Círculo

Curva simple de geometría euclidiana.

Un círculo es una figura que consta de todos los puntos de un plano que están a una distancia determinada de un punto determinado, el centro . La distancia entre cualquier punto del círculo y el centro se llama radio .

El círculo se conoce desde antes del comienzo de la historia registrada. Son habituales los círculos naturales, como la luna llena o una rodaja de fruta redonda. El círculo es la base de la rueda , que, junto con inventos relacionados, como los engranajes , hace posible gran parte de la maquinaria moderna. En matemáticas, el estudio del círculo ha ayudado a inspirar el desarrollo de la geometría, la astronomía y el cálculo .

Terminología

• Anillo : objeto con forma de anillo, región delimitada por dos círculos concéntricos .
• Arco : cualquier parte conectada de un círculo. Especificar dos puntos finales de un arco y un centro permite dos arcos que juntos forman un círculo completo.
• Centro : el punto que equidista de todos los puntos de la circunferencia.
• Cuerda : segmento de recta cuyos extremos se encuentran en la circunferencia, dividiendo así una circunferencia en dos segmentos.
• Circunferencia : la longitud de un circuito a lo largo del círculo, o la distancia alrededor del círculo.
• Diámetro : segmento de recta cuyos extremos se encuentran en la circunferencia y que pasa por el centro; o la longitud de dicho segmento de línea. Esta es la distancia más grande entre dos puntos cualesquiera del círculo. Es un caso especial de cuerda, es decir, la cuerda más larga de un círculo dado, y su longitud es el doble de la longitud de un radio.
• Disco : la región del plano delimitada por un círculo. En un uso matemático estricto, un círculo es sólo el límite del disco, mientras que en la vida cotidiana los términos "círculo" y "disco" pueden usarse indistintamente.
• Lente : la región común a (la intersección de) dos discos superpuestos.
• Radio : segmento de línea que une el centro de un círculo con cualquier punto del círculo mismo; o la longitud de dicho segmento, que es la mitad (la longitud de) un diámetro. Por lo general, el radio se indica y se requiere que sea un número positivo. Un círculo con es un caso degenerado que consta de un solo punto. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=0}$
• Sector : región delimitada por dos radios de igual longitud con un centro común y cualquiera de los dos arcos posibles, determinado por este centro y los puntos extremos de los radios.
• Segmento : región delimitada por una cuerda y uno de los arcos que conectan los extremos de la cuerda. La longitud de la cuerda impone un límite inferior al diámetro de los posibles arcos. A veces, el término segmento se utiliza sólo para regiones que no contienen el centro del círculo al que pertenece su arco.
• Secante : cuerda extendida, recta coplanar, que corta a una circunferencia en dos puntos.
• Semicírculo : uno de los dos arcos posibles determinado por los extremos de un diámetro, tomando como centro su punto medio. En un uso común no técnico, puede significar el interior de la región bidimensional delimitada por un diámetro y uno de sus arcos, que técnicamente se denomina medio disco. Un medio disco es un caso especial de segmento, es decir, el más grande.
• Tangente : recta coplanar que tiene un solo punto en común con un círculo ("toca el círculo en este punto").

Todas las regiones especificadas pueden considerarse abiertas , es decir, que no contienen sus límites, o cerradas , incluidos sus respectivos límites.

Etimología

La palabra círculo deriva del griego κίρκος/κύκλος ( kirkos/kuklos ), en sí mismo una metátesis del griego homérico κρίκος ( krikos ), que significa "aro" o "anillo". ^[1] Los orígenes de las palabras circo y circuito están estrechamente relacionados.

Historia

Pinturas rupestres circulares en el condado de Santa Bárbara, California

Círculos en un antiguo dibujo astronómico árabe .

Los pueblos prehistóricos hacían círculos de piedra y círculos de madera , y los elementos circulares son comunes en los petroglifos y las pinturas rupestres . ^[2] Los artefactos prehistóricos en forma de disco incluyen el disco celeste de Nebra y los discos de jade llamados Bi .

El papiro egipcio Rhind , que data del año 1700 a. C., proporciona un método para encontrar el área de un círculo. El resultado corresponde a256/81(3.16049...) como valor aproximado de π . ^[3]

El libro 3 de los Elementos de Euclides trata de las propiedades de los círculos. La definición de círculo de Euclides es:

Un círculo es una figura plana delimitada por una línea curva, de modo que todas las líneas rectas trazadas desde un cierto punto dentro de él hasta la línea delimitadora son iguales. La línea delimitadora se llama circunferencia y el punto, centro.

—  Euclides , Elementos , Libro I ^{[4] : ​​4}

En la Séptima Carta de Platón hay una definición y explicación detallada del círculo. Platón explica el círculo perfecto y en qué se diferencia de cualquier dibujo, palabra, definición o explicación. Las primeras ciencias , particularmente la geometría , la astrología y la astronomía , estaban conectadas con lo divino para la mayoría de los eruditos medievales , y muchos creían que había algo intrínsecamente "divino" o "perfecto" que podía encontrarse en los círculos. ^{[5] [6]}

En 1880 EC, Ferdinand von Lindemann demostró que π es trascendental , demostrando que el problema milenario de la cuadratura del círculo no se puede resolver con regla y compás. ^[7]

Con la llegada del arte abstracto a principios del siglo XX, los objetos geométricos se convirtieron en un tema artístico por derecho propio. Wassily Kandinsky, en particular, utilizó a menudo los círculos como elemento de sus composiciones. ^{[8] [9]}

Simbolismo y uso religioso

La brújula en este manuscrito del siglo XIII es un símbolo del acto de creación de Dios . Observe también la forma circular del halo .

Desde la época de las primeras civilizaciones conocidas (como los asirios y los antiguos egipcios, las del valle del Indo y a lo largo del río Amarillo en China, y las civilizaciones occidentales de la antigua Grecia y Roma durante la Antigüedad clásica), el círculo se ha utilizado directa o indirectamente. indirectamente en el arte visual para transmitir el mensaje del artista y expresar ciertas ideas. Sin embargo, las diferencias en la visión del mundo (creencias y cultura) tuvieron un gran impacto en las percepciones de los artistas. Mientras algunos enfatizaban el perímetro del círculo para demostrar su manifestación democrática, otros se centraban en su centro para simbolizar el concepto de unidad cósmica. En las doctrinas místicas, el círculo simboliza principalmente la naturaleza infinita y cíclica de la existencia, pero en las tradiciones religiosas representa los cuerpos celestes y los espíritus divinos.

El círculo significa muchos conceptos sagrados y espirituales, incluidos la unidad, el infinito, la totalidad, el universo, la divinidad, el equilibrio, la estabilidad y la perfección, entre otros. Tales conceptos se han transmitido en culturas de todo el mundo mediante el uso de símbolos, por ejemplo, una brújula, un halo, la vesica piscis y sus derivados (pez, ojo, aureola, mandorla, etc.), el ouroboros, la rueda del Dharma , un arcoíris, mandalas, rosetones, etc. ^[10] Los círculos mágicos son parte de algunas tradiciones del esoterismo occidental .

Resultados analíticos

Circunferencia

La relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es π (pi), una constante irracional aproximadamente igual a 3,141592654. Así, la circunferencia C está relacionada con el radio r y el diámetro d por:

$${\displaystyle C=2\pi r=\pi d.}$$

Área cerrada

Área encerrada por un círculo = π × área del cuadrado sombreado

Como lo demuestra Arquímedes , en su Medida de un círculo , el área encerrada por un círculo es igual a la de un triángulo cuya base tiene la longitud de la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo, ^[11] que viene a ser π multiplicado por el radio al cuadrado:

$${\displaystyle \mathrm {Area} =\pi r^{2}.}$$

De manera equivalente, denotando el diámetro por d ,

$${\displaystyle \mathrm {Area} ={\frac {\pi d^{2}}{4}}\approx 0.7854d^{2},}$$

circunscritod

El círculo es la curva plana que encierra el área máxima para una longitud de arco determinada. Esto relaciona el círculo con un problema del cálculo de variaciones, a saber, la desigualdad isoperimétrica .

Ecuaciones

Coordenadas cartesianas

Círculo de radio r  = 1, centro ( a ,  b ) = (1.2, −0.5)

Ecuación de un círculo

En un sistema de coordenadas cartesiano x – y , el círculo con coordenadas centrales ( a , b ) y radio r es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) tales que

$${\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.}$$

Esta ecuación , conocida como ecuación del círculo , se deriva del teorema de Pitágoras aplicado a cualquier punto del círculo: como se muestra en el diagrama adyacente, el radio es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos otros lados miden | x - un | y | y − segundo |. Si el círculo está centrado en el origen (0, 0), entonces la ecuación se simplifica a

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}.}$$

forma paramétrica

La ecuación se puede escribir en forma paramétrica usando las funciones trigonométricas seno y coseno como

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r\,\cos t,\\y&=b+r\,\sin t,\end{aligned}}}$$

tvariable paramétricaπánguloabxy ) con el eje x

Una parametrización alternativa del círculo es

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a+r{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},\\y&=b+r{\frac {2t}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}$$

En esta parametrización, la relación entre t y r se puede interpretar geométricamente como la proyección estereográfica de la línea que pasa por el centro paralela al eje x  (ver Sustitución de medio ángulo tangente ). Sin embargo, esta parametrización funciona sólo si t se hace abarcar no sólo a través de todos los reales sino también hasta un punto en el infinito; de lo contrario, se omitiría el punto más a la izquierda del círculo.

forma de 3 puntos

La ecuación del círculo determinada por tres puntos que no están en línea recta se obtiene mediante una conversión de la forma de 3 puntos de una ecuación circular : ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$

$${\displaystyle {\frac {({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})+({\color {red}y}-y_{1})({\color {red}y}-y_{2})}{({\color {red}y}-y_{1})({\color {green}x}-x_{2})-({\color {red}y}-y_{2})({\color {green}x}-x_{1})}}={\frac {(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})+(y_{3}-y_{1})(y_{3}-y_{2})}{(y_{3}-y_{1})(x_{3}-x_{2})-(y_{3}-y_{2})(x_{3}-x_{1})}}.}$$

Forma homogénea

En coordenadas homogéneas , cada sección cónica con ecuación de círculo tiene la forma

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}-2axz-2byz+cz^{2}=0.}$$

Se puede demostrar que una sección cónica es un círculo exactamente cuando contiene (cuando se extiende al plano proyectivo complejo ) los puntos I (1: i : 0) y J (1: − i : 0). Estos puntos se llaman puntos circulares en el infinito .

Coordenadas polares

En coordenadas polares , la ecuación de un círculo es ^{[ vaga ]}

$${\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\phi )+r_{0}^{2}=a^{2},}$$

donde a es el radio del círculo, son las coordenadas polares de un punto genérico en el círculo y son las coordenadas polares del centro del círculo (es decir, r ₀ es la distancia desde el origen al centro del círculo, y φ es el ángulo en sentido antihorario desde el eje x positivo  hasta la línea que conecta el origen con el centro del círculo). Para un círculo centrado en el origen, es decir, r ₀ = 0 , esto se reduce a r = a . Cuando r ₀ = a , o cuando el origen está en el círculo, la ecuación se convierte en ${\displaystyle (r,\theta )}$ ${\displaystyle (r_{0},\phi )}$

$${\displaystyle r=2a\cos(\theta -\phi ).}$$

En el caso general, la ecuación se puede resolver para r , dando

$${\displaystyle r=r_{0}\cos(\theta -\phi )\pm {\sqrt {a^{2}-r_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta -\phi )}}.}$$

Plano complejo

En el plano complejo , una circunferencia con centro en c y radio r tiene la ecuación

$${\displaystyle |z-c|=r.}$$

En forma paramétrica, esto se puede escribir como

$${\displaystyle z=re^{it}+c.}$$

La ecuación ligeramente generalizada

$${\displaystyle pz{\overline {z}}+gz+{\overline {gz}}=q}$$

para p real , q y g complejo a veces se le llama círculo generalizado . Esta se convierte en la ecuación anterior para un círculo con , ya que . No todos los círculos generalizados son en realidad círculos: un círculo generalizado es un círculo (verdadero) o una línea . ${\displaystyle p=1,\ g=-{\overline {c}},\ q=r^{2}-|c|^{2}}$ ${\displaystyle |z-c|^{2}=z{\overline {z}}-{\overline {c}}z-c{\overline {z}}+c{\overline {c}}}$

rectas tangentes

La recta tangente que pasa por un punto P del círculo es perpendicular al diámetro que pasa por P. Si P = ( x ₁ , y ₁ ) y el círculo tiene centro ( a , b ) y radio r , entonces la recta tangente es perpendicular a la recta que va de ( a , b ) a ( x ₁ , y ₁ ), por lo que tiene la forma ( x ₁ − a ) x + ( y ₁ – b ) y = c . Evaluar en ( x ₁ , y ₁ ) determina el valor de c , y el resultado es que la ecuación de la tangente es

$${\displaystyle (x_{1}-a)x+(y_{1}-b)y=(x_{1}-a)x_{1}+(y_{1}-b)y_{1},}$$

$${\displaystyle (x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}.}$$

Si y ₁ ≠ b , entonces la pendiente de esta recta es

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}.}$$

Esto también se puede encontrar usando diferenciación implícita .

Cuando el centro del círculo está en el origen, entonces la ecuación de la recta tangente se convierte en

$${\displaystyle x_{1}x+y_{1}y=r^{2},}$$

$${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {x_{1}}{y_{1}}}.}$$

Propiedades

• El círculo es la forma con el área más grande para una longitud de perímetro determinada (ver Desigualdad isoperimétrica ).
• El círculo tiene una forma altamente simétrica: cada línea que pasa por el centro forma una línea de simetría de reflexión y tiene simetría rotacional alrededor del centro para cada ángulo. Su grupo de simetría es el grupo ortogonal O(2, R ). El grupo de rotaciones por sí solo es el grupo circular T.
• Todos los círculos son similares . ^{[ cita necesaria ]}
  • La circunferencia y el radio de un círculo son proporcionales .
  • El área encerrada y el cuadrado de su radio son proporcionales.
  • Las constantes de proporcionalidad son 2 π y π respectivamente.
• La circunferencia que tiene centro en el origen y radio 1 se llama circunferencia unitaria .
  • Pensado como un círculo máximo de la esfera unitaria , se convierte en el círculo de Riemann .
• A través de tres puntos cualesquiera, no todos en la misma línea, pasa un círculo único. En coordenadas cartesianas, es posible dar fórmulas explícitas para las coordenadas del centro del círculo y el radio en términos de las coordenadas de los tres puntos dados. Ver círculo circunstante .

Acorde

• Las cuerdas son equidistantes del centro de un círculo si y sólo si tienen la misma longitud.
• La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de un círculo; Los enunciados equivalentes derivados de la unicidad de la bisectriz perpendicular son:
  • Una línea perpendicular desde el centro de un círculo biseca la cuerda.
  • El segmento de línea que pasa por el centro que biseca una cuerda es perpendicular a la cuerda.
• Si un ángulo central y un ángulo inscrito de un círculo están subtendidos por la misma cuerda y en el mismo lado de la cuerda, entonces el ángulo central es el doble del ángulo inscrito.
• Si dos ángulos están inscritos en la misma cuerda y en el mismo lado de la cuerda, entonces son iguales.
• Si dos ángulos están inscritos en la misma cuerda y en lados opuestos de la misma, entonces son suplementarios .
  • Para un cuadrilátero cíclico , el ángulo exterior es igual al ángulo interior opuesto.
• Un ángulo inscrito subtendido por un diámetro es un ángulo recto (ver teorema de Tales ).
• El diámetro es la cuerda más larga del círculo.
  • Entre todos los círculos que tienen una cuerda AB en común, el círculo de radio mínimo es el de diámetro AB.
• Si la intersección de dos cuerdas cualesquiera divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces ab = cd .
• Si la intersección de dos cuerdas perpendiculares divide una cuerda en longitudes a y b y divide la otra cuerda en longitudes c y d , entonces a ² + b ² + c ² + d ² es igual al cuadrado del diámetro. ^[12]
• La suma de las longitudes al cuadrado de dos cuerdas cualesquiera que se cruzan en ángulo recto en un punto dado es la misma que la de otras dos cuerdas perpendiculares que se cruzan en el mismo punto y está dada por 8 r ² − 4 p ² , donde r es el radio del círculo, y p es la distancia desde el punto central hasta el punto de intersección. ^[13]
• La distancia desde un punto del círculo a una cuerda dada multiplicada por el diámetro del círculo es igual al producto de las distancias desde el punto hasta los extremos de la cuerda. ^{[14] : pág.71}

Tangente

• Una línea trazada perpendicular a un radio que pasa por el punto final del radio que se encuentra en el círculo es una tangente al círculo.
• Una recta trazada perpendicular a una tangente que pasa por el punto de contacto con un círculo pasa por el centro del círculo.
• Siempre se pueden trazar dos tangentes a un círculo desde cualquier punto fuera del círculo, y estas tangentes tienen la misma longitud.
• Si una tangente en A y una tangente en B se cruzan en el punto exterior P , entonces denotando el centro como O , los ángulos ∠ BOA y ∠ BPA son suplementarios.
• Si AD es tangente a la circunferencia en A y si AQ es una cuerda de la circunferencia, entonces ∠ DAQ =1/2arco( AQ ) .

Teoremas

Teorema de la secante-secante

• El teorema de las cuerdas establece que si dos cuerdas, CD y EB , se cruzan en A , entonces AC × AD = AB × AE .
• Si dos secantes, AE y AD , también cortan el círculo en B y C respectivamente, entonces AC × AD = AB × AE (corolario del teorema de la cuerda).
• Una tangente puede considerarse un caso límite de una secante cuyos extremos son coincidentes. Si una tangente de un punto externo A corta el círculo en F y una secante del punto externo A corta el círculo en C y D respectivamente, entonces AF ² = AC × AD (teorema de la tangente-secante).
• El ángulo entre una cuerda y la tangente en uno de sus extremos es igual a la mitad del ángulo subtendido en el centro del círculo, en el lado opuesto de la cuerda (ángulo de cuerda tangente).
• Si el ángulo subtendido por la cuerda en el centro es de 90 ° , entonces ℓ = r √2 , donde ℓ es la longitud de la cuerda y r es el radio del círculo.
• Si dos secantes están inscritas en el círculo como se muestra a la derecha, entonces la medida del ángulo A es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos encerrados ( y ). Es decir , donde O es el centro del círculo (teorema de la secante-secante). ${\displaystyle {\overset {\frown }{DE}}}$ ${\displaystyle {\overset {\frown }{BC}}}$ ${\displaystyle 2\angle {CAB}=\angle {DOE}-\angle {BOC}}$

Ángulos inscritos

Teorema del ángulo inscrito

Un ángulo inscrito (ejemplos son los ángulos azul y verde en la figura) es exactamente la mitad del ángulo central correspondiente (rojo). Por tanto, todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco (rosa) son iguales. Los ángulos inscritos en el arco (marrón) son suplementarios. En particular, todo ángulo inscrito que subtiende un diámetro es un ángulo recto (ya que el ángulo central es de 180°).

Sagitario

La sagitta es el segmento vertical.

La sagita (también conocida como versina ) es un segmento de línea trazado perpendicular a una cuerda, entre el punto medio de esa cuerda y el arco del círculo.

Dada la longitud y de una cuerda y la longitud x de la sagita, el teorema de Pitágoras se puede utilizar para calcular el radio del círculo único que encajará alrededor de las dos líneas:

$${\displaystyle r={\frac {y^{2}}{8x}}+{\frac {x}{2}}.}$$

Otra prueba de este resultado, que se basa únicamente en dos propiedades de la cuerda dadas anteriormente, es la siguiente. Dada una cuerda de longitud y y con sagita de longitud x , dado que la sagitta corta el punto medio de la cuerda, sabemos que es parte de un diámetro del círculo. Dado que el diámetro es el doble del radio, la parte "faltante" del diámetro tiene ( 2 r − x ) de longitud. Usando el hecho de que una parte de una cuerda multiplicada por la otra parte es igual al mismo producto tomado a lo largo de una cuerda que corta la primera cuerda, encontramos que ( 2 r − x ) x = ( y / 2 ) ² . Resolviendo para r , encontramos el resultado requerido.

Construcciones con compás y regla

Hay muchas construcciones con compás y regla que dan como resultado círculos.

La más simple y básica es la construcción dado el centro del círculo y un punto del círculo. Coloque la pata fija de la brújula en el punto central, la pata móvil en el punto del círculo y gire la brújula.

Construcción con diámetro dado.

• Construya el punto medio M del diámetro.
• Construya el círculo con centro M que pase por uno de los extremos del diámetro (también pasará por el otro extremo).

Construya un círculo que pase por los puntos A, B y C encontrando las bisectrices perpendiculares (rojas) de los lados del triángulo (azul). Sólo se necesitan dos de las tres bisectrices para encontrar el centro.

Construcción a través de tres puntos no colineales.

• Nombra los puntos P , Q y R ,
• Construya la mediatriz del segmento PQ .
• Construya la mediatriz del segmento PR .
• Rotule el punto de intersección de estas dos bisectrices perpendiculares como M. (Se encuentran porque los puntos no son colineales ).
• Construye la circunferencia de centro M que pasa por uno de los puntos P , Q o R (también pasará por los otros dos puntos).

Círculo de Apolonio

Definición de círculo de Apolonio: d ₁ / d ₂ constante

Apolonio de Perga demostró que un círculo también puede definirse como el conjunto de puntos en un plano que tienen una relación constante ( distinta de 1) de distancias a dos focos fijos, A y B. ^{[15] [16]} (El conjunto de puntos donde las distancias son iguales es la bisectriz perpendicular del segmento AB , una línea). A veces se dice que ese círculo se dibuja alrededor de dos puntos.

La prueba se divide en dos partes. Primero, se debe demostrar que, dados dos focos A y B y una razón de distancias, cualquier punto P que satisfaga la razón de distancias debe caer en un círculo particular. Sea C otro punto, que también satisface la razón y se encuentra en el segmento AB . Según el teorema de la bisectriz del ángulo, el segmento de recta PC bisecará el ángulo interior APB , ya que los segmentos son similares:

$${\displaystyle {\frac {AP}{BP}}={\frac {AC}{BC}}.}$$

De manera análoga, un segmento de línea PD que pasa por algún punto D en AB extendido biseca el ángulo exterior correspondiente BPQ donde Q está en AP extendido. Como los ángulos interior y exterior suman 180 grados, el ángulo CPD es exactamente 90 grados; es decir, un ángulo recto. El conjunto de puntos P tales que el ángulo CPD es recto forma un círculo, del cual CD es un diámetro.

En segundo lugar, consulte ^{[17] : 15} para ver una prueba de que cada punto del círculo indicado satisface la relación dada.

Relaciones cruzadas

Una propiedad estrechamente relacionada de los círculos implica la geometría de la relación transversal de puntos en el plano complejo. Si A , B y C son como arriba, entonces el círculo de Apolonio para estos tres puntos es la colección de puntos P para los cuales el valor absoluto de la relación cruzada es igual a uno:

$${\displaystyle {\bigl |}[A,B;C,P]{\bigr |}=1.}$$

Dicho de otra manera, P es un punto en el círculo de Apolonio si y sólo si la razón cruzada [ A , B ; C , P ] está en el círculo unitario en el plano complejo.

Círculos generalizados

Si C es el punto medio del segmento AB , entonces el conjunto de puntos P que satisfacen la condición de Apolonio

$${\displaystyle {\frac {|AP|}{|BP|}}={\frac {|AC|}{|BC|}}}$$

Por lo tanto, si a A , B y C se les dan puntos distintos en el plano, entonces el lugar geométrico de los puntos P que satisfacen la ecuación anterior se llama "círculo generalizado". Puede ser un círculo verdadero o una línea. En este sentido, una línea es un círculo generalizado de radio infinito.

Inscripción o circunscripción sobre otras figuras.

En cada triángulo se puede inscribir un círculo único, llamado incírculo , de manera que sea tangente a cada uno de los tres lados del triángulo. ^[18]

Alrededor de cada triángulo se puede circunscribir un círculo único, llamado circuncírculo, de modo que pase por cada uno de los tres vértices del triángulo . ^[19]

Un polígono tangencial , como un cuadrilátero tangencial , es cualquier polígono convexo dentro del cual se puede inscribir un círculo que sea tangente a cada lado del polígono. ^[20] Todo polígono regular y todo triángulo es un polígono tangencial.

Un polígono cíclico es cualquier polígono convexo alrededor del cual se puede circunscribir una circunferencia , pasando por cada vértice. Un ejemplo bien estudiado es el cuadrilátero cíclico. Todo polígono regular y todo triángulo es un polígono cíclico. Un polígono que es a la vez cíclico y tangencial se llama polígono bicéntrico .

Una hipocicloide es una curva que se inscribe en un círculo dado trazando un punto fijo en un círculo más pequeño que rueda dentro y es tangente al círculo dado.

Caso límite de otras figuras.

El círculo puede verse como un caso límite de varias otras figuras:

• La serie de polígonos regulares de n lados tiene como límite el círculo cuando n tiende al infinito. Este hecho fue aplicado por Arquímedes para aproximar π .
• Un óvalo cartesiano es un conjunto de puntos tales que la suma ponderada de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos (focos) es una constante. Una elipse es el caso en el que los pesos son iguales. Un círculo es una elipse con una excentricidad igual a cero, lo que significa que los dos focos coinciden entre sí como centro del círculo. Un círculo es también un caso especial diferente de un óvalo cartesiano en el que uno de los pesos es cero.
• Una superelipse tiene una ecuación de la forma para a , b y n positivos . Un supercírculo tiene b = a . Un círculo es el caso especial de un supercírculo en el que n = 2 . ${\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1}$
• Un óvalo de Cassini es un conjunto de puntos tal que el producto de las distancias desde cualquiera de sus puntos a dos puntos fijos es una constante. Cuando los dos puntos fijos coinciden, se obtiene un círculo.
• Una curva de ancho constante es una figura cuyo ancho, definido como la distancia perpendicular entre dos líneas paralelas distintas, cada una de las cuales cruza su límite en un solo punto, es la misma independientemente de la dirección de esas dos líneas paralelas. El círculo es el ejemplo más sencillo de este tipo de figura.

Lugar geométrico de suma constante

Considere un conjunto finito de puntos en el plano. El lugar geométrico de puntos tales que la suma de los cuadrados de las distancias a los puntos dados es constante es un círculo, cuyo centro está en el centroide de los puntos dados. ^[21] Se obtiene una generalización para potencias superiores de distancias si bajo los puntos se toman los vértices del polígono regular . ^[22] El lugar geométrico de puntos tales que la suma de la -ésima potencia de las distancias a los vértices de un polígono regular dado con circunradio es constante es un círculo, si ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P_{n}}$ ${\displaystyle 2m}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}d_{i}^{2m}>nR^{2m},\quad {\text{ where }}~m=1,2,\dots ,n-1;}$$

${\displaystyle P_{n}}$

En el caso del triángulo equilátero , los lugares geométricos de las sumas constantes de las potencias segunda y cuarta son círculos, mientras que para el cuadrado, los lugares geométricos son círculos de las sumas constantes de las potencias segunda, cuarta y sexta. Para el pentágono regular se sumará la suma constante de las octavas potencias de las distancias y así sucesivamente.

La cuadratura del circulo

La cuadratura del círculo es el problema, propuesto por los geómetras antiguos , de construir un cuadrado con la misma área que un círculo dado utilizando sólo un número finito de pasos con compás y regla .

En 1882, se demostró que la tarea era imposible, como consecuencia del teorema de Lindemann-Weierstrass , que demuestra que pi ( π ) es un número trascendental , más que un número irracional algebraico ; es decir, no es raíz de ningún polinomio con coeficientes racionales . A pesar de la imposibilidad, este tema sigue siendo de interés para los entusiastas de las pseudomatemáticas .

Generalizaciones

En otras p -normas

Ilustraciones de círculos unitarios (ver también superelipse ) en diferentes p -normas (cada vector desde el origen hasta el círculo unitario tiene una longitud de uno, la longitud se calcula con la fórmula de longitud de la p correspondiente ).

Al definir un círculo como el conjunto de puntos con una distancia fija desde un punto, diferentes formas pueden considerarse círculos bajo diferentes definiciones de distancia. En p -norm , la distancia está determinada por

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\left|x_{1}\right|^{p}+\left|x_{2}\right|^{p}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}.}$$

p

$${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}={\sqrt {\left|x_{1}\right|^{2}+\left|x_{2}\right|^{2}+\dotsb +\left|x_{n}\right|^{2}}}.}$$

En geometría de taxi , p = 1. Los círculos de taxi son cuadrados con lados orientados en un ángulo de 45° con respecto a los ejes de coordenadas. Si bien cada lado tendría longitud usando una métrica euclidiana , donde r es el radio del círculo, su longitud en la geometría del taxi es 2 r . Por tanto, la circunferencia de un círculo es 8 r . Por tanto, el valor de un análogo geométrico de es 4 en esta geometría. La fórmula para el círculo unitario en la geometría del taxi está en coordenadas cartesianas y ${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle |x|+|y|=1}$

$${\displaystyle r={\frac {1}{\left|\sin \theta \right|+\left|\cos \theta \right|}}}$$

Un círculo de radio 1 (usando esta distancia) es la vecindad de von Neumann de su centro.

Un círculo de radio r para la distancia de Chebyshev ( L _∞ métrica ) en un plano también es un cuadrado con una longitud de lado 2 r paralelo a los ejes de coordenadas, por lo que la distancia plana de Chebyshev puede verse como equivalente mediante rotación y escala a la distancia plana de taxi. Sin embargo, esta equivalencia entre las métricas L ₁ y L _∞ no se generaliza a dimensiones superiores.

Definición topológica

El círculo es la hiperesfera unidimensional (la 1-esfera).

En topología , un círculo no se limita al concepto geométrico, sino a todos sus homeomorfismos . Dos círculos topológicos son equivalentes si uno puede transformarse en el otro mediante una deformación de R 3 sobre sí mismo (conocida como isotopía ambiental ). ^[23]

Círculos con nombres especiales

Ver también

• esfera afín
• Apeirogón
• Ajuste circular
• Problema del círculo de Gauss
• Inversión en círculo
• Intersección línea-círculo
• Lista de temas del círculo
• Esfera
• Tres puntos determinan un círculo.
• Traducción de ejes

Referencias

1. krikos Archivado el 6 de noviembre de 2013 en Wayback Machine , Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon , sobre Perseo
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Otras lecturas

• Pedoe, Dan (1988). Geometría: un curso integral . Dover. ISBN 9780486658124.
• "Círculo" en el archivo de Historia de las Matemáticas de MacTutor

enlaces externos

• "Círculo", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Círculo en PlanetMath .
• Weisstein, Eric W. "Círculo". MundoMatemático .
• "Subprogramas de Java interactivos". para las propiedades y construcciones elementales que involucran círculos
• "Ecuación de círculo en forma estándar interactiva". Haga clic y arrastre puntos para ver la ecuación de forma estándar en acción
• "Comiendo círculos". cortar el nudo