Entero cuadrático

Raíz de un polinomio cuadrático con un coeficiente principal unitario

En teoría de números , los números enteros cuadráticos son una generalización de los números enteros habituales a cuerpos cuadráticos . Los números enteros cuadráticos son números enteros algebraicos de grado dos, es decir, soluciones de ecuaciones de la forma

x2 ⁺ bx + c = 0

con b y c (números enteros habituales). Cuando se consideran números enteros algebraicos, los números enteros habituales suelen denominarse números enteros racionales .

Ejemplos comunes de números enteros cuadráticos son las raíces cuadradas de números enteros racionales, como , y el número complejo , que genera los números enteros de Gauss . Otro ejemplo común es la raíz cúbica no real de la unidad , que genera los números enteros de Eisenstein . ${\textstyle {\sqrt {2}}}$ ${\textstyle i={\sqrt {-1}}}$ ${\textstyle {\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}$

Los números enteros cuadráticos aparecen en las soluciones de muchas ecuaciones diofánticas , como las ecuaciones de Pell , y otras cuestiones relacionadas con las formas cuadráticas integrales . El estudio de los anillos de números enteros cuadráticos es básico para muchas cuestiones de la teoría de números algebraicos .

Historia

Los matemáticos indios medievales ya habían descubierto una multiplicación de números enteros cuadráticos del mismo D , lo que les permitió resolver algunos casos de la ecuación de Pell . ^{[ cita requerida ]}

La caracterización dada en § Representación explícita de los números enteros cuadráticos fue dada por primera vez por Richard Dedekind en 1871. ^{[1] [2]}

Definición

Un entero cuadrático es un entero algebraico de grado dos. Más explícitamente, es un número complejo , que resuelve una ecuación de la forma x ² + bx + c = 0 , con b y c enteros . Cada entero cuadrático que no es un entero no es racional –es decir, es un número irracional real si b ² − 4 c > 0 y no real si b ² − 4 c < 0– y se encuentra en un cuerpo cuadrático determinado de forma única , la extensión de generado por la raíz cuadrada del único entero libre de cuadrados D que satisface b ² − 4 c = De ² para algún entero e . Si D es positivo, el entero cuadrático es real. Si D < 0 , es imaginario (es decir, complejo y no real). ${\displaystyle x=(-b\pm {\sqrt {b^{2}-4c}})/2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Los números enteros cuadráticos (incluidos los números enteros ordinarios) que pertenecen a un campo cuadrático forman un dominio integral llamado anillo de números enteros de ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$

Aunque los enteros cuadráticos pertenecientes a un cuerpo cuadrático dado forman un anillo , el conjunto de todos los enteros cuadráticos no es un anillo porque no está cerrado a la suma o la multiplicación. Por ejemplo, y son enteros cuadráticos, pero y no lo son, ya que sus polinomios mínimos tienen grado cuatro. ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})\cdot {\sqrt {3}}}$

Representación explícita

Aquí y en lo sucesivo, los enteros cuadráticos que se consideran pertenecen a un cuerpo cuadrático donde D es un entero libre de cuadrados. Esto no restringe la generalidad, ya que la igualdad (para cualquier entero positivo a ) implica ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,),}$ ${\textstyle {\sqrt {a^{2}D}}=a{\sqrt {D}}}$ ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)=\mathbb {Q} ({\sqrt {a^{2}D}}\,).}$

Un elemento x de es un entero cuadrático si y solo si hay dos enteros a y b tales que ${\textstyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\displaystyle x=a+b{\sqrt {D}},}$

o, si D  − 1 es múltiplo de 4

${\displaystyle x={\frac {a}{2}}+{\frac {b}{2}}{\sqrt {D}},}$con a y b ambos impares .

En otras palabras, cada entero cuadrático puede escribirse a + ωb  , donde a y  b son números enteros, y donde ω se define por

${\displaystyle \omega ={\begin{cases}{\sqrt {D}}&{\mbox{if }}D\equiv 2,3{\pmod {4}}\\{{1+{\sqrt {D}}} \over 2}&{\mbox{if }}D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

(como se ha supuesto que D no tiene cuadrados, el caso es imposible, ya que implicaría que D es divisible por el cuadrado 4). ^[3] ${\textstyle D\equiv 0{\pmod {4}}}$

Norma y conjugación

Un entero cuadrático puede escribirse ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$,

donde a y  b son ambos números enteros o, solo si D ≡ 1 (mod 4) , ambas mitades de números enteros impares . La norma de un entero cuadrático de este tipo es

${\textstyle N(a+b{\sqrt {D}})=a^{2}-Db^{2}}$.

La norma de un entero cuadrático es siempre un entero. Si D < 0 , la norma de un entero cuadrático es el cuadrado de su valor absoluto como número complejo (esto es falso si ). La norma es una función completamente multiplicativa , lo que significa que la norma de un producto de enteros cuadráticos es siempre el producto de sus normas. ${\textstyle D>0}$

Todo entero cuadrático tiene un conjugado ${\textstyle a+b{\sqrt {D}}}$

${\textstyle {\overline {a+b{\sqrt {D}}}}=a-b{\sqrt {D}}}$.

Un entero cuadrático tiene la misma norma que su conjugado, y esta norma es el producto del entero cuadrático y su conjugado. El conjugado de una suma o un producto de enteros cuadráticos es la suma o el producto (respectivamente) de los conjugados. Esto significa que la conjugación es un automorfismo del anillo de los enteros de – ver § Anillos de enteros cuadráticos , más abajo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Anillos enteros cuadráticos

Todo entero libre de cuadrados (distinto de 0 y 1) D define un anillo entero cuadrático , que es el dominio integral que consiste en los enteros algebraicos contenidos en Es el conjunto donde si D = 4 k + 1 , y ω = √ D en caso contrario. A menudo se denota , porque es el anillo de enteros de , que es la clausura integral de en El anillo consiste en todas las raíces de todas las ecuaciones x ² + Bx + C = 0 cuyo discriminante B ² − 4 C es el producto de D por el cuadrado de un entero. En particular √ D pertenece a , siendo una raíz de la ecuación x ² − D = 0 , que tiene 4 D como discriminante. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]=\{a+\omega b:a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \omega ={\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,).}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

La raíz cuadrada de cualquier número entero es un número entero cuadrático, ya que todo número entero puede escribirse n = m ² D , donde D es un número entero libre de cuadrados, y su raíz cuadrada es una raíz de x ² − m ² D = 0 .

El teorema fundamental de la aritmética no es cierto en muchos anillos de números enteros cuadráticos. Sin embargo, existe una factorización única para los ideales , que se expresa por el hecho de que cada anillo de números enteros algebraicos es un dominio de Dedekind . Al ser los ejemplos más simples de números enteros algebraicos, los números enteros cuadráticos son comúnmente los ejemplos iniciales de la mayoría de los estudios de la teoría de números algebraicos . ^[4]

Los anillos de números enteros cuadráticos se dividen en dos clases según el signo de D. Si D > 0 , todos los elementos de son reales y el anillo es un anillo de números enteros cuadráticos real . Si D < 0 , los únicos elementos reales de son los números enteros ordinarios y el anillo es un anillo de números enteros cuadráticos complejos . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

Para los anillos enteros cuadráticos reales, el número de clase , que mide la falla de la factorización única, se da en OEIS A003649; para el caso imaginario, se da en OEIS A000924.

Unidades

Un entero cuadrático es una unidad en el anillo de los enteros de si y solo si su norma es 1 o −1 . En el primer caso, su inverso multiplicativo es su conjugado. Es la negación de su conjugado en el segundo caso. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$

Si D < 0 , el anillo de los números enteros de tiene como máximo seis unidades. En el caso de los números enteros de Gauss ( D = −1 ), las cuatro unidades son . En el caso de los números enteros de Eisenstein ( D = −3 ), las seis unidades son . Para todos los demás números D negativos , solo hay dos unidades, que son 1 y −1 . ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\textstyle 1,-1,{\sqrt {-1}},-{\sqrt {-1}}}$ ${\textstyle \pm 1,{\frac {\pm 1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}}$

Si D > 0 , el anillo de los números enteros de tiene infinitas unidades que son iguales a ±  u ⁱ , donde i es un número entero arbitrario y u es una unidad particular llamada unidad fundamental . Dada una unidad fundamental u , hay otras tres unidades fundamentales, su conjugado y también y Comúnmente, se llama " unidad fundamental" a la única que tiene un valor absoluto mayor que 1 (como un número real). Es la única unidad fundamental que puede escribirse como a + b √ D , con a y b positivos (números enteros o mitades de números enteros). ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {D}}\,)}$ ${\displaystyle {\overline {u}},}$ ${\displaystyle -u}$ ${\displaystyle -{\overline {u}}.}$

Las unidades fundamentales para el 10 D positivo más pequeño sin cuadrados son , , (la proporción áurea ), , , , , , , . Para D más grandes , los coeficientes de la unidad fundamental pueden ser muy grandes. Por ejemplo, para D = 19, 31, 43 , las unidades fundamentales son respectivamente , y . ${\textstyle 1+{\sqrt {2}}}$ ${\textstyle 2+{\sqrt {3}}}$ ${\textstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\textstyle 5+2{\sqrt {6}}}$ ${\textstyle 8+3{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle 3+{\sqrt {10}}}$ ${\textstyle 10+3{\sqrt {11}}}$ ${\textstyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$ ${\textstyle 15+4{\sqrt {14}}}$ ${\textstyle 4+{\sqrt {15}}}$ ${\textstyle 170+39{\sqrt {19}}}$ ${\textstyle 1520+273{\sqrt {31}}}$ ${\textstyle 3482+531{\sqrt {43}}}$

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos complejos

Números enteros gaussianos

Primos de Eisenstein

Para D  < 0, ω es un número complejo ( imaginario o no real). Por lo tanto, es natural tratar un anillo entero cuadrático como un conjunto de números complejos algebraicos .

• Un ejemplo clásico son los números enteros gaussianos , que fueron introducidos por Carl Gauss alrededor de 1800 para enunciar su ley de reciprocidad bicuadrática. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}\,]}$
• Los elementos en se llaman números enteros de Eisenstein . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-3}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{{1+{\sqrt {-3}}} \over 2}\right]}$

Ambos anillos mencionados anteriormente son anillos de números enteros de campos ciclotómicos Q ( ζ ₄ ) y Q ( ζ ₃ ) correspondientemente. Por el contrario, Z [ √ −3 ] ni siquiera es un dominio de Dedekind .

Los dos ejemplos anteriores son anillos ideales principales y también dominios euclidianos para la norma. Este no es el caso de

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)}=\mathbf {Z} \left[{\sqrt {-5}}\,\right],}$

que ni siquiera es un dominio de factorización único . Esto se puede demostrar de la siguiente manera.

En nosotros tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)},}$

${\displaystyle 9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}).}$

Los factores 3, y son irreducibles , pues tienen todos una norma de 9, y si no fueran irreducibles, tendrían un factor de norma 3, lo cual es imposible, siendo la norma de un elemento diferente de ±1 al menos 4. Por tanto la factorización de 9 en factores irreducibles no es única. ${\displaystyle 2+{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle 2-{\sqrt {-5}}}$

Los ideales y no son principales , pues un simple cálculo muestra que su producto es el ideal generado por 3, y, si fueran principales, esto implicaría que 3 no sería irreducible. ${\displaystyle \langle 3,1+{\sqrt {-5}}\,\rangle }$ ${\displaystyle \langle 3,1-{\sqrt {-5}}\,\rangle }$

Ejemplos de anillos enteros cuadráticos reales

Potencias de la proporción áurea

Para D > 0 , ω es un número real irracional positivo y el anillo entero cuadrático correspondiente es un conjunto de números reales algebraicos. Las soluciones de la ecuación de Pell X ² − DY ² = 1 , una ecuación diofántica que ha sido ampliamente estudiada, son las unidades de estos anillos, para D ≡ 2, 3 (mod 4) .

• Para D = 5 , ω = ⁠1+ √ 5/2⁠ es la proporción áurea . Este anillo fue estudiado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet . Sus unidades tienen la forma ± ω ⁿ , donde n es un entero arbitrario. Este anillo también surge del estudio de la simetría rotacional quíntupleen el plano euclidiano, por ejemplo, los teselados de Penrose . ^[6]
• El matemático indio Brahmagupta trató la ecuación de Pell X ² − 61 Y ² = 1 , correspondiente al anillo Z [ √ 61 ] . Algunos resultados fueron presentados a la comunidad europea por Pierre Fermat en 1657. ^{[ ¿Cuál? ]}

Anillos principales de números enteros cuadráticos

La propiedad de factorización única no siempre se verifica para anillos de números enteros cuadráticos, como se vio anteriormente para el caso de Z [ √ −5 ] . Sin embargo, como para cada dominio de Dedekind , un anillo de números enteros cuadráticos es un dominio de factorización única si y solo si es un dominio de ideal principal . Esto ocurre si y solo si el número de clase del cuerpo cuadrático correspondiente es uno.

Los anillos imaginarios de números enteros cuadráticos que son anillos ideales principales han sido completamente determinados. Estos son para ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163 .

Este resultado fue conjeturado por primera vez por Gauss y demostrado por Kurt Heegner , aunque la prueba de Heegner no fue creída hasta que Harold Stark dio una prueba posterior en 1967 (véase el teorema de Stark-Heegner ). Este es un caso especial del famoso problema del número de clase .

Se conocen muchos números enteros positivos D > 0 , para los cuales el anillo de números enteros cuadráticos es un anillo ideal principal. Sin embargo, no se conoce la lista completa; ni siquiera se sabe si el número de estos anillos ideales principales es finito o no.

Anillos euclidianos de números enteros cuadráticos

Cuando un anillo de números enteros cuadráticos es un dominio ideal principal, es interesante saber si es un dominio euclidiano . Este problema se ha resuelto completamente de la siguiente manera.

Equipado con la norma como función euclidiana , es un dominio euclidiano para D negativo cuando ${\displaystyle N(a+b{\sqrt {D}}\,)=|a^{2}-Db^{2}|}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbf {Q} ({\sqrt {D}}\,)}}$

D = −1, −2, −3, −7, −11 , ^[7]

y, para D positivo , cuando

D = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 (secuencia A048981 en la OEIS ).

No existe otro anillo de enteros cuadráticos que sea euclidiano con la norma como una función euclidiana. ^[8] Para D negativo , un anillo de enteros cuadráticos es euclidiano si y solo si la norma es una función euclidiana para él. De ello se deduce que, para

D = −19, −43, −67, −163 ,

Los cuatro anillos correspondientes de números enteros cuadráticos se encuentran entre los raros ejemplos conocidos de dominios ideales principales que no son dominios euclidianos.

Por otra parte, la hipótesis generalizada de Riemann implica que un anillo de enteros cuadráticos reales que es un dominio ideal principal es también un dominio euclidiano para alguna función euclidiana, que de hecho puede diferir de la norma usual. ^[9] Los valores D = 14, 69 fueron los primeros para los cuales se demostró que el anillo de enteros cuadráticos era euclidiano, pero no norma-euclidiano. ^{[10] [11]}

Notas

1. Dedekind 1871, Suplemento X, p. 447
2. Bourbaki 1994, pág. 99
3. "¿Por qué el anillo entero cuadrático se define de esa manera?". math.stackexchange.com . Consultado el 31 de diciembre de 2016 .
4. Artin, capítulo 13
5. Dummit y Foote 2004, pág. 229
6. de Bruijn 1981
7. Dummit y Foote 2004, pág. 272
8. LeVeque 2002, págs. II:57, 81
9. P. Weinberger, Sobre anillos euclidianos de números enteros algebraicos . En: Analytic Number Theory (St. Louis, 1972), Proc. Sympos. Pure Math. 24 (1973), 321–332.
10. Harper 2004
11. Clark 1994

Referencias

• Artin, M, Álgebra (2.a ed.)
• Bourbaki, Nicolas (1994). Elementos de la historia de las matemáticas . Traducido por Meldrum, John . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64767-6.Señor 1290116  .
• Clark, David A. (1994), "Un cuerpo cuadrático que es euclidiano pero no norma-euclidiano" (PDF) , Manuscripta Mathematica , 83 : 327–330, doi :10.1007/BF02567617, archivado desde el original (PDF) el 29 de enero de 2015
• de Bruijn, NG (1981), "Teoría algebraica de los mosaicos no periódicos del plano de Penrose, I, II" (PDF) , Indagationes Mathematicae , 43 (1): 39–66
• Dedekind, Richard (1871), Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet (2ª ed.), Vieweg , consultado el 5 de agosto de 2009
• Dummit, DS; Foote, RM (2004), Álgebra abstracta (3.ª ed.)
• Harper, M. (2004), " es euclidiano ", Can. J. Math. 56 , 56 : 55–70, doi :10.4153/CJM-2004-003-9 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {14}}]}$
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Temas de teoría de números, volúmenes I y II. Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9.Zbl 1009.11001  .

Lectura adicional

• JS Milne. Teoría algebraica de números , versión 3.01, 28 de septiembre de 2008. Notas de clase en línea