En geometría , un apeirogon (del griego antiguo ἄπειρος apeiros 'infinito, ilimitado' y γωνία gonia 'ángulo') o polígono infinito es un polígono con un número infinito de lados. Los apeirogones son el caso de rango 2 de politopos infinitos . En alguna literatura, el término "apeirogon" puede referirse únicamente al apeirogon regular , con un grupo de simetrías diédricas infinitas . [1]
Dado un punto A 0 en un espacio euclidiano y una traslación S , defina el punto Ai como el punto obtenido de i aplicaciones de la traslación S a A 0 , entonces A i = Si ( A 0 ). El conjunto de vértices Ai con i cualquier número entero, junto con las aristas que conectan vértices adyacentes, es una secuencia de segmentos de una línea de igual longitud y se denomina apeirogon regular según lo define HSM Coxeter . [1]
Un apeirogon regular se puede definir como una partición de la línea euclidiana E 1 en infinitos segmentos de igual longitud. Generaliza el n -gon regular , que puede definirse como una partición del círculo S 1 en un número finito de segmentos de igual longitud. [2]
El pseudogono regular es una partición de la línea hiperbólica H 1 (en lugar de la línea euclidiana) en segmentos de longitud 2λ, como análogo del apeirogon regular. [2]
Un politopo abstracto es un conjunto P parcialmente ordenado (cuyos elementos se llaman caras ) con propiedades que modelan las de las inclusiones de caras de politopos convexos . El rango (o dimensión) de un politopo abstracto está determinado por la longitud de las cadenas ordenadas máximas de sus caras, y un politopo abstracto de rango n se denomina n -politopo abstracto. [3] : 22-25
Para politopos abstractos de rango 2, esto significa que: A) los elementos del conjunto parcialmente ordenado son conjuntos de vértices con cero vértices (el conjunto vacío ), un vértice, dos vértices (una arista ) o el conjunto de vértices completo ( una cara bidimensional), ordenada por inclusión de conjuntos; B) cada vértice pertenece exactamente a dos aristas; C) el grafo no dirigido formado por los vértices y aristas está conectado. [3] : 22–25 [4] : 224
Un politopo abstracto se llama apeirotopo abstracto si tiene infinitos elementos; un 2-apeirotopo abstracto se llama apeirogon abstracto . [3] : 25
Una realización de un politopo abstracto es un mapeo de sus vértices a puntos de un espacio geométrico (típicamente un espacio euclidiano ). [3] : 121 Una realización fiel es una realización tal que el mapeo de vértices es inyectivo . [3] : 122 [nota 1] Cada apeirogon geométrico es una realización del apeirogon abstracto.
El infinito grupo diédrico G de simetrías de un apeirogon geométrico regular se genera mediante dos reflexiones, cuyo producto traslada cada vértice de P al siguiente. [3] : 140–141 [4] : 231 El producto de las dos reflexiones se puede descomponer como un producto de una traslación distinta de cero, un número finito de rotaciones y una reflexión posiblemente trivial. [3] : 141 [4] : 231
En un politopo abstracto, una bandera es una colección de una cara de cada dimensión, todas incidentes entre sí (es decir, comparables en el orden parcial); un politopo abstracto se llama regular si tiene simetrías (permutaciones de sus elementos que preservan la estructura) que llevan cualquier bandera a cualquier otra bandera. En el caso de un politopo abstracto bidimensional, esto es automáticamente cierto; las simetrías del apeirogon forman el grupo diédrico infinito . [3] : 31
Una realización simétrica de un apeirogon abstracto se define como un mapeo desde sus vértices a un espacio geométrico de dimensión finita (típicamente un espacio euclidiano ) de modo que cada simetría del apeirogon abstracto corresponde a una isometría de las imágenes del mapeo. [3] : 121 [4] : 225
Generalmente, el espacio de módulos de una realización fiel de un politopo abstracto es un cono convexo de dimensión infinita. [3] : 127 [4] : 229–230 El cono de realización del apeirogon abstracto tiene una dimensión algebraica incontablemente infinita y no puede cerrarse en la topología euclidiana . [3] : 141 [4] : 232
La realización simétrica de cualquier polígono regular en el espacio euclidiano de dimensión mayor que 2 es reducible , lo que significa que puede hacerse como una combinación de dos polígonos de dimensiones inferiores. [3] Esta caracterización de los polígonos regulares caracteriza naturalmente también a los apeirógonos regulares. Los apeirogons discretos son el resultado de combinar el apeirogon unidimensional con otros polígonos. [4] : 231 Dado que cada polígono es un cociente del apeirogon, la combinación de cualquier polígono con un apeirogon produce otro apeirogon. [3]
En dos dimensiones los apeirogons regulares discretos son los polígonos infinitos en zigzag , [5] resultantes de la mezcla del apeirogon unidimensional con el digon , representados con el símbolo de Schläfli {∞}#{2} , {∞}#{} , o . [3]
En tres dimensiones, los apeirógonos regulares discretos son los polígonos helicoidales infinitos, [5] con vértices espaciados uniformemente a lo largo de una hélice . Estos son el resultado de combinar el apeirogon unidimensional con un polígono bidimensional, {∞}#{ p / q } o . [3]
Los apeiroedros son los análogos de rango 3 de los apeirogons y son los análogos infinitos de los poliedros . [6] De manera más general, n - apeirotopos o n -politopos infinitos son los análogos n -dimensionales de los apeirogonos, y son los análogos infinitos de n - politopos . [3] : 22-25
