matriz de cauchy

En matemáticas , una matriz de Cauchy , llamada así en honor a Augustin-Louis Cauchy , es una matriz m × n con elementos a _ij en la forma

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

donde y son elementos de un campo , y y son secuencias inyectivas (contienen elementos distintos ). ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle (y_{j})}$

La matriz de Hilbert es un caso especial de la matriz de Cauchy, donde

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

Cada submatriz de una matriz de Cauchy es en sí misma una matriz de Cauchy.

Determinantes de Cauchy

El determinante de una matriz de Cauchy es claramente una fracción racional en los parámetros y . Si las secuencias no fueran inyectivas, el determinante desaparecería y tendería al infinito si alguna tiende a hacerlo . Por tanto, se conoce un subconjunto de sus ceros y polos. El caso es que ya no quedan ceros ni polos: ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle (y_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{j}}$

El determinante de una matriz A de Cauchy cuadrada se conoce como determinante de Cauchy y se puede dar explícitamente como

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}}$     (Schechter 1959, ecuación 4; Cauchy 1841, p. 154, ecuación 10).

Siempre es distinto de cero y, por tanto, todas las matrices cuadradas de Cauchy son invertibles . La inversa A ⁻¹ = B = [b _ij ] viene dada por

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$     (Schechter 1959, Teorema 1)

donde A _i (x) y B _i (x) son los polinomios de Lagrange para y , respectivamente. Eso es, ${\displaystyle (x_{i})}$ ${\displaystyle (y_{j})}$

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{and}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

con

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

Generalización

Una matriz C se llama similar a Cauchy si tiene la forma

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}$

Al definir X =diag(x _i ), Y =diag(y _i ), se ve que tanto las matrices de Cauchy como las similares a Cauchy satisfacen la ecuación de desplazamiento

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

(con para el de Cauchy). Por lo tanto, las matrices tipo Cauchy tienen una estructura de desplazamiento común, que puede explotarse mientras se trabaja con la matriz. Por ejemplo, existen algoritmos conocidos en la literatura para ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$

• multiplicación aproximada de matriz-vector de Cauchy con operaciones (por ejemplo, el método multipolar rápido ), ${\displaystyle O(n\log n)}$
• ( pivotada ) Factorización de LU con operaciones (algoritmo GKO) y, por lo tanto, resolución de sistemas lineales, ${\displaystyle O(n^{2})}$
• Algoritmos aproximados o inestables para la resolución de sistemas lineales en . ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

Aquí denota el tamaño de la matriz (normalmente se trata de matrices cuadradas, aunque todos los algoritmos se pueden generalizar fácilmente a matrices rectangulares). ${\displaystyle n}$

Ver también

• matriz de toeplitz
• La identidad trisecante de Fay

Referencias

• Cauchy, Augustin-Louis (1841). Ejercicios de análisis y de física matemática. vol. 2 (en francés). Soltero.
• A. Gerasoulis (1988). "Un algoritmo rápido para la multiplicación de matrices de Hilbert generalizadas con vectores" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 50 (181): 179–188. doi : 10.2307/2007921 . JSTOR  2007921.
• I. Gohberg; T. Kailath; V. Olshevsky (1995). "Eliminación gaussiana rápida con pivotamiento parcial para matrices con estructura de desplazamiento" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 64 (212): 1557-1576. Código Bib : 1995MaCom..64.1557G. doi : 10.1090/s0025-5718-1995-1312096-x .
• PG Martinsson; el señor Tygert; V. Rokhlin (2005). "Un algoritmo O ( N log 2 ⁡ N ) {\displaystyle O(N\log ^{2}N)} ​​para la inversión de matrices generales de Toeplitz" (PDF) . Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 50 (5–6): 741–752. doi :10.1016/j.camwa.2005.03.011.
• S. Schechter (1959). «Sobre la inversión de determinadas matrices» (PDF) . Tablas matemáticas y otras ayudas a la computación . 13 (66): 73–77. doi :10.2307/2001955. JSTOR  2001955.
• TiIo Finck, Georg Heinig y Karla Rost: "Una fórmula de inversión y algoritmos rápidos para matrices de Cauchy-Vandermonde", Álgebra lineal y sus aplicaciones, vol.183 (1993), páginas 179-191.
• Dario Fasino: "Matrices ortogonales tipo Cauchy", Algoritmos numéricos, vol.92 (2023), pp.619-637. URL=https://doi.org/10.1007/s11075-022-01391-y.