачи для школьного математического кружка" (PDF) (en ruso). Problema 1.2. pag. 4.{{cite web}}: CS1 maint: location (link)

5. "6. Лемма о трезубце" (PDF) (en ruso). СУНЦ МГУ им. M. B. Ломоносова - школа им. А.Н. Колмогорова. 2014-10-29.
6. Garcia, Ronaldo; Odehnal, Boris; Reznik, Dan (2022). "Lugares geométricos de triángulos de poncelet en el caso de clausura general". Journal of Geometry . 113 (1): 17. arXiv : 2108.05430 . doi :10.1007/s00022-022-00629-3.
7. Zaslavsky, Alexey A.; Skopenkov, Mikhail B. (2021). Matemáticas a través de problemas. Parte 2: Geometría . American Mathematical Society. pág. 15. ISBN 9781470448790.
8. Johnson, Roger A. (1929). "X. Círculos inscritos y escriturizados" . Geometría moderna . Houghton Mifflin. págs. 182–194.
9. Morris, Richard (1928), "Círculos a través de puntos notables del triángulo", The Mathematics Teacher , 21 (2): 63–71, doi :10.5951/MT.21.2.0069, JSTOR  27951001. Véase en particular la discusión en la pág. 65 de los círculos BIC , CIA , AIB y sus centros.
10. Bogomolny, Alexander . "Una propiedad del círculo a través del incentro". Cut-the-Knot . Consultado el 26 de enero de 2016 .
11. Bogomolny, Alexander . "Puntos medios de las líneas que unen los centros internos y externos". Cut-the-Knot . Consultado el 26 de enero de 2016 .
12. Aref, MN; Wernick, William (1968). Problemas y soluciones en geometría euclidiana. Dover. 3.3(i), pág. 68. ISBN 9780486477206..
13. Yiu, Paul (2012), "Construcción cónica de un triángulo a partir de su incentro, centro de nueve puntos y un vértice" (PDF) , Journal for Geometry and Graphics , 16 (2): 171–183, MR  3088369
14. Chou, Shang-Ching; Gao, Xiao-Shan; Zhang, Jingzhong (1994). Pruebas de máquina en geometría. World Scientific. Ejemplos 6.145 y 6.146, págs. 328-329. ISBN 9789810215842..