En geometría , un apeiroedro sesgado es un poliedro sesgado infinito que consta de caras no planas o figuras de vértices no planas , lo que permite que la figura se extienda indefinidamente sin doblarse para formar una superficie cerrada .
Los apeiroedros sesgados también han sido llamados esponjas poliédricas .
Muchos están directamente relacionados con un panal uniforme convexo , siendo la superficie poligonal de un panal al que se le han quitado algunas de las células . Característicamente, un poliedro sesgado infinito divide el espacio tridimensional en dos mitades. Si la mitad se considera sólida, a la figura a veces se le llama panal parcial .
Según Coxeter , en 1926 John Flinders Petrie generalizó el concepto de polígonos sesgados regulares (polígonos no planos) a poliedros sesgados regulares (apeiroedros). [1]
Coxeter y Petrie encontraron tres de estos que llenaban 3 espacios:
También existen apeiroedros sesgados quirales de tipos {4,6}, {6,4} y {6,6}. Estos apeiroedros sesgados son transitivos por vértice , transitivos por aristas y transitivos por caras , pero no simétricos en espejo (Schulte 2004).
Más allá del espacio tridimensional euclidiano, en 1967 CWL Garner publicó un conjunto de 31 poliedros sesgados regulares en el espacio tridimensional hiperbólico. [2]
J. Richard Gott publicó en 1967 un conjunto más grande de siete poliedros sesgados infinitos a los que llamó pseudopoliedros regulares , incluidos los tres de Coxeter como {4,6}, {6,4} y {6,6} y cuatro nuevos: {5,5}, {4,5}, {3,8}, {3,10}. [3] [4]
Gott relajó la definición de regularidad para permitir sus nuevas figuras. Mientras que Coxeter y Petrie habían exigido que los vértices fueran simétricos, Gott sólo exigía que fueran congruentes. Por tanto, los nuevos ejemplos de Gott no son regulares según la definición de Coxeter y Petrie.
Gott llamó al conjunto completo de poliedros regulares , mosaicos regulares y pseudopoliedros regulares poliedros generalizados regulares , representables por un símbolo de Schläfli {p,q} , con caras p-gonales, q alrededor de cada vértice. Sin embargo, ni el término "pseudopoliedro" ni la definición de regularidad de Gott han logrado un uso amplio.
El cristalógrafo AF Wells en la década de 1960 también publicó una lista de apeiroedros sesgados. Melinda Green publicó muchos más en 1998.
Hay dos formas prismáticas :
{3,10} también se forma a partir de planos paralelos de mosaicos triangulares , con agujeros octaédricos alternos en ambos sentidos.
{5,5} se compone de 3 pentágonos coplanares alrededor de un vértice y dos pentágonos perpendiculares que llenan el espacio.
Gott también reconoció que existen otras formas periódicas de teselaciones planas regulares. Tanto el mosaico cuadrado {4,4} como el mosaico triangular {3,6} se pueden curvar en cilindros infinitos aproximados en 3 espacios.
Escribió algunos teoremas:
Hay muchos otros apeiroedros sesgados uniformes ( transitivos de vértice ). Wachmann, Burt y Kleinmann (1974) descubrieron muchos ejemplos pero no se sabe si su lista está completa.
Algunos se ilustran aquí. Se pueden nombrar por la configuración de sus vértices , aunque no es una designación única para las formas sesgadas.
Otros pueden construirse como cadenas aumentadas de poliedros: