Factorización

Descomposición (matemática) en un producto

El polinomio x ²  +  cx  +  d , donde a + b = c y ab = d , se puede factorizar en ( x + a )( x + b ).

En matemáticas , la factorización (o factorización , véase diferencias ortográficas en inglés ) o factoring consiste en escribir un número u otro objeto matemático como producto de varios factores , normalmente objetos más pequeños o más simples del mismo tipo. Por ejemplo, 3 × 5 es una factorización entera de 15 y ( x – 2)( x + 2) es una factorización polinómica de x ² – 4 .

La factorización generalmente no se considera significativa dentro de los sistemas numéricos que poseen división , como los números reales o complejos , ya que cualquiera puede escribirse trivialmente como siempre que no sea cero. Sin embargo, se puede obtener una factorización significativa para un número racional o una función racional escribiéndolo en términos mínimos y factorizando por separado su numerador y denominador. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (xy)\times (1/y)}$ ${\displaystyle y}$

La factorización fue considerada por primera vez por los antiguos matemáticos griegos en el caso de números enteros. Probaron el teorema fundamental de la aritmética , que afirma que todo número entero positivo puede descomponerse en un producto de números primos , que no pueden descomponerse en números enteros mayores que 1. Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores. Aunque la factorización de enteros es una especie de inversa a la multiplicación, algorítmicamente es mucho más difícil , un hecho que se aprovecha en el criptosistema RSA para implementar la criptografía de clave pública .

La factorización polinomial también se ha estudiado durante siglos. En álgebra elemental, factorizar un polinomio reduce el problema de encontrar sus raíces a encontrar las raíces de los factores. Los polinomios con coeficientes en números enteros o en un campo poseen la propiedad única de factorización , una versión del teorema fundamental de la aritmética con números primos reemplazados por polinomios irreducibles . En particular, un polinomio univariado con coeficientes complejos admite una factorización única (hasta ordenar) en polinomios lineales : esta es una versión del teorema fundamental del álgebra . En este caso, la factorización se puede realizar con algoritmos de búsqueda de raíces . El caso de los polinomios con coeficientes enteros es fundamental para el álgebra informática . Existen algoritmos informáticos eficientes para calcular factorizaciones (completas) dentro del anillo de polinomios con coeficientes de números racionales (ver factorización de polinomios ).

Un anillo conmutativo que posee la propiedad de factorización única se denomina dominio de factorización único . Hay sistemas numéricos , como ciertos anillos de números enteros algebraicos , que no son dominios de factorización únicos. Sin embargo, los anillos de números enteros algebraicos satisfacen la propiedad más débil de los dominios de Dedekind : los ideales se factorizan de forma única en los ideales primos .

La factorización también puede referirse a descomposiciones más generales de un objeto matemático en el producto de objetos más pequeños o simples. Por ejemplo, cada función puede factorizarse en la composición de una función sobreyectiva con una función inyectiva . Las matrices poseen muchos tipos de factorizaciones matriciales . Por ejemplo, cada matriz tiene una factorización LUP única como producto de una matriz triangular inferior L con todas las entradas diagonales iguales a uno, una matriz triangular superior U y una matriz de permutación P ; ésta es una formulación matricial de eliminación gaussiana .

Enteros

Según el teorema fundamental de la aritmética , cada número entero mayor que 1 tiene una factorización única (hasta el orden de los factores) en números primos , que son aquellos números enteros que no se pueden factorizar más en el producto de números enteros mayores que uno.

Para calcular la factorización de un número entero n , se necesita un algoritmo para encontrar un divisor q de n o decidir que n es primo. Cuando se encuentra dicho divisor, la aplicación repetida de este algoritmo a los factores q y n / q da finalmente la factorización completa de n . ^[1]

Para encontrar un divisor q de n , si lo hay, basta con probar todos los valores de q tales que 1 < q y q ² ≤ n . De hecho, si r es un divisor de n tal que r ² > n , entonces q = n / r es un divisor de n tal que q ² ≤ n .

Si se prueban los valores de q en orden creciente, el primer divisor que se encuentra es necesariamente un número primo, y el cofactor r = n / q no puede tener ningún divisor menor que q . Para obtener la factorización completa, basta entonces con continuar el algoritmo buscando un divisor de r que no sea menor que q ni mayor que √ r .

No es necesario probar todos los valores de q para aplicar el método. En principio, basta con comprobar sólo los divisores primos. Para ello es necesario tener una tabla de números primos que se pueda generar por ejemplo con el tamiz de Eratóstenes . Como el método de factorización hace esencialmente el mismo trabajo que el tamiz de Eratóstenes, generalmente es más eficiente probar para encontrar un divisor sólo aquellos números para los cuales no está inmediatamente claro si son primos o no. Normalmente, se puede proceder probando 2, 3, 5 y los números > 5, cuyo último dígito es 1, 3, 7, 9 y la suma de los dígitos no es múltiplo de 3.

Este método funciona bien para factorizar números enteros pequeños, pero es ineficiente para números enteros más grandes. Por ejemplo, Pierre de Fermat no pudo descubrir que el sexto número de Fermat

${\displaystyle 1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297}$

no es un número primo. De hecho, aplicar el método anterior requeriría más de10 000  divisiones , para un número que tiene 10  dígitos decimales .

Existen algoritmos de factorización más eficientes. Sin embargo, siguen siendo relativamente ineficaces, ya que, con el estado actual de la técnica, no es posible factorizar, ni siquiera con los ordenadores más potentes, un número de 500 dígitos decimales que sea producto de dos números primos elegidos al azar. Esto garantiza la seguridad del criptosistema RSA , que se utiliza ampliamente para la comunicación segura por Internet .

Ejemplo

Para factorizar n = 1386 en números primos:

• Comience con la división por 2: el número es par y n = 2 · 693 . Continúe con 693 y 2 como candidato a primer divisor.
• 693 es impar (2 no es divisor), pero es múltiplo de 3: se tiene 693 = 3 · 231 y n = 2 · 3 · 231 . Continúe con 231 y 3 como candidato a primer divisor.
• 231 también es múltiplo de 3: uno tiene 231 = 3 · 77 y, por tanto, n = 2 · 3 ² · 77 . Continúe con 77 y 3 como candidato a primer divisor.
• 77 no es múltiplo de 3, ya que la suma de sus dígitos es 14, no es múltiplo de 3. Tampoco es múltiplo de 5 porque su último dígito es 7. El siguiente divisor impar que se probará es 7. Se tiene 77 = 7 · 11 , y por tanto n = 2 · 3 ² · 7 · 11 . Esto muestra que 7 es primo (fácil de probar directamente). Continúe con 11 y 7 como candidato a primer divisor.
• Como 7 ² > 11 , se ha terminado. Por tanto, 11 es primo y la factorización prima es

1386 = 2 · 3 ² · 7 · 11 .

Expresiones

La manipulación de expresiones es la base del álgebra . La factorización es uno de los métodos más importantes para la manipulación de expresiones por varias razones. Si se puede expresar una ecuación en forma factorizada E ⋅ F = 0 , entonces el problema de resolver la ecuación se divide en dos problemas independientes (y generalmente más fáciles) E = 0 y F = 0 . Cuando se puede factorizar una expresión, los factores suelen ser mucho más simples y, por lo tanto, pueden ofrecer alguna idea sobre el problema. Por ejemplo,

${\displaystyle x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc}$

tener 16 multiplicaciones, 4 restas y 3 sumas, se puede factorizar en la expresión mucho más simple

${\displaystyle (x-a)(x-b)(x-c),}$

con sólo dos multiplicaciones y tres restas. Además, la forma factorizada da inmediatamente raíces x = a , b , c como raíces del polinomio.

Por otro lado, la factorización no siempre es posible y, cuando es posible, los factores no siempre son más simples. Por ejemplo, se puede descomponer en dos factores irreducibles y . ${\displaystyle x^{10}-1}$ ${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x^{9}+x^{8}+\cdots +x^{2}+x+1}$

Se han desarrollado varios métodos para encontrar factorizaciones; algunos se describen a continuación.

La resolución de ecuaciones algebraicas puede verse como un problema de factorización polinomial . De hecho, el teorema fundamental del álgebra se puede enunciar de la siguiente manera: cada polinomio en x de grado n con coeficientes complejos puede factorizarse en n factores lineales para i = 1, ..., n , donde las a _i s son las raíces. del polinomio. ^[2] Aunque la estructura de la factorización se conoce en estos casos, la a _i s generalmente no se puede calcular en términos de radicales ( nésimas ^raíces ), según el teorema de Abel-Ruffini . En la mayoría de los casos, lo mejor que se puede hacer es calcular valores aproximados de las raíces con un algoritmo de búsqueda de raíces . ${\displaystyle x-a_{i},}$

Historia de la factorización de expresiones.

El uso sistemático de manipulaciones algebraicas para simplificar expresiones (más específicamente ecuaciones ) puede fecharse en el siglo IX, con el libro de al-Khwarizmi The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , que se titula con dos de esos tipos de manipulación.

Sin embargo, incluso para resolver ecuaciones cuadráticas , el método de factorización no se utilizaba antes del trabajo de Harriot publicado en 1631, diez años después de su muerte. ^[3] En su libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas , Harriot dibujó tablas de suma, resta, multiplicación y división de monomios , binomios y trinomios . Luego, en una segunda sección, planteó la ecuación aa − ba + ca = + bc y demostró que coincide con la forma de multiplicación que había proporcionado anteriormente, dando la factorización ( a − b )( a + c ) . ^[4]

Métodos generales

Los siguientes métodos se aplican a cualquier expresión que sea una suma o que pueda transformarse en una suma. Por lo tanto, se aplican con mayor frecuencia a polinomios , aunque también se pueden aplicar cuando los términos de la suma no son monomios , es decir, los términos de la suma son un producto de variables y constantes.

Factor común

Puede ocurrir que todos los términos de una suma sean productos y que algunos factores sean comunes a todos los términos. En este caso, la ley distributiva permite factorizar este factor común. Si hay varios factores comunes, es preferible dividir el mayor factor común. Además, si hay coeficientes enteros, se puede factorizar el máximo común divisor de estos coeficientes.

Por ejemplo, ^[5]

$${\displaystyle 6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),}$$

${\displaystyle x^{3}y^{2}}$

Agrupamiento

La agrupación de términos puede permitir el uso de otros métodos para obtener una factorización.

Por ejemplo, para factorizar

$${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y,}$$

xy

$${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15y)=4x(x+5)+3y(x+5).}$$

x + 5

$${\displaystyle 4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x+3y)(x+5).}$$

En general, esto funciona para sumas de 4 términos que se han obtenido como producto de dos binomios . Aunque no es frecuente, esto puede funcionar también para ejemplos más complicados.

Sumar y restar términos

A veces, alguna agrupación de términos revela parte de un patrón reconocible. Entonces es útil sumar y restar términos para completar el patrón.

Un uso típico de esto es el método de completar el cuadrado para obtener la fórmula cuadrática .

Otro ejemplo es la factorización de Si se introduce la raíz cuadrada no real de –1 , comúnmente denotada por i , entonces se tiene una diferencia de cuadrados ${\displaystyle x^{4}+1.}$

$${\displaystyle x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).}$$

de números realesbinomio ${\displaystyle 2x^{2},}$

$${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).}$$

${\displaystyle 2x^{2}}$

$${\displaystyle x^{4}+1=(x^{4}-2x^{2}+1)+2x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).}$$

campocampo finitopolinomioirreduciblemódulonúmero primo ${\displaystyle x^{4}+1,}$

$${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};}$$

$${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},}$$

${\displaystyle 1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};}$

$${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},}$$

${\displaystyle 2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};}$

$${\displaystyle x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},}$$

${\displaystyle 3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.}$

Patrones reconocibles

Muchas identidades proporcionan una igualdad entre una suma y un producto. Los métodos anteriores se pueden utilizar para permitir que la suma de alguna identidad aparezca en una expresión, que por lo tanto puede ser reemplazada por un producto.

A continuación se muestran identidades cuyos lados izquierdos se usan comúnmente como patrones (esto significa que las variables E y F que aparecen en estas identidades pueden representar cualquier subexpresión de la expresión que debe factorizarse). ^[6]

Prueba visual de las diferencias entre dos cuadrados y dos cubos.

• Diferencia de dos cuadrados

${\displaystyle E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)}$

Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+&2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}\\&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos cubos

${\displaystyle E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})}$

${\displaystyle E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})}$

• Diferencia de dos cuartas potencias.

${\displaystyle {\begin{aligned}E^{4}-F^{4}&=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})\\&=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)\end{aligned}}}$

• Suma/diferencia de dos enésimas potencias

En las siguientes identidades, los factores a menudo pueden factorizarse aún más:

• Diferencia, incluso exponente

${\displaystyle E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})}$

• Diferencia, exponente par o impar

${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})}$

Este es un ejemplo que muestra que los factores pueden ser mucho mayores que la suma factorizada.

• Suma, exponente impar

${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})}$

(obtenido cambiando F por – F en la fórmula anterior)

• Suma, exponente par

Si el exponente es una potencia de dos, entonces la expresión, en general, no se puede factorizar sin introducir números complejos (si E y F contienen números complejos, puede que este no sea el caso). Si n tiene un divisor impar, es decir, si n = pq con p impar, se puede utilizar la fórmula anterior (en "Suma, exponente impar") aplicada a ${\displaystyle (E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.}$

• Trinomios y fórmulas cúbicas

${\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)=(x+y+z)^{2}\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\&x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz=(x+y+z)^{3}\\&x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}}$

• Expansiones binomiales

Visualización de la expansión binomial hasta la 4ta potencia.

El teorema del binomio proporciona patrones que pueden reconocerse fácilmente a partir de los números enteros que aparecen en ellos.

En bajo grado:

${\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}}$

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}}$

${\displaystyle a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}}$

${\displaystyle a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}}$

De manera más general, los coeficientes de las formas expandidas de y son los coeficientes binomiales , que aparecen en la enésima fila del triángulo de Pascal . ${\displaystyle (a+b)^{n}}$ ${\displaystyle (a-b)^{n}}$

Raíces de unidad

Las n- ésimas raíces de la unidad son los números complejos, cada uno de los cuales es raíz del polinomio. Por tanto, son los números. ${\displaystyle x^{n}-1.}$

$${\displaystyle e^{2ik\pi /n}=\cos {\tfrac {2\pi k}{n}}+i\sin {\tfrac {2\pi k}{n}}}$$

${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

De ello se deduce que para dos expresiones cualesquiera E y F , se tiene:

$${\displaystyle E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)}$$

$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)i\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}}$$

$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}}$$

Si E y F son expresiones reales y se quieren factores reales, hay que reemplazar cada par de factores conjugados complejos por su producto. Como el complejo conjugado de is y ${\displaystyle e^{i\alpha }}$ ${\displaystyle e^{-i\alpha },}$

$${\displaystyle \left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},}$$

kn – kn + 1 – kfórmulas trigonométricas

$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\tfrac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}}$$

Los cosenos que aparecen en estas factorizaciones son números algebraicos , y pueden expresarse en términos de radicales (esto es posible porque su grupo de Galois es cíclico); sin embargo, estas expresiones radicales son demasiado complicadas para usarse, excepto para valores bajos de n . Por ejemplo,

$${\displaystyle a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).}$$

$${\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

$${\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),}$$

A menudo uno quiere una factorización con coeficientes racionales. Tal factorización involucra polinomios ciclotómicos . Para expresar factorizaciones racionales de sumas y diferencias o potencias, necesitamos una notación para la homogeneización de un polinomio : si su homogeneización es el polinomio bivariado Entonces, se tiene ${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},}$ ${\displaystyle {\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.}$

$${\displaystyle E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$

$${\displaystyle E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),}$$

n2 na nn ${\displaystyle Q_{n}(x)}$

Por ejemplo,

$${\displaystyle a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),}$$

$${\displaystyle a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4}),}$$

Polinomios

Para los polinomios, la factorización está fuertemente relacionada con el problema de resolver ecuaciones algebraicas . Una ecuación algebraica tiene la forma

${\displaystyle P(x)\ \,{\stackrel {\text{def}}{=}}\ \,a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}=0,}$

donde P ( x ) es un polinomio en x con Una solución de esta ecuación (también llamada raíz del polinomio) es un valor r de x tal que ${\displaystyle a_{0}\neq 0.}$

${\displaystyle P(r)=0.}$

Si es una factorización de P ( x ) = 0 como producto de dos polinomios, entonces las raíces de P ( x ) son la unión de las raíces de Q ( x ) y las raíces de R ( x ) . Por lo tanto, resolver P ( x ) = 0 se reduce a los problemas más simples de resolver Q ( x ) = 0 y R ( x ) = 0 . ${\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)}$

Por el contrario, el teorema del factor afirma que, si r es una raíz de P ( x ) = 0 , entonces P ( x ) puede factorizarse como

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

donde Q ( x ) es el cociente de la división euclidiana de P ( x ) = 0 por el factor lineal (grado uno) x – r .

Si los coeficientes de P ( x ) son números reales o complejos , el teorema fundamental del álgebra afirma que P ( x ) tiene una raíz real o compleja. Usando el teorema del factor de forma recursiva, resulta que

${\displaystyle P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),}$

¿Dónde están las raíces reales o complejas de P , algunas de ellas posiblemente repetidas? Esta factorización completa es única hasta el orden de los factores. ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$

Si los coeficientes de P ( x ) son reales, generalmente se desea una factorización donde los factores tengan coeficientes reales. En este caso, la factorización completa puede tener algunos factores cuadráticos (grado dos). Esta factorización se puede deducir fácilmente de la factorización completa anterior. De hecho, si r = a + ib es una raíz no real de P ( x ) , entonces su conjugado complejo s = a - ib también es una raíz de P ( x ) . Entonces, el producto

${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}-2ax+a^{2}+b^{2}}$

es un factor de P ( x ) con coeficientes reales. Repetir esto para todos los factores no reales da una factorización con factores reales lineales o cuadráticos.

Para calcular estas factorizaciones reales o complejas, se necesitan las raíces del polinomio, que pueden no calcularse exactamente y solo aproximarse mediante algoritmos de búsqueda de raíces .

En la práctica, la mayoría de las ecuaciones algebraicas de interés tienen coeficientes enteros o racionales , y es posible que deseemos una factorización con factores del mismo tipo. El teorema fundamental de la aritmética puede generalizarse a este caso, afirmando que los polinomios con coeficientes enteros o racionales tienen la propiedad única de factorización . Más precisamente, todo polinomio con coeficientes racionales puede factorizarse en un producto.

${\displaystyle P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),}$

donde q es un número racional y son polinomios no constantes con coeficientes enteros, irreducibles y primitivos ; esto significa que ninguno de ellos puede escribirse como producto de dos polinomios (con coeficientes enteros) que no son ni 1 ni –1 (los números enteros se consideran polinomios de grado cero). Además, esta factorización es única hasta el orden de los factores y los signos de los factores. ${\displaystyle P_{1}(x),\ldots ,P_{k}(x)}$ ${\displaystyle P_{i}(x)}$

Existen algoritmos eficientes para calcular esta factorización, que se implementan en la mayoría de los sistemas de álgebra informática . Ver Factorización de polinomios . Desafortunadamente, estos algoritmos son demasiado complicados para utilizarlos en cálculos con lápiz y papel. Además de las heurísticas anteriores, sólo unos pocos métodos son adecuados para cálculos manuales, que generalmente funcionan sólo para polinomios de bajo grado, con pocos coeficientes distintos de cero. Los principales métodos de este tipo se describen en las siguientes subsecciones.

Factorización de partes primitivas y contenido

Todo polinomio con coeficientes racionales , puede factorizarse, de forma única, como el producto de un número racional y un polinomio con coeficientes enteros, que es primitivo (es decir, el máximo común divisor de los coeficientes es 1), y tiene un coeficiente principal positivo (coeficiente del término de mayor grado). Por ejemplo:

${\displaystyle -10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)}$

${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)}$

En esta factorización, el número racional se llama contenido y el polinomio primitivo es la parte primitiva . El cálculo de esta factorización se puede realizar de la siguiente manera: en primer lugar, se reducen todos los coeficientes a un denominador común, para obtener el cociente entre un número entero q de un polinomio con coeficientes enteros. Luego se divide el mayor común divisor p de los coeficientes de este polinomio para obtener la parte primitiva, siendo el contenido Finalmente, si es necesario, se cambian los signos de p y todos los coeficientes de la parte primitiva. ${\displaystyle p/q.}$

Esta factorización puede producir un resultado mayor que el polinomio original (generalmente cuando hay muchos denominadores coprimos ), pero, incluso cuando este es el caso, la parte primitiva generalmente es más fácil de manipular para una factorización adicional.

Usando el teorema del factor

El teorema del factor establece que, si r es raíz de un polinomio

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

es decir P ( r ) = 0 , entonces hay una factorización

${\displaystyle P(x)=(x-r)Q(x),}$

dónde

${\displaystyle Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},}$

con . Entonces la división larga polinómica o la división sintética dan: ${\displaystyle a_{0}=b_{0}}$

${\displaystyle b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}\ {\text{ for }}\ i=1,\ldots ,n{-}1.}$

Esto puede resultar útil cuando se conoce o se puede adivinar la raíz del polinomio.

Por ejemplo, se puede ver fácilmente que la suma de sus coeficientes es 0, por lo que r = 1 es una raíz. Como r + 0 = 1 , y se tiene ${\displaystyle P(x)=x^{3}-3x+2,}$ ${\displaystyle r^{2}+0r-3=-2,}$

${\displaystyle x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).}$

Raíces racionales

Para polinomios con coeficientes de números racionales, se pueden buscar raíces que sean números racionales. La factorización primitiva de contenido parcial (ver arriba) reduce el problema de buscar raíces racionales al caso de polinomios con coeficientes enteros que no tienen un divisor común no trivial .

Si es una raíz racional de tal polinomio ${\displaystyle x={\tfrac {p}{q}}}$

${\displaystyle P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},}$

el teorema del factor muestra que se tiene una factorización

${\displaystyle P(x)=(qx-p)Q(x),}$

donde ambos factores tienen coeficientes enteros (el hecho de que Q tenga coeficientes enteros resulta de la fórmula anterior para el cociente de P ( x ) por ). ${\displaystyle x-p/q}$

La comparación de los coeficientes de grado n y los coeficientes constantes en la igualdad anterior muestra que, si es una raíz racional en forma reducida , entonces q es un divisor de y p es un divisor de Por lo tanto, hay un número finito de posibilidades para p y q , que puede examinarse sistemáticamente. ^[7] ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle a_{0},}$ ${\displaystyle a_{n}.}$

Por ejemplo, si el polinomio

${\displaystyle P(x)=2x^{3}-7x^{2}+10x-6}$

tiene una raíz racional con q > 0 , entonces p debe dividir 6; es decir, y q debe dividir a 2, es decir, es más, si x < 0 , todos los términos del polinomio son negativos y, por lo tanto, una raíz no puede ser negativa. Es decir, hay que tener ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},}$ ${\displaystyle q\in \{1,2\}.}$

${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}}\}.}$

Un cálculo directo muestra que sólo hay una raíz, por lo que no puede haber otra raíz racional. La aplicación del teorema del factor conduce finalmente a la factorización. ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$ ${\displaystyle 2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).}$

Método ac cuadrático

El método anterior puede adaptarse a polinomios cuadráticos , lo que lleva al método ac de factorización. ^[8]

Considere el polinomio cuadrático

${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$

con coeficientes enteros. Si tiene una raíz racional, su denominador debe dividir a a uniformemente y puede escribirse como una fracción posiblemente reducible . Según las fórmulas de Vieta , la otra raíz es ${\displaystyle r_{1}={\tfrac {r}{a}}.}$ ${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{2}=-{\frac {b}{a}}-r_{1}=-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},}$

con Así, la segunda raíz también es racional, y la segunda fórmula de Vieta da ${\displaystyle s=-(b+r).}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}}$

${\displaystyle {\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},}$

eso es

${\displaystyle rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.}$

Al verificar todos los pares de números enteros cuyo producto es ac se obtienen las raíces racionales, si las hay.

En resumen, si tiene raíces racionales hay números enteros r y s tales y (un número finito de casos para probar), y las raíces son y En otras palabras, se tiene la factorización ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle rs=ac}$ ${\displaystyle r+s=-b}$ ${\displaystyle {\tfrac {r}{a}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {s}{a}}.}$

${\displaystyle a(ax^{2}+bx+c)=(ax-r)(ax-s).}$

Por ejemplo, consideremos el polinomio cuadrático

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6.}$

La inspección de los factores de ac = 36 conduce a 4 + 9 = 13 = b , dando las dos raíces

${\displaystyle r_{1}=-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad r_{2}=-{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},}$

y la factorización

${\displaystyle 6x^{2}+13x+6=6(x+{\tfrac {2}{3}})(x+{\tfrac {3}{2}})=(3x+2)(2x+3).}$

Usar fórmulas para raíces polinómicas

Cualquier polinomio cuadrático univariante se puede factorizar mediante la fórmula cuadrática : ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),}$

donde y son las dos raíces del polinomio. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Si a, b, c son todos reales , los factores son reales si y sólo si el discriminante no es negativo. De lo contrario, el polinomio cuadrático no se puede factorizar en factores reales no constantes. ${\displaystyle b^{2}-4ac}$

La fórmula cuadrática es válida cuando los coeficientes pertenecen a cualquier campo de característica diferente de dos y, en particular, para coeficientes de un campo finito con un número impar de elementos. ^[9]

También existen fórmulas para raíces de polinomios cúbicos y cuárticos , que, en general, son demasiado complicadas para su uso práctico. El teorema de Abel-Ruffini muestra que no existen fórmulas de raíces generales en términos de radicales para polinomios de grado cinco o superior.

Usando relaciones entre raíces

Puede ocurrir que se conozca alguna relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes. Usar este conocimiento puede ayudar a factorizar el polinomio y encontrar sus raíces. La teoría de Galois se basa en un estudio sistemático de las relaciones entre raíces y coeficientes, que incluyen las fórmulas de Vieta .

Aquí, consideramos el caso más simple donde dos raíces y de un polinomio satisfacen la relación ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle P(x)}$

${\displaystyle x_{2}=Q(x_{1}),}$

donde Q es un polinomio.

Esto implica que es una raíz común de y, por lo tanto, es una raíz del máximo común divisor de estos dos polinomios. De ello se deduce que este máximo común divisor es un factor no constante del algoritmo euclidiano para polinomios que permite calcular este máximo común divisor. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle P(Q(x))}$ ${\displaystyle P(x).}$ ${\displaystyle P(x).}$

Por ejemplo, ^[10] si se sabe o supone que: tiene dos raíces que suman cero, se puede aplicar el algoritmo euclidiano a y El primer paso de la división consiste en sumar para dar el resto de ${\displaystyle P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-x).}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle P(-x),}$

${\displaystyle -10(x^{2}-16).}$

Luego, dividir por da cero como nuevo resto y x – 5 como cociente, lo que lleva a la factorización completa. ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x^{2}-16}$

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4).}$

Dominios de factorización únicos

Los números enteros y los polinomios sobre un campo comparten la propiedad de factorización única, es decir, cada elemento distinto de cero puede factorizarse en un producto de un elemento invertible (una unidad , ±1 en el caso de números enteros) y un producto de elementos irreducibles ( números primos , en el caso de los números enteros), y esta factorización es única hasta reordenar los factores y cambiar unidades entre los factores. Los dominios integrales que comparten esta propiedad se denominan dominios de factorización únicos (UFD).

Los máximos comunes divisores existen en las UFD y, a la inversa, cada dominio integral en el que existen máximos comunes divisores es una UFD. Todo dominio ideal principal es una UFD.

Un dominio euclidiano es un dominio integral en el que se define una división euclidiana similar a la de los números enteros. Todo dominio euclidiano es un dominio ideal principal y, por tanto, una UFD.

En un dominio euclidiano, la división euclidiana permite definir un algoritmo euclidiano para calcular los máximos comunes divisores. Sin embargo, esto no implica la existencia de un algoritmo de factorización. Hay un ejemplo explícito de un campo F tal que no puede existir ningún algoritmo de factorización en el dominio euclidiano F [ x ] de los polinomios univariados sobre F .

Ideales

En la teoría algebraica de números , el estudio de las ecuaciones diofánticas llevó a los matemáticos, durante el siglo XIX, a introducir generalizaciones de los números enteros llamadas enteros algebraicos . El primer anillo de enteros algebraicos que se ha considerado fueron los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein , que comparten con los enteros habituales la propiedad de ser dominios ideales principales y, por tanto, tienen la propiedad de factorización única .

Desafortunadamente, pronto resultó que la mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son principales y no tienen factorización única. El ejemplo más sencillo es aquel en el que ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}],}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),}$

y todos estos factores son irreductibles .

Esta falta de factorización única es una dificultad importante para resolver ecuaciones diofánticas. Por ejemplo, muchas demostraciones erróneas del último teorema de Fermat (probablemente incluida la "prueba verdaderamente maravillosa de esto de Fermat , que este margen es demasiado estrecho para contener" ) se basaron en la suposición implícita de factorización única.

Esta dificultad fue resuelta por Dedekind , quien demostró que los anillos de los números enteros algebraicos tienen una factorización de ideales única : en estos anillos, cada ideal es un producto de ideales primos , y esta factorización es única en el orden de los factores. Los dominios integrales que tienen esta propiedad única de factorización ahora se denominan dominios de Dedekind . Tienen muchas propiedades interesantes que los hacen fundamentales en la teoría algebraica de números.

matrices

Los anillos de matrices no son conmutativos y no tienen factorización única: en general, existen muchas formas de escribir una matriz como producto de matrices. Por tanto, el problema de factorización consiste en encontrar factores de tipos específicos. Por ejemplo, la descomposición LU da una matriz como producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior . Como esto no siempre es posible, generalmente se considera la "descomposición LUP" que tiene una matriz de permutación como tercer factor.

Consulte Descomposición matricial para conocer los tipos más comunes de factorizaciones matriciales.

Una matriz lógica representa una relación binaria y la multiplicación de matrices corresponde a la composición de las relaciones . La descomposición de una relación mediante factorización sirve para perfilar la naturaleza de la relación, como una relación difuncional .

Ver también

• Método de factorización de Euler para números enteros.
• Método de factorización de Fermat para números enteros.
• Factorización monoide
• partición multiplicativa
• Tabla de factorizaciones de enteros gaussianos

Notas

1. Resistente; Wright (1980), Introducción a la teoría de los números (5ª ed.), Oxford Science Publications, ISBN 978-0198531715
2. Klein 1925, págs. 101-102
3. En Sanford, Vera (2008) [1930], Breve historia de las matemáticas , libros leídos, ISBN 9781409727101, señala el autor: "En vista del énfasis actual dado a la solución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización, es interesante señalar que este método no se utilizó hasta el trabajo de Harriot de 1631".
4. Harriot, T. (1631), Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas (en latín), Apud Robertum Barker, typographum regium
5. Fite 1921, pag. 19
6. Selby 1970, pag. 101
7. Dickson 1922, pag. 27
8. Stover, Christopher, "AC Method", Mathworld , archivado desde el original el 12 de noviembre de 2014
9. En un campo de característica 2, se tiene 2 = 0 y la fórmula produce una división por cero.
10. Burnside y Panton 1960, pág. 38

Referencias

• Burnside, William Nieve ; Panton, Arthur William (1960) [1912], La teoría de las ecuaciones con una introducción a la teoría de las formas algebraicas binarias (volumen uno) , Dover
• Dickson, Leonard Eugene (1922), Primer curso de teoría de ecuaciones , Nueva York: John Wiley & Sons
• Fite, William Benjamin (1921), Álgebra universitaria (revisada) , Boston: DC Heath & Co.
• Klein, Felix (1925), Matemáticas elementales desde un punto de vista avanzado; Aritmética, Álgebra, Análisis , Dover
• Selby, Samuel M. (1970), Tablas matemáticas estándar CRC (18.ª ed.), The Chemical Rubber Co.

enlaces externos

• Wolfram Alpha también puede factorizar.