División larga polinomial

Algoritmo de división de polinomios.

En álgebra , la división larga de polinomios es un algoritmo para dividir un polinomio por otro polinomio del mismo o menor grado , una versión generalizada de la conocida técnica aritmética llamada división larga . Se puede hacer fácilmente a mano, porque separa un problema de división que de otro modo sería complejo en otros más pequeños. A veces, usar una versión abreviada llamada división sintética es más rápido, con menos escritura y menos cálculos. Otro método abreviado es la división corta polinomial (método de Blomqvist).

La división larga polinómica es un algoritmo que implementa la división euclidiana de polinomios , que a partir de dos polinomios A (el dividendo ) y B (el divisor ) produce, si B no es cero, un cociente Q y un resto R tal que

A = BQ + R ,

y R = 0 o el grado de R es menor que el grado de B. Estas condiciones definen de forma única Q y R , lo que significa que Q y R no dependen del método utilizado para calcularlos.

El resultado R = 0 ocurre si y sólo si el polinomio A tiene a B como factor . Por lo tanto, la división larga es un medio para comprobar si un polinomio tiene otro como factor y, si lo tiene, para factorizarlo. Por ejemplo, si se conoce una raíz r de A , se puede factorizar dividiendo A por ( x  –  r ).

Ejemplo

División larga polinomial

Encuentra el cociente y el resto de la división del dividendo , entre el divisor . ${\displaystyle x^{3}-2x^{2}-4,}$ ${\displaystyle x-3,}$

El dividendo primero se reescribe así:

${\displaystyle x^{3}-2x^{2}+0x-4.}$

El cociente y el resto se pueden determinar de la siguiente manera:

1. Divide el primer término del dividendo por el término más alto del divisor (es decir, el que tiene la mayor potencia de x , que en este caso es x ). Coloque el resultado encima de la barra ( x ³ ÷ x = x ² ).

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\end{array}}}$

2. Multiplica el divisor por el resultado que acabas de obtener (el primer término del eventual cociente). Escribe el resultado bajo los dos primeros términos del dividendo ( x ² · ( x − 3) = x ³ − 3 x ² ).

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }x^{3}-3x^{2}\end{array}}}$

3. Resta el producto recién obtenido de los términos apropiados del dividendo original (teniendo cuidado de que restar algo que tenga signo menos equivale a sumar algo que tenga signo más), y escribe el resultado debajo ( ( x ³ − 2 x ² ) − ( x ³ - 3 x ² ) = -2 x ² + 3 x ² = x ² ). Luego, "reduzca" el siguiente término del dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{l}{\color {White}x-3\ )\ x^{3}-2}x^{2}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\color {White}x-3\ )\ }{\underline {x^{3}-3x^{2}}}\\{\color {White}x-3\ )\ 0x^{3}}+{\color {White}}x^{2}+0x\end{array}}}$

4. Repita los tres pasos anteriores, excepto que esta vez utilice los dos términos que acaban de escribirse como dividendo.

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x{\color {White}{}+3}\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\\end{array}}}$

5. Repita el paso 4. Esta vez no hay nada que "derribar".

   ${\displaystyle {\begin{array}{r}x^{2}+{\color {White}1}x+3\\x-3\ {\overline {)\ x^{3}-2x^{2}+0x-4}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{}+0x-4}}}\\+x^{2}+0x{\color {White}{}-4}\\{\underline {+x^{2}-3x{\color {White}{}-4}}}\\+3x-4\\{\underline {+3x-9}}\\+5\end{array}}}$

El polinomio encima de la barra es el cociente q ( x ) y el número que queda (5) es el resto r ( x ).

${\displaystyle {x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}}$

El algoritmo de división larga para aritmética es muy similar al algoritmo anterior, en el que la variable x se reemplaza (en base 10) por el número específico 10.

División corta polinomial

El método de Blomqvist ^[1] es una versión abreviada de la división larga anterior. Este método de lápiz y papel utiliza el mismo algoritmo que la división larga polinómica, pero se utiliza el cálculo mental para determinar los restos. Esto requiere menos escritura y, por lo tanto, puede ser un método más rápido una vez que se domine.

Al principio, la división se escribe de manera similar a la multiplicación larga, con el dividendo en la parte superior y el divisor debajo. El cociente se escribe debajo de la barra de izquierda a derecha.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad x^{3}-2x^{2}+{0x}-4\\{\underline {\div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\end{matrix}}}$

Divide el primer término del dividendo por el término más alto del divisor ( x ³ ÷ x = x ² ). Coloque el resultado debajo de la barra. x ³ se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado con una barra invertida. El resultado x ² luego se multiplica por el segundo término del divisor −3 = −3 x ² . Determina el resto parcial restando −2 x ² − (−3 x ² ) = x ² . Marque −2 x ² como usado y coloque el nuevo resto x ² encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad x^{2}\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{0x}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}\qquad \qquad \end{matrix}}}$

Divide el término más alto del resto por el término más alto del divisor ( x ² ÷ x = x ). Coloque el resultado (+x) debajo de la barra. x ² se ha dividido sin dejar resto y, por lo tanto, se puede marcar como usado. El resultado x luego se multiplica por el segundo término del divisor −3 = −3 x . Determina el resto parcial restando 0 x − (−3 x ) = 3 x . Marque 0 x como usado y coloque el nuevo resto 3 x encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \qquad \quad {\bcancel {x^{2}}}\quad 3x\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}-4\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x\qquad \end{matrix}}}$

Divide el término más alto del resto por el término más alto del divisor (3x ÷ x = 3). Coloque el resultado (+3) debajo de la barra. 3x se ha dividido sin dejar restos y, por lo tanto, se puede marcar como usado. Luego, el resultado 3 se multiplica por el segundo término del divisor −3 = −9. Determina el resto parcial restando −4 − (−9) = 5. Marca −4 como usado y coloca el nuevo resto 5 encima.

${\displaystyle {\begin{matrix}\quad \qquad \qquad \qquad {\bcancel {x^{2}}}\quad {\bcancel {3x}}\quad 5\\\qquad \quad {\bcancel {x^{3}}}+{\bcancel {-2x^{2}}}+{\bcancel {0x}}{\bcancel {-4}}\\{\underline {\div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3}}\\x^{2}+x+3\qquad \end{matrix}}}$

El polinomio debajo de la barra es el cociente q ( x ), y el número que sobra (5) es el resto r ( x ).

Pseudocódigo

El algoritmo se puede representar en pseudocódigo de la siguiente manera, donde +, − y × representan aritmética polinomial y / representa la división simple de dos términos:

la función n/d es requiere d ≠ 0 q ← 0 r ← n // En cada paso n = d × q + r mientras que r ≠ 0 y grado(r) ≥ grado(d) sí lo hacen t ← plomo(r) / plomo(d) // Divide los términos principales q ← q + t r ← r − t × d retorno (q, r)

Esto funciona igualmente bien cuando grado( n ) < grado( d ); en ese caso el resultado es simplemente trivial (0, n ).

Este algoritmo describe exactamente el método anterior de papel y lápiz: d se escribe a la izquierda de ")"; q se escribe, término tras término, encima de la línea horizontal, siendo el último término el valor de t ; la región bajo la línea horizontal se utiliza para calcular y escribir los valores sucesivos de r .

división euclidiana

Para cada par de polinomios ( A , B ) tales que B ≠ 0, la división polinomial proporciona un cociente Q y un resto R tal que

${\displaystyle A=BQ+R,}$

y R = 0 o grado ( R ) <grado ( B ). Además ( Q , R ) es el único par de polinomios que tienen esta propiedad.

El proceso de obtener polinomios Q y R definidos de forma única a partir de A y B se denomina división euclidiana (a veces transformación de división ). La división larga polinomial es, por tanto, un algoritmo para la división euclidiana. ^[2]

Aplicaciones

Factorizar polinomios

En ocasiones se conocen una o más raíces de un polinomio, quizás habiéndose encontrado utilizando el teorema de la raíz racional . Si se conoce una raíz r de un polinomio P ( x ) de grado n , entonces se puede usar la división larga del polinomio para factorizar P ( x ) en la forma ( x − r ) Q ( x ) donde Q ( x ) es un polinomio de grado n − 1. Q ( x ) es simplemente el cociente obtenido del proceso de división; como se sabe que r es raíz de P ( x ), se sabe que el resto debe ser cero.

Asimismo, si varias raíces r , s , . . . de P ( x ), se puede dividir un factor lineal ( x − r ) para obtener Q ( x ), y luego ( x − s ) se puede dividir entre Q ( x ), etc. Alternativamente, la ecuación cuadrática El factor se puede dividir entre P ( x ) para obtener un cociente de grado n − 2. ${\displaystyle (x-r)(x-s)=x^{2}-(r{+}s)x+rs}$

Este método es especialmente útil para polinomios cúbicos y, a veces, se pueden obtener todas las raíces de un polinomio de grado superior. Por ejemplo, si el teorema de la raíz racional produce una raíz única (racional) de un polinomio quíntico , se puede factorizar para obtener un cociente cuártico (de cuarto grado); La fórmula explícita para las raíces de un polinomio de cuarto grado se puede utilizar para encontrar las otras cuatro raíces del polinomio de cuarto grado. Sin embargo, no existe una forma general de resolver una quíntica mediante métodos puramente algebraicos; consulte el teorema de Abel-Ruffini .

Encontrar tangentes a funciones polinomiales

La división larga polinomial se puede utilizar para encontrar la ecuación de la recta que es tangente a la gráfica de la función definida por el polinomio P ( x ) en un punto particular x = r . ^[3] Si R ( x ) es el resto de la división de P ( x ) por ( x – r ) ² , entonces la ecuación de la recta tangente en x = r a la gráfica de la función y = P ( x ) es y = R ( x ), independientemente de si r es o no una raíz del polinomio.

Ejemplo

Encuentra la ecuación de la recta que es tangente a la siguiente curva en x = 1 :

${\displaystyle y=x^{3}-12x^{2}-42.}$

Comience dividiendo el polinomio por ( x − 1) ² = x ² − 2 x + 1 :

${\displaystyle {\begin{array}{r}x-10\\x^{2}-2x+1\ {\overline {)\ x^{3}-12x^{2}+0x-42}}\\{\underline {x^{3}-{\color {White}0}2x^{2}+{\color {White}1}x}}{\color {White}{}-42}\\-10x^{2}-{\color {White}01}x-42\\{\underline {-10x^{2}+20x-10}}\\-21x-32\end{array}}}$

La recta tangente es y = −21 x − 32 .

Verificación de redundancia cíclica

Una verificación de redundancia cíclica utiliza el resto de la división polinómica para detectar errores en los mensajes transmitidos.

Ver también

• Teorema del resto polinomial
• División sintética , un método más conciso para realizar la división polinomial euclidiana
• El gobierno de Ruffini
• Dominio euclidiano
• base de gröbner
• Máximo común divisor de dos polinomios

Referencias

1. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: División de Blomqvist: ¿el método más simple para resolver divisiones? , recuperado el 10 de diciembre de 2019
2. S. Barnard (2008). Álgebra superior . LEER LIBROS. pag. 24.ISBN​ 978-1-4437-3086-0.
3. Strickland-Constable, Charles, "Un método simple para encontrar tangentes a gráficas polinomiales", Mathematical Gazette 89, noviembre de 2005: 466-467.