Unidad (teoría de anillos)

En matemáticas, elemento con inverso multiplicativo.

En álgebra , una unidad o elemento invertible ^[a] de un anillo es un elemento invertible para la multiplicación del anillo. Es decir, un elemento u de un anillo R es una unidad si existe v en R tal que donde 1 es la identidad multiplicativa ; el elemento v es único para esta propiedad y se llama inverso multiplicativo de u . ^{[1] [2]} El conjunto de unidades de R forma un grupo R ^× bajo la multiplicación, llamado grupo de unidades o grupo unitario de R . ^[b] Otras notaciones para el grupo unitario son R ^∗ , U( R ) y E( R ) (del término alemán Einheit ). $${\displaystyle vu=uv=1,}$$

Con menos frecuencia, el término unidad se utiliza a veces para referirse al elemento 1 del anillo, en expresiones como anillo con una unidad o anillo unidad y también matriz unidad . Debido a esta ambigüedad, 1 se denomina más comúnmente la "unidad" o la "identidad" del anillo, y las frases "anillo con unidad" o "anillo con identidad" pueden utilizarse para enfatizar que se está considerando un anillo en lugar de un rng .

Ejemplos

La identidad multiplicativa 1 y su inverso aditivo −1 son siempre unidades. En términos más generales, cualquier raíz de la unidad en un anillo R es una unidad: si r ⁿ = 1 , entonces r ^{n −1} es un inverso multiplicativo de r . En un anillo distinto de cero , el elemento 0 no es una unidad, por lo que R ^× no es cerrado bajo la adición. Un anillo distinto de cero R en el que cada elemento distinto de cero es una unidad (es decir, R ^× = R ∖ {0} ) se denomina anillo de división (o cuerpo sesgado). Un anillo de división conmutativo se denomina cuerpo . Por ejemplo, el grupo unitario del cuerpo de números reales R es R ∖ {0} .

Anillo entero

En el anillo de números enteros Z , las únicas unidades son 1 y −1 .

En el anillo Z / nZ de números enteros módulo n , las unidades son las clases de congruencia (mód n ) representadas por los números enteros coprimos con n . Constituyen el grupo multiplicativo de los números enteros módulo n .

Anillo de números enteros de un cuerpo numérico

En el anillo Z [ √ 3 ] obtenido al adjuntar el entero cuadrático √ 3 a Z , se tiene (2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1 , por lo que 2 + √ 3 es una unidad, y también lo son sus potencias, por lo que Z [ √ 3 ] tiene infinitas unidades.

De manera más general, para el anillo de números enteros R en un cuerpo de números F , el teorema unitario de Dirichlet establece que R ^× es isomorfo al grupo donde es el grupo (finito, cíclico) de raíces de la unidad en R y n , el rango del grupo unitario, es donde son el número de incrustaciones reales y el número de pares de incrustaciones complejas de F , respectivamente. $${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$ ${\displaystyle \mu _{R}}$ $${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

Esto recupera el ejemplo Z [ √ 3 ] : El grupo unitario de (el anillo de enteros de) un campo cuadrático real es infinito de rango 1, ya que . ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

Polinomios y series de potencias

Para un anillo conmutativo R , las unidades del anillo polinomial R [ x ] son ​​los polinomios tales que a ₀ es una unidad en R y los coeficientes restantes son nilpotentes , es decir, satisfacen para algún N . ^[4] En particular, si R es un dominio (o más generalmente reducido ), entonces las unidades de R [ x ] son ​​las unidades de R . Las unidades del anillo de series de potencias son las series de potencias tales que a ₀ es una unidad en R . ^[5] $${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ ${\displaystyle R[[x]]}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

Anillos de matriz

El grupo unitario del anillo M _n ( R ) de matrices n  ×  n sobre un anillo R es el grupo GL _n ( R ) de matrices invertibles . Para un anillo conmutativo R , un elemento A de M _n ( R ) es invertible si y solo si el determinante de A es invertible en R . En ese caso, A ⁻¹ puede darse explícitamente en términos de la matriz adjunta .

En general

Para los elementos x e y en un anillo R , si es invertible, entonces es invertible con inversa ; ^[6] esta fórmula se puede adivinar, pero no demostrar, mediante el siguiente cálculo en un anillo de series de potencias no conmutativas: Véase la identidad de Hua para obtener resultados similares. ${\displaystyle 1-xy}$ ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$ $${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

Grupo de unidades

Un anillo conmutativo es un anillo local si R ∖ R ^× es un ideal maximal .

Resulta que, si R ∖ R ^× es un ideal, entonces es necesariamente un ideal maximal y R es local ya que un ideal maximal es disjunto de R ^× .

Si R es un campo finito , entonces R ^× es un grupo cíclico de orden | R | − 1 .

Todo homomorfismo de anillo f  : R → S induce un homomorfismo de grupo R ^× → S ^× , ya que f mapea unidades a unidades. De hecho, la formación del grupo unitario define un funtor de la categoría de anillos a la categoría de grupos . Este funtor tiene un adjunto izquierdo que es la construcción del anillo de grupo integral . ^[7]

El esquema de grupo es isomorfo al esquema de grupo multiplicativo sobre cualquier base, por lo que para cualquier anillo conmutativo R , los grupos y son canónicamente isomorfos a U ( R ) . Nótese que el funtor (es decir, R ↦ U ( R ) ) es representable en el sentido: para anillos conmutativos R (esto por ejemplo se sigue de la relación adjunta antes mencionada con la construcción del anillo de grupo). Explícitamente esto significa que hay una biyección natural entre el conjunto de los homomorfismos de anillo y el conjunto de elementos unitarios de R (en contraste, representa el grupo aditivo , el funtor olvidadizo de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de grupos abelianos). ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

Asociación

Supongamos que R es conmutativo. Los elementos r y s de R se denominanasociar si existe una unidaduenRtal que r = us ; entonces escribir r ~ s . En cualquier anillo, los pares deelementosinversos aditivos^[c] x y− x estánasociados, ya que cualquier anillo incluye la unidad−1. Por ejemplo, 6 y −6 están asociados en Z . En general,~es unarelación de equivalenciaenR.

La asociatividad también se puede describir en términos de la acción de R ^× sobre R a través de la multiplicación: Dos elementos de R están asociados si están en la misma órbita R ^× - .

En un dominio integral , el conjunto de asociados de un elemento distinto de cero dado tiene la misma cardinalidad que R ^× .

La relación de equivalencia ~ puede verse como cualquiera de las relaciones de semigrupo de Green especializadas para el semigrupo multiplicativo de un anillo conmutativo R.

Véase también

• Unidades S
• Localización de un anillo y un módulo

Notas

1. En el caso de los anillos, el uso de "elemento invertible" se toma como una referencia evidente a la multiplicación, ya que todos los elementos de un anillo son invertibles para la suma.
2. La notación R ^× , introducida por André Weil , se utiliza habitualmente en la teoría de números , donde los grupos unitarios surgen con frecuencia. ^[3] El símbolo × es un recordatorio de que la operación de grupo es la multiplicación. Además, un superíndice × no se utiliza con frecuencia en otros contextos, mientras que un superíndice * a menudo denota dualidad.
3. x y − x no son necesariamente distintos. Por ejemplo, en el anillo de números enteros módulo 6, se tiene 3 = −3 aunque 1 ≠ −1 .

Citas

1. Dummit y Foote 2004
2. Lang 2002
3. Tiempo 1974
4. Watkins 2007, Teorema 11.1
5. Watkins 2007, Teorema 12.1
6. Jacobson 2009, §2.2 Ejercicio 4
7. Cohn 2003, §2.2 Ejercicio 10

Fuentes

• Cohn, Paul M. (2003). Álgebra adicional y aplicaciones (edición revisada de Álgebra, 2.ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6.Zbl1006.00001  .​
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica 1 (2.ª edición). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de posgrado en matemáticas . Springer . ISBN. 0-387-95385-X.
• Watkins, John J. (2007), Temas de teoría de anillos conmutativos , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-12748-4, Sr.  2330411
• Weil, André (1974). Teoría básica de números . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 144 (3ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-58655-5.