Número real

Número que representa una cantidad continua

En matemáticas , un número real es un número que se puede utilizar para medir una cantidad unidimensional continua , como una distancia , una duración o una temperatura . Aquí, continuo significa que los pares de valores pueden tener diferencias arbitrariamente pequeñas. ^[a] Todo número real se puede representar de forma casi única mediante una expansión decimal infinita . ^{[b] [1]}

Los números reales son fundamentales en el cálculo (y más generalmente en todas las matemáticas), en particular por su papel en las definiciones clásicas de límites , continuidad y derivadas . ^[c]

El conjunto de números reales, a veces llamados "los reales", se denota tradicionalmente con una R en negrita , a menudo usando blackboard bold , ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . ^{[2] [3]} El adjetivo real , utilizado en el siglo XVII por René Descartes , distingue a los números reales de los números imaginarios como las raíces cuadradas de −1 . ^[4]

Los números reales incluyen los números racionales , como el entero −5 y la fracción 4 / 3. El resto de los números reales se denominan números irracionales . Algunos números irracionales (así como todos los racionales) son la raíz de un polinomio con coeficientes enteros, como la raíz cuadrada √2 = 1,414... ; estos se denominan números algebraicos . También hay números reales que no lo son, como π = 3,1415... ; estos se denominan números trascendentales . ^[4]

Los números reales pueden considerarse como todos los puntos de una línea llamada línea numérica o línea real , donde los puntos correspondientes a números enteros ( ..., −2, −1, 0, 1, 2, ... ) están igualmente espaciados.

Los números reales pueden considerarse como todos los puntos de una línea numérica.

Por el contrario, la geometría analítica es la asociación de puntos en líneas (especialmente líneas de eje ) a números reales tales que los desplazamientos geométricos son proporcionales a las diferencias entre los números correspondientes.

Las descripciones informales anteriores de los números reales no son suficientes para asegurar la exactitud de las demostraciones de teoremas que involucran números reales. La comprensión de que se necesitaba una mejor definición, y la elaboración de dicha definición fue un desarrollo importante de las matemáticas del siglo XIX y es la base del análisis real , el estudio de funciones reales y secuencias de valores reales . Una definición axiomática actual es que los números reales forman el único ( hasta un isomorfismo ) cuerpo ordenado Dedekind-completo . ^[d] Otras definiciones comunes de números reales incluyen clases de equivalencia de secuencias de Cauchy (de números racionales), cortes de Dedekind y representaciones decimales infinitas . Todas estas definiciones satisfacen la definición axiomática y, por lo tanto, son equivalentes.

Propiedades caracterizantes

Los números reales están completamente caracterizados por sus propiedades fundamentales, que pueden resumirse diciendo que forman un cuerpo ordenado que es completo de Dedekind . Aquí, "completamente caracterizado" significa que existe un isomorfismo único entre dos cuerpos ordenados completos de Dedekind cualesquiera, y por lo tanto, que sus elementos tienen exactamente las mismas propiedades. Esto implica que se pueden manipular números reales y hacer cálculos con ellos, sin saber cómo se pueden definir; esto es lo que hicieron los matemáticos y los físicos durante varios siglos antes de que se proporcionaran las primeras definiciones formales en la segunda mitad del siglo XIX. Véase Construcción de los números reales para obtener detalles sobre estas definiciones formales y la prueba de su equivalencia.

Aritmética

Los números reales forman un cuerpo ordenado . Intuitivamente, esto significa que se les aplican métodos y reglas de aritmética elemental . Más precisamente, existen dos operaciones binarias , la suma y la multiplicación , y un orden total que tienen las siguientes propiedades.

• La suma de dos números reales a y b produce un número real denotado como la suma de a y b . ${\displaystyle a+b,}$
• La multiplicación de dos números reales a y b produce un número real denotado o que es el producto de a y b . ${\displaystyle ab,}$ ${\displaystyle a\cdot b}$ ${\displaystyle a\times b,}$
• Tanto la suma como la multiplicación son conmutativas , lo que significa que y para todos los números reales a y b . ${\displaystyle a+b=b+a}$ ${\displaystyle ab=ba}$
• Tanto la suma como la multiplicación son asociativas , lo que significa que y para todos los números reales a , b y c , y que los paréntesis pueden omitirse en ambos casos. ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$ ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$
• La multiplicación es distributiva con respecto a la suma, lo que significa que para cada número real a , b y c . ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$
• Existe un número real llamado cero y denotado 0 que es una identidad aditiva , lo que significa que para cada número real a . ${\displaystyle a+0=a}$
• Hay un número real denotado 1 que es una identidad multiplicativa , lo que significa que para cada número real a . ${\displaystyle a\times 1=a}$
• Todo número real a tiene un inverso aditivo denotado Esto significa que para cada número real a . ${\displaystyle -a.}$ ${\displaystyle a+(-a)=0}$
• Todo número real distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo denotado o Esto significa que para cada número real distinto de cero a . ${\displaystyle a^{-1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{a}}.}$ ${\displaystyle aa^{-1}=1}$
• El orden total se denota por ser un orden total que significa dos propiedades: dados dos números reales a y b , exactamente una de o es verdadera; y si y entonces también se tiene ${\displaystyle a<b.}$ ${\displaystyle a<b,}$ ${\displaystyle a=b}$ ${\displaystyle b<a}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle b<c,}$ ${\displaystyle a<c.}$
• El orden es compatible con la suma y la multiplicación, lo que significa que implica para cada número real c , y está implícito en y ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle a+c<b+c}$ ${\displaystyle 0<ab}$ ${\displaystyle 0<a}$ ${\displaystyle 0<b.}$

De las propiedades anteriores se pueden deducir muchas otras, en particular:

• ${\displaystyle 0\cdot a=0}$para cada número real a
• ${\displaystyle 0<1}$
• ${\displaystyle 0<a^{2}}$para cada número real distinto de cero a

Operaciones auxiliares

Se utilizan comúnmente otras operaciones, que pueden deducirse de las anteriores.

• Resta : la resta de dos números reales a y b da como resultado la suma de a y el inverso aditivo − b de b ; es decir, $${\displaystyle a-b=a+(-b).}$$
• División : la división de un número real a por un número real b distinto de cero se denota o y se define como la multiplicación de a por el inverso multiplicativo de b ; es decir, ${\textstyle {\frac {a}{b}},}$ ${\displaystyle a/b}$ $${\displaystyle {\frac {a}{b}}=ab^{-1}.}$$
• Valor absoluto : el valor absoluto de un número real a , denotado mide su distancia desde cero, y se define como ${\displaystyle |a|,}$ $${\displaystyle |a|=\max(a,-a).}$$

Relaciones de orden auxiliar

El orden total considerado anteriormente se denota y se lee como " a es menor que b ". También se utilizan comúnmente otras tres relaciones de orden : ${\displaystyle a<b}$

• Mayor que : se lee como " a es mayor que b ", se define como si y solo si ${\displaystyle a>b,}$ ${\displaystyle a>b}$ ${\displaystyle b<a.}$
• Menor o igual a : se lee como " a es menor o igual a b " o " a no es mayor que b ", se define como o equivalentemente como ${\displaystyle a\leq b,}$ ${\displaystyle (a<b){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(b<a).}$
• Mayor o igual que : se lee como " a es mayor o igual que b " o " a no es menor que b ", se define como o equivalentemente como ${\displaystyle a\geq b,}$ ${\displaystyle (b<a){\text{ or }}(a=b),}$ ${\displaystyle {\text{not }}(a<b).}$

Números enteros y fracciones como números reales

Los números reales 0 y 1 se identifican comúnmente con los números naturales 0 y 1. Esto permite identificar cualquier número natural n con la suma de n números reales igual a 1 .

Esta identificación se puede realizar identificando un entero negativo (donde es un número natural) con el inverso aditivo del número real identificado con . De manera similar, un número racional (donde p y q son enteros y ) se identifica con la división de los números reales identificados con p y q . ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle -n}$ ${\displaystyle n.}$ ${\displaystyle p/q}$ ${\displaystyle q\neq 0}$

Estas identificaciones hacen del conjunto de los números racionales un subcuerpo ordenado de los números reales. La completitud de Dedekind descrita a continuación implica que algunos números reales, como no son números racionales; se denominan números irracionales . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}},}$

Las identificaciones anteriores tienen sentido, ya que los números naturales, los enteros y los números reales no se definen generalmente por su naturaleza individual, sino por propiedades definitorias ( axiomas ). Así, la identificación de los números naturales con algunos números reales se justifica por el hecho de que los axiomas de Peano se satisfacen con estos números reales, siendo la adición con 1 la función sucesora .

Formalmente, se tiene un homomorfismo inyectivo de monoides ordenados de los números naturales a los enteros, un homomorfismo inyectivo de anillos ordenados de a los números racionales y un homomorfismo inyectivo de cuerpos ordenados de a los números reales. Las identificaciones consisten en no distinguir la fuente y la imagen de cada homomorfismo inyectivo, y así escribir ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

${\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} .}$

Estas identificaciones son, formalmente , abusos de la notación (ya que, formalmente, un número racional es una clase de equivalencia de pares de enteros, y un número real es una clase de equivalencia de series de Cauchy), y, por lo general, son inofensivas. Solo en situaciones muy específicas se deben evitar y reemplazar por el uso explícito de los homomorfismos anteriores. Este es el caso de las matemáticas constructivas y la programación informática . En este último caso, estos homomorfismos se interpretan como conversiones de tipos que, a menudo, el compilador puede realizar automáticamente .

La completitud de Dedekind

Las propiedades anteriores no distinguen a los números reales de los números racionales . Esta distinción la proporciona la completitud de Dedekind , que establece que todo conjunto de números reales con una cota superior admite una cota superior mínima . Esto significa lo siguiente. Un conjunto de números reales está acotado superiormente si hay un número real tal que para todo ; tal a se llama cota superior de Entonces, la completitud de Dedekind significa que, si S está acotado superiormente, tiene una cota superior que es menor que cualquier otra cota superior. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s\leq u}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle S.}$

La completitud de Dedekind implica otros tipos de completitud (véase más adelante), pero también tiene algunas consecuencias importantes.

• Propiedad de Arquímedes : para cada número real x , existe un entero n tal que (tomemos, donde es el límite superior mínimo de los enteros menores que x ). ${\displaystyle x<n}$ ${\displaystyle n=u+1,}$ ${\displaystyle u}$
• De manera equivalente, si x es un número real positivo, existe un entero positivo n tal que . ${\displaystyle 0<{\frac {1}{n}}<x}$
• Todo número real positivo x tiene una raíz cuadrada positiva , es decir, existe un número real positivo tal que ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r^{2}=x.}$
• Todo polinomio univariado de grado impar con coeficientes reales tiene al menos una raíz real (si el coeficiente principal es positivo, tome el límite superior mínimo de los números reales para los cuales el valor del polinomio sea negativo).

Las dos últimas propiedades se resumen diciendo que los números reales forman un cuerpo cerrado real . Esto implica la versión real del teorema fundamental del álgebra , es decir, que todo polinomio con coeficientes reales puede factorizarse en polinomios con coeficientes reales de grado dos como máximo.

Representación decimal

La forma más común de describir un número real es a través de su representación decimal , una secuencia de dígitos decimales que representan cada uno el producto de un entero entre cero y nueve veces una potencia de diez , que se extiende a un número finito de potencias positivas de diez a la izquierda y a un número infinito de potencias negativas de diez a la derecha. Para un número x cuya representación decimal se extiende k lugares a la izquierda, la notación estándar es la yuxtaposición de los dígitos en orden descendente por potencia de diez, con potencias de diez no negativas y negativas separadas por un punto decimal , que representa la serie infinita ${\displaystyle b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots ,}$

${\displaystyle x=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots .}$

Por ejemplo, para el círculo la constante k es cero y etc. ${\displaystyle \pi =3.14159\cdots ,}$ ${\displaystyle b_{0}=3,}$ ${\displaystyle a_{1}=1,}$ ${\displaystyle a_{2}=4,}$

Más formalmente, una representación decimal para un número real no negativo x consiste en un entero no negativo k y enteros entre cero y nueve en la secuencia infinita

${\displaystyle b_{k},b_{k-1},\ldots ,b_{0},a_{1},a_{2},\ldots .}$

(Si entonces por convención ) ${\displaystyle k>0,}$ ${\displaystyle b_{k}\neq 0.}$

Una representación decimal de este tipo especifica el número real como el límite superior mínimo de las fracciones decimales que se obtienen al truncar la secuencia: dado un entero positivo n , el truncamiento de la secuencia en el lugar n es la suma parcial finita .

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{n}&=b_{k}10^{k}+b_{k-1}10^{k-1}+\cdots +b_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+\cdots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\\&=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{j}10^{-j}\end{aligned}}}$

El número real x definido por la secuencia es el límite superior mínimo de la cual existe por completitud de Dedekind. ${\displaystyle D_{n},}$

Por el contrario, dado un número real no negativo x , se puede definir una representación decimal de x por inducción , de la siguiente manera. Definir como representación decimal del entero más grande tal que (este entero existe debido a la propiedad de Arquímedes). Luego, suponiendo por inducción que la fracción decimal ha sido definida para uno define como el dígito más grande tal que y se establece ${\displaystyle b_{k}\cdots b_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}}$ ${\displaystyle D_{0}\leq x}$ ${\displaystyle D_{i}}$ ${\displaystyle i<n,}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle D_{n-1}+a_{n}/10^{n}\leq a,}$ ${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+a_{n}/10^{n}.}$

Se pueden utilizar las propiedades definitorias de los números reales para demostrar que x es el límite superior mínimo de la ecuación (1). Por lo tanto, la secuencia de dígitos resultante se denomina representación decimal de x . ${\displaystyle D_{n}.}$

Otra representación decimal se puede obtener reemplazando con en la construcción anterior. Estas dos representaciones son idénticas, a menos que x sea una fracción decimal de la forma En este caso, en la primera representación decimal, todos son cero para y, en la segunda representación, todos son 9. (ver 0.999... para más detalles). ${\displaystyle \leq x}$ ${\displaystyle <x}$ ${\textstyle {\frac {m}{10^{h}}}.}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle n>h,}$ ${\displaystyle a_{n}}$

En resumen, existe una biyección entre los números reales y las representaciones decimales que no terminan con un número infinito de 9 finales.

Las consideraciones anteriores se aplican directamente para cada base numérica simplemente reemplazando 10 por y 9 por ${\displaystyle B\geq 2,}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B-1.}$

Completitud topológica

Una razón principal para utilizar números reales es que muchas sucesiones tienen límites . Más formalmente, los números reales son completos (en el sentido de espacios métricos o espacios uniformes , que es un sentido diferente de la completitud de Dedekind del orden en la sección anterior):

Una secuencia ( x _n ) de números reales se denomina secuencia de Cauchy si para cualquier ε > 0 existe un entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n − x _m | es menor que ε para todos los n y m que sean ambos mayores que N . Esta definición, originalmente proporcionada por Cauchy , formaliza el hecho de que los x _n eventualmente se acercan y permanecen arbitrariamente cerca uno del otro.

Una secuencia ( x _n ) converge al límite x si sus elementos eventualmente llegan y permanecen arbitrariamente cerca de x , es decir, si para cualquier ε > 0 existe un entero N (posiblemente dependiendo de ε) tal que la distancia | x _n − x | es menor que ε para n mayor que N .

Toda secuencia convergente es una secuencia de Cauchy, y lo inverso es cierto para los números reales, lo que significa que el espacio topológico de los números reales está completo.

El conjunto de los números racionales no está completo. Por ejemplo, la sucesión (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...), donde cada término suma un dígito de la expansión decimal de la raíz cuadrada positiva de 2, es de Cauchy pero no converge a un número racional (en los números reales, en cambio, converge a la raíz cuadrada positiva de 2).

La propiedad de completitud de los números reales es la base sobre la que se construye el cálculo y, más en general, el análisis matemático . En particular, la prueba de que una sucesión es una sucesión de Cauchy permite demostrar que una sucesión tiene un límite, sin calcularlo e incluso sin conocerlo.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

converge a un número real para cada x , porque las sumas

${\displaystyle \sum _{n=N}^{M}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

se puede hacer arbitrariamente pequeño (independientemente de M ) eligiendo N suficientemente grande. Esto demuestra que la secuencia es de Cauchy y, por lo tanto, converge, mostrando que está bien definida para cada x . ${\displaystyle e^{x}}$

"El campo ordenado completo"

Los números reales a menudo se describen como "el campo ordenado completo", una frase que puede interpretarse de varias maneras.

En primer lugar, un orden puede ser completo en red . Es fácil ver que ningún cuerpo ordenado puede ser completo en red, porque no puede tener ningún elemento más grande (dado cualquier elemento z , z + 1 es más grande).

Además, un orden puede ser Dedekind-completo, véase § Enfoque axiomático. El resultado de unicidad al final de esa sección justifica el uso de la palabra "el" en la frase "cuerpo ordenado completo" cuando ese es el sentido de "completo" que se quiere dar. Este sentido de completitud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de cortes de Dedekind, ya que esa construcción comienza a partir de un cuerpo ordenado (los racionales) y luego forma la completitud de Dedekind de él de una manera estándar.

Estas dos nociones de completitud ignoran la estructura del cuerpo. Sin embargo, un grupo ordenado (en este caso, el grupo aditivo del cuerpo) define una estructura uniforme , y las estructuras uniformes tienen una noción de completitud ; la descripción en § Completitud es un caso especial. (Nos referimos a la noción de completitud en espacios uniformes en lugar de la noción relacionada y mejor conocida para espacios métricos , ya que la definición de espacio métrico se basa en tener ya una caracterización de los números reales). No es cierto que sea el único cuerpo ordenado uniformemente completo, pero es el único cuerpo arquimediano uniformemente completo , y de hecho uno a menudo escucha la frase "cuerpo arquimediano completo" en lugar de "cuerpo ordenado completo". Todo cuerpo arquimediano uniformemente completo también debe ser Dedekind-completo (y viceversa), lo que justifica el uso de "el" en la frase "el cuerpo arquimediano completo". Este sentido de completitud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de sucesiones de Cauchy (la construcción realizada en su totalidad en este artículo), ya que comienza con un cuerpo arquimediano (los racionales) y forma la completitud uniforme del mismo de manera estándar. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Pero el uso original de la frase "cuerpo arquimediano completo" fue de David Hilbert , quien quiso decir algo más con ella. Quiso decir que los números reales forman el cuerpo arquimediano más grande en el sentido de que cualquier otro cuerpo arquimediano es un subcuerpo de . Por lo tanto, es "completo" en el sentido de que no se le puede agregar nada más sin que deje de ser un cuerpo arquimediano. Este sentido de completitud está más estrechamente relacionado con la construcción de los reales a partir de números surrealistas , ya que esa construcción comienza con una clase propia que contiene cada cuerpo ordenado (los surrealistas) y luego selecciona de ella el subcuerpo arquimediano más grande. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Cardinalidad

El conjunto de todos los números reales es incontable , en el sentido de que, si bien tanto el conjunto de todos los números naturales {1, 2, 3, 4, ...} como el conjunto de todos los números reales son conjuntos infinitos , no existe una función biunívoca de los números reales a los números naturales. La cardinalidad del conjunto de todos los números reales se denota por y se llama cardinalidad del continuo . Es estrictamente mayor que la cardinalidad del conjunto de todos los números naturales (denotada y llamada 'aleph-cero' ), e igual a la cardinalidad del conjunto potencia del conjunto de los números naturales. ${\displaystyle {\mathfrak {c}}.}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

La afirmación de que no existe ningún subconjunto de los números reales con cardinalidad estrictamente mayor que y estrictamente menor que se conoce como hipótesis del continuo (CH). No es demostrable ni refutable utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, incluido el axioma de elección (ZFC), el fundamento estándar de las matemáticas modernas. De hecho, algunos modelos de ZFC satisfacen la CH, mientras que otros la violan. ^[5] ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

Otras propiedades

Como espacio topológico, los números reales son separables . Esto se debe a que el conjunto de los racionales, que es contable, es denso en los números reales. Los números irracionales también son densos en los números reales, sin embargo son incontables y tienen la misma cardinalidad que los reales.

Los números reales forman un espacio métrico : la distancia entre x e y se define como el valor absoluto | x − y | . En virtud de ser un conjunto totalmente ordenado, también tienen una topología de orden ; la topología que surge de la métrica y la que surge del orden son idénticas, pero producen diferentes presentaciones para la topología: en la topología de orden como intervalos ordenados, en la topología métrica como bolas épsilon. La construcción de cortes de Dedekind utiliza la presentación de topología de orden, mientras que la construcción de sucesiones de Cauchy utiliza la presentación de topología métrica. Los números reales forman un espacio métrico contráctil (por lo tanto conexo y simplemente conexo ), separable y completo de dimensión de Hausdorff  1. Los números reales son localmente compactos pero no compactos . Hay varias propiedades que los especifican de manera única; por ejemplo, todas las topologías de orden ilimitadas, conexas y separables son necesariamente homeomorfas a los reales.

Todo número real no negativo tiene una raíz cuadrada en , aunque ningún número negativo la tiene. Esto demuestra que el orden en está determinado por su estructura algebraica. Además, todo polinomio de grado impar admite al menos una raíz real: estas dos propiedades constituyen el principal ejemplo de un cuerpo real cerrado . Demostrar esto es la primera mitad de una demostración del teorema fundamental del álgebra . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los números reales llevan una medida canónica , la medida de Lebesgue , que es la medida de Haar en su estructura como grupo topológico normalizado tal que el intervalo unitario [0;1] tiene medida 1. Existen conjuntos de números reales que no son medibles mediante Lebesgue, por ejemplo los conjuntos de Vitali .

El axioma supremo de los números reales se refiere a subconjuntos de los reales y, por lo tanto, es un enunciado lógico de segundo orden. No es posible caracterizar los números reales solo con lógica de primer orden : el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso contable de los números reales que satisfacen exactamente las mismas oraciones en lógica de primer orden que los propios números reales. El conjunto de números hiperreales satisface las mismas oraciones de primer orden que . Los cuerpos ordenados que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que se denominan modelos no estándar de . Esto es lo que hace que funcione el análisis no estándar ; al probar un enunciado de primer orden en algún modelo no estándar (lo que puede ser más fácil que probarlo en ), sabemos que el mismo enunciado también debe ser verdadero para . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

El cuerpo de los números reales es un cuerpo de extensión del cuerpo de los números racionales, y por lo tanto puede verse como un espacio vectorial sobre . La teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección garantiza la existencia de una base de este espacio vectorial: existe un conjunto B de números reales tal que cada número real puede escribirse únicamente como una combinación lineal finita de elementos de este conjunto, utilizando solo coeficientes racionales, y tal que ningún elemento de B es una combinación lineal racional de los demás. Sin embargo, este teorema de existencia es puramente teórico, ya que nunca se ha descrito explícitamente una base de este tipo. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El teorema de buen orden implica que los números reales pueden estar bien ordenados si se supone el axioma de elección: existe un orden total en con la propiedad de que cada subconjunto no vacío de tiene un elemento menor en este ordenamiento. (El ordenamiento estándar ≤ de los números reales no es un buen ordenamiento ya que, por ejemplo, un intervalo abierto no contiene un elemento menor en este ordenamiento). Nuevamente, la existencia de tal buen ordenamiento es puramente teórica, ya que no ha sido descrita explícitamente. Si se supone V=L además de los axiomas de ZF, se puede demostrar que un buen ordenamiento de los números reales es definible explícitamente mediante una fórmula. ^[6] ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Un número real puede ser computable o no computable; algorítmicamente aleatorio o no; y aritméticamente aleatorio o no.

Historia

Los números reales incluyen los números racionales , que incluyen los números enteros , que a su vez incluyen los números naturales. ${\displaystyle (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle (\mathbb {N} )}$

Los egipcios utilizaban fracciones simples alrededor del año 1000 a. C.; los Shulba Sutras védicos ( " Las reglas de los acordes") de alrededor del año 600 a. C. incluyen lo que puede ser el primer "uso" de números irracionales. El concepto de irracionalidad fue aceptado implícitamente por los primeros matemáticos indios, como Manava ( c. 750-690 a. C.) , quien era consciente de que las raíces cuadradas de ciertos números, como 2 y 61, no se podían determinar con exactitud. ^[7]

Alrededor del año 500 a. C., los matemáticos griegos liderados por Pitágoras también se dieron cuenta de que la raíz cuadrada de 2 es irracional.

Para los matemáticos griegos, los números eran únicamente los números naturales . Los números reales se llamaban «proporciones», al ser los cocientes de dos longitudes, o equivalentemente, medidas de una longitud en términos de otra longitud, llamada longitud unitaria. Dos longitudes son «conmensurables», si existe una unidad en la que ambas se midan mediante números enteros, es decir, en la terminología moderna, si su cociente es un número racional . Eudoxo de Cnido (c. 390-340 a. C.) proporcionó una definición de la igualdad de dos proporciones irracionales de una manera similar a las cortes de Dedekind (introducidas más de 2000 años después), excepto que no utilizó ninguna operación aritmética más que la multiplicación de una longitud por un número natural (véase Eudoxo de Cnido ). Esta puede considerarse la primera definición de los números reales.

La Edad Media trajo consigo la aceptación del cero , los números negativos , los números enteros y los números fraccionarios , primero por los matemáticos indios y chinos , y luego por los matemáticos árabes , que también fueron los primeros en tratar los números irracionales como objetos algebraicos (esto último fue posible gracias al desarrollo del álgebra). ^[8] Los matemáticos árabes fusionaron los conceptos de « número » y « magnitud » en una idea más general de los números reales. ^[9] El matemático egipcio Abū Kāmil Shujā ibn Aslam ( c. 850-930) fue el primero en aceptar los números irracionales como soluciones a ecuaciones cuadráticas , o como coeficientes en una ecuación (a menudo en forma de raíces cuadradas, raíces cúbicas y raíces cuartas ). ^[10] En Europa, estos números, no conmensurables con la unidad numérica, se llamaban irracionales o sordos ("sordos").

En el siglo XVI, Simon Stevin creó las bases de la notación decimal moderna e insistió en que no hay diferencia entre números racionales e irracionales a este respecto.

En el siglo XVII, Descartes introdujo el término "real" para describir las raíces de un polinomio , distinguiéndolas de los números "imaginarios".

En los siglos XVIII y XIX, se trabajó mucho sobre los números irracionales y trascendentales. Lambert (1761) dio una prueba defectuosa de que π no puede ser racional; Legendre (1794) completó la prueba ^[11] y demostró que π no es la raíz cuadrada de un número racional. ^[12] Liouville (1840) demostró que ni e ni e ² pueden ser una raíz de una ecuación cuadrática entera , y luego estableció la existencia de números trascendentales; Cantor (1873) amplió y simplificó enormemente esta prueba. ^[13] Hermite (1873) demostró que e es trascendental, y Lindemann (1882), demostró que π es trascendental. La prueba de Lindemann fue simplificada en gran medida por Weierstrass (1885), Hilbert (1893), Hurwitz , ^[14] y Gordan . ^[15]

Los antiguos griegos conocían bien el concepto de que existían muchos puntos entre números racionales, como la raíz cuadrada de 2. La existencia de una línea numérica continua se consideraba evidente, pero no se comprendía la naturaleza de esta continuidad, llamada actualmente completitud . El rigor desarrollado para la geometría no se trasladó al concepto de números hasta el siglo XIX. ^[16]

Análisis moderno

Los creadores del cálculo utilizaron números reales y límites sin definirlos rigurosamente. En su Curso de análisis (1821), Cauchy hizo riguroso el cálculo, pero utilizó los números reales sin definirlos y supuso sin pruebas que toda sucesión de Cauchy tiene un límite y que este límite es un número real.

En 1854 Bernhard Riemann destacó las limitaciones del cálculo en el método de las series de Fourier , destacando la necesidad de una definición rigurosa de los números reales. ^{[17] : 672}

A partir de Richard Dedekind en 1858, varios matemáticos trabajaron en la definición de los números reales, incluidos Hermann Hankel , Charles Méray y Eduard Heine , lo que llevó a la publicación en 1872 de dos definiciones independientes de números reales, una de Dedekind, como cortes de Dedekind , y la otra de Georg Cantor , como clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy. ^[18] Estas definiciones dejaron abiertos varios problemas, lo que contribuyó a la crisis fundacional de las matemáticas . En primer lugar, ambas definiciones suponen que los números racionales y, por lo tanto, los números naturales están definidos rigurosamente; esto se hizo unos años más tarde con los axiomas de Peano . En segundo lugar, ambas definiciones involucran conjuntos infinitos (cortes de Dedekind y conjuntos de los elementos de una sucesión de Cauchy), y la teoría de conjuntos de Cantor se publicó varios años después. En tercer lugar, estas definiciones implican cuantificación en conjuntos infinitos, y esto no se puede formalizar en la lógica clásica de predicados de primer orden . Esta es una de las razones por las que se desarrollaron las lógicas de orden superior en la primera mitad del siglo XX.

En 1874, Cantor demostró que el conjunto de todos los números reales es infinito incontable , pero el conjunto de todos los números algebraicos es infinito incontable . La primera prueba de incontabilidad de Cantor fue diferente de su famoso argumento diagonal publicado en 1891.

Definiciones formales

El sistema de números reales puede definirse axiomáticamente hasta un isomorfismo , que se describe a continuación. También hay muchas maneras de construir "el" sistema de números reales, y un enfoque popular implica comenzar con los números naturales, luego definir los números racionales algebraicamente y finalmente definir los números reales como clases de equivalencia de sus secuencias de Cauchy o como cortes de Dedekind, que son ciertos subconjuntos de números racionales. ^[19] Otro enfoque es comenzar con alguna axiomatización rigurosa de la geometría euclidiana (por ejemplo, de Hilbert o de Tarski ), y luego definir el sistema de números reales geométricamente. Se ha demostrado que todas estas construcciones de los números reales son equivalentes, en el sentido de que los sistemas numéricos resultantes son isomorfos . ${\displaystyle (\mathbb {R} ;{}+{};{}\cdot {};{}<{})}$

Enfoque axiomático

Sea el conjunto de todos los números reales. Entonces: ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El conjunto es un campo , lo que significa que la suma y la multiplicación están definidas y tienen las propiedades habituales. ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• El campo está ordenado, lo que significa que hay un orden total ≥ tal que para todos los números reales x , y y z : ${\displaystyle \mathbb {R} }$
  • si x ≥ y , entonces x + z ≥ y + z ;
  • si x ≥ 0 e y ≥ 0, entonces xy ≥ 0.
• El orden es Dedekind-completo, lo que significa que cada subconjunto no vacío S de con un límite superior en tiene un límite superior mínimo (también conocido como supremo) en . ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

La última propiedad se aplica a los números reales pero no a los racionales (ni a otros cuerpos ordenados más exóticos ). Por ejemplo, tiene un límite superior racional (p. ej., 1,42), pero no un límite superior menos racional, porque no es racional. ${\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Estas propiedades implican la propiedad de Arquímedes (que no está implícita en otras definiciones de completitud), que establece que el conjunto de números enteros no tiene límite superior en los números reales. De hecho, si esto fuera falso, entonces los números enteros tendrían un límite superior mínimo N ; entonces, N – 1 no sería un límite superior, y habría un entero n tal que n > N – 1 , y por lo tanto n + 1 > N , lo cual es una contradicción con la propiedad de límite superior de N .

Los números reales se especifican de manera única mediante las propiedades anteriores. Más precisamente, dados dos cuerpos ordenados Dedekind-completos y , existe un isomorfismo de cuerpo único de a . Esta unicidad nos permite pensar en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático. ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{2}} }$

Para otra axiomatización de , véase la axiomatización de los reales de Tarski . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Construcción a partir de los números racionales

Los números reales pueden construirse como una terminación de los números racionales, de tal manera que una secuencia definida por una expansión decimal o binaria como (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ...) converja a un único número real, en este caso π . Para más detalles y otras construcciones de números reales, véase Construcción de los números reales .

Aplicaciones y conexiones

Física

En las ciencias físicas, la mayoría de las constantes físicas, como la constante gravitacional universal, y las variables físicas, como la posición, la masa, la velocidad y la carga eléctrica, se modelan utilizando números reales. De hecho, las teorías físicas fundamentales, como la mecánica clásica , el electromagnetismo , la mecánica cuántica , la relatividad general y el modelo estándar , se describen utilizando estructuras matemáticas, típicamente variedades suaves o espacios de Hilbert , que se basan en los números reales, aunque las mediciones reales de las cantidades físicas son de precisión y exactitud finitas .

Los físicos han sugerido ocasionalmente que una teoría más fundamental reemplazaría los números reales con cantidades que no forman un continuo, pero tales propuestas siguen siendo especulativas. ^[20]

Lógica

Los números reales se suelen formalizar utilizando la axiomatización de Zermelo-Fraenkel de la teoría de conjuntos, pero algunos matemáticos estudian los números reales con otros fundamentos lógicos de las matemáticas. En particular, los números reales también se estudian en matemáticas inversas y en matemáticas constructivas . ^[21]

Los números hiperreales desarrollados por Edwin Hewitt , Abraham Robinson y otros extienden el conjunto de los números reales al introducir números infinitesimales e infinitos, lo que permite construir un cálculo infinitesimal de una manera más cercana a las intuiciones originales de Leibniz , Euler , Cauchy y otros.

La teoría de conjuntos internos de Edward Nelson enriquece sintácticamente la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel al introducir un predicado unario "estándar". En este enfoque, los infinitesimales son elementos (no "estándar") del conjunto de los números reales (en lugar de ser elementos de una extensión de este, como en la teoría de Robinson).

La hipótesis del continuo postula que la cardinalidad del conjunto de los números reales es ; es decir, el número cardinal infinito más pequeño después de , la cardinalidad de los enteros. Paul Cohen demostró en 1963 que es un axioma independiente de los demás axiomas de la teoría de conjuntos; es decir: se puede elegir tanto la hipótesis del continuo como su negación como axioma de la teoría de conjuntos, sin contradicción. ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Cálculo

Las calculadoras electrónicas y las computadoras no pueden operar con números reales arbitrarios, porque las computadoras finitas no pueden almacenar directamente una cantidad infinita de dígitos u otras representaciones infinitas. Tampoco suelen operar con números reales definibles arbitrarios , que son difíciles de manipular.

En cambio, las computadoras suelen trabajar con aproximaciones de precisión finita llamadas números de punto flotante , una representación similar a la notación científica . La precisión alcanzable está limitada por el espacio de almacenamiento de datos asignado para cada número, ya sea como números de punto fijo , de punto flotante o de precisión arbitraria , o alguna otra representación. La mayoría de los cálculos científicos utilizan aritmética binaria de punto flotante, a menudo una representación de 64 bits con alrededor de 16 dígitos decimales de precisión . Los números reales satisfacen las reglas habituales de la aritmética , pero los números de punto flotante no . El campo del análisis numérico estudia la estabilidad y la precisión de los algoritmos numéricos implementados con aritmética aproximada.

Alternativamente, los sistemas de álgebra computacional pueden operar sobre cantidades irracionales exactamente manipulando fórmulas simbólicas para ellas (tales como o ) en lugar de su aproximación racional o decimal. ^[22] Pero la aritmética exacta y simbólica también tienen limitaciones: por ejemplo, son computacionalmente más costosas; en general no es posible determinar si dos expresiones simbólicas son iguales (el problema de la constante ); y las operaciones aritméticas pueden causar una explosión exponencial en el tamaño de representación de un solo número (por ejemplo, elevar al cuadrado un número racional duplica aproximadamente el número de dígitos en su numerador y denominador, y elevar al cuadrado un polinomio duplica aproximadamente su número de términos), abrumando el almacenamiento finito de la computadora. ^[23] ${\textstyle {\sqrt {2}},}$ ${\textstyle \arctan 5,}$ ${\textstyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx}$

Un número real se denomina computable si existe un algoritmo que produce sus dígitos. Como solo hay una cantidad contable de algoritmos, ^[24] pero una cantidad incontable de números reales, casi todos los números reales no son computables. Además, la igualdad de dos números computables es un problema indecidible . Algunos constructivistas aceptan la existencia de solo aquellos números reales que son computables. El conjunto de números definibles es más amplio, pero sigue siendo solo contable.

Teoría de conjuntos

En la teoría de conjuntos , específicamente en la teoría de conjuntos descriptiva , el espacio de Baire se utiliza como sustituto de los números reales, ya que estos últimos tienen algunas propiedades topológicas (conectividad) que son un inconveniente técnico. Los elementos del espacio de Baire se denominan "números reales".

Vocabulario y notación

El conjunto de todos los números reales se denota por ( negrita de pizarra ) o R (negrita vertical). Como está naturalmente dotado de la estructura de un cuerpo , la expresión cuerpo de números reales se utiliza con frecuencia cuando se consideran sus propiedades algebraicas. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los conjuntos de números reales positivos y negativos se suelen anotar y , ^[25] respectivamente; y también se utilizan. ^[26] Los números reales no negativos se pueden anotar, pero a menudo se ve este conjunto anotado ^[25] En las matemáticas francesas, los números reales positivos y los números reales negativos incluyen comúnmente cero , y estos conjuntos se anotan respectivamente y ^[26] En este entendimiento, los conjuntos respectivos sin cero se denominan números reales estrictamente positivos y números reales estrictamente negativos, y se anotan y ^[26] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}\cup \{0\}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R_{+}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{-}^{*}.}$

La notación se refiere al conjunto de las n -tuplas de elementos de ( espacio de coordenadas reales ), que se pueden identificar con el producto cartesiano de n copias de Es un espacio vectorial n - dimensional sobre el cuerpo de los números reales, a menudo llamado espacio de coordenadas de dimensión n ; este espacio se puede identificar con el espacio euclidiano n - dimensional tan pronto como se haya elegido un sistema de coordenadas cartesianas en este último. En esta identificación, un punto del espacio euclidiano se identifica con la tupla de sus coordenadas cartesianas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

En matemáticas, real se utiliza como adjetivo, lo que significa que el cuerpo subyacente es el cuerpo de los números reales (o el cuerpo real ). Por ejemplo, matriz real , polinomio real y álgebra de Lie real . La palabra también se utiliza como sustantivo , lo que significa un número real (como en "el conjunto de todos los reales").

Generalizaciones y extensiones

Los números reales se pueden generalizar y ampliar en varias direcciones diferentes:

• Los números complejos contienen soluciones a todas las ecuaciones polinómicas y, por lo tanto, son un campo algebraicamente cerrado a diferencia de los números reales. Sin embargo, los números complejos no son un campo ordenado.
• El sistema de números reales afínmente extendido suma dos elementos +∞ y −∞ . Es un espacio compacto . Ya no es un cuerpo, ni siquiera un grupo aditivo, pero todavía tiene un orden total; además, es una red completa .
• La recta proyectiva real suma sólo un valor ∞ . También es un espacio compacto. Nuevamente, ya no es un cuerpo, ni siquiera un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento distinto de cero por cero. Tiene un orden cíclico descrito por una relación de separación .
• La recta real larga junta ℵ ₁ * + ℵ ₁ copias de la recta real más un único punto (aquí ℵ ₁ * denota el orden inverso de ℵ ₁ ) para crear un conjunto ordenado que es "localmente" idéntico a los números reales, pero de alguna manera más largo; por ejemplo, hay una incrustación que preserva el orden de ℵ ₁ en la recta real larga pero no en los números reales. La recta real larga es el conjunto ordenado más grande que es completo y localmente arquimediano. Al igual que con los dos ejemplos anteriores, este conjunto ya no es un cuerpo o un grupo aditivo.
• Los campos ordenados que extienden los reales son los números hiperreales y los números surreales ; ambos contienen números infinitesimales e infinitamente grandes y, por lo tanto, son campos ordenados no arquimedianos .
• Los operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices complejas cuadradas autoadjuntas ) generalizan los números reales en muchos aspectos: pueden ordenarse (aunque no totalmente), son completos, todos sus valores propios son reales y forman un álgebra asociativa real . Los operadores definidos positivos corresponden a los números reales positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

Véase también

• Portal de matemáticas

• Completitud de los números reales
• Fracción continua
• Números reales definibles
• Números reales positivos
• Análisis real

Notas

1. Esto no es suficiente para distinguir los números reales de los números racionales ; también se requiere una propiedad de completitud .
2. Los números racionales terminales pueden tener dos expansiones decimales (ver 0,999... ); los demás números reales tienen exactamente una expansión decimal.
3. Los límites y la continuidad se pueden definir en topología general sin referencia a números reales, pero estas generalizaciones son relativamente recientes y se utilizan solo en casos muy específicos.
4. Más precisamente, dados dos cuerpos completos totalmente ordenados, existe un isomorfismo único entre ellos. Esto implica que la identidad es el único automorfismo de cuerpo de los reales que es compatible con el ordenamiento. De hecho, la identidad es el único automorfismo de cuerpo de los reales, ya que es equivalente a y la segunda fórmula es estable bajo automorfismos de cuerpo. ${\displaystyle x>y}$ ${\displaystyle \exists z\mid x-y=z^{2},}$

Referencias

Citas

1. "Número real". Referencia de Oxford . 2011-08-03.
2. "real" . Oxford English Dictionary (3.ª ed.). 2008. 'real', n.º 2 , B.4. Matemáticas. Número real. Generalmente en plural.
3. Webb, Stephen (2018). "Conjunto de números naturales ℕ" . Choque de símbolos: un viaje a través de las riquezas de los glifos . Springer. págs. 198-199.
4. "Número real". Enciclopedia Británica .
5. Koellner, Peter (2013). "La hipótesis del continuo". En Zalta, Edward N. (ed.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy . Universidad de Stanford.
6. Moschovakis, Yiannis N. (1980), "5. El universo construible" , Teoría de conjuntos descriptivos , Holanda del Norte, págs. 274-285, ISBN 978-0-444-85305-9
7. TK Puttaswamy, "Los logros de los antiguos matemáticos indios", págs. 410-11. En: Selin, Helaine ; D'Ambrosio, Ubiratan , eds. (2000), Matemáticas en distintas culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1.
8. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (1999), "Matemáticas árabes: ¿brillantez olvidada?", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews
9. Matvievskaya, Galina (1987), "La teoría de los irracionales cuadráticos en las matemáticas medievales orientales", Anales de la Academia de Ciencias de Nueva York , 500 (1): 253–77 [254], Bibcode :1987NYASA.500..253M, doi :10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x, S2CID  121416910
10. Jacques Sesiano, "Matemáticas islámicas", pág. 148, en Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Matemáticas en todas las culturas: la historia de las matemáticas no occidentales , Springer , ISBN 978-1-4020-0260-1
11. Beckmann, Petr (1971). Una historia de π (PI) . St. Martin's Press. pág. 170. ISBN 9780312381851.
12. Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001), Pi Unleashed, Springer, pág. 192, ISBN 978-3-540-66572-4, consultado el 15 de noviembre de 2015.
13. Dunham, William (2015), La galería del cálculo: obras maestras desde Newton hasta Lebesgue, Princeton University Press, pág. 127, ISBN 978-1-4008-6679-3, recuperado el 17 de febrero de 2015 , Cantor encontró un atajo notable para llegar a la conclusión de Liouville con una fracción del trabajo
14. Hurwitz, Adolf (1893). "Beweis der Transendenz der Zahl e". Mathematische Annalen (43): 134–35.
15. Gordon, Paul (1893). "Trascendenz von e und π". Annalen Matemáticas . 43 (2–3): 222–224. doi :10.1007/bf01443647. S2CID  123203471.
16. Stefan Drobot "Números reales". Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ 1964 vii+102 pp.
17. Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline A., eds. (2009). Manual de Oxford de historia de las matemáticas. Manuales de Oxford. Oxford ; Nueva York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921312-2.OCLC 229023665  .
18. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (octubre de 2005), "Los números reales: de Stevin a Hilbert", Archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor , Universidad de St Andrews
19. "Conferencia n.° 1" (PDF) . 18.095 Serie de conferencias sobre matemáticas . 2015-01-05.
20. Wheeler, John Archibald (1986). "Hermann Weyl y la unidad del conocimiento: en la conexión de cuatro misterios —el "cómo" de la existencia, el tiempo, el continuo matemático y el sí o no discontinuo de la física cuántica— puede estar la clave para una nueva y profunda comprensión". American Scientist . 74 (4): 366–75. Bibcode :1986AmSci..74..366W. JSTOR  27854250.
    Bengtsson, Ingemar (2017). "El número detrás del SIC-POVM más simple". Fundamentos de la física . 47 (8): 1031–41. arXiv : 1611.09087 . Código Bibliográfico :2017FoPh...47.1031B. doi :10.1007/s10701-017-0078-3. S2CID  118954904.
21. Obispo, Errett; Bridges, Douglas (1985), Análisis constructivo , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 279, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15066-4, capítulo 2.
22. Cohen, Joel S. (2002), Álgebra computacional y computación simbólica: algoritmos elementales , vol. 1, AK Peters, pág. 32, ISBN 978-1-56881-158-1
23. Trefethen, Lloyd N. (2007). "Cálculo numérico con funciones en lugar de números" (PDF) . Matemáticas en Ciencias de la Computación . 1 (1): 9–19. doi :10.1007/s11786-007-0001-y.
24. Hein, James L. (2010), "14.1.1", Estructuras discretas, lógica y computabilidad (3.ª ed.), Sudbury, MA: Jones and Bartlett Publishers, ISBN 97-80763772062, consultado el 15 de noviembre de 2015
25. Schumacher, Carol (1996). Capítulo cero: Nociones fundamentales de las matemáticas abstractas . Addison-Wesley. págs. 114-115. ISBN 9780201826531.
26. École Normale Supérieure de París , "Nombres réels" ("Números reales") Archivado el 8 de mayo de 2014 en Wayback Machine , p. 6

Fuentes

• Bos, Henk JM (2001). Redefiniendo la exactitud geométrica: la transformación de Descartes del concepto de construcción de la época moderna temprana . Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas. Springer. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8. ISBN 978-1-4612-6521-4.
• Bottazzini, Umberto (1986). El cálculo superior: una historia del análisis real y complejo desde Euler hasta Weierstrass . Springer. ISBN 9780387963020.
• Cantor, Georg (1874). " Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen " [Sobre una propiedad del conjunto de todos los números algebraicos reales]. Diario de Crelle (en alemán). 77 : 258–62.
• Dieudonné, Jean (1960). Fundamentos del análisis moderno . Academic Press.
• Feferman, Solomon (1964). Los sistemas numéricos: fundamentos del álgebra y el análisis . Addison-Wesley.
• Howie, John M. (2001). Análisis real . Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi :10.1007/978-1-4471-0341-7. ISBN. 978-1-85233-314-0.
• Katz, Robert (1964). Análisis axiomático . Heath.
• Krantz, David H.; Luce, R. Duncan ; Suppes, Patrick ; Tversky, Amos (1971). Fundamentos de la medición, vol. 1. Academic Press. ISBN 9780124254015.Vol. 2, 1989. Vol. 3, 1990.
• Mac Lane, Saunders (1986). "4. Números reales" . Matemáticas: forma y función . Springer. ISBN 9780387962177.
• Landau, Edmund (1966). Fundamentos del análisis (3.ª ed.). Chelsea. ISBN 9780828400794.Traducido del alemán Grundlagen der Analysis, 1930.
• Stevenson, Frederick W. (2000). Explorando los números reales . Prentice Hall. ISBN 9780130402615.
• Stillwell, John (2013). Los números reales: una introducción a la teoría y el análisis de conjuntos . Textos de pregrado en matemáticas. Springer. doi :10.1007/978-3-319-01577-4. ISBN. 978-3-319-01576-7.

Enlaces externos

• "Número real", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]