Entero algebraico

Número complejo que resuelve un polinomio mónico con coeficientes enteros

En teoría algebraica de números , un número entero algebraico es un número complejo que es entero entre los números enteros . Es decir, un número entero algebraico es una raíz compleja de algún polinomio mónico (un polinomio cuyo coeficiente principal es 1) cuyos coeficientes son números enteros. El conjunto de todos los números enteros algebraicos A es cerrado en suma, resta y multiplicación y, por tanto, es un subanillo conmutativo de los números complejos.

El anillo de números enteros de un campo numérico K , denotado por O K _, es la intersección de K y A : también se puede caracterizar como el orden máximo del campo K. Cada número entero algebraico pertenece al anillo de números enteros de algún campo numérico. Un número α es un entero algebraico si y sólo si el anillo se genera finitamente como un grupo abeliano , es decir, como un módulo . ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Definiciones

Las siguientes son definiciones equivalentes de un número entero algebraico. Sea K un cuerpo numérico (es decir, una extensión finita del campo de los números racionales ), en otras palabras, para algún número algebraico según el teorema del elemento primitivo . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\theta )}$ ${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} }$

• α ∈ K es un entero algebraico si existe un polinomio mónicotal que f ( α ) = 0 . ${\displaystyle f(x)\in \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K es un entero algebraico si elpolinomio mónico mínimo de α overestá en. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$
• α ∈ K es un número entero algebraico sies un módulo generado finitamente. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\alpha ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• α ∈ K es un número entero algebraico si existe un submódulo finitamentetal que αM ⊆ M . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} }$

Los números enteros algebraicos son un caso especial de elementos integrales de una extensión de anillo. En particular, un número entero algebraico es un elemento integral de una extensión finita . ${\displaystyle K/\mathbb {Q} }$

Ejemplos

• Los únicos números enteros algebraicos que se encuentran en el conjunto de los números racionales son los números enteros. En otras palabras, la intersección de y A es exactamente . El número racional ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$a/b⁠ no es un número entero algebraico a menos que b divida a . El coeficiente principal del polinomio bx − a es el número entero b .
• La raíz cuadrada de un número entero no negativo n es un número entero algebraico, pero es irracional a menos que n sea un cuadrado perfecto . ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$
• Si d es un entero sin cuadrados, entonces la extensión es un cuerpo cuadrático de números racionales. El anillo de enteros algebraicos contiene OK ya _que es una raíz del polinomio mónico x ² − d . Además, si d ≡ 1 mod 4 , entonces el elemento también es un número entero algebraico. Satisface el polinomio x ² − x + ⁠ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)}$ ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$1/4⁠ (1 − d ) donde el término constante ⁠1/4⁠ (1 − d ) es un número entero. El anillo completo de números enteros se genera pororespectivamente. Consulte Entero cuadrático para obtener más información. ${\displaystyle {\sqrt {d}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
• El anillo de números enteros del campo , α = ³ √ m , tiene la siguiente base integral , escribiendo m = hk ² para dos enteros coprimos libres de cuadrados h y k : ^[1] ${\displaystyle F=\mathbb {Q} [\alpha ]}$ $${\displaystyle {\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$
• Si ζ _n es una raíz nésima primitiva de la unidad , entonces el anillo de números enteros del campo ciclotómico es precisamente . ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$
• Si α es un entero algebraico entonces β = ⁿ √ α es otro entero algebraico. Un polinomio para β se obtiene sustituyendo x ⁿ en el polinomio por α .

Sin ejemplo

• Si P ( x ) es un polinomio primitivo que tiene coeficientes enteros pero no es mónico, y P es irreducible en , entonces ninguna de las raíces de P son números enteros algebraicos (pero son números algebraicos ). Aquí se usa primitivo en el sentido de que el máximo común divisor de los coeficientes de P es 1, lo cual es más débil que requerir que los coeficientes sean primos relativos por pares. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Generación finita de extensión de anillo.

Para cualquier α , la extensión de anillo (en el sentido de que es equivalente a la extensión de campo ) de los números enteros por α , denotada por , se genera finitamente si y sólo si α es un entero algebraico. ${\displaystyle \mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}}$

La prueba es análoga a la del hecho correspondiente con respecto a los números algebraicos , con allí reemplazado por aquí, y la noción de grado de extensión de campo reemplazada por generación finita (usando el hecho de que se genera finitamente); el único cambio requerido es que en la prueba sólo estén involucradas potencias no negativas de α . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

La analogía es posible porque tanto los números enteros algebraicos como los números algebraicos se definen como raíces de polinomios mónicos sobre o , respectivamente. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Anillo

La suma, diferencia y producto de dos números enteros algebraicos es un número entero algebraico. En general, su cociente no lo es. Así, los números enteros algebraicos forman un anillo .

Esto se puede demostrar de forma análoga a la prueba correspondiente para números algebraicos , utilizando los números enteros en lugar de los racionales . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

También se puede construir explícitamente el polinomio mónico involucrado, que generalmente es de mayor grado que los de los números enteros algebraicos originales, tomando resultantes y factorizando. Por ejemplo, si x ² − x − 1 = 0 , y ³ − y − 1 = 0 y z = xy , entonces eliminando x e y de z − xy = 0 y los polinomios satisfechos por x e y usando la resultante se obtiene z ⁶ − 3 z ⁴ − 4 z ³ + z ² + z − 1 = 0 , que es irreducible y es la ecuación mónica que satisface el producto. (Para ver que xy es una raíz de la x -resultante de z − xy y x ² − x − 1 , se podría utilizar el hecho de que la resultante está contenida en el ideal generado por sus dos polinomios de entrada).

Cierre integral

Cada raíz de un polinomio mónico cuyos coeficientes son números enteros algebraicos es en sí mismo un número entero algebraico. En otras palabras, los números enteros algebraicos forman un anillo que está integralmente cerrado en cualquiera de sus extensiones.

Nuevamente, la prueba es análoga a la prueba correspondiente de que los números algebraicos son algebraicamente cerrados .

Datos adicionales

• Cualquier número que se pueda construir a partir de números enteros con raíces, suma y multiplicación es un número entero algebraico; pero no todos los números enteros algebraicos son tan construibles: en un sentido ingenuo, la mayoría de las raíces de quinticas irreducibles no lo son. Este es el teorema de Abel-Ruffini .
• El anillo de los enteros algebraicos es un dominio de Bézout , como consecuencia del teorema del ideal principal .
• Si el polinomio mónico asociado a un entero algebraico tiene término constante 1 o −1, entonces el recíproco de ese entero algebraico también es un entero algebraico, y cada uno es una unidad , un elemento del grupo de unidades del anillo de enteros algebraicos.
• Si x es un número algebraico, entonces a _n x es un número entero algebraico, donde x satisface un polinomio p ( x ) con coeficientes enteros y donde a _n x ⁿ es el término de mayor grado de p ( x ) . El valor y = a _n x es un número entero algebraico porque es raíz de q ( y ) = a^{norte  - 1}
  _norte p ( y  / a _n ) , donde q ( y ) es un polinomio mónico con coeficientes enteros.
• Si x es un número algebraico, entonces se puede escribir como la relación entre un entero algebraico y un entero algebraico distinto de cero. De hecho, siempre se puede elegir que el denominador sea un número entero positivo. La proporción es | una _norte | x / | una _norte | , donde x satisface un polinomio p ( x ) con coeficientes enteros y donde an _x ​​n es el término ^de mayor grado de p ( x ) .
• Los únicos números enteros algebraicos racionales son los números enteros. Por lo tanto, si α es un número entero algebraico y , entonces . Este es un resultado directo del teorema de la raíz racional para el caso de un polinomio mónico. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Z} }$

Ver también

• elemento integral
• entero gaussiano
• Entero de Eisenstein
• Raíz de la unidad
• Teorema unitario de Dirichlet
• Unidades fundamentales

Referencias

1. Marcos, Daniel A. (1977). Campos numéricos (3ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . cap. 2, pág. 38 y ej. 41.ISBN​ 978-0-387-90279-1.

• Stein, Guillermo . Teoría algebraica de números: un enfoque computacional (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2 de noviembre de 2013.