Dominio de factorización único

Tipo de dominio integral

En matemáticas , un dominio de factorización único ( UFD ) (también llamado a veces anillo factorial siguiendo la terminología de Bourbaki ) es un anillo en el que se cumple un enunciado análogo al teorema fundamental de la aritmética . Específicamente, una UFD es un dominio integral (un anillo conmutativo no trivial en el que el producto de dos elementos cualesquiera distintos de cero es distinto de cero) en el que cada elemento no unitario distinto de cero se puede escribir como un producto de elementos irreducibles , de forma única. hasta pedido y unidades.

Ejemplos importantes de UFD son los números enteros y anillos polinomiales en una o más variables con coeficientes provenientes de números enteros o de un campo .

Los dominios de factorización únicos aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Definición

Formalmente, un dominio de factorización único se define como un dominio integral R en el que cada elemento x distinto de cero de R puede escribirse como un producto de una unidad u y cero o más elementos irreducibles p _i de R :

x = tu p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _n con n ≥ 0

y esta representación es única en el siguiente sentido: Si q ₁ , ..., q _m son elementos irreducibles de R y w es una unidad tal que

x = w q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _m con m ≥ 0 ,

entonces m = n , y existe un mapa biyectivo φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m } tal que p _i está asociado a q _{φ ( i )} para i ∈ {1, ..., norte } .

Ejemplos

La mayoría de los anillos conocidos de las matemáticas elementales son UFD:

• Todos los dominios ideales principales , por tanto todos los dominios euclidianos , son UFD. En particular, los números enteros (ver también Teorema fundamental de la aritmética ), los enteros gaussianos y los enteros de Eisenstein son UFD.
• Si R es un UFD, entonces también lo es R [ X ], el anillo de polinomios con coeficientes en R . A menos que R sea un campo, R [ X ] no es un dominio ideal principal. Por inducción, un anillo polinomial en cualquier número de variables sobre cualquier UFD (y en particular sobre un campo o sobre números enteros) es una UFD.
• El anillo formal de series de potencias K [[ X ₁ , ..., X _n ]] sobre un campo K (o más generalmente sobre un UFD regular como un PID) es un UFD. Por otro lado, el anillo formal de series de potencias sobre una UFD no necesita ser una UFD, incluso si la UFD es local . Por ejemplo, si R es la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ) entonces R es un anillo local que es un UFD, pero la serie de potencias formal anillo R [[ X ]] sobre R no es una UFD.
• El teorema de Auslander-Buchsbaum establece que todo anillo local regular es un UFD.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]}$es una UFD para todos los números enteros 1 ≤ n ≤ 22 , pero no para n = 23 .
• Mori demostró que si la terminación de un anillo de Zariski , como un anillo local noetheriano , es una UFD, entonces el anillo es una UFD. ^[1] Lo contrario no es cierto: hay anillos locales noetherianos que son UFD pero cuyas terminaciones no lo son. La cuestión de cuándo sucede esto es bastante sutil: por ejemplo, para la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁵ ) en el ideal primo ( x , y , z ) , tanto el El anillo local y su compleción son UFD, pero en el ejemplo aparentemente similar de la localización de k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ ) en el ideal primo ( x , y , z ) el anillo local y su terminación son UFD El anillo es un UFD pero su terminación no lo es.
• Sea un campo de cualquier característica distinta de 2. Klein y Nagata demostraron que el anillo R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q es un UFD siempre que Q sea una forma cuadrática no singular en X s y n esté en menos 5. Cuando n = 4 , no es necesario que el anillo sea un UFD. Por ejemplo, R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) no es una UFD, porque el elemento XY es igual al elemento ZW, de modo que XY y ZW son dos factorizaciones diferentes del mismo elemento en irreducibles. ${\displaystyle R}$
• El anillo Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) es un UFD, pero el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1) no lo es. Por otro lado, el anillo Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1) no es un UFD, sino el anillo Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1) es. ^[2] De manera similar, el anillo de coordenadas R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1 ) de la esfera real bidimensional es un UFD, pero el anillo de coordenadas C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1) de la esfera compleja no lo es.
• Supongamos que a las variables X _i se les dan pesos w _i , y F ( X ₁ , ..., X _n ) es un polinomio homogéneo de peso w . Entonces, si c es coprimo de w y R es un UFD y cada módulo proyectivo generado finitamente sobre R es libre o c es 1 mod w , el anillo R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n )) es un UFD. ^[3]

No ejemplos

• El anillo de enteros cuadráticos de todos los números complejos de la forma , donde a y b son números enteros, no es un UFD porque 6 se factoriza tanto como 2 × 3 como como . Estas son realmente factorizaciones diferentes, porque las únicas unidades en este anillo son 1 y −1; por lo tanto, ninguno de 2, 3, y están asociados . No es difícil demostrar que los cuatro factores también son irreducibles, aunque esto puede no ser obvio. ^[4] Véase también Entero algebraico . ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ ${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$
• Para un entero positivo sin cuadrados d , el anillo de números enteros de no será un UFD a menos que d sea un número de Heegner . ${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$
• El anillo de las series de potencias formales sobre los números complejos es una UFD, pero el subanillo de los que convergen en todas partes, es decir, el anillo de funciones enteras en una sola variable compleja, no es una UFD, ya que existen funciones enteras con infinito. de ceros y, por tanto, una infinidad de factores irreducibles, mientras que una factorización UFD debe ser finita, por ejemplo:

  ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).}$

Propiedades

Algunos conceptos definidos para números enteros se pueden generalizar a las UFD:

• En los UFD, todo elemento irreducible es primo . (En cualquier dominio integral, todo elemento primo es irreducible, pero lo contrario no siempre se cumple. Por ejemplo, el elemento z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy ) es irreducible, pero no primo.) Tenga en cuenta que esto tiene un recíproco parcial: un dominio que satisface la ACCP es un UFD si y sólo si todo elemento irreducible es primo.
• Dos elementos cualesquiera de una UFD tienen un máximo común divisor y un mínimo común múltiplo . Aquí, un máximo común divisor de a y b es un elemento d que divide tanto a como b , y tal que cualquier otro divisor común de a y b divide a d . Todos los máximos comunes divisores de a y b están asociados .
• Cualquier UFD está integralmente cerrado . En otras palabras, si R es un UFD con campo cociente K , y si un elemento k en K es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en R , entonces k es un elemento de R.
• Sea S un subconjunto multiplicativamente cerrado de una UFD A. Entonces la localización S ⁻¹ A es una UFD. También se cumple una situación inversa a esto; vea abajo.

Condiciones equivalentes para que un anillo sea un UFD

Un dominio integral noetheriano es un UFD si y sólo si todo ideal primo de altura 1 es principal (se proporciona una prueba al final). Además, un dominio de Dedekind es un UFD si y sólo si su grupo de clases ideal es trivial. En este caso, se trata de hecho de un dominio ideal principal .

En general, para un dominio integral A , las siguientes condiciones son equivalentes:

1. A es un UFD.
2. Todo ideal primo distinto de cero de A contiene un elemento primo . ^[5]
3. A satisface la condición de cadena ascendente sobre ideales principales (ACCP), y la localización S ⁻¹ A es una UFD, donde S es un subconjunto multiplicativamente cerrado de A generado por elementos primos. (criterio de Nagata)
4. A satisface ACCP y todo irreducible es primo .
5. A es atómico y todo irreducible es primo .
6. A es un dominio GCD que satisface ACCP .
7. A es un dominio de Schreier , ^[6] y atómico .
8. A es un dominio anterior a Schreier y atómico .
9. A tiene una teoría del divisor en la que cada divisor es principal.
10. A es un dominio de Krull en el que todo ideal divisorio es principal (de hecho, ésta es la definición de UFD en Bourbaki).
11. A es un dominio de Krull y todo ideal primo de altura 1 es principal. ^[7]

En la práctica, (2) y (3) son las condiciones más útiles para comprobar. Por ejemplo, de (2) se deduce inmediatamente que un PID es un UFD, ya que todo ideal primo es generado por un elemento primo en un PID.

Para otro ejemplo, considere un dominio integral noetheriano en el que cada altura de un ideal primo es principal. Dado que todo ideal primo tiene una altura finita, contiene un ideal primo de altura (inducción sobre la altura) que es principal. Por (2), el anillo es un UFD.

Ver también

• Anillo local parafactorial
• Dominio de factorización único no conmutativo

Citas

1. Bourbaki (1972), 7.3, no 6, Proposición 4
2. Samuel (1964), pág. 35
3. Samuel (1964), pág. 31
4. Artín (2011), pág. 360
5. Kaplansky
6. Un dominio de Schreier es un dominio integral integralmente cerrado donde, siempre que x divide yz , x se puede escribir como x = x ₁ x ₂ de modo que x ₁ divide y y x ₂ divide z . En particular, un dominio GCD es un dominio Schreier.
7. Bourbaki (1972), 7.3, no 2, Teorema 1.

Referencias

• Artín, Michael (2011). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-241377-0.
• Bourbaki, N. (1972). Álgebra conmutativa . París, Hermann; Reading, Mass., Pub Addison-Wesley. ISBN del condado 9780201006445.
• Hartley, B .; A Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. ISBN 0-412-09810-5. Cap. 4.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001Capítulo II.5
• David Sharpe (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33718-6.
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Conferencias sobre dominios de factorización únicos, Conferencias del Instituto Tata de Investigación Fundamental sobre Matemáticas, vol. 30, Bombay: Instituto Tata de Investigación Fundamental, MR  0214579
• Samuel, Pierre (1968). "Factorización única". El Mensual Matemático Estadounidense . 75 (9): 945–952. doi :10.2307/2315529. ISSN  0002-9890. JSTOR  2315529.