Identidad aditiva

Valor que no cambia cuando se agrega

En matemáticas , la identidad aditiva de un conjunto que está equipado con la operación de suma es un elemento que, cuando se suma a cualquier elemento x del conjunto, produce x . Una de las identidades aditivas más familiares es el número de las matemáticas elementales , pero las identidades aditivas ocurren en otras estructuras matemáticas donde se define la suma, como en grupos y anillos .

Ejemplos elementales

• La identidad aditiva familiar de las matemáticas elementales es cero, denotada como . Por ejemplo,

  ${\displaystyle 5+0=5=0+5.}$

• En los números naturales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ (si se incluye 0), los enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ los números racionales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ los números reales ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ y los números complejos ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ la identidad aditiva es 0. Esto dice que para un número n que pertenece a cualquiera de estos conjuntos,

  ${\displaystyle n+0=n=0+n.}$

Definicion formal

Sea N un grupo cerrado bajo la operación de suma , denotado + . Una identidad aditiva para N , denotada e , es un elemento en N tal que para cualquier elemento n en N ,

${\displaystyle e+n=n=n+e.}$

Más ejemplos

• En un grupo , la identidad aditiva es el elemento de identidad del grupo, a menudo se denota 0 y es única (consulte la prueba a continuación).
• Un anillo o campo es un grupo bajo la operación de suma y, por lo tanto, también tienen una identidad aditiva única 0. Esto se define como diferente de la identidad multiplicativa 1 si el anillo (o campo) tiene más de un elemento. Si la identidad aditiva y la identidad multiplicativa son iguales, entonces el anillo es trivial (como se demuestra a continuación).
• En el anillo M _{m × n} ( R ) de matrices m por n sobre un anillo R , la identidad aditiva es la matriz cero, ^[1] denotada como O o 0 , y es la matriz m por n cuyas entradas consisten enteramente del elemento de identidad 0 en R . Por ejemplo, en las matrices de 2 × 2 sobre números enteros ⁠ ⁠ la identidad aditiva es ${\displaystyle \operatorname {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$

  ${\displaystyle 0={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

• En los cuaterniones , 0 es la identidad aditiva.
• En el anillo de funciones de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ , la función que asigna cada número a 0 es la identidad aditiva.
• En el grupo aditivo de vectores en ⁠ ⁠, el ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$vector origen o cero es la identidad aditiva.

Propiedades

La identidad aditiva es única en un grupo.

Sean ( G , +) un grupo y sean 0 y 0' en G ambos denotan identidades aditivas, por lo que para cualquier g en G ,

${\displaystyle 0+g=g=g+0,\qquad 0'+g=g=g+0'.}$

Luego se deduce de lo anterior que

${\displaystyle {\color {green}0'}={\color {green}0'}+0=0'+{\color {red}0}={\color {red}0}.}$

La identidad aditiva aniquila los elementos del anillo.

En un sistema con una operación de multiplicación que se distribuye sobre la suma, la identidad aditiva es un elemento absorbente multiplicativo , lo que significa que para cualquier s en S , s · 0 = 0 . Esto se debe a que:

${\displaystyle {\begin{aligned}s\cdot 0&=s\cdot (0+0)=s\cdot 0+s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=s\cdot 0-s\cdot 0\\\Rightarrow s\cdot 0&=0.\end{aligned}}}$

Las identidades aditiva y multiplicativa son diferentes en un anillo no trivial

Sea R un anillo y supongamos que la identidad aditiva 0 y la identidad multiplicativa 1 son iguales, es decir, 0 = 1. Sea r cualquier elemento de R. Entonces

${\displaystyle r=r\times 1=r\times 0=0}$

demostrando que R es trivial, es decir, R = {0}. Por lo tanto, se muestra la contrapositiva de que si R no es trivial, entonces 0 no es igual a 1.

Ver también

• 0 (número)
• Inverso aditivo
• Elemento de identidad
• Identidad multiplicativa

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Identidad aditiva". mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de septiembre de 2020 .

Bibliografía

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Álgebra abstracta , Wiley (3.ª ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9 . 

enlaces externos

• "Singularidad de la identidad aditiva en un anillo en PlanetMath" .