Completando el cuadrado

Método para resolver ecuaciones cuadráticas.

Animación que representa el proceso de completar el cuadrado. ( Detalles , versión GIF animada )

En álgebra elemental , completar el cuadrado es una técnica para convertir un polinomio cuadrático de la forma a la forma para algunos valores de h y k . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$ $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

En otras palabras, completar el cuadrado coloca un trinomio cuadrado perfecto dentro de una expresión cuadrática.

Completar el cuadrado se utiliza en

• resolver ecuaciones cuadráticas ,
• derivando la fórmula cuadrática ,
• graficar funciones cuadráticas ,
• evaluar integrales en cálculo, como integrales gaussianas con un término lineal en el exponente, ^[1]
• Encontrar transformadas de Laplace . ^{[2] [3]}

En matemáticas, completar el cuadrado se aplica a menudo en cualquier cálculo que involucre polinomios cuadráticos.

Historia

La técnica de completar el cuadrado era conocida en el Antiguo Imperio Babilónico . ^[4]

Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi , un famoso erudito que escribió el primer tratado algebraico Al-Jabr , utilizó la técnica de completar el cuadrado para resolver ecuaciones cuadráticas. ^[5]

Descripción general

Fondo

La fórmula en álgebra elemental para calcular el cuadrado de un binomio es: $${\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}$$

Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}$$

En cualquier cuadrado perfecto, el coeficiente de x es el doble del número p y el término constante es igual a p ² .

Ejemplo básico

Considere el siguiente polinomio cuadrático : $${\displaystyle x^{2}+10x+28.}$$

Esta cuadrática no es un cuadrado perfecto, ya que 28 no es el cuadrado de 5: $${\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}$$

Sin embargo, es posible escribir la cuadrática original como la suma de este cuadrado y una constante: $${\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}$$

A esto se le llama completar el cuadrado .

Descripción general

Dada cualquier cuadrática mónica es posible formar un cuadrado que tenga los mismos dos primeros términos: $${\displaystyle x^{2}+bx+c,}$$ $${\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}$$

Este cuadrado se diferencia de la cuadrática original sólo en el valor del término constante. Por tanto, podemos escribir dónde . Esta operación se conoce como completar el cuadrado . Por ejemplo: $${\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}$$ ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}$$

Caso no monónico

Dado un polinomio cuadrático de la forma, es posible factorizar el coeficiente a y luego completar el cuadrado para obtener el polinomio mónico resultante . $${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$$

Ejemplo: este proceso de factorizar el coeficiente a se puede simplificar aún más factorizándolo solo de los primeros 2 términos. No es necesario incluir el número entero al final del polinomio. $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3[x^{2}+4x+9]\\&{}=3\left[(x+2)^{2}+5\right]\\&{}=3(x+2)^{2}+3(5)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3\left[x^{2}+4x\right]+27\\[1ex]&{}=3\left[(x+2)^{2}-4\right]+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+3(-4)+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}-12+27\\[1ex]&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}$$

Esto permite escribir cualquier polinomio cuadrático en la forma $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}$$

Fórmula

Caso escalar

El resultado de completar el cuadrado se puede escribir como una fórmula. En el caso general, se tiene ^[6] con $${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k,}$$ $${\displaystyle h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}$$

En particular, cuando a = 1 , se tiene con $${\displaystyle x^{2}+bx+c=(x-h)^{2}+k,}$$ $${\displaystyle h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}$$

Al resolver la ecuación en términos de y reorganizar la expresión resultante , se obtiene la fórmula cuadrática para las raíces de la ecuación cuadrática : ${\displaystyle a(x-h)^{2}+k=0}$ ${\displaystyle x-h,}$ $${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$$

caso matriz

El caso de la matriz es muy similar: dónde y . Tenga en cuenta que tiene que ser simétrico . $${\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}$$ ${\textstyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b}$ ${\textstyle k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}$ ${\displaystyle A}$

Si no es simétrica, las fórmulas para y deben generalizarse a: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ $${\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}$$

Relación con el gráfico

En geometría analítica , la gráfica de cualquier función cuadrática es una parábola en el plano xy . Dado un polinomio cuadrático de la forma los números h y k pueden interpretarse como las coordenadas cartesianas del vértice (o punto estacionario ) de la parábola. Es decir, h es la coordenada x del eje de simetría (es decir, el eje de simetría tiene ecuación x = h ), y k es el valor mínimo (o valor máximo, si a  < 0) de la función cuadrática. $${\displaystyle a(x-h)^{2}+k}$$

Una forma de ver esto es notar que la gráfica de la función f ( x ) = x ² es una parábola cuyo vértice está en el origen (0, 0). Por lo tanto, la gráfica de la función f ( x − h ) = ( x − h ) ² es una parábola desplazada hacia la derecha por h cuyo vértice está en ( h , 0), como se muestra en la figura superior. En contraste, la gráfica de la función f ( x ) + k = x ² + k es una parábola desplazada hacia arriba por k cuyo vértice está en (0, k ) , como se muestra en la figura central. Combinando desplazamientos horizontales y verticales se obtiene f ( x − h ) + k = ( x − h ) ² + k es una parábola desplazada hacia la derecha por h y hacia arriba por k cuyo vértice está en ( h , k ) , como se muestra en la figura inferior.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Completar el cuadrado se puede utilizar para resolver cualquier ecuación cuadrática . Por ejemplo: $${\displaystyle x^{2}+6x+5=0.}$$

El primer paso es completar el cuadrado: $${\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}$$

A continuación resolvemos el término al cuadrado: $${\displaystyle (x+3)^{2}=4.}$$

Entonces cualquiera y por lo tanto $${\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}$$ $${\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}$$

Esto se puede aplicar a cualquier ecuación cuadrática. Cuando x ² tiene un coeficiente distinto de 1, el primer paso es dividir la ecuación por este coeficiente: para ver un ejemplo, consulte el caso no mónico a continuación.

Raíces irracionales y complejas

A diferencia de los métodos que implican factorizar la ecuación, que es confiable solo si las raíces son racionales , al completar el cuadrado se encontrarán las raíces de una ecuación cuadrática incluso cuando esas raíces sean irracionales o complejas . Por ejemplo, considere la ecuación $${\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}$$

Completar el cuadrado da entonces Entonces o $${\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}$$ $${\displaystyle (x-5)^{2}=7.}$$ $${\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}}.}$$

En lenguaje más conciso: entonces $${\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}},}$$ $${\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}$$

Las ecuaciones con raíces complejas se pueden manejar de la misma manera. Por ejemplo: $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+4x+5&=0\\[6pt](x+2)^{2}+1&=0\\[6pt](x+2)^{2}&=-1\\[6pt]x+2&=\pm i\\[6pt]x&=-2\pm i.\end{aligned}}}$$

Caso no monónico

Para una ecuación que involucra una cuadrática no mónica , el primer paso para resolverla es dividirla por el coeficiente de x ² . Por ejemplo:

$${\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}$$

La aplicación de este procedimiento a la forma general de una ecuación cuadrática conduce a la fórmula cuadrática .

Otras aplicaciones

Integración

Completar el cuadrado se puede utilizar para evaluar cualquier integral de la forma usando las integrales básicas $${\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}$$ $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}$$

Por ejemplo, considere la integral $${\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}$$

Completando el cuadrado en el denominador se obtiene: $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}$$

Esto ahora se puede evaluar usando la sustitución u  =  x  + 3, lo que produce $${\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}$$

Números complejos

Considere la expresión donde z y b son números complejos , z ^* y b ^* son los conjugados complejos de z y b , respectivamente, y c es un número real . Usando la identidad | tu | ² = uu ^* podemos reescribir esto como que es claramente una cantidad real. Esto es porque $${\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}$$ $${\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}$$

Como otro ejemplo, la expresión donde a , b , c , x e y son números reales, con a  > 0 y b  > 0, se puede expresar en términos del cuadrado del valor absoluto de un número complejo. Definir $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}$$ $${\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}$$

Entonces ​ $${\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\[1ex]&{}=\left({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y\right)\left({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y\right)\\[1ex]&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\[1ex]&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}$$

matriz idempotente

Una matriz M es idempotente cuando M ² = M . Las matrices idempotentes generalizan las propiedades idempotentes de 0 y 1. La finalización del método cuadrado para abordar la ecuación muestra que algunas matrices idempotentes 2 × 2 están parametrizadas por un círculo en el plano ( a , b ): $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$$

La matriz será idempotente siempre que al completar el cuadrado quede En el plano ( a , b ), esta es la ecuación de un círculo con centro (1/2, 0) y radio 1/2. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}$ $${\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}$$

Perspectiva geométrica

Considere completar el cuadrado de la ecuación. $${\displaystyle x^{2}+bx=a.}$$

Dado que x ² representa el área de un cuadrado con un lado de longitud x y bx representa el área de un rectángulo con lados b y x , el proceso de completar el cuadrado puede verse como una manipulación visual de rectángulos.

Los intentos simples de combinar los rectángulos x ² y bx en un cuadrado más grande dan como resultado una esquina faltante. El término ( b /2) ² añadido a cada lado de la ecuación anterior es precisamente el área de la esquina faltante, de donde se deriva la terminología "completar el cuadrado". ^[7]

Una variación de la técnica.

Como se enseña convencionalmente, completar el cuadrado consiste en sumar el tercer término, v ² para obtener un cuadrado. También hay casos en los que se puede sumar el término medio, ya sea 2 uv o −2 uv , para obtener un cuadrado. $${\displaystyle u^{2}+2uv}$$ $${\displaystyle u^{2}+v^{2}}$$

Ejemplo: la suma de un número positivo y su recíproco

Escribiendo demostramos que la suma de un número positivo x y su recíproco es siempre mayor o igual a 2. El cuadrado de una expresión real siempre es mayor o igual a cero, lo que da la cota indicada; y aquí logramos 2 justo cuando x es 1, lo que hace que el cuadrado desaparezca. $${\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}$$

Ejemplo: factorizar un polinomio cuártico simple

Considere el problema de factorizar el polinomio. $${\displaystyle x^{4}+324.}$$

Esto es así, el término medio es 2( x ² )(18) = 36 x ² . Así obtenemos (la última línea se agregó simplemente para seguir la convención de grados decrecientes de términos). $${\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{a difference of two squares}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}$$

El mismo argumento muestra que siempre es factorizable como (También conocida como identidad de Sophie Germain ). ${\displaystyle x^{4}+4a^{4}}$ $${\displaystyle x^{4}+4a^{4}=\left(x^{2}+2ax+2a^{2}\right)\left(x^{2}-2ax+2a^{2}\right)}$$

Completando el cubo

"Completar el cuadrado" consiste en remarcar que los dos primeros términos de un polinomio cuadrático son también los primeros términos del cuadrado de un polinomio lineal , y utilizar esto para expresar el polinomio cuadrático como suma de un cuadrado y una constante.

Completar el cubo es una técnica similar que permite transformar un polinomio cúbico en un polinomio cúbico sin término de grado dos.

Más precisamente, si

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$

es un polinomio en x tal que sus dos primeros términos son los dos primeros términos de la forma expandida de ${\displaystyle a\neq 0,}$

${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{3a}}\right)^{3}=ax^{3}+bx^{2}+x\,{\frac {b^{2}}{3a}}+{\frac {b^{3}}{27a^{2}}}.}$

Entonces, el cambio de variable

${\displaystyle t=x+{\frac {b}{3a}}}$

proporciona un polinomio cúbico sin término de grado dos, que se denomina forma deprimida del polinomio original. ${\displaystyle t}$

Esta transformación es generalmente el primer paso de los métodos para resolver la ecuación cúbica general.

De manera más general, se puede utilizar una transformación similar para eliminar términos de grado en polinomios de grado , lo que se denomina transformación de Tschirnhaus . ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle n}$

Referencias

1. Dionissios T. Hristopulos (2020). Campos aleatorios para el modelado de datos espaciales: introducción para científicos e ingenieros. Naturaleza Springer. pag. 267.ISBN​ 978-94-024-1918-4.Extracto de la página 267
2. James R. Brannan; William E. Boyce (2015). Ecuaciones diferenciales: una introducción a los métodos y aplicaciones modernos (3ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 314.ISBN​ 978-1-118-98122-1.Extracto de la página 314
3. Stephen L. Campbell; Richard Haberman (2011). Introducción a las ecuaciones diferenciales con sistemas dinámicos (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 214.ISBN​ 978-1-4008-4132-5.Extracto de la página 214
4. Tony Philips, "Completar el cuadrado", columna destacada de la American Mathematical Society , 2020.
5. Hughes, Bernabé. "Completar el cuadrado: cuadráticas mediante la suma". Asociación de Matemáticas de América . Consultado el 21 de octubre de 2022 .
6. Narasimhan, Revathi (2008). Precálculo: construcción de conceptos y conexiones. Aprendizaje Cengage. págs. 133-134. ISBN 978-0-618-41301-0., Sección Fórmula para el vértice de una función cuadrática, páginas 133–134, figura 2.4.8
7. Carroll, Maureen T.; Rykken, Elyn (2018). Geometría: la línea y el círculo. Libros de texto AMS/MAA. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 162.ISBN​ 978-1-4704-4843-1. Consultado el 31 de marzo de 2024 .

• Álgebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8 , páginas 539–544 
• Álgebra 2, sajón, ISBN 0-939798-62-X , páginas 214–214, 241–242, 256–257, 398–401 

enlaces externos

• Completando el cuadrado en PlanetMath .