Barón Augustin-Louis Cauchy FRS FRSE ( Reino Unido : / k ˈ oʊ ʃ i / KOH -shee , / k ˈ aʊ ʃ i / KOW -shee , [1] [2] EE. UU . : / k oʊ ʃ ˈ iː / koh- SHEE , [2] [3] Francia: / ˈ o ɡ y s t ɛ̃ ˈ l w ˈ i k ˈ o ʃ ˈ i / , OH -gus- TEY loo- EE KOH - SHEE ; [4] 21 de agosto de 1789 – 23 Mayo de 1857) fue un matemático , ingeniero y físico francés que hizo contribuciones pioneras a varias ramas de las matemáticas, incluido el análisis matemático y la mecánica del continuo . Fue uno de los primeros en enunciar y demostrar rigurosamente teoremas de cálculo , rechazando el principio heurístico de la generalidad del álgebra de autores anteriores. Es uno de los fundadores del análisis complejo y del estudio de grupos de permutación en álgebra abstracta .
Cauchy, un matemático profundo, tuvo una gran influencia sobre sus contemporáneos y sucesores; [5] Hans Freudenthal afirmó:
Cauchy fue un escritor prolífico; Escribió aproximadamente ochocientos artículos de investigación y cinco libros de texto completos sobre una variedad de temas en los campos de las matemáticas y la física matemática .
Cauchy era hijo de Louis François Cauchy (1760-1848) y Marie-Madeleine Desestre. Cauchy tenía dos hermanos: Alexandre Laurent Cauchy (1792-1857), que llegó a ser presidente de una sala del tribunal de apelación en 1847 y juez del tribunal de casación en 1849, y Eugene François Cauchy (1802-1877), un publicista que también escribió varios trabajos matemáticos.
Cauchy se casó con Aloise de Bure en 1818. Era pariente cercana del editor que publicó la mayoría de las obras de Cauchy. Tuvieron dos hijas, Marie Françoise Alicia (1819) y Marie Mathilde (1823).
El padre de Cauchy era un funcionario de alto rango en la policía parisina del Antiguo Régimen , pero perdió este puesto debido a la Revolución Francesa (14 de julio de 1789), que estalló un mes antes de que naciera Augustin-Louis. [a] La familia Cauchy sobrevivió a la revolución y al siguiente Reinado del Terror durante 1793-1794 escapando a Arcueil , donde Cauchy recibió su primera educación, de su padre. [7] Después de la ejecución de Robespierre en 1794, era seguro para la familia regresar a París. Allí Louis-François Cauchy encontró un trabajo burocrático en 1800, [8] y rápidamente avanzó en su carrera. Cuando Napoleón llegó al poder en 1799, Louis-François Cauchy fue ascendido aún más y se convirtió en secretario general del Senado, trabajando directamente bajo las órdenes de Laplace (que ahora es más conocido por su trabajo en física matemática). El matemático Lagrange también era amigo de la familia Cauchy. [5]
Siguiendo el consejo de Lagrange, Augustin-Louis se matriculó en la École Centrale du Panthéon , la mejor escuela secundaria de París en ese momento, en el otoño de 1802. [7] La mayor parte del plan de estudios consistía en lenguas clásicas; El ambicioso Cauchy, siendo un estudiante brillante, ganó muchos premios en latín y humanidades. A pesar de estos éxitos, Cauchy eligió la carrera de ingeniería y se preparó para el examen de ingreso a la École Polytechnique .
En 1805, ocupó el segundo lugar entre 293 solicitantes en este examen y fue admitido. [7] Uno de los principales propósitos de esta escuela era brindar a los futuros ingenieros civiles y militares una educación científica y matemática de alto nivel. La escuela funcionó bajo disciplina militar, lo que causó a Cauchy algunos problemas de adaptación. Sin embargo, completó el curso en 1807, a los 18 años, y pasó a la École des Ponts et Chaussées (Escuela de Puentes y Carreteras). Se licenció en ingeniería civil, con las máximas calificaciones.
Después de terminar la escuela en 1810, Cauchy aceptó un trabajo como ingeniero junior en Cherburgo, donde Napoleón pretendía construir una base naval. Aquí Cauchy permaneció durante tres años, y se le asignaron los proyectos del canal Ourcq y del puente Saint-Cloud , y trabajó en el puerto de Cherburgo. [7] Aunque tenía un trabajo administrativo extremadamente ocupado, todavía encontró tiempo para preparar tres manuscritos matemáticos, que presentó a la Première Classe (Primera Clase) del Institut de France . [b] Los dos primeros manuscritos de Cauchy (sobre poliedros ) fueron aceptados; el tercero (sobre directrices de secciones cónicas ) fue rechazado.
En septiembre de 1812, a la edad de 23 años, Cauchy regresó a París después de enfermarse por exceso de trabajo. [7] Otro motivo de su regreso a la capital fue que estaba perdiendo interés en su trabajo de ingeniería, sintiéndose cada vez más atraído por la belleza abstracta de las matemáticas; en París, tendría muchas más posibilidades de encontrar un puesto relacionado con las matemáticas. Cuando su salud mejoró en 1813, Cauchy decidió no regresar a Cherburgo. [7] Aunque mantuvo formalmente su puesto de ingeniero, fue transferido de la nómina del Ministerio de Marina al Ministerio del Interior. Los siguientes tres años, Cauchy estuvo principalmente de baja por enfermedad no remunerada; Pasó su tiempo fructíferamente trabajando en matemáticas (en los temas relacionados de funciones simétricas , el grupo simétrico y la teoría de ecuaciones algebraicas de orden superior). Intentó ser admitido en la Primera Clase del Institut de France, pero fracasó en tres ocasiones diferentes entre 1813 y 1815. En 1815, Napoleón fue derrotado en Waterloo y el recién instalado rey Luis XVIII se hizo cargo de la restauración. La Academia de Ciencias se restableció en marzo de 1816; Lazare Carnot y Gaspard Monge fueron expulsados de esta Academia por motivos políticos y el rey nombró a Cauchy para sustituir a uno de ellos. La reacción de los compañeros de Cauchy fue dura; consideraron un ultraje la aceptación de su membresía en la Academia, y Cauchy se creó muchos enemigos en los círculos científicos.
En noviembre de 1815, Louis Poinsot , que era profesor asociado en la École Polytechnique, pidió ser eximido de sus funciones docentes por motivos de salud. Cauchy era entonces una estrella matemática en ascenso. Uno de sus grandes éxitos en aquella época fue la demostración del teorema de los números poligonales de Fermat . Dejó su trabajo de ingeniería y recibió un contrato de un año para enseñar matemáticas a estudiantes de segundo año de la École Polytechnique. En 1816, esta escuela bonapartista y no religiosa fue reorganizada y varios profesores liberales fueron despedidos; Cauchy fue ascendido a profesor titular.
Cuando Cauchy tenía 28 años, todavía vivía con sus padres. Su padre encontró tiempo para que su hijo se casara; le encontró una novia adecuada, Aloïse de Bure, cinco años menor que él. La familia de Bure eran impresores y libreros y publicaron la mayoría de las obras de Cauchy. [9] Aloïse y Augustin se casaron el 4 de abril de 1818, con gran ceremonia católica romana, en la iglesia de Saint-Sulpice. En 1819 nació la primera hija del matrimonio, Marie Françoise Alicia, y en 1823 la segunda y última hija, Marie Mathilde. [10]
El clima político conservador que duró hasta 1830 convenía perfectamente a Cauchy. En 1824 murió Luis XVIII y fue sucedido por su hermano aún más conservador Carlos X. Durante estos años, Cauchy fue muy productivo y publicó un importante tratado matemático tras otro. Recibió nombramientos cruzados en el Collège de France y la Faculté des sciences de Paris .
En julio de 1830 se produjo la Revolución de Julio en Francia. Carlos X huyó del país y fue sucedido por Luis Felipe . Los disturbios, en los que participaron activamente estudiantes uniformados de la École Polytechnique, se produjeron cerca de la casa de Cauchy en París.
Estos acontecimientos marcaron un punto de inflexión en la vida de Cauchy y una ruptura en su productividad matemática. Conmocionado por la caída del gobierno y movido por un profundo odio hacia los liberales que estaban tomando el poder, Cauchy abandonó Francia para ir al extranjero, dejando atrás a su familia. [11] Pasó un corto tiempo en Friburgo , Suiza, donde tuvo que decidir si prestaría el juramento de lealtad requerido al nuevo régimen. Se negó a hacerlo y, en consecuencia, perdió todos sus puestos en París, excepto su membresía en la Academia, para lo cual no se requería juramento. En 1831, Cauchy fue a la ciudad italiana de Turín y, después de algún tiempo allí, aceptó una oferta del rey de Cerdeña (que gobernaba Turín y la región circundante de Piamonte) para una cátedra de física teórica, que fue creada especialmente para él. Enseñó en Turín durante 1832-1833. En 1831, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias , y al año siguiente Miembro Honorario Extranjero de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias . [12]
En agosto de 1833, Cauchy dejó Turín para ir a Praga para convertirse en el tutor científico del duque de Burdeos, Henri d'Artois (1820-1883), de trece años , príncipe heredero exiliado y nieto de Carlos X. [13] Como profesor Cauchy, profesor de la École Polytechnique, había sido notoriamente un mal profesor, asumiendo niveles de comprensión que sólo unos pocos de sus mejores estudiantes podían alcanzar y atiborrando su tiempo asignado con demasiado material. Henri d'Artois no tenía gusto ni talento ni para las matemáticas ni para las ciencias. Aunque Cauchy se tomó muy en serio su misión, lo hizo con gran torpeza y con una sorprendente falta de autoridad sobre Henri d'Artois. Durante sus días de ingeniero civil, Cauchy estuvo brevemente a cargo de reparar algunas de las alcantarillas parisinas, y cometió el error de mencionárselo a su alumno; Con gran malicia, Henri d'Artois continuó diciendo que Cauchy comenzó su carrera en las cloacas de París. El papel de Cauchy como tutor duró hasta que Henri d'Artois cumplió dieciocho años, en septiembre de 1838. [11] Cauchy apenas investigó durante esos cinco años, mientras que Henri d'Artois adquirió una aversión por las matemáticas durante toda su vida. Cauchy fue nombrado barón , título al que Cauchy daba gran importancia.
En 1834, su esposa y sus dos hijas se mudaron a Praga y Cauchy se reunió con su familia después de cuatro años de exilio.
Cauchy regresó a París y a su puesto en la Academia de Ciencias a finales de 1838. [11] No pudo recuperar sus puestos docentes porque todavía se negaba a prestar juramento de lealtad.
En agosto de 1839 apareció una vacante en el Bureau des Longitudes . Esta Oficina guardaba cierto parecido con la Academia; por ejemplo, tenía derecho a cooptar a sus miembros. Además, se creía que los miembros de la Mesa podían "olvidarse" del juramento de fidelidad, aunque formalmente, a diferencia de los académicos, estaban obligados a prestarlo. La Oficina de Longitudes fue una organización fundada en 1795 para resolver el problema de determinar la posición en el mar, principalmente las coordenadas longitudinales , ya que la latitud se determina fácilmente a partir de la posición del sol. Como se pensaba que la mejor manera de determinar la posición en el mar era mediante observaciones astronómicas, la Oficina se había convertido en una organización parecida a una academia de ciencias astronómicas.
En noviembre de 1839, Cauchy fue elegido miembro de la Mesa y descubrió que no era tan fácil prescindir de la cuestión del juramento. Sin su juramento, el rey se negó a aprobar su elección. Durante cuatro años Cauchy estuvo en situación de ser elegido pero no aprobado; en consecuencia, no era miembro formal de la Mesa, no recibía pago, no podía participar en reuniones y no podía presentar documentos. Aun así, Cauchy se negó a prestar juramento; sin embargo, sí se sintió lo suficientemente leal como para dirigir sus investigaciones a la mecánica celeste . En 1840 presentó a la Academia una docena de artículos sobre este tema. Describió e ilustró la representación de números con dígitos con signo , una innovación presentada en Inglaterra en 1727 por John Colson . La confusa membresía de la Oficina duró hasta finales de 1843, cuando Cauchy fue reemplazado por Poinsot.
A lo largo del siglo XIX, el sistema educativo francés luchó por la separación de la Iglesia y el Estado. Después de perder el control del sistema de educación pública, la Iglesia católica buscó establecer su propia rama educativa y encontró en Cauchy un aliado incondicional e ilustre. Prestó su prestigio y conocimientos a la École Normale Écclésiastique, un colegio de París dirigido por jesuitas, para la formación de profesores para sus colegios. Participó en la fundación del Institut Catholique . El objetivo de este instituto era contrarrestar los efectos de la ausencia de educación universitaria católica en Francia. Estas actividades no hicieron a Cauchy popular entre sus colegas, quienes, en general, apoyaban los ideales ilustrados de la Revolución Francesa. Cuando quedó vacante una cátedra de matemáticas en el Collège de France en 1843, Cauchy la solicitó, pero sólo recibió tres de 45 votos.
En 1848, el rey Luis Felipe huyó a Inglaterra. Se abolió el juramento de lealtad y Cauchy tenía despejado el camino hacia un nombramiento académico. El 1 de marzo de 1849 fue reintegrado en la Facultad de Ciencias, como profesor de astronomía matemática. Después de la agitación política que atravesó 1848, Francia decidió convertirse en República, bajo la presidencia de Napoleón III de Francia . A principios de 1852 el presidente se proclamó emperador de Francia y adoptó el nombre de Napoleón III .
En los círculos burocráticos surgió la idea de que sería útil exigir nuevamente un juramento de lealtad a todos los funcionarios del Estado, incluidos los profesores universitarios. Esta vez, un ministro del gabinete logró convencer al Emperador de que eximiera a Cauchy del juramento. Cauchy siguió siendo profesor en la universidad hasta su muerte a la edad de 67 años. Recibió los últimos ritos y murió de una afección bronquial a las 4 de la mañana del 23 de mayo de 1857. [11]
Su nombre es uno de los 72 nombres inscritos en la Torre Eiffel .
El genio de Cauchy quedó ilustrado en su sencilla solución al problema de Apolonio (que describe un círculo que toca tres círculos dados) que descubrió en 1805, su generalización de la fórmula de Euler sobre los poliedros en 1811 y en varios otros problemas elegantes. Más importante es su memoria sobre la propagación de ondas , que obtuvo el Gran Premio de la Academia Francesa de Ciencias en 1816. Los escritos de Cauchy cubrieron temas notables. En la teoría de series desarrolló la noción de convergencia y descubrió muchas de las fórmulas básicas para las series q . En teoría de números y cantidades complejas, fue el primero en definir los números complejos como pares de números reales. También escribió sobre teoría de grupos y sustituciones, teoría de funciones, ecuaciones diferenciales y determinantes. [5]
En teoría de la luz trabajó en la teoría ondulatoria de Fresnel y en la dispersión y polarización de la luz. También contribuyó a la investigación en mecánica , sustituyendo la noción de continuidad de los desplazamientos geométricos por el principio de continuidad de la materia. [14] Escribió sobre el equilibrio de varillas y membranas elásticas y sobre ondas en medios elásticos. Introdujo una matriz de números simétrica de 3 × 3 que ahora se conoce como tensor de tensión de Cauchy . [15] En elasticidad , originó la teoría del estrés , y sus resultados son casi tan valiosos como los de Siméon Poisson . [5]
Otras contribuciones significativas incluyen ser el primero en demostrar el teorema del número poligonal de Fermat .
Cauchy es más famoso por su desarrollo en solitario de la teoría de funciones complejas . El primer teorema fundamental demostrado por Cauchy, ahora conocido como teorema integral de Cauchy , fue el siguiente:
donde f ( z ) es una función holomorfa de valor complejo en y dentro de la curva cerrada C (contorno) que no se interseca sola y que se encuentra en el plano complejo . La integral de contorno se toma a lo largo del contorno C . Los rudimentos de este teorema ya se pueden encontrar en un artículo que Cauchy, de 24 años, presentó a la Academia de Ciencias (entonces todavía llamada "Primera Promoción del Instituto") el 11 de agosto de 1814. En su forma completa, el teorema fue dado en 1825. [16]
En 1826 Cauchy dio una definición formal de residuo de una función. [17] Este concepto se refiere a funciones que tienen polos : singularidades aisladas, es decir, puntos donde una función llega al infinito positivo o negativo. Si la función de valores complejos f ( z ) se puede expandir en la vecindad de una singularidad a como
donde φ( z ) es analítico (es decir, de buen comportamiento sin singularidades), entonces se dice que f tiene un polo de orden n en el punto a . Si n = 1, el polo se llama simple. Cauchy llama al coeficiente B 1 el residuo de la función f en a . Si f no es singular en a, entonces el residuo de f es cero en a . Claramente, el residuo es en el caso de un polo simple igual a
donde reemplazamos B 1 por la notación moderna del residuo.
En 1831, mientras estaba en Turín, Cauchy presentó dos artículos a la Academia de Ciencias de Turín. En el primero [18] propuso la fórmula ahora conocida como fórmula integral de Cauchy ,
donde f ( z ) es analítica en C y dentro de la región delimitada por el contorno C y el número complejo a está en algún lugar de esta región. La integral de contorno se toma en el sentido contrario a las agujas del reloj. Claramente, el integrando tiene un polo simple en z = a . En el segundo artículo [19] presentó el teorema del residuo ,
donde la suma es sobre todos los n polos de f ( z ) en y dentro del contorno C. Estos resultados de Cauchy todavía forman el núcleo de la teoría de funciones complejas tal como se enseña hoy a físicos e ingenieros eléctricos. Durante bastante tiempo, los contemporáneos de Cauchy ignoraron su teoría, considerándola demasiado complicada. Sólo en la década de 1840 la teoría comenzó a obtener respuesta, siendo Pierre Alphonse Laurent el primer matemático, además de Cauchy, en hacer una contribución sustancial (su trabajo sobre lo que ahora se conoce como series de Laurent , publicado en 1843).
En su libro Cours d'Analyse Cauchy destacó la importancia del rigor en el análisis. El rigor significó en este caso el rechazo del principio de generalidad del álgebra (de autores anteriores como Euler y Lagrange) y su sustitución por la geometría y los infinitesimales . [20] Judith Grabiner escribió que Cauchy fue "el hombre que enseñó análisis riguroso a toda Europa". [21] El libro es frecuentemente señalado como el primer lugar donde se introdujeron las desigualdades y los argumentos en el cálculo. Aquí Cauchy definió la continuidad de la siguiente manera: La función f(x) es continua con respecto a x entre los límites dados si, entre estos límites, un incremento infinitamente pequeño en la variable siempre produce un incremento infinitamente pequeño en la función misma.
M. Barany afirma que la École ordenó la inclusión de métodos infinitesimales en contra del mejor juicio de Cauchy. [22] Gilain señala que cuando la parte del plan de estudios dedicada a Analizar Algébrique se redujo en 1825, Cauchy insistió en colocar el tema de las funciones continuas (y por lo tanto también de los infinitesimales) al comienzo del Cálculo diferencial. [23] Laugwitz (1989) y Benis-Sinaceur (1973) señalan que Cauchy continuó utilizando infinitesimales en su propia investigación hasta 1853.
Cauchy dio una definición explícita de infinitesimal en términos de una secuencia que tiende a cero. Se ha escrito una gran cantidad de literatura sobre la noción de Cauchy de "cantidades infinitamente pequeñas", argumentando que conducen desde las definiciones "epsilónticas" habituales hasta las nociones de análisis no estándar . El consenso es que Cauchy omitió o dejó implícitas las ideas importantes para aclarar el significado preciso de las cantidades infinitamente pequeñas que utilizó. [24]
Fue el primero en demostrar rigurosamente el teorema de Taylor , estableciendo su conocida forma del resto. [5] Escribió un libro de texto [25] (ver la ilustración) para sus alumnos de la École Polytechnique en el que desarrolló los teoremas básicos del análisis matemático con el mayor rigor posible. En este libro dio la condición necesaria y suficiente para la existencia de un límite en la forma que todavía se enseña. También la conocida prueba de Cauchy para la convergencia absoluta se deriva de este libro: Prueba de condensación de Cauchy . En 1829 definió por primera vez una función compleja de una variable compleja en otro libro de texto. [26] A pesar de esto, los propios artículos de investigación de Cauchy a menudo utilizaban métodos intuitivos, no rigurosos; [27] así, uno de sus teoremas fue expuesto a un "contraejemplo" de Abel , fijado más tarde mediante la introducción de la noción de continuidad uniforme .
En un artículo publicado en 1855, dos años antes de la muerte de Cauchy, analizó algunos teoremas, uno de los cuales es similar al " principio del argumento " de muchos libros de texto modernos sobre análisis complejo. En los libros de texto de teoría del control modernos, el principio del argumento de Cauchy se utiliza con bastante frecuencia para derivar el criterio de estabilidad de Nyquist , que puede usarse para predecir la estabilidad de amplificadores de retroalimentación negativa y sistemas de control de retroalimentación negativa . Así, el trabajo de Cauchy tiene un fuerte impacto tanto en las matemáticas puras como en la ingeniería práctica.
Cauchy fue muy productivo, en número de artículos sólo superado por Leonhard Euler . Fue necesario casi un siglo para reunir todos sus escritos en 27 grandes volúmenes:
Sus mayores contribuciones a la ciencia matemática están envueltas en los métodos rigurosos que introdujo; estos están plasmados principalmente en sus tres grandes tratados:
Sus otras obras incluyen:
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace ){{cite book}}: Mantenimiento CS1: ubicación ( enlace )Augustin-Louis Cauchy creció en la casa de un realista acérrimo. Esto hizo que su padre huyera con la familia a Arcueil durante la Revolución Francesa . Su vida allí durante ese tiempo fue aparentemente dura; El padre de Augustin-Louis, Louis François, habló de vivir de arroz, pan y galletas saladas durante ese período. Un párrafo de una carta sin fecha de Louis François a su madre en Rouen dice: [28]
Nunca comimos más de media libra (230 g) de pan y, a veces, ni siquiera eso. Esto lo complementamos con la pequeña provisión de galletas duras y arroz que nos asignan. Por lo demás, nos llevamos bastante bien, que es lo importante y demuestra que los seres humanos podemos arreglárnoslas con poco. Debo decirles que para el papá de mis hijos aún me queda un poco de harina fina, hecha de trigo que cultivé en mi propia tierra. Tenía tres fanegas y también unas cuantas libras de fécula de patata . Es blanco como la nieve y muy bueno, especialmente para los niños más pequeños. También se cultivó en mi propia tierra. [29]
En cualquier caso, heredó el realismo acérrimo de su padre y, por lo tanto, se negó a prestar juramento ante ningún gobierno después del derrocamiento de Carlos X.
Era un católico igualmente acérrimo y miembro de la Sociedad de San Vicente de Paúl . [30] También tenía vínculos con la Compañía de Jesús y los defendió en la Academia cuando era políticamente imprudente hacerlo. Su celo por su fe puede haberlo llevado a cuidar a Charles Hermite durante su enfermedad y a llevar a Hermite a convertirse en un católico fiel. También inspiró a Cauchy a defender a los irlandeses durante la Gran Hambruna de Irlanda .
Su realismo y celo religioso lo hicieron conflictivo, lo que provocó dificultades con sus colegas. Sintió que lo maltrataban por sus creencias, pero sus oponentes sentían que provocaba intencionalmente a la gente reprendiéndolas por cuestiones religiosas o defendiendo a los jesuitas después de que habían sido reprimidos. Niels Henrik Abel lo llamó "católico intolerante" [31] y añadió que estaba "loco y no se puede hacer nada al respecto", pero al mismo tiempo lo elogió como matemático. Las opiniones de Cauchy eran muy impopulares entre los matemáticos y cuando Guglielmo Libri Carucci dalla Sommaja fue nombrado catedrático de matemáticas antes que él, él y muchos otros sintieron que sus opiniones eran la causa. Cuando Libri fue acusado de robar libros, fue reemplazado por Joseph Liouville en lugar de Cauchy, lo que provocó una ruptura entre Liouville y Cauchy. Otra disputa con tintes políticos tuvo que ver con Jean-Marie Constant Duhamel y una reclamación sobre shocks inelásticos. Más tarde, Jean-Victor Poncelet demostró que Cauchy estaba equivocado.
