Formulación matemática de la mecánica cuántica

Estructuras matemáticas que permiten explicar la mecánica cuántica

Las formulaciones matemáticas de la mecánica cuántica son aquellos formalismos matemáticos que permiten una descripción rigurosa de la mecánica cuántica . Este formalismo matemático utiliza principalmente una parte del análisis funcional , especialmente los espacios de Hilbert , que son un tipo de espacio lineal . Estos se distinguen de los formalismos matemáticos para las teorías de la física desarrolladas antes de principios de 1900 por el uso de estructuras matemáticas abstractas, como los espacios de Hilbert de dimensión infinita ( principalmente el espacio L 2 ), y los operadores en estos espacios. En resumen, los valores de observables físicos como la energía y el momento ya no se consideraban como valores de funciones en el espacio de fases , sino como valores propios ; más precisamente, como valores espectrales de operadores lineales en el espacio de Hilbert. ^[1]

Estas formulaciones de la mecánica cuántica siguen utilizándose en la actualidad. En el centro de la descripción se encuentran las ideas de estado cuántico y observables cuánticos , que son radicalmente diferentes de las utilizadas en modelos anteriores de la realidad física. Si bien las matemáticas permiten el cálculo de muchas cantidades que se pueden medir experimentalmente, existe un límite teórico definido para los valores que se pueden medir simultáneamente. Esta limitación fue dilucidada por primera vez por Heisenberg a través de un experimento mental , y está representada matemáticamente en el nuevo formalismo por la no conmutatividad de los operadores que representan observables cuánticos.

Antes del desarrollo de la mecánica cuántica como teoría independiente , las matemáticas utilizadas en física consistían principalmente en análisis matemático formal , comenzando con el cálculo y aumentando en complejidad hasta la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . La teoría de la probabilidad se utilizó en la mecánica estadística . La intuición geométrica jugó un papel importante en las dos primeras y, en consecuencia, las teorías de la relatividad se formularon completamente en términos de conceptos geométricos diferenciales. La fenomenología de la física cuántica surgió aproximadamente entre 1895 y 1915, y durante los 10 a 15 años anteriores al desarrollo de la mecánica cuántica (alrededor de 1925) los físicos continuaron pensando en la teoría cuántica dentro de los confines de lo que ahora se llama física clásica , y en particular dentro de las mismas estructuras matemáticas. El ejemplo más sofisticado de esto es la regla de cuantificación de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara , que se formuló completamente en el espacio de fase clásico .

Historia del formalismo

La “vieja teoría cuántica” y la necesidad de nuevas matemáticas

En la década de 1890, Planck logró derivar el espectro del cuerpo negro , que luego se utilizó para evitar la catástrofe ultravioleta clásica al hacer la suposición poco ortodoxa de que, en la interacción de la radiación electromagnética con la materia , la energía solo podía intercambiarse en unidades discretas que él llamó cuantos . Planck postuló una proporcionalidad directa entre la frecuencia de la radiación y el cuanto de energía en esa frecuencia. La constante de proporcionalidad, h , ahora se llama constante de Planck en su honor.

En 1905, Einstein explicó ciertas características del efecto fotoeléctrico asumiendo que los cuantos de energía de Planck eran partículas reales, que más tarde se denominaron fotones .

luz en la frecuencia adecuada

Todos estos desarrollos eran fenomenológicos y desafiaban la física teórica de la época. Bohr y Sommerfeld modificaron la mecánica clásica en un intento de deducir el modelo de Bohr a partir de los primeros principios. Propusieron que, de todas las órbitas clásicas cerradas trazadas por un sistema mecánico en su espacio de fases, solo se permitían las que encerraban un área que era un múltiplo de la constante de Planck. La versión más sofisticada de este formalismo fue la llamada cuantificación de Sommerfeld-Wilson-Ishiwara . Aunque el modelo de Bohr del átomo de hidrógeno podía explicarse de esta manera, el espectro del átomo de helio (clásicamente un problema de 3 cuerpos irresoluble ) no podía predecirse. El estado matemático de la teoría cuántica permaneció incierto durante algún tiempo.

En 1923, de Broglie propuso que la dualidad onda-partícula se aplicaba no sólo a los fotones, sino también a los electrones y a todos los demás sistemas físicos.

La situación cambió rápidamente en los años 1925-1930, cuando se encontraron fundamentos matemáticos de trabajo a través del trabajo pionero de Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born , Pascual Jordan y el trabajo fundacional de John von Neumann , Hermann Weyl y Paul Dirac , y se hizo posible unificar varios enfoques diferentes en términos de un nuevo conjunto de ideas. La interpretación física de la teoría también se clarificó en estos años después de que Werner Heisenberg descubriera las relaciones de incertidumbre y Niels Bohr introdujera la idea de complementariedad .

La "nueva teoría cuántica"

La mecánica matricial de Werner Heisenberg fue el primer intento exitoso de replicar la cuantificación observada de los espectros atómicos . Más tarde, ese mismo año, Schrödinger creó su mecánica ondulatoria . El formalismo de Schrödinger se consideró más fácil de entender, visualizar y calcular, ya que condujo a ecuaciones diferenciales , cuya solución ya conocían los físicos. En menos de un año, se demostró que las dos teorías eran equivalentes.

El propio Schrödinger inicialmente no comprendió la naturaleza probabilística fundamental de la mecánica cuántica, ya que pensaba que el cuadrado absoluto de la función de onda de un electrón debería interpretarse como la densidad de carga de un objeto esparcida sobre un volumen de espacio extendido, posiblemente infinito. Fue Max Born quien introdujo la interpretación del cuadrado absoluto de la función de onda como la distribución de probabilidad de la posición de un objeto puntual . La idea de Born pronto fue retomada por Niels Bohr en Copenhague, quien luego se convirtió en el "padre" de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Se puede ver que la función de onda de Schrödinger está estrechamente relacionada con la ecuación clásica de Hamilton-Jacobi . La correspondencia con la mecánica clásica fue aún más explícita, aunque algo más formal, en la mecánica matricial de Heisenberg. En su proyecto de tesis doctoral, Paul Dirac ^[2] descubrió que la ecuación para los operadores en la representación de Heisenberg , como se la llama ahora, se traduce estrechamente a las ecuaciones clásicas para la dinámica de ciertas cantidades en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica, cuando uno las expresa a través de corchetes de Poisson , un procedimiento ahora conocido como cuantificación canónica .

Antes de Schrödinger, el joven investigador postdoctoral Werner Heisenberg inventó su mecánica matricial , que fue la primera mecánica cuántica correcta, un avance esencial. La formulación de la mecánica matricial de Heisenberg se basaba en álgebras de matrices infinitas, una formulación muy radical a la luz de las matemáticas de la física clásica, aunque partía de la terminología de índices de los experimentalistas de la época, sin siquiera ser consciente de que sus "esquemas de índices" eran matrices, como Born pronto le señaló. De hecho, en aquellos primeros años, el álgebra lineal no era en general popular entre los físicos en su forma actual.

Aunque el propio Schrödinger demostró después de un año la equivalencia de su mecánica ondulatoria y la mecánica matricial de Heisenberg, la reconciliación de los dos enfoques y su abstracción moderna como movimientos en el espacio de Hilbert se atribuye generalmente a Paul Dirac, quien escribió una explicación lúcida en su clásico de 1930 Principios de la mecánica cuántica . Él es el tercer pilar, y posiblemente el más importante, de ese campo (pronto fue el único que descubrió una generalización relativista de la teoría). En su explicación antes mencionada, introdujo la notación bra-ket , junto con una formulación abstracta en términos del espacio de Hilbert utilizado en el análisis funcional; mostró que los enfoques de Schrödinger y Heisenberg eran dos representaciones diferentes de la misma teoría, y encontró una tercera, más general, que representaba la dinámica del sistema. Su trabajo fue particularmente fructífero en muchos tipos de generalizaciones del campo.

La primera formulación matemática completa de este enfoque, conocida como los axiomas de Dirac-von Neumann , generalmente se atribuye al libro de John von Neumann Fundamentos matemáticos de la mecánica cuántica de 1932 , aunque Hermann Weyl ya había hecho referencia a los espacios de Hilbert (a los que llamó espacios unitarios ) en su artículo y libro clásicos de 1927. Se desarrolló en paralelo con un nuevo enfoque de la teoría espectral matemática basada en operadores lineales en lugar de las formas cuadráticas que eran el enfoque de David Hilbert una generación antes. Aunque las teorías de la mecánica cuántica continúan evolucionando hasta el día de hoy, existe un marco básico para la formulación matemática de la mecánica cuántica que subyace a la mayoría de los enfoques y se remonta al trabajo matemático de John von Neumann. En otras palabras, las discusiones sobre la interpretación de la teoría y las extensiones de la misma ahora se llevan a cabo principalmente sobre la base de supuestos compartidos sobre los fundamentos matemáticos.

Desarrollos posteriores

La aplicación de la nueva teoría cuántica al electromagnetismo dio lugar a la teoría cuántica de campos , que se desarrolló a partir de 1930 aproximadamente. La teoría cuántica de campos ha impulsado el desarrollo de formulaciones más sofisticadas de la mecánica cuántica, de las cuales las que se presentan aquí son casos especiales simples.

• Formulación de la integral de trayectoria
• Formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica y cuantificación geométrica
• Teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo
• Teoría cuántica de campos axiomática , algebraica y constructiva
• Formalismo del álgebra C*
• Modelo estadístico generalizado de la mecánica cuántica

Un tema relacionado es la relación con la mecánica clásica. Se supone que cualquier nueva teoría física debe reducirse a las antiguas teorías exitosas en alguna aproximación. Para la mecánica cuántica, esto se traduce en la necesidad de estudiar el llamado límite clásico de la mecánica cuántica . Además, como enfatizó Bohr, las capacidades cognitivas y el lenguaje humanos están inextricablemente vinculados al ámbito clásico, y por eso las descripciones clásicas son intuitivamente más accesibles que las cuánticas. En particular, la cuantización , es decir, la construcción de una teoría cuántica cuyo límite clásico es una teoría clásica dada y conocida, se convierte en un área importante de la física cuántica en sí misma.

Finalmente, algunos de los creadores de la teoría cuántica (especialmente Einstein y Schrödinger) no estaban satisfechos con lo que consideraban las implicaciones filosóficas de la mecánica cuántica. En particular, Einstein sostuvo que la mecánica cuántica debía ser incompleta, lo que motivó la investigación de las llamadas teorías de variables ocultas . La cuestión de las variables ocultas se ha convertido en parte en una cuestión experimental con la ayuda de la óptica cuántica .

Postulados de la mecánica cuántica

Un sistema físico se describe generalmente mediante tres ingredientes básicos: estados ; observables ; y dinámica (o ley de evolución temporal ) o, más generalmente, un grupo de simetrías físicas . Una descripción clásica se puede dar de una manera bastante directa mediante un modelo de espacio de fases de la mecánica: los estados son puntos en un espacio de fases formulado por una variedad simpléctica , los observables son funciones de valor real en él, la evolución temporal está dada por un grupo de un parámetro de transformaciones simplécticas del espacio de fases y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones simplécticas. Una descripción cuántica normalmente consta de un espacio de Hilbert de estados, los observables son operadores autoadjuntos en el espacio de estados, la evolución temporal está dada por un grupo de un parámetro de transformaciones unitarias en el espacio de Hilbert de estados y las simetrías físicas se realizan mediante transformaciones unitarias . (Es posible mapear esta imagen del espacio de Hilbert a una formulación de espacio de fases , de manera invertible. Ver más abajo).

El siguiente resumen del marco matemático de la mecánica cuántica se remonta en parte a los axiomas de Dirac-von Neumann . ^[3]

Descripción del estado de un sistema

Cada sistema físico aislado está asociado con un espacio de Hilbert complejo (topológicamente) separable H con producto interno ⟨ φ | ψ ⟩ .

Postulado I

El estado de un sistema físico aislado está representado, en un tiempo fijo , por un vector de estado perteneciente a un espacio de Hilbert llamado espacio de estados . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

La separabilidad es una hipótesis matemáticamente conveniente, con la interpretación física de que el estado está determinado de forma única por un número contable de observaciones. Los estados cuánticos se pueden identificar con clases de equivalencia en H , donde dos vectores (de longitud 1) representan el mismo estado si difieren solo por un factor de fase . ^[4] Como tal, los estados cuánticos forman un rayo en el espacio de Hilbert proyectivo , no un vector . Muchos libros de texto no hacen esta distinción, lo que podría ser en parte resultado del hecho de que la ecuación de Schrödinger en sí misma involucra "vectores" del espacio de Hilbert, con el resultado de que el uso impreciso de "vector de estado" en lugar de rayo es muy difícil de evitar. ^[5]

El postulado I acompaña al postulado del sistema compuesto: ^[6]

Postulado del sistema compuesto

El espacio de Hilbert de un sistema compuesto es el producto tensorial del espacio de Hilbert de los espacios de estados asociados con los sistemas componentes. Para un sistema no relativista que consta de un número finito de partículas distinguibles, los sistemas componentes son las partículas individuales.

En presencia de entrelazamiento cuántico , el estado cuántico del sistema compuesto no puede factorizarse como un producto tensorial de estados de sus constituyentes locales; en cambio, se expresa como una suma o superposición de productos tensoriales de estados de subsistemas componentes. Un subsistema en un sistema compuesto entrelazado generalmente no puede describirse mediante un vector de estado (o un rayo), sino que se describe mediante un operador de densidad ; dicho estado cuántico se conoce como estado mixto . El operador de densidad de un estado mixto es un operador autoadjunto ρ no negativo ( semidefinido positivo ) de clase traza normalizado para ser de traza 1. A su vez, cualquier operador de densidad de un estado mixto puede representarse como un subsistema de un sistema compuesto más grande en un estado puro (ver teorema de purificación ).

En ausencia de entrelazamiento cuántico, el estado cuántico del sistema compuesto se denomina estado separable . La matriz de densidad de un sistema bipartito en un estado separable se puede expresar como , donde . Si solo hay un único distinto de cero , entonces el estado se puede expresar simplemente como y se denomina simplemente estado separable o producto. ${\displaystyle \rho =\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$ ${\displaystyle \;\sum _{k}p_{k}=1}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\textstyle \rho =\rho _{1}\otimes \rho _{2},}$

Medición en un sistema

Descripción de magnitudes físicas

Los observables físicos se representan mediante matrices hermíticas en H. Dado que estos operadores son hermíticos, sus valores propios son siempre reales y representan los posibles resultados de la medición del observable correspondiente. Si el espectro del observable es discreto , entonces los posibles resultados están cuantificados .

Postulado II.a

Toda magnitud física medible se describe mediante un operador hermítico que actúa en el espacio de estados . Este operador es un observable, lo que significa que sus vectores propios forman una base para . El resultado de medir una magnitud física debe ser uno de los valores propios del observable correspondiente . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle A}$

Resultados de la medición

Mediante la teoría espectral, podemos asociar una medida de probabilidad a los valores de A en cualquier estado ψ . También podemos demostrar que los posibles valores del observable A en cualquier estado deben pertenecer al espectro de A . El valor esperado (en el sentido de la teoría de la probabilidad) del observable A para el sistema en el estado representado por el vector unitario ψ ∈ H es . Si representamos el estado ψ en la base formada por los vectores propios de A , entonces el cuadrado del módulo del componente unido a un vector propio dado es la probabilidad de observar su valor propio correspondiente. ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }$

Postulado II.b

Cuando la cantidad física se mide en un sistema en un estado normalizado , la probabilidad de obtener un valor propio (denotado para espectros discretos y para espectros continuos) del observable correspondiente viene dada por la amplitud al cuadrado de la función de onda apropiada (proyección sobre el vector propio correspondiente). ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (a_{n})&=|\langle a_{n}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, nondegenerate spectrum)}}\\\mathbb {P} (a_{n})&=\sum _{i}^{g_{n}}|\langle a_{n}^{i}|\psi \rangle |^{2}&{\text{(Discrete, degenerate spectrum)}}\\d\mathbb {P} (\alpha )&=|\langle \alpha |\psi \rangle |^{2}d\alpha &{\text{(Continuous, nondegenerate spectrum)}}\end{aligned}}}$

Para un estado mixto ρ , el valor esperado de A en el estado ρ es , y la probabilidad de obtener un valor propio en un espectro discreto y no degenerado del observable correspondiente está dada por . ${\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (|a_{n}\rangle \langle a_{n}|\rho )=\langle a_{n}|\rho |a_{n}\rangle }$

Si el valor propio tiene vectores propios degenerados y ortonormales , entonces el operador de proyección sobre el subespacio propio se puede definir como el operador identidad en el subespacio propio: y luego . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$ $${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|,}$$ ${\displaystyle \mathbb {P} (a_{n})=\operatorname {tr} (P_{n}\rho )}$

Los postulados II.a y II.b se conocen colectivamente como la regla de Born de la mecánica cuántica.

Efecto de la medición sobre el estado

Cuando se realiza una medición, solo se obtiene un resultado (según algunas interpretaciones de la mecánica cuántica ). Esto se modela matemáticamente como el procesamiento de información adicional a partir de la medición, lo que limita las probabilidades de una segunda medición inmediata del mismo observable. En el caso de un espectro discreto, no degenerado, dos mediciones secuenciales del mismo observable siempre darán el mismo valor suponiendo que la segunda sigue inmediatamente a la primera. Por lo tanto, el vector de estado debe cambiar como resultado de la medición y colapsar en el subespacio propio asociado con el valor propio medido.

Postulado II.c

Si la medición de la cantidad física en el sistema en el estado da el resultado , entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medición es la proyección normalizada de sobre el subespacio propio asociado con ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle |\psi \rangle \quad {\overset {a_{n}}{\Longrightarrow }}\quad {\frac {P_{n}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |P_{n}|\psi \rangle }}}}$

Para un estado mixto ρ , después de obtener un valor propio en un espectro discreto, no degenerado del observable correspondiente , el estado actualizado viene dado por . Si el valor propio tiene vectores propios degenerados y ortonormales , entonces el operador de proyección sobre el subespacio propio es . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle A}$ ${\textstyle \rho '={\frac {P_{n}\rho P_{n}^{\dagger }}{\operatorname {tr} (P_{n}\rho P_{n}^{\dagger })}}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle \{|a_{n1}\rangle ,|a_{n2}\rangle ,\dots ,|a_{nm}\rangle \}}$ ${\displaystyle P_{n}=|a_{n1}\rangle \langle a_{n1}|+|a_{n2}\rangle \langle a_{n2}|+\dots +|a_{nm}\rangle \langle a_{nm}|}$

Los postulados II.c a veces se denominan "regla de actualización de estado" o "regla de colapso"; junto con la regla de Born (Postulados II.a y II.b), forman una representación completa de las mediciones y a veces se denominan colectivamente postulado(s) de medición.

Tenga en cuenta que las medidas con valores de proyección (PVM) descritas en los postulados de medición se pueden generalizar a medidas con valores de operador positivos (POVM), que es el tipo de medición más general en mecánica cuántica. Un POVM se puede entender como el efecto en un subsistema componente cuando se realiza un PVM en un sistema compuesto más grande (consulte el teorema de dilatación de Naimark ).

Evolución temporal de un sistema

Aunque es posible derivar la ecuación de Schrödinger, que describe cómo evoluciona un vector de estado en el tiempo, la mayoría de los textos afirman que la ecuación es un postulado. Las derivaciones más comunes incluyen el uso de la hipótesis de De Broglie o las integrales de trayectoria .

Postulado III

La evolución temporal del vector de estado está gobernada por la ecuación de Schrödinger, donde es el observable asociado con la energía total del sistema (llamado Hamiltoniano ). ${\displaystyle |\psi (t)\rangle }$ ${\displaystyle H(t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H(t)|\psi (t)\rangle }$

De manera equivalente, el postulado de evolución temporal puede enunciarse como:

Postulado III

La evolución temporal de un sistema cerrado se describe mediante una transformación unitaria en el estado inicial.

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =U(t;t_{0})|\psi (t_{0})\rangle }$

Para un sistema cerrado en estado mixto ρ , la evolución temporal es . ${\displaystyle \rho (t)=U(t;t_{0})\rho (t_{0})U^{\dagger }(t;t_{0})}$

La evolución de un sistema cuántico abierto puede describirse mediante operaciones cuánticas (en un formalismo de suma de operadores ) e instrumentos cuánticos , y generalmente no tiene que ser unitaria.

Otras implicaciones de los postulados

• Las simetrías físicas actúan sobre el espacio de Hilbert de estados cuánticos de forma unitaria o antiunitaria debido al teorema de Wigner ( la supersimetría es un asunto completamente distinto).
• Los operadores de densidad son aquellos que se encuentran en el cierre de la envoltura convexa de los proyectores ortogonales unidimensionales. Por el contrario, los proyectores ortogonales unidimensionales son puntos extremos del conjunto de operadores de densidad. Los físicos también denominan a los proyectores ortogonales unidimensionales estados puros y a otros operadores de densidad estados mixtos .
• En este formalismo se puede enunciar el principio de incertidumbre de Heisenberg y demostrarlo como un teorema, aunque la secuencia histórica exacta de los acontecimientos, respecto de quién derivó qué y bajo qué marco, es objeto de investigaciones históricas fuera del alcance de este artículo.
• Investigaciones recientes han demostrado ^[7] que el postulado del sistema compuesto (postulado del producto tensorial) se puede derivar del postulado de estado (Postulado I) y de los postulados de medición (Postulados II); además, también se ha demostrado ^[8] que los postulados de medición (Postulados II) se pueden derivar de la "mecánica cuántica unitaria", que incluye solo el postulado de estado (Postulado I), el postulado del sistema compuesto (postulado del producto tensorial) y el postulado de evolución unitaria (Postulado III).

Además, a los postulados de la mecánica cuántica también se deben añadir afirmaciones básicas sobre las propiedades del espín y el principio de exclusión de Pauli , ver más abajo.

Girar

Además de sus otras propiedades, todas las partículas poseen una cantidad llamada espín , un momento angular intrínseco . A pesar del nombre, las partículas no giran literalmente alrededor de un eje, y el espín mecánico cuántico no tiene correspondencia en la física clásica. En la representación de posición, una función de onda sin espín tiene la posición r y el tiempo t como variables continuas, ψ = ψ ( r , t ) . Para las funciones de onda de espín, el espín es una variable discreta adicional: ψ = ψ ( r , t , σ ) , donde σ toma los valores; $${\displaystyle \sigma =-S\hbar ,-(S-1)\hbar ,\dots ,0,\dots ,+(S-1)\hbar ,+S\hbar \,.}$$

Es decir, el estado de una sola partícula con espín S está representado por un espinor de (2 S + 1) componentes de funciones de onda de valor complejo.

Dos clases de partículas con un comportamiento muy diferente son los bosones , que tienen espín entero ( S = 0, 1, 2, ... ), y los fermiones, que poseen espín medio entero ( S = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 , ... ).

Postulado de simetrización

En mecánica cuántica, dos partículas pueden distinguirse entre sí utilizando dos métodos. Al realizar una medición de las propiedades intrínsecas de cada partícula, se pueden distinguir partículas de diferentes tipos. De lo contrario, si las partículas son idénticas, se pueden rastrear sus trayectorias, lo que distingue las partículas en función de la localidad de cada partícula. Si bien el segundo método está permitido en mecánica clásica (es decir, todas las partículas clásicas se tratan con distinguibilidad), no se puede decir lo mismo de las partículas mecánicas cuánticas, ya que el proceso es inviable debido a los principios de incertidumbre fundamental que gobiernan las escalas pequeñas. Por lo tanto, el requisito de indistinguibilidad de las partículas cuánticas se presenta mediante el postulado de simetrización. El postulado es aplicable a un sistema de bosones o fermiones, por ejemplo, para predecir los espectros del átomo de helio . El postulado, explicado en las siguientes secciones, puede enunciarse de la siguiente manera:

Postulado de simetrización ^[9]

La función de onda de un sistema de N partículas idénticas (en 3D) es totalmente simétrica (bosones) o totalmente antisimétrica (fermiones) bajo intercambio de cualquier par de partículas.

Pueden ocurrir excepciones cuando las partículas están restringidas a dos dimensiones espaciales donde es posible la existencia de partículas conocidas como anyones , que se dice que tienen un continuo de propiedades estadísticas que abarcan el rango entre fermiones y bosones. ^[9] La conexión entre el comportamiento de partículas idénticas y su espín está dada por el teorema de estadística de espín .

Se puede demostrar que dos partículas localizadas en diferentes regiones del espacio todavía pueden representarse utilizando una función de onda simetrizada/antisimetrizada y que el tratamiento independiente de estas funciones de onda da el mismo resultado. ^[10] Por lo tanto, el postulado de simetrización es aplicable en el caso general de un sistema de partículas idénticas.

Degeneración del intercambio

En un sistema de partículas idénticas, sea P el operador de intercambio que actúa sobre la función de onda como:

${\displaystyle P{\bigg (}\cdots |\psi \rangle |\phi \rangle \cdots {\bigg )}\equiv \cdots |\phi \rangle |\psi \rangle \cdots }$

Si se da un sistema físico de partículas idénticas, la función de onda de todas las partículas se puede conocer bien a partir de la observación, pero no se pueden etiquetar para cada partícula. Por lo tanto, la función de onda intercambiada anterior representa el mismo estado físico que el estado original, lo que implica que la función de onda no es única. Esto se conoce como degeneración por intercambio. ^[11]

En términos más generales, considere una combinación lineal de dichos estados, . Para la mejor representación del sistema físico, esperamos que este sea un vector propio de P ya que no se espera que el operador de intercambio dé vectores completamente diferentes en el espacio proyectivo de Hilbert. Como , los posibles valores propios de P son +1 y −1. Los estados para sistemas de partículas idénticos se representan como simétricos para un valor propio +1 o antisimétricos para un valor propio -1 de la siguiente manera: ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle P^{2}=1}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle =+|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;S\rangle }$

${\displaystyle P|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle =-|\cdots n_{i},n_{j}\cdots ;A\rangle }$

La forma simétrica/antisimétrica explícita de se construye utilizando un operador simetrizador o antisimetrizador . Las partículas que forman estados simétricos se denominan bosones y las que forman estados antisimétricos se denominan fermiones. La relación del espín con esta clasificación se da a partir del teorema de estadística de espín , que muestra que las partículas de espín entero son bosones y las partículas de espín medio entero son fermiones. ${\displaystyle |\Psi \rangle }$

Principio de exclusión de Pauli

La propiedad del espín se relaciona con otra propiedad básica relativa a los sistemas de N partículas idénticas: el principio de exclusión de Pauli , que es una consecuencia del siguiente comportamiento de permutación de una función de onda de N partículas; nuevamente en la representación de la posición se debe postular que para la transposición de cualesquiera dos de las N partículas siempre se debe tener

Principio de Pauli

${\displaystyle \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots )=(-1)^{2S}\cdot \psi (\dots ,\,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\,\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\,\dots )}$

es decir, al transponer los argumentos de dos partículas cualesquiera, la función de onda debería reproducir , aparte de un prefactor (−1) ^{2 S} que es +1 para bosones, pero ( −1 ) para fermiones . Los electrones son fermiones con S = 1/2 ; los cuantos de luz son bosones con S = 1 .

Debido a la forma de la función de onda antisimetrizada:

${\displaystyle \Psi _{n_{1}\cdots n_{N}}^{(A)}(x_{1},\ldots ,x_{N})={\frac {1}{\sqrt {N!}}}\left|{\begin{matrix}\psi _{n_{1}}(x_{1})&\psi _{n_{1}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{1}}(x_{N})\\\psi _{n_{2}}(x_{1})&\psi _{n_{2}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{2}}(x_{N})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{n_{N}}(x_{1})&\psi _{n_{N}}(x_{2})&\cdots &\psi _{n_{N}}(x_{N})\\\end{matrix}}\right|}$

Si la función de onda de cada partícula está completamente determinada por un conjunto de números cuánticos, entonces dos fermiones no pueden compartir el mismo conjunto de números cuánticos, ya que la función resultante no puede ser antisimetrizada (es decir, la fórmula anterior da cero). No se puede decir lo mismo de los bosones, ya que su función de onda es:

${\displaystyle |x_{1}x_{2}\cdots x_{N};S\rangle ={\frac {\prod _{j}n_{j}!}{N!}}\sum _{p}\left|x_{p(1)}\right\rangle \left|x_{p(2)}\right\rangle \cdots \left|x_{p(N)}\right\rangle }$

donde es el número de partículas con la misma función de onda. ${\displaystyle n_{j}}$

Excepciones al postulado de simetrización

En la mecánica cuántica no relativista, todas las partículas son bosones o fermiones ; en las teorías cuánticas relativistas también existen teorías "supersimétricas" , donde una partícula es una combinación lineal de una parte bosónica y una fermiónica. Solo en la dimensión d = 2 se pueden construir entidades donde (−1) ^{2 S} se reemplaza por un número complejo arbitrario con magnitud 1, llamados anyones . En la mecánica cuántica relativista, el teorema de estadística de espín puede demostrar que bajo cierto conjunto de suposiciones, las partículas de espín entero se clasifican como bosones y las partículas de espín medio se clasifican como fermiones . Se dice que los anyones que no forman estados simétricos ni antisimétricos tienen espín fraccionario.

Aunque el espín y el principio de Pauli sólo pueden derivarse de generalizaciones relativistas de la mecánica cuántica, las propiedades mencionadas en los dos últimos párrafos pertenecen a los postulados básicos que ya se encuentran en el límite no relativista. En particular, muchas propiedades importantes en las ciencias naturales, como por ejemplo el sistema periódico de la química, son consecuencia de las dos propiedades.

Estructura matemática de la mecánica cuántica

Imágenes de dinámica

• En la llamada imagen de Schrödinger de la mecánica cuántica, la dinámica se da de la siguiente manera:

  La evolución temporal del estado viene dada por una función diferenciable de los números reales R , que representan instantes de tiempo, al espacio de Hilbert de estados del sistema. Esta función se caracteriza por una ecuación diferencial como la siguiente: Si | ψ ( t )⟩ denota el estado del sistema en cualquier instante t , se cumple la siguiente ecuación de Schrödinger:

  Ecuación de Schrödinger (general)

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle =H\left|\psi (t)\right\rangle }$

  donde H es un operador autoadjunto densamente definido, llamado hamiltoniano del sistema , i es la unidad imaginaria y ħ es la constante de Planck reducida . Como observable, H corresponde a la energía total del sistema.

  Alternativamente, por el teorema de Stone se puede afirmar que existe una función unitaria uniparamétrica fuertemente continua U ( t ) : H → H tal que para todos los tiempos s , t . La existencia de un hamiltoniano autoadjunto H tal que es una consecuencia del teorema de Stone sobre grupos unitarios uniparamétricos. Se supone que H no depende del tiempo y que la perturbación comienza en t ₀ = 0 ; de lo contrario se debe utilizar la serie de Dyson , escrita formalmente como donde es el símbolo de ordenación temporal de Dyson . $${\displaystyle \left|\psi (t+s)\right\rangle =U(t)\left|\psi (s)\right\rangle }$$ $${\displaystyle U(t)=e^{-(i/\hbar )tH}}$$ $${\displaystyle U(t)={\mathcal {T}}\left[\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,H(t')\right)\right],}$$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

  (Este símbolo permuta un producto de operadores no conmutativos de la forma en la expresión reordenada determinada de forma única con $${\displaystyle B_{1}(t_{1})\cdot B_{2}(t_{2})\cdot \dots \cdot B_{n}(t_{n})}$$ $${\displaystyle B_{i_{1}}(t_{i_{1}})\cdot B_{i_{2}}(t_{i_{2}})\cdot \dots \cdot B_{i_{n}}(t_{i_{n}})}$$ ${\displaystyle t_{i_{1}}\geq t_{i_{2}}\geq \dots \geq t_{i_{n}}\,.}$

  El resultado es una cadena causal, la causa primaria en el pasado en el extremo derecho y, finalmente, el efecto presente en el extremo izquierdo.)
• La concepción de Heisenberg de la mecánica cuántica se centra en los observables y, en lugar de considerar que los estados varían en el tiempo, considera que los estados son fijos y que los observables cambian. Para pasar de la concepción de Schrödinger a la de Heisenberg, es necesario definir los estados independientes del tiempo y los operadores dependientes del tiempo de la siguiente manera: Entonces se comprueba fácilmente que los valores esperados de todos los observables son los mismos en ambas concepciones y que los operadores de Heisenberg dependientes del tiempo satisfacen $${\displaystyle \left|\psi \right\rangle =\left|\psi (0)\right\rangle }$$ $${\displaystyle A(t)=U(-t)AU(t).}$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid A(t)\mid \psi \rangle =\langle \psi (t)\mid A\mid \psi (t)\rangle }$$
  Imagen de Heisenberg (general)

  ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]+{\frac {\partial A(t)}{\partial t}},}$

  lo cual es cierto para A = A ( t ) dependiente del tiempo . Observe que la expresión del conmutador es puramente formal cuando uno de los operadores no está acotado . Se debería especificar una representación para que la expresión tenga sentido.
• La denominada imagen de Dirac o imagen de interacción tiene estados y observables dependientes del tiempo , que evolucionan con respecto a diferentes hamiltonianos. Esta imagen es más útil cuando la evolución de los observables se puede resolver con exactitud, limitando cualquier complicación a la evolución de los estados. Por esta razón, el hamiltoniano para los observables se llama "hamiltoniano libre" y el hamiltoniano para los estados se llama "hamiltoniano de interacción". En símbolos:
  Imagen de Dirac

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}\left|\psi (t)\right\rangle ={H}_{\rm {int}}(t)\left|\psi (t)\right\rangle }$

  ${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{dt}}A(t)=[A(t),H_{0}].}$

  Sin embargo, la imagen de interacción no siempre existe. En las teorías de campos cuánticos interactuantes, el teorema de Haag establece que la imagen de interacción no existe. Esto se debe a que el hamiltoniano no se puede dividir en una parte libre y otra interactuante dentro de un sector de superselección . Además, incluso si en la imagen de Schrödinger el hamiltoniano no depende del tiempo, p. ej. H = H ₀ + V , en la imagen de interacción sí lo hace, al menos, si V no conmuta con H ₀ , ya que $${\displaystyle H_{\rm {int}}(t)\equiv e^{{(i/\hbar })tH_{0}}\,V\,e^{{(-i/\hbar })tH_{0}}.}$$

  Por lo tanto, la serie Dyson mencionada anteriormente debe utilizarse de todos modos.

  La imagen de Heisenberg es la más cercana a la mecánica hamiltoniana clásica (por ejemplo, los conmutadores que aparecen en las ecuaciones anteriores se traducen directamente en los corchetes de Poisson clásicos ); pero esto ya es bastante "elegante", y la imagen de Schrödinger es considerada más fácil de visualizar y entender por la mayoría de la gente, a juzgar por las explicaciones pedagógicas de la mecánica cuántica. La imagen de Dirac es la que se utiliza en la teoría de perturbaciones , y está especialmente asociada a la teoría cuántica de campos y a la física de muchos cuerpos .

  Se pueden escribir ecuaciones similares para cualquier grupo unitario de simetrías de un parámetro del sistema físico. El tiempo se reemplazaría por una coordenada adecuada que parametrice el grupo unitario (por ejemplo, un ángulo de rotación o una distancia de traslación) y el hamiltoniano se reemplazaría por la cantidad conservada asociada con la simetría (por ejemplo, momento angular o lineal).

Resumen :

Representaciones

La forma original de la ecuación de Schrödinger depende de la elección de una representación particular de las relaciones de conmutación canónicas de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann dicta que todas las representaciones irreducibles de las relaciones de conmutación de Heisenberg de dimensión finita son unitariamente equivalentes. Una comprensión sistemática de sus consecuencias ha llevado a la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que funciona en el espacio de fases completo en lugar del espacio de Hilbert , por lo que entonces tiene un vínculo más intuitivo con el límite clásico del mismo. Esta imagen también simplifica las consideraciones de cuantificación , la extensión de la deformación de la mecánica clásica a la cuántica.

El oscilador armónico cuántico es un sistema perfectamente resoluble en el que las diferentes representaciones se pueden comparar fácilmente. En este sistema, además de las representaciones de Heisenberg, Schrödinger (posición o momento) o espacio de fases, también se encuentran la representación de Fock (número) y la representación de Segal-Bargmann (espacio de Fock o estado coherente) (denominada así por Irving Segal y Valentine Bargmann ). Las cuatro son unitariamente equivalentes.

El tiempo como operador

El marco presentado hasta ahora señala al tiempo como el parámetro del que todo depende. Es posible formular la mecánica de tal manera que el tiempo se convierta en un observable asociado con un operador autoadjunto. En el nivel clásico, es posible parametrizar arbitrariamente las trayectorias de partículas en términos de un parámetro no físico s , y en ese caso el tiempo t se convierte en una coordenada generalizada adicional del sistema físico. En el nivel cuántico, las traslaciones en s se generarían mediante un "hamiltoniano" H − E , donde E es el operador de energía y H es el hamiltoniano "ordinario". Sin embargo, dado que s es un parámetro no físico, los estados físicos deben dejarse invariantes por " s -evolución ", y por lo tanto el espacio de estados físicos es el núcleo de H − E (esto requiere el uso de un espacio de Hilbert manipulado y una renormalización de la norma).

Esto está relacionado con la cuantificación de sistemas restringidos y la cuantificación de teorías de calibración . También es posible formular una teoría cuántica de "eventos" donde el tiempo se vuelve observable. ^[12]

Problema de medición

La imagen dada en los párrafos anteriores es suficiente para la descripción de un sistema completamente aislado. Sin embargo, no tiene en cuenta una de las principales diferencias entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica, es decir, los efectos de la medición . ^[13] La descripción de von Neumann de la medición cuántica de un observable A , cuando el sistema se prepara en un estado puro ψ es la siguiente (nótese, sin embargo, que la descripción de von Neumann se remonta a la década de 1930 y se basa en experimentos realizados durante ese tiempo, más específicamente el experimento Compton-Simon ; no es aplicable a la mayoría de las mediciones actuales dentro del dominio cuántico):

• Sea A una resolución espectral donde E _A es la resolución de la identidad (también llamada medida con valor de proyección ) asociada con A. Entonces, la probabilidad de que el resultado de la medición se encuentre en un intervalo B de R es |E _A ( B ) ψ | ² . En otras palabras, la probabilidad se obtiene integrando la función característica de B contra la medida aditiva contable $${\displaystyle A=\int \lambda \,d\operatorname {E} _{A}(\lambda ),}$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle .}$$
• Si el valor medido está contenido en B , entonces inmediatamente después de la medición, el sistema estará en el estado (generalmente no normalizado) E _A ( B ) ψ . Si el valor medido no se encuentra en B , reemplace B por su complemento para el estado anterior.

Por ejemplo, supongamos que el espacio de estados es el espacio de Hilbert complejo n -dimensional C ⁿ y A es una matriz hermítica con valores propios λ _i , con vectores propios correspondientes ψ _i . La medida con valor de proyección asociada con A , E _A , es entonces donde B es un conjunto de Borel que contiene solo el valor propio único λ _i . Si el sistema está preparado en estado Entonces la probabilidad de que una medición devuelva el valor λ _i se puede calcular integrando la medida espectral sobre B _i . Esto da trivialmente $${\displaystyle \operatorname {E} _{A}(B)=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|,}$$ $${\displaystyle |\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \psi \mid \operatorname {E} _{A}\psi \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \psi |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\mid \psi \rangle =|\langle \psi \mid \psi _{i}\rangle |^{2}.}$$

La propiedad característica del esquema de medición de von Neumann es que repetir la misma medición dará los mismos resultados. Esto también se denomina postulado de proyección .

Una formulación más general reemplaza la medida con valor de proyección por una medida con valor de operador positivo (POVM). Para ilustrarlo, tomemos de nuevo el caso de dimensión finita. Aquí reemplazaríamos las proyecciones de rango 1 por un conjunto finito de operadores positivos cuya suma sigue siendo el operador de identidad como antes (la resolución de identidad). Así como un conjunto de resultados posibles { λ ₁ ... λ _n } está asociado a una medida con valor de proyección, lo mismo puede decirse de un POVM. Supongamos que el resultado de la medición es λ _i . En lugar de colapsar al estado (no normalizado) después de la medición, el sistema ahora estará en el estado $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$$ $${\displaystyle F_{i}F_{i}^{*}}$$ $${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|\psi \rangle }$$ $${\displaystyle F_{i}|\psi \rangle .}$$

Dado que los operadores F _i F _i * no necesitan ser proyecciones mutuamente ortogonales, el postulado de proyección de von Neumann ya no se cumple.

La misma formulación se aplica a los estados mixtos generales .

En el enfoque de von Neumann, la transformación de estado debida a la medición es distinta de la debida a la evolución temporal en varios sentidos. Por ejemplo, la evolución temporal es determinista y unitaria, mientras que la medición es no determinista y no unitaria. Sin embargo, dado que ambos tipos de transformación de estado llevan de un estado cuántico a otro, esta diferencia fue vista por muchos como insatisfactoria. El formalismo POVM considera la medición como una entre muchas otras operaciones cuánticas , que se describen mediante mapas completamente positivos que no aumentan la traza.

En cualquier caso, parece que los problemas mencionados sólo pueden resolverse si la evolución temporal incluye no sólo el sistema cuántico, sino también, y fundamentalmente, los aparatos de medida clásicos (véase más arriba).

Lista de herramientas matemáticas

Parte del folclore sobre el tema se refiere al libro de texto de física matemática Métodos de física matemática, elaborado por Richard Courant a partir de los cursos de la Universidad de Göttingen de David Hilbert . Se cuenta (por matemáticos) que los físicos habían descartado el material por no ser interesante en las áreas de investigación actuales, hasta que apareció la ecuación de Schrödinger. En ese momento se dieron cuenta de que las matemáticas de la nueva mecánica cuántica ya estaban expuestas en él. También se dice que Heisenberg había consultado a Hilbert sobre su mecánica matricial, y Hilbert observó que su propia experiencia con matrices de dimensión infinita se había derivado de ecuaciones diferenciales, consejo que Heisenberg ignoró, perdiendo la oportunidad de unificar la teoría como lo hicieron Weyl y Dirac unos años más tarde. Cualquiera que sea la base de las anécdotas, las matemáticas de la teoría eran convencionales en ese momento, mientras que la física era radicalmente nueva.

Las principales herramientas incluyen:

• Álgebra lineal : números complejos, vectores propios , valores propios
• Análisis funcional : espacios de Hilbert , operadores lineales , teoría espectral
• ecuaciones diferenciales : ecuaciones diferenciales parciales , separación de variables , ecuaciones diferenciales ordinarias , teoría de Sturm-Liouville , funciones propias
• Análisis armónico : transformadas de Fourier

Véase también

• Lista de temas matemáticos en la teoría cuántica
• Simetría en mecánica cuántica

Notas

1. Byron y Fuller 1992, pág. 277.
2. Dirac 1925.
3. Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2020.
4. Bäuerle y de Kerf 1990, pág. 330.
5. Solem y Biedenharn 1993.
6. Jauch, Wigner y Yanase 1997.
7. Carcassi, Maccone y Aidala 2021.
8. Masanes, Galley & Müller 2019.
9. Sakurai y Napolitano 2021, p. 443.
10. Sakurai y Napolitano 2021, pag. 434-437.
11. Cohen-Tannoudji, Diu y Laloë 2020, p. 1375-1377.
12. Edwards 1979.
13. Greenstein y Zajonc 2006, pág. 215.

Referencias

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