La identidad de Hua

Fórmula que relaciona pares de elementos en un anillo de división.

En álgebra, la identidad de Hua ^[1] , que lleva el nombre de Hua Luogeng, establece que para cualquier elemento a , b en un anillo de división ,

$${\displaystyle a-\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)^{-1}=aba}$$

${\displaystyle ab\neq 0,1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle -b^{-1}}$

$${\displaystyle \left(a+ab^{-1}a\right)^{-1}+(a+b)^{-1}=a^{-1}.}$$

teorema de hua

La identidad se utiliza en una prueba del teorema de Hua , ^[2] que establece que si es una función entre anillos de división que satisface ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle \sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\quad \sigma (1)=1,\quad \sigma (a^{-1})=\sigma (a)^{-1},}$$

homomorfismoantihomomorfismoteorema fundamental de la geometría proyectiva ${\displaystyle \sigma }$

Prueba de la identidad

Uno tiene

$${\displaystyle (a-aba)\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)=1-ab+ab\left(b^{-1}-a\right)\left(b^{-1}-a\right)^{-1}=1.}$$

La prueba es válida en cualquier anillo siempre que sean unidades . ^[3] ${\displaystyle a,b,ab-1}$

Referencias

1. Cohn 2003, §9.1
2. Cohn 2003, Teorema 9.1.3
3. Jacobson 2009, § 2.2. Ejercicio 9.

• Cohn, Paul M. (2003). Más álgebra y aplicaciones (edición revisada de Álgebra, 2ª ed.). Londres: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl  1006.00001.
• Jacobson, Nathan (2009). Álgebra básica . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-47189-1. OCLC  294885194.